函数的周期性二级结论

高中数学三角函数二级结论高中数学是一门广泛应用于各个领域的学科，其中数学三角函数就是一个非常重要的分支。

在学习三角函数时，二级结论是相当关键的一环。

下面我将详细探讨高中数学中三角函数二级结论的重要性以及应用。

一、二级结论的内容三角函数的二级结论是指在三角函数的基础上，进一步推导出的各种定理和公式。

这些定理和公式不仅可以用来简化计算，还可以被广泛地应用于各个领域中。

例如，在物理学中，运动学和动力学的计算中，就经常用到三角函数的各种二级结论。

在机械制造领域中，也需要用到三角函数的二级结论进行计算和设计。

二、重要性三角函数的二级结论是学习高中数学的一个非常重要的环节。

它是学习更深层次数学知识的基础，也是理解高级数学课程的必要前提。

掌握这些二级结论不仅能够提高学生的数学素养，还能在学习其他科目时起到很大的帮助作用。

三、应用案例1.物理学案例在炮弹、导弹、飞行器等物体飞行轨迹的计算中，需要运用到三角函数的各种二级结论。

比如，计算物体的飞行高度和速度的时候，可以借助另一个角度角度大小进行计算，这就需要用到三角函数的二级结论中的正切定理。

2.机械制造案例在机械制造中，常常需要运用到三角函数的二级结论进行设计和计算。

如在机械轴的设计中，可以利用正弦定理计算出轴的切向力和径向力，同时利用余弦定理计算出轴的扭矩和应力等。

四、结论三角函数的二级结论在高中数学中占有非常重要的地位，它不仅拓宽了学生们的数学视野，还能够为将来的科学研究和实践提供支持。

因此，在掌握好基础的三角函数知识的同时，也要善于总结二级结论，加强应用实践，才能更好地掌握三角函数。

{ } 例 1 设集合A = (x,y)x42 +y162 =1 ,B ={(x,y)|y=3x },则A ∩B 的子集的个数是( ).
A.4
B.3
C .2
D.1
变 式1 已知集合A ={x|x2 -3x +2=0,x ∈ R} ,B ={x|0<x <5,x ∈ N} ,则满足条件A
⊆ C ⫋ B 的集合C 的个数为( ).
B.min[f(m ),f(m
+1)]>
1 4
C.min[f(m ),f(m
+1)]=
1 4
D.min[f(m ),f(m
+1)]≥
1 4
{ 变 式3
设
max{f(x),g(x)}=
定义在
R
上 的 函 数 f(x )满 足 f(x )=
log2(1-x)(x ≤0) f(x -1)-f(x -2)(x
> 0),则 f(2017)=
( ).
A.-1
B.0
C.1
D.2
变式2
已
知
定
义
在
R
上
的
函
数f(x
)满
足f
æ èçx
+
3 2
ö
÷
ø
=
-f(x
),且f(-2)=f(-1)=
-1,f(0)=
(4)若f(x)=f(x +a)+f(x -a)
①
则f(x +a)=f(x +2a)+f(x)
②
① + ② 得,f(x)+f(x +a)=f(x +a)+f(x -a)+f(x +2a)+f(x),

活用函数性质中的三个“二级结论”类型一 奇函数的最值性质设函数f (x )＝x ＋12＋sin x x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________． [思维架桥] 先对函数f (x )的解析式进行变形，得到f (x )＝1＋g (x )，其中g (x )是奇函数，且g (x )min ＋g (x )max ＝0，那么f (x )min ＋f (x )max ＝1＋g (x )min ＋1＋g (x )max ＝2，可得结果． 2 解析：显然函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝x ＋12＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1， 设g (x )＝2x ＋sin x x 2＋1，则g (－x )＝ ＝－g (x )． ∴g (x )为奇函数．由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2．已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0．特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0，且若0∈D ，则f (0)＝0． 类型二 抽象函数的周期性已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，有f (x ＋3)＝－f (x )，且当x ∈(0,3)时，f (x )＝x ＋1，则f (－2 023)＋f (2 024)＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0[思维架桥] 由f (x ＋3)＝－f (x )，得f (x ＋6)＝f (x )，即f (x )的周期为6．再通过f (x )为奇函数可得f (－2 023)＋f (2 024)＝－f (2 023)＋f (2 024)＝－f (1)＋f (2)，得到答案．C 解析：因为函数f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (－2 023)＝－f (2 023)．因为当x ≥0时，有f (x ＋3)＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，即当x ≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次．又当x ∈(0,3)时，f (x )＝x ＋1，∴f (2 023)＝f (337×6＋1)＝f (1)＝2，f (2 024)＝f (337×6＋2)＝f (2)＝3．故f (－2 023)＋f (2 024)＝－f (2 023)＋3＝1．(1)如果f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中一个周期T ＝2a ．(2)如果f (x ＋a )＝1f x (a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中一个周期T ＝2a ．(3)如果f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中一个周期T ＝2a ． 类型三 抽象函数的对称性函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减，且f (x ＋1)是偶函数，不等式f (m ＋2)≥f (x－1)对任意的x ∈[－1,0]恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[－3,1]B ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)C ．[－4,2]D ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)[思维架桥] 由f (x ＋1)是偶函数，得到f (x ＋1)＝f (－x ＋1)，即函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，再结合已知条件，得到函数f (x )在(－∞，1]上单调递增．再分m ＋2≤1和m ＋2>1进行讨论即可得到答案．A 解析：因为y ＝f (x ＋1)是偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，所以函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝1．又因为函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上单调递减，所以y ＝f (x )在(－∞，1)上单调递增．当x ∈[－1,0]时，－2≤x －1≤－1，因为不等式f (m ＋2)≥f (x －1)对任意的x ∈[－1,0]恒成立，所以f (m ＋2)≥f (－1)．又f (－1)＝f (3)，所以－1≤m ＋2≤3，解得－3≤m ≤1．故选A ．已知函数f (x )是定义在R 上的函数．(1)若f (a ＋x )＝f (b －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．特别地，若f (a ＋x )＝f (a －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (a －x )＝0，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a,0)对称．。

数感符号感的培养581062322256210243729,,,====1. 1-20的平方 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400 1-10的立方1.8,27,64,125,216,343,512,729,1000 常见的勾股数：3,4,5 ;5,12,13;7,24,25;15,17,282.立方差立方和公式()3322333a b a a b b a b ±=±+±，()()3322a b a b a ab b ±=±+3.常用的一些数据14141732224...=== 271828e .≈15718rad '≈︒，20693109114ln .,ln .,ln .≈≈π≈第一部分：函数1.函数的对称性(奇偶性延伸)()()f a x f a x -=+⇔函数()y f x =的图像关于直线x a =对称； ()()2f a x f a x b -++=⇔函数()y f x =的图像关于点()a,b 对称．证明： 方法一：()y f x =关于点()a,b 对称，可以得到()y f x a b =+-为奇函数，所以()()()()02f x a b f x a b f x a f x a b +-+--=⇔++-=．方法二：(相关点法)，若函数()y f x =关于点()a,b 对称，即()x,y 的对称点()22a x,b y --在原函数图像上，所以()()()()()22222b y f a x f x f a x b f a x f a x b -=-⇔+-=⇔++-=． 2.函数的周期性()()f x T f x +=1）半周期：()()()()()()11f x a f x ,f x a ,f x a f x f x +=-+=+=-， 函数()f x 的周期为2a ；2）双对称问题： 函数()()f x a f a x +=±-，()()()f x b f b x a b ,+=±-≠若两式同号，则()f x 是以2b a -为周期的周期函数． 3）其他类周期问题： ①()()f a x f b x T b a ±=±⇔=-； ②()()2f a x f b x T b a±=-±⇔=-；③()()()6f x a f x a f x T a -++=⇔=；④设0T ≠,有()()f x T M f x +=⎡⎤⎣⎦其中()M x 满足()M M x x =⎡⎤⎣⎦且()M x x ≠，则函数的周期为2．3．函数求值域的常用方法： 1）判别式法：将函数()y f x =上的y 视为常数，若它关于x 是二次的，则可由其关于x 的判别式非负而求得y 的范围，注意检验等号是否成立；2）换元法：引入适当地变量，将复杂的函数式化归为已知的简单函数式，注意引入变量的范围；3）利用二次函数：化归为二次函数的最值或限定条件下的二次函数最值问题，借用配方法来求解；4）利用单调性：将所给函数化为熟知的初等函数，利用单调性求最值（值域）； 5）利用不等式：运用算数-几何不等式，柯西不等式,注意等号成立条件的讨论； 6）图像法：利用图像的直观性可求一些特殊函数的值域． 4.指数函数对数函数1）真数互换公式：x y x y log a log b log b log a ⋅=⋅； 2）底真互换公式：c c log b log a a b =； 3）当对数的底数和真数同时在()01,或()1,+∞上时，0a log b >，否则0a log b <．5.函数嵌套零点问题第二部分：函数与导数1.导数的定义()()()0000x f x m x f x n x m nlimf x p x p∆→+∆-+∆-'=∆．2.三次函数()320y axbx cx d,a =+++≠1）230b ac ->⇔三次函数有极大值极小值，有三个单调区间；230b ac -≤⇔三次函数没有极值，一个单调区间； 2）三次函数式中心对称图形，它有一个对称中心， 求法：二阶导后导数为0，方程的根为中心横坐标； 3）必有唯一一条过该中心的直线与两旁相切（切过）． 3．构造函数秒杀大法： 注意：①()f x '前的系数为正或可正可负，看原本()f x '前的系数为负，变号“<”变“>”“>”变“<”;②导函数思想，导函数大于零单调递增，导函数小于零单调递减； ③若所求一方没有()f的形式，在题干中没有()f 形式，类如定义在R 上的奇函数()00f ⇔=④在题干中找到两个()f形式1）由周期或对称性得出另一个()f形式，使用新生成的()f．2）由奇偶性得出另一个()f形成．对于构造函数比较大小的题目，遇到奇偶性切记不能用．4.导数常用的放缩1x e x ≥+， 111x ln x x x x--<≤≤-， ()1x e ex x >>．5.关于证明含ln x 的不等式的一种思路举例说明：证明()1111123ln n n ++++>+，左边为看成1n 求和，右边看成n S ．解法：令1n a n=，()1n S ln n =+，则()1n b ln n lnn =+-，只需要证明n n a b >即可，根据定积分知识画出1y x=的图像，几何方法．另解：()1x lnx ≥+．6.对数不等式)0a ba b a,b a b ln a lnb-+>>>≠-且a b +可以是极值点和的形式，若我们求得对数平均数为一个定值，那么加和以及乘积形式得极值点证明的题目就可以迎刃而解！！ 7.端点效应 8.洛必达法则9.凸函数（琴生不等式） 10.导数中的ATM 找点法： 函数中存在零点，通常我们寻找这个零点，需要用到二分法来卡根，即零点存在性定理． 这是一个被神化的玩意儿，我们连隐零点都能跳过，至于找点，当然会有巧妙绕过的方案，如果你的切线和同构功底足够，根本无需害怕找点，因为研究导数，本来就是循序渐进，没必要一下子很突兀，让人觉得晦涩难懂，ATM 找点，其实就是一种逆向思维来说明，脑海里多装几个函数图像，参变分离瞬间找到最值，一切迎刃而解． 11.极值点偏移12.导数与三角函数综合题目第三部分 数列1.等差数列1）n a 为等差数列n a dn C ⇔=+2122n d d S An Bn,A ,B a ⎛⎫⇔=+==- ⎪⎝⎭；2）()2121n n S n a -=-．2.等比数列1）n a 为等比数列()10n na Aq ,q -⇔=≠()1n n S Aq A,q ⇔=-+≠；2）()111mm nn S q ,q S q -=≠±-．3.求通项方法1）由n S 得n a 或者其递推公式；2）累加累乘法；3）根据递推公式通过变形后换为等差数列或者定比数列． 待定系数法 4）不动点法定义：方程()f x x =的根称为函数()f x 的不动点，利用递推数列递归函数()f x 的不动点，可将某些递推关系()1n n a f a -=所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法为不动点法．P262 4.求和方法1）公式法；()()211216nk n n n k =++=∑，()23112nk n n k =+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑2）裂项相消 秒杀求和()()1111nn n n ⇒++()()()()121212121nn n n ⇒-+-+对任意数列，{}00n S a =⇔不分段{}00n S a =⇔分段由n S 的n a3）并项求和4）错位相减法()1n n n n c a b dn b q -=⋅=+，()n n S A n B q C =⋅++其中()n nS A n B q C =⋅++，其中11d b d A ,B ,C B q q -===--- 6.等差等比综合题目 ① 等差数列{}n a ，公差不为0；② m n p a ,a ,a 成等比数列7.选项分析法（数列通项或者求和的含n 的选择题目）第四部分 直线与圆1.直线1） 到角公式21211k k tan k k -α=+，2） 直线11110l :A x B y C ++=,21110l :A x B y C ++=1212120l l A A B B ⊥⇔+=;1221121221A B A B l l AC A C -=⎧⇔⎨≠⎩∥; 3） 与11110l :A x B y C ++=平行的直线系方程为：()1110A x B y C C C ++=≠，; 与11110l :A x B y C ++=垂直的直线系方程为：110B x A y C -+=;过两直线11110l :A x B y C ++=,21110l :A x B y C ++=交点的直线系方程：()1112220A x B y C +A x B y C =++λ++，不包括21110l :A x B y C ++=这条直线．4）点()x,y 关于直线0Ax By C ++=的对称坐标为：()()222222A Ax By C B Ax By C x ,y A B A B ++++⎛⎫-- ⎪++⎝⎭．秒杀直线斜率为1或者-1的点关于线对称的题目：例题：解析：直接讲已知点(-2,12)的横纵坐标都代入对称直线中，直接可以得对称点的横坐标为81284x y =-=-= ，同理可以8286y x =+=-+=，可得对称点坐标为（4,6）. 2.圆1）根据直径两个端点写圆方程：()()()()12120x x x x y y y y --+--=；2）阿氏圆：阿波罗尼斯圆：在平面上给定两点A,B ，设P 点在同一平面上且满足PAPB=λ,当0λ>且1λ≠时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆． (1λ=时P 点轨迹是线段AB 的中垂线)定长对定角，角的端点的轨迹也是一个圆例如：ABC ∆中，4AB ,=且120C ∠=︒，求动点C 的轨迹.3)圆22xy Dx Ey F ++++，在x 轴上的截距之和为-D ，在y 轴上截距之和为-E,在两轴上截距之积均为F. 4)圆系方程 过两圆2211110C :xy D x E y F ++++=和2222220C :x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为()()222211122210x y D x E y F x y D x E y F ,+++++λ+++=λ≠-+，不包括圆C 1第五部分 圆锥曲线1.仿射变换在解析几何中的应用在解析几何中，圆有很多重要的几何性质，椭圆的标准方程()222210x y a b a b+=>>在形式上接近圆的标准方程222x y r +=，故我们可以通过仿射变换将椭圆变成圆，这样就可以很好地处理与斜率、面积有关的一类问题。