独家整理柯西积分公式

1
f (z)
0
dz
柯西积分公式
柯西介绍
关于柯西积分公式的说明: (1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的 值表示. (这是解析函数的又一特征)
(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积 分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分 表达式. (这是研究解析函数的有力工具)
(3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上 i 的平均值. 如果 C 是圆周 z z 0 R e ,
2 i ( 3 z 7 z 1 ),
2
7 1 )
z
f ( z ) 2 i ( 6 z 7 ),
而 1 i 在 C 内,
所以
f ( 1 i ) 2 ( 6 13 i ).
例5
解
4 d z , 其中 C : (1) z 1 1 ; 计算积分 z2 1 2 C sin z 4 sin z z1 4 dz (1 ) dz z2 1 z1 1 1
z1 2
z1 2
sin

z
sin

z
4 2i z1
z 1

2 2
i;
sin

z z 2.
例5
计算积分
sin


C
4 d z , 其中 C : (3) 2 z 1
z
解
(3)

z 2
4 dz 2 z 1
sin
由闭路复合定理, 得
z
sin π z
sin
z

第五节
柯西积分公式
一、问题的提出
二、柯西积分公式 三、典型例题 四、小结与思考
一、问题的提出
设 B 为一单连通域 , z 0 为 B 中一点 .
如果 f ( z ) 在 B 内解析 , 那末 所以
f (z) z z0 ,
.
在 z 0 不解析 .
C
f (z) z z0
d z 一般不为零
z 0 的闭曲线
2
z ( z i )( z i ) 1 因为 f ( z ) 在 z i 内解析 , 2 1

1

z(z i) zi
f (z )
z0 i ,
由柯西积分公式
1 z(z i)
zi

zi 1 2
1 z( z 1)
2
dz

zi 1 2
z(z i) z i
则
C
f (z) z z0
dz
K
f (z) z z0
dz
K
f ( z0 ) z z0
dz
K
f ( z ) f ( z0 ) z z0 z z0 dz
dz
C
z0
R K
2 if ( z 0 )
K
f ( z ) f ( z0 )
D
K

f ( z ) f ( z0 ) z z0
6i.
例2
计算积分

z 2
z
e
z
z1
dz.
解
因为 f ( z ) e 在复平面内解析
z 1 位于 z 2 内 ,
,
由柯西积分公式

z 2
e
z
z1
dz 2i e
z z 1
2e i .
例3
解
计算积分

zi 1 2
1 z ( z 1)
2
dz.
1
1 z ( z 1)
z 2
4 dz 2 z 1

z1 1 2
4 dz 2 z 1

z1 1 2
4 dz 2 z 1

2 2
i
2 2
i
2 i .
例6 解
求积分

z 1
e
z
d z , 并证明
z
0
π
e
cos
cos(sin ) d π .
根据柯西积分公式知,

z 1
d
2i e
0
cos(sin ) d
π
π
e
cos
sin(sin ) d
来自百度文库因为

z 1
e
z
d z 2π i ,
π cos π cos
z
cos(sin ) d
cos

z 1
e
z
z
dz 2i e
0
π
e
sin(sin ) d
dz
K
f ( z ) f ( z0 ) z z0
ds

R K
d s 2π .
上不等式表明, 只要 R 足够小, 左端积分的模就 可以任意小, 根据闭路变形原理知, 左端积分的值与 R 无关, 所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能. [证毕]
f ( z0 )
2i C z z
C
f (z) z z0
d z 将接近于
C
C
f ( z0 ) z z0 1
dz.
( 缩小 )
C
f ( z0 ) z z0
dz f ( z0 )
z z0
d z 2 if ( z 0 ).
二、柯西积分公式
定理
如果函数 f ( z ) 在区域 D 内处处解析 ,C 为 D 内的任何一条正向简单 于 D , z 0 为 C 内任一点 f ( z0 ) 1 2π , 闭曲线 , 它的内部完全含 那末 dz.
dz 2i
2i
1 2i
2
i.
例４
设 C 表示正向圆周
x y 3,
2 2
f (z)
C
3
2
7 1
z
d , 求 f ( 1 i ).
解 根据柯西积分公式知,
f ( z ) 2 π i ( 3
故
2
当 z 在 C 内时 ,
C
z0
i C z
f (z) z0
证
因为 f ( z ) 在 z 0 连续 ,
D
则 0,
( ) 0 ,
当 z z0 时 ,
f ( z ) f ( z0 ) .
设以 z 0 为中心 , 半径为
R ( R ) 的正向圆周
K :
z z 0 R 全在 C 的内部 ,
可以.
但对函数 f ( z ) 要做一些限制 ,
设 f ( z ) 在 G 及边界 C 上解析 ,
并且当 z 时 , f ( z ) 一致趋于零 (即 0 , R 0 , 使当 z R 时 , f ( z ) )
则对 G 内任意一点
, 有 f ( )
z 0 位于 z 4 内 ,
,
由柯西积分公式
1 2i

z 4
sin z z
dz
1 2i
2 i sin z
z0
0;
2 1 (2) dz. z 1 z 3 z 4


z 4
1 z1
dz

z 4
2 z 3
dz 2i 1 2i 2
f ( z0 ) 1 2π
0
2π
f ( z0 R e )d .
i
三、典型例题
例1
(1) 求下列积分 1 2i

z 4
sin z z
d z;
2 1 (2) dz. z 1 z 3 z 4
解
(1)
1 2i

z 4
sin z z
dz
因为 f ( z ) sin z 在复平面内解析
z1 2
z1 2
sin

z
sin

z
4 2i z1

z 1
2 2
i;
例5
解
4 d z , 其中 C : (2) z 1 1 ; 计算积分 z2 1 2 C sin z 4 sin z z1 4 dz (2) dz z2 1 z1 1 1
它的证明基于柯西–古萨基本定理, 它的重要性
在于: 一个解析函数在区域内部的值可以用它在
边界上的值通过积分表示, 所以它是研究解析函
数的重要工具. 柯西积分公式:
f ( z0 )
2i C z
1
f (z) z0
dz.
思考题
柯西积分公式是对有界区域而言的, 能否推
广到无界区域中?
思考题答案
2π i C
1
f (z)

z
dz ,
其中积分方向应是顺时针方向.
放映结束，按Esc退出.
e
z
dz 2i e
i
z z0
2 i;
z r 1,
π
i
z
令 z re
, ( π π )

z 1
e
z
z
dz
π re i
π
e
re
i
ire
i
d
π i e
e
d

π
π
ie
π
e
i
d
cos
π
π
ie
cos i sin
比较两式得 0
π
e
cos(sin ) d π .
课堂练习
计算积分

z 3
e
2
z
z ( z 1)
dz.
答案
有三个奇点
z 0 , z 1, z 1

z 3
e
2
z
z ( z 1)
dz i(e e
1
2 ).
四、小结与思考
柯西积分公式是复积分计算中的重要公式,
C 为 B 内围绕
根据闭路变形原理知, 该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变, 求这个值.
积分曲线 的正向圆周
C 取作以 z 0 为中心 , 半径为很小的 z z0 ,
,

由 f ( z ) 的连续性
在 C 上函数
f ( z ) 的值将随着 z 0 处的值 ,
的缩小而逐渐
接近于它在圆心