人教版八年级数学上册《全等三角形证明》专项练习题-附含答案

第 1 页 共 15 页 人教版八年级数学上册《全等三角形证明》专项练习题-附含答案

专题简介：本份资料包含《全等三角形》这一章的六种主流中档证明题 所选题目源自各名校期中、期末

试题中的典型考题 具体包含的题型有：重叠边技巧、重叠角技巧、等角的余角相等技巧、证两次全等的证明题、手拉手模型、角平分线的性质与判定的中档题。适合于公立学校老师和培训机构的老师给学生作全等三角形证明题专项复习时使用或者学生考前刷题时使用。

题型1：重叠边技巧

短边相等＋重叠边=长边相等

长边相等－重叠边=短边相等

1．（2019·广东）如图 点A、C、F、D在同一直线上 AF=DC AB=DE BC=EF 求证：AB∥DE．

【详解】∵AF=DC ∴AF﹣FC=DC﹣CF 即AC=DF．在△ACB和△DFE中ACDFABDEBCEF

∴△ACB≌△DFE（SSS）

∴∠A=∠D ∴AB∥DE．

2．（2021·重庆）已知点A、E、F、C在同一直线上 已知ADBC∥ ADBC

AECF 试说明BE与DF的关系．

【详解】解：数量关系BEDF 位置关系BEDF∥．理由：∵ADBC∥ ∴∠A=∠C

又AECF ∴AE+EF=CF+EF 即AF=CE 在ADF和CBE△中 ADBCACAFCE

ADF≌CBESAS△

∴BE=DF ∠BEF=∠DFE ∴BEDF∥．

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3．（2021·湖北荆门）如图 点E、F在BC上 BE＝CF AB＝DC ∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．

【详解】解∵BE＝CF ∴BE+EF＝CF+EF

即BF＝CE．

在△ABF和△DCE中 ABDCBCBFCE

∴△ABF≌△DCE ∴∠A＝∠D．

4．（2021·甘肃）如图 AB∥CD BN∥MD 点M、N在AC上 且AM=CN 求证：BN=DM．

【详解】解：∵AB∥CD BN∥MD ∴∠A=∠C ∠CMD=∠ANB ∵AM=CN

∴AM+MN=MN+CN 即AN=MC 在△ANB和△CMD中

∠A=∠C AN=MC ∠ANB=∠CMF ∴△ANB≌△CMD（ASA） ∴BN=MD．

5．（2021·新疆）如图 点A、F、C、D在同一直线上 点B和点E分别在直线AD的两侧 且AB＝DE ∠A＝∠D AF＝DC．求证：

(1)△ABC≌△DEF；(2)BC∥EF．

【详解】(1)证明：∵AF＝DC ∴AF+CF＝DC+CF ∴AC＝DF 第 3 页 共 15 页 ∵在△ABC和△DEF中 ABDEADACDF ∴△ABC≌△DEF（SAS）；

(2)证明：由（1）知△ABC≌△DEF ∴∠BCA＝∠EFD ∴BC∥EF．

题型2：重叠角技巧

重叠角技巧：小角相等+重叠角=大角相等

大角相等-重叠角=小角相等

6．（2022·福建·福州）如图 AC＝AE ∠1＝∠2 AB＝AD．求证：△ABC≌△ADE．

【详解】证明：∵∠1=∠2 12EABEAB 即CABEAD

在ABC和ADE中 {ACAECABEADABAD()ABCADESAS．

7．（2022·四川资阳）如图 在△ABC和△ADE中 AB=AD ∠B=∠D ∠1=∠2．

求证：BC=DE．

【详解】证明：∵∠1=∠2 ∵∠DAC+∠1=∠2+∠DAC∴∠BAC=∠DAE

在△ABC和△ADE中 BDABADBACDAE＝＝＝ ∴△ADE≌△ABC（ASA）∴BC=DE

8.如图 AB＝AD ∠C＝∠E ∠1＝∠2 求证：△ABC≌△ADE．

【解答】证明：∵∠1＝∠2 ∴∠1+∠EAC＝∠2+∠EAC 即∠BAC＝∠DAE 在△ABC和△ADE中 第 4 页 共 15 页 BACDAECEABAD ∴△ABC≌△ADE（AAS）．

9．(雅礼)如图 △ABC和△ADE都是等腰三角形 且∠BAC＝90° ∠DAE＝90° B C D在同一条直线上．求证：BD＝CE．

【解答】证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形 ∴AD＝AE AB＝AC 又∵∠EAC＝90°+∠CAD

∠DAB＝90°+∠CAD ∴∠DAB＝∠EAC

∵在△ADB和△AEC中 ∴△ADB≌△AEC（SAS） ∴BD＝CE．

10．（2020·四川达州）已知△ABN和△ACM位置如图所示 AB=AC AD=AE ∠1=∠2．

（1）求证：BD=CE；

（2）求证：∠M=∠N．

【详解】（1）证明：在△ABD和△ACE中 12ABACADAE ∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴BD=CE；

（2）证明：∵∠1=∠2 ∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE 即∠BAN=∠CAM 由（1）知：△ABD≌△ACE

∴∠B=∠C 在△ACM和△ABN中 CBACABCAMBAN ∴△ACM≌△ABN（ASA） ∴∠M=∠N．

题型3：等角的余角相等技巧：∠1+∠2=90 ∠2+∠3=90 ∠1=∠3

技巧：把全等三角形中一个三角形的两个锐角分别随意标上∠1、∠2 再从第二个三角形的两个锐角中挑一个和∠1或∠2互余的角标上∠3。 第 5 页 共 15 页 11．（2022·甘肃）如图所示 在△ABC中 AD⊥BC于D CE⊥AB于E AD与CE交于点F 且AD=CD

（1）求证：△ABD≌△CFD；（2）已知BC=7 AD=5 求AF的长．

【详解】（1）证明：∵AD⊥BC CE⊥AB ∴∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°

∴∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90° ∴∠BAD=∠ECD 在△ABD和CFD中

ADBCDFBADDCFADCD ∴△ABD≌△CFD（AAS）

（2）∵△ABD≌△CFD ∴BD=DF ∵BC=7 AD=DC=5 ∴BD=BC﹣CD=2 ∴AF=AD﹣DF=5﹣2=3．

12．（2022·辽宁沈阳）如图 在ABC中 90ACB ACBC BECE于E ADCE于D

2.5cmAD 1.7cmDE 求BE的长．

【详解】解：∵BE⊥CE于E AD⊥CE于D ∴∠E＝∠ADC＝90°

∵∠BCE+∠ACE＝∠DAC+∠ACE＝90° ∴∠BCE＝∠DAC ∵AC＝BC ∴△ACD≌△CBE

∴CE＝AD BE＝CD=CE-CD＝2.5﹣1.7＝0.8（cm）．

13．（长郡）如图 △ABC中 ∠ACB＝90° AC＝BC E是BC边上的一点 连接AE 过C作CF⊥AE 垂足为F 过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．

（1）求证：△ACE≌△CBD；

（2）若BE＝3 AB＝6 求点E到AB的距离．

第 6 页 共 15 页 【解答】证明：（1）∵DB⊥BC CF⊥AE ∴∠DCB+∠D＝∠DCB+∠AEC＝90°．∴∠D＝∠AEC．

在△ACE和△CBD中 ∴△ACE≌△CBD（AAS）；

（2）解：∵∠ACB＝90° AC＝BC AB＝6 ∴AC＝BC＝6

∴S△ABE＝BE×AC＝AB×（点E到AB的距离）

∴点E到AB的距离＝．

14．（2022·广东）如图 △ABC中 AB=AC AD⊥BC CE⊥AB AE=CE．求证：

（1）△AEF≌△CEB；

（2）AF=2CD．

【详解】证明：（1）∵CE⊥AB ∴∠AEF＝∠CEB＝90°．∴∠AFE+∠EAF＝90° ∵AD⊥BC ∴∠ADC＝90° ∴∠CFD+∠ECB＝90° 又∵∠AFE＝∠CFD ∴∠EAF＝∠ECB．

在△AEF和△CEB中 ∵90EAFECBAECEAEFCEB ∴△AEF≌△CEB（ASA）；

（2）∵△AEF≌△CEB ∴AF＝BC ∵AB＝AC AD⊥BC∴CD＝BD BC＝2CD．∴AF＝2CD．

15．（周南）（1）如图1 △ABC中 ∠BAC＝90° AB＝AC AE是过A点的一条直线 且B、C在AE的异侧 BD⊥AE于D CE⊥AE于E 求证：BD＝DE+CE．

（2）若直线AE绕点A旋转到图2的位置时（BD＜CE） 其余条件不变 问BD与DE、CE的关系如何？请予以证明．

【解答】解：（1）∵∠BAC＝90° BD⊥AE CE⊥AE ∴∠BDA＝∠AEC＝90° ∵∠ABD+∠BAE＝90° 第 7 页 共 15 页 ∠CAE+∠BAE＝90°∴∠ABD＝∠CAE ∵AB＝AC 在△ABD和△CAE中 ∵ ∴△ABD≌△CAE（AAS） ∴BD＝AE AD＝CE ∵AE＝AD+DE

∴BD＝DE+CE；

（2）BD＝DE﹣CE；∵∠BAC＝90° BD⊥AE CE⊥AE ∴∠BDA＝∠AEC＝90° ∴∠ABD+∠DAB＝∠DEB+∠CAE ∴∠ABD＝∠CAE ∵AB＝AC 在△ABD和△CAE中 ∵ ∴△ABD≌△CAE（AAS） ∴BD＝AE AD＝CE ∴AD+AE＝BD+CE

∵DE＝BD+CE ∴BD＝DE﹣CE．

题型4：证两次全等的证明题

16．如图 已知AB＝DC AE＝DF CE＝BF．求证：AF＝DE．

【解答】解：∵CE＝BF ∴CF＝BE 在△CDF和△BAE中

∴△CDF≌△BAE（SSS） ∴∠C＝∠B

在△CDE和△BAF中 ∴△CDE≌△BAF（SAS） ∴DE＝AF．

17．如图 点C在线段AB上 AD∥EB AC＝BE AD＝BC．CF平分∠DCE．

求证：（1）△ACD≌△BEC；

（2）CF⊥DE．

第 8 页 共 15 页 【解答】证明：（1）∵AD∥BE ∴∠A＝∠B 在△ACD和△BEC中

∴△ACD≌△BEC（SAS）

（2）∵△ACD≌△BEC ∴CD＝CE 又∵CF平分∠DCE 在△FCD和△FCE中

CFCFFCDFCECECD ∴△FCD≌△FCE（SAS） ∴CF⊥DE．

18．如图1所示 点E、F在线段AC上 过E F分别作DE⊥AC BF⊥AC 垂足分别为点E F；DE BF分别在线段AC的两侧 且AE＝CF AB＝CD BD与AC相交于点G．

（1）求证：EG＝GF；

（2）若点E在F的右边 如图2时 其余条件不变 上述结论是否成立？请说明理由．

【解答】解：（1）证明：∵DE⊥AC BF⊥AC ∴∠DEG＝∠BFE＝90°．∵AE＝CF

∴AE+EF＝CF+EF．∴AF＝CE．在Rt△ABF和Rt△CDE中

∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL） ∴BF＝DE．

在△BFG和△DEG中 ∴△BFG≌△DGE（AAS）．∴EG＝FG．

（2）解：（1）中结论依然成立．理由如下：∵AE＝CF ∴AE﹣EF＝CF﹣EF．∴AF＝CE．