广东省阳江市数学小学奥数系列8-8-1最短路线

1在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。

比如：邮递员送信，要穿遍所有的街道，为了少走冤枉路，需要选择一条最短的路线；旅行者希望寻求最佳旅行路线，以求能够走最近的路而达到目的地，等等。

这样的问题，就是我们所要研究学习的“最短路线问题”。

典型例题例[1] 假如直线AB 是一条公路，公路两旁有甲乙两个村子，如下图1。

现在要在公路上修建一个公共汽车站，让这两个村子的人到汽车站的路线之和最短。

问：车站应该建在什么地方？甲乙AB甲乙最短路线分析如果只考虑甲村的人距离公路AB最近，只要由甲村向公路AB画一条垂直线，交AB于C点，那么C点是甲村到公路AB最近的点，但是乙村到C点就较远了。

反过来，由乙村向公路AB画垂线，交AB于D点，那么D点是乙村到公路AB最近的点。

但是这时甲村到公路AB的D点又远了。

因为本题要求我们在公路AB上取的建站点，能够兼顾甲村和乙村的人到这个车站来不走冤枉路（既路程之和最短），根据我们的经验：两个地点之间走直线最近，所以，只要在甲村乙村间连一条直线，这条直线与公路AB交点P，就是所求的公共汽车站的建站点了（图2）。

2解用直线把甲村、乙村连起来。

因为甲村乙村在公路的两侧，所以这条连线必与公路AB有一个交点，设这个交点为P，那么在P 点建立汽车站，就能使甲村乙村的人到汽车站所走的路程之和最短。

例[2] 一个邮递员投送信件的街道如图3所示，图上数字表示各段街道的千米数。

他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局。

问：走什么样的路线最合理？全程要走多少千米？1 2 4 2 13分析选择最短的路线最合理。

那么，什么路线最短呢？一笔画路线应该是最短的。

邮递员从邮局出发，还要回到邮局，按一笔画问题，就是从偶点出发，回到偶点。

因此，要能一笔把路线画出来，必3须途径的各点全是偶点。

但是图中有8个奇点，显然邮递员要走遍所有街道而又不走重复的路是不可能的。

要使邮递员从邮局出发，仍回到邮局，必须使8个奇点都变成偶点，就是要考虑应在哪些街道上重复走，也就是相当于在图上添哪些线段，能使奇点变成偶点。

最短路线专题在平时生活、工作中，常常会碰到相关行程路线的问题。

比方：邮递员送信，要穿遍全部的街道，为了少走冤枉路，需要选择一条最短的路线；旅游者希望追求最正确旅游路线，以求能够走近来的路而达到目的地，等等。

这样的问题，就是我们所要研究学习的“最短路线问题”。

典型例题例[1] 若是直线 AB是一条公路，公路两旁有甲乙两个村庄，以下列图 1。

此刻要在公路上修筑一个公共汽车站，让这两个村庄的人到汽车站的路线之和最短。

问：车站应当建在什么地方？甲村甲村A B A B乙村乙村图1图2 剖析假如只考虑甲村的人距离公路AB近来，只需由甲村向公路 AB画一条垂直线，交 AB于 C点，那么 C 点是甲村到公路 AB近来的点，可是乙村到 C点就较远了。

反过来，由乙村向公路 AB画垂线，交 AB于 D 点，那么 D点是乙村到公路 AB近来的点。

可是这时甲村到公路 AB的 D点又远了。

因为此题要求我们在公路 AB上取的建站点，能够兼备甲村和乙村的人到这个车站来不走冤枉路（既行程之和最短），依据我们的经验：两个地址之间走直线近来，所以，只需在甲村乙村间连一条直线，这条直线与公路 AB交点 P，就是所求的公共汽车站的建站点了（图2）。

解用直线把甲村、乙村连起来。

因为甲村乙村在公路的双侧，所以这条连线必与公路 AB 有一个交点，设这个交点为 P，那么在 P 点成立汽车站，就能使甲村乙村的人到汽车站所走的行程之和最短。

例[2]一个邮递员投送信函的街道如图 3 所示，图上数字表示各段街道的千米数。

他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局。

问：走什么样的路线最合理？全程要走多少千米？1242 13剖析选择最短的路线最合理。

那么，什么路线最短呢？一笔划路线应当是最短的。

邮递员从邮局出发，还要回到邮局，按一笔划问题，就是从偶点出发，回到偶点。

所以，要能一笔把路线画出来，必须门路的各点全部是偶点。

可是图中有 8 个奇点，明显邮递员要走遍所有街道而又不走重复的路是不行能的。

最新八年级数学最短路径问题一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小.练习、如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A 到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．练习：如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，•要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，•可使所修的渠道最短，试在图中确定该点.三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形ABC，使三角形周长最小.练习1：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形ABC周长最小值为OA.求∠MON的度数.练习2：某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB 桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？提高训练一、题中出现一个动点.1.当题中只出现一个动点时，可作定点关于动点所在直线的对称点，利用两点之间线段最短，或三角形两边之和小于第三边求出最值.例：如图，在正方形ABCD中，点E为AB上一定点，且BE=10，CE=14，P为BD上一动点，求PE+PC最小值.二、题中出现两个动点.当题中出现两个定点和两个动点时，应作两次定点关于动点所在直线的对称点.利用两点之间线段最短求出最值.例：如图，在直角坐标系中有四个点，A(-8，3)，B(-4，5)C(0，n)，D(m，0)，当四边形ABCD周长最短时，求C、D的坐标 .练习1如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q 分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．三、题中出现三个动点时.在求解时应注意两点：(1)作定点关于动点所在直线的对称点，(2)同时要考虑点点，点线，线线之间的最短问题.例：如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E，F，P分别为AB，BC，AC上动点，求PE+PF最小值例：如图，∠AOB=45°，角内有一动点P ，PO=10，在AO，BO上有两动点Q，R，求△PQR周长的最小值.练习1如图，∠AOB=30°，角内有一定点P ，PO=20cm，在AO，BO上有两动点C、D，求△PCD周长的最小值.。

最短路线例1．下图是从学校到邮局经过的所有马路，问从学校到邮局共有几条最短路线？思路分析：为了便于叙述，在各交叉点上标出字母．要想从家到学校走的路程最短，就不能走回头路，这道题中，最短也要走长方形ACGI的一个长和一个宽．为保证走得路线最短，只能向下和向右走．如果我们一条一条地数，可以发现共有以下六条路线最短：A→B→C→F→I；A→D→G→H→I；A→B→E→F→I；A→D→E→F→I；A→B→E→H→I；A→D→E→H→I；但如果按上述方法找，难免发生重复遗漏的路线．下面我们观察一下，看看是否有规律可循．①从A点出发向下或向右走只能到达B、D两点，到B点有一种走法，到D点同样只有一种走法，所以在B点、D点处各标角码1，表示从A点到此点的最近走法只有1种．②从B点可以向右走到达C点，因为从A到C的最短路线也仅有1条，所以角码为1．从B点向下可到E点，另外从D点到达E点的距离也最短，所以E点角标角码2．如图所示．继续做下去，我们会发现，每一个小格右下角的数正好是这个小格右上角与左下角的数的和，这个和就是从出发点A到I点所有最短路线的条数．例2．一个邮递员投送信件，街道如图所示，图上的数字表示各段街道的公里数．他从邮局出发，走遍各街道，最后回到邮局，怎样走路线最合理？思路分析：由于街道是含8个奇点的图形，所以，不可能不重复地走遍所有街道，为了保证邮递员从邮局出发再回到邮局，图形中8个奇点都应变为偶点．即将奇点两两相配对用线连结，有很多连法，下图仅列出了三种情形：添加的路线的里程分别是：(1)3×4＝12(公里)(2)3×2＋2×2＝10(公里)(3)2×4＝8(公里)由此可见邮递员按图(3)的路线走，重复的路最少，最合理．全程共走：3×6＋1×4＋2×8＋2×4＝46(公里)例3．小刚家和小明家之间各条道路的示意图，请问要从小刚家到小明家，最近路线有几条？思路分析：要求从小刚家到小明家的最近路线有几条，就是要求从小刚家到小明家的最短路线．把各交点标上字母，如下图．这道题和前面例1有所不同，要格外注意由哪两点的和来确定另一点的．①由A→B，A→C各有1种走法，可以确定A→D有1＋1＝2(种)走法．②由A→I有1种走法，A→D有2种走法，可以确定A→J有1＋2＝3(种)走法．③由A→M有1种走法，A→J有3种走法，可以确定A→N有1＋3＝4(种)走法．④A→E有2种走法，A→J有3种走法，A→K有2＋3＝5(种)走法．⑤A→E有2种走法，A→G有2种走法，A→H与2＋2＝4(种)走法．⑥A→K有5种走法，A→H有4种走法，A→L有5＋4＝9(种)走法．⑦A→N有4种走法，A→K有5种走法，A→O有4＋5＝9(种)走法．⑧A→O有9种走法，A→L有9种走法，A→L上有9种走法，A→P有9＋9＝18(种)走法．。