用有限元方法解平面温度场问题.
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2 ∇=0 , ∈Ω 1
(2) Γ=
𝐵 Γ2
引入权函数 , , (,)，方程和第二类边界条件分别等价于
Ω1 = (3) , ∇2 , 𝞩=0 (1′)
,
Γ2𝐵 , − , 𝞓=0 2′ 𝐵 , − , 𝞓=0 4 由于上述两个积分区域互相独立，因此问题等价于 , ∇2 , 𝞩+ ,
ΩΓ2
又
∇2𝐵Ω= ∇∙ ∇ 𝞩− ∇𝘙∇𝐵Ω= ∇𝘙 𝞓− ∇𝘙∇𝐵ΩΩΩΩ𝞩Ω
=
Γ1+ Γ2 𝐵𝐵Γ− ∇𝘙∇𝐵Ω 5 Ω
𝐵𝐵Γ+ 𝘒 𝞓=0 6 𝐵𝐵Γ2将 5 代入 4 得： − ∇𝘙∇𝐵Ω+ ΩΓ1+ Γ2
由于 , 是定义在Ω内的函数，在边界Γ上可任取，不妨取
0 , ∈Γ1 7 , = −𝐵 , ∈Γ2
将(7)代入(6)，可使方程简化：
∇𝘙∇𝐵Ω− 𝐵 𝞓=0 8
ΩΓ2
取=𝐵，则
1∇𝘙∇=∇ 𝐵 ∙∇= ∇ ∙∇= ∇𝘙∇ 9 = 𝐵= 10
将 9 , 10 代入 8 得：
1 ∇𝘙∇ 𝞩− 𝞓 =0 11 ΩΓ2
设泛函
1Π = ∇𝘙∇ 𝞩− 𝞓 12 ΩΓ2
1Π +𝐵 = ∇+∇ 𝐵 ∙ ∇+∇ 𝐵 𝞩− +𝐵 𝞓ΩΓ2
1= ∇𝘙∇+2∇ 𝐵 ∙∇+∇ 𝐵 ∙∇ 𝐵 𝞩− +𝐵 𝞓ΩΓ2
11=Π + ∇𝘙∇ 𝞩− 𝐵 𝞓+ ∇ 𝐵 ∙∇ 𝐵 𝞩ΩΩΓ2
11=Π +𝞠 + ∇ 𝐵 ∙∇ 𝐵 𝞩=Π + ∇ 𝐵 ∙∇ 𝐵 𝞩≥0 ΩΩ
所以该问题为泛函的极小值问题。
在图示问题的每一个单元中
T x,y = 1x
由于
1x1 1x21x3y1−1y2 =y3x2y3−x3y2 y2−y3x3−x2x3y1−x1y3x1y2−x2y1y3−y1y1−y2
x1−x3x2−x111 1x2y2 1x3y3x3y1−x1y3y3−y1x1−x3
a3b3 14 c3
a2b2c2a3T1b3 T2 15 c3T3x1y2−x2y1y1−y2 x2−x11x1y 1x21x3y1−1T1y2 T2 13
T3y3xy−x3y2123 = y2−y3x−x32a11≝ b1c1a2b2c21 1x∴T x,y =1b1 ∇T = c1b2c2a1y
b1c1Tb31 T2 ≝ B T 16 c3T3
对整个绝热温度场问题，q =0，设k=1
111Π T = ∇Te∙∇Te dΩ= ∇Te T{∇Te} dΩ≈ Te T ∆e Be T Be Te eΩeeeΩe
11≝ T T Le T Ke Le T ≝ T T K T e
e 其中 Le 为使 T2
T3eT1e T1= Le ⋮ 的矩阵，例如对第三个单元： T6
001000 L3 = 000100
000001
图示问题的刚度矩阵
2 −1 −1 1.5 0 K = −1
0 −0.5 0 0 0 0
泛函的极小值问题minΠ T 等价于
ðΠ=0 i
写成矩阵形式为：
K T =0
当T1,T2,T4,T5已知时，只需取方程组的其中两行
k 33k43k34T3k =− 31k44T4k41k32k42k35k45T1k36T2 k46T5T6 −10 0 0−0.5 0
2−0.5−0.5 0−0.5 1 1−0.5 0 0 0 −0.5 0 0 0 0 −0.5 0.5
用这种方法，可以对矩形区域的温度场进行求解，同时也可以给定不同的边界条件，例如在矩形区域内设置一些已知温度的点，同时也可以将网格划分得更密些，并得到可视化的结果，我做了一个尝试，将左边界取成160℃，右边界取成40℃，中间去了三个点，温度分别为40℃，10℃，160℃，划分网格时将x方向划分成100段，y方向划分成50段，得到的温度分布云图和网格如图：
