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理工类各专业《线性代数》期末试答案

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西安交通大学城市学院数学建模协会
1
09级理工类线性代数试题A
参考答案及评分标准
一、选择题（每小题3分,共24分）
A、 B、 C 、 D、 A、 B、 A 、C
二、填空题（每小题3分,共18分）

1、-4 2、np 3、 -4 4、5 5、6 6、2

三、计算题（8分)解 3211324-824823592373(1)3731252124124110131000D（4分）

183601836(1)130(1)1813241 （8分）
四、解：由于20A ，所以A可逆
便有 1XAC （3分）


123131231310011
221200250601002343310010200102AC








（8分）

所以1110202XAC （10分）
五、解：记向量组4321,,,对应矩阵为A并化为行阶梯形矩阵为

1234
1223122324130212(,,,)(2)120300130623000026340000A







分

所以向量组4321,,,的秩为3 (5分)
且它的一个最大无关组为：123,,或124,, （7分）
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2
100410102001300000000A














4123
1
432
（10分）

六、解：将方程组的增广矩阵A用初等行变换化为阶梯矩阵：
2
2

112411411242110228018211240134(1)(4)00(4)2kkkkkkkkkkk









A
（4分）

所以，⑴ 当1k且4k时，3rrAA，此时线性方程组有唯一解．
⑵ 当1k时，2Ar，3Ar，此时线性方程组无解．
⑶ 当4k时，2AArr，此时线性方程组有无穷多组解．（8分）
此时，原线性方程组化为 132334xxxx

因此，原线性方程组的通解为 13233334xxxxxx
或者写为
1
2
3

034101xxCx



x
(CR) （12分）

七、解： f的矩阵为 111111bbaA （1分）
由已知条件可得矩阵A的三个特征值分别为1230,1,4
由特征方程0IA即
1110111bba
AI
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3
把120,1代入求出3a=，1b= （6分）
特征值01对应的特征向量单位化为111,0,22Tα
特征值12对应的特征向量单位化为2111,,333Tα
特征值34对应的特征向量单位化为
3

121
,,666T




α
（12分）

因此令： 12311123612,,036111236Pααα
即为所作的正交变换的矩阵 （14分）
八、证明题 （6分）

证明：()fx是一个多项式，∴()fx在 0,1上连续，在(0,1)可导；（2分）

又012113(0)2240,(1)2240324333ff （4分）
由Rolle定理可得：(0,1)，使得()0f （6分）

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线性代数期末考试试题及答案c1

线性代数期末考试试题及答案c1

线性代数期末考试试题及答案c1一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A（）A. 可逆B. 不可逆C. 可逆或不可逆D. 以上都不对答案：B2. 向量α=（1，2，3）和向量β=（1，1，1）是否线性相关？（）A. 是B. 否C. 无法确定D. 以上都不对答案：B3. 对于矩阵A，若A^T表示A的转置矩阵，则下列哪个选项是正确的？（）A. (A^T)^T = AB. (A^T)^T = A^TC. (A^T)^T = A^(-1)D. (A^T)^T = A^2答案：A4. 矩阵A的特征值λ满足（）A. |A - λI| = 0B. |A + λI| = 0C. |A - λI| = 1D. |A + λI| = 1答案：A5. 向量组α1，α2，α3线性无关的充分必要条件是（）A. 由α1，α2，α3构成的矩阵的行列式不为0B. 由α1，α2，α3构成的矩阵的行列式为0C. 由α1，α2，α3构成的矩阵的秩为3D. 由α1，α2，α3构成的矩阵的秩小于3答案：C二、填空题（每题3分，共15分）6. 若矩阵A和B满足AB=0，则矩阵A和B至少有一个是________。

答案：不可逆7. 矩阵A的特征值是特征多项式的________。

答案：根8. 向量α=（1，2，3）和向量β=（4，5，6）的点积为________。

答案：329. 矩阵A的秩是矩阵A中最大________的阶数。

答案：线性无关10. 若向量组α1，α2，α3线性相关，则由它们构成的矩阵的行列式为________。

答案：0三、计算题（每题10分，共30分）11. 计算矩阵A=\(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)的行列式。

答案：\(\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2\)12. 计算向量α=（1，2，3）和向量β=（4，5，6）的叉积。

线性代数期末考试试题及答案

线性代数期末考试试题及答案

线性代数期末考试试题及答案 一、单项选择题（每题3分，共30分） 1. 矩阵A的行列式为0，则A（ ）。 A. 可逆 B. 不可逆 C. 可逆或不可逆 D. 以上都不对

答案：B 2. 向量组α1，α2，…，αn线性无关，则（ ）。 A. 它们中任何一个向量都不能由其余向量线性表示 B. 它们中任何一个向量都能由其余向量线性表示 C. 它们中至少有一个向量能由其余向量线性表示 D. 它们中至多有一个向量能由其余向量线性表示 答案：A 3. 对于n阶方阵A，下列命题不正确的是（ ）。 A. 若A可逆，则|A|≠0 B. 若|A|=0，则A不可逆 C. 若A可逆，则A^T可逆 D. 若A^T可逆，则A可逆

答案：D 4. 矩阵A和B等价的充分必要条件是（ ）。 A. |A|=|B| B. A和B的秩相等 C. A和B的行向量组等价 D. A和B的列向量组等价

答案：B 5. 设A为n阶方阵，若A^2=0，则（ ）。 A. A=0 B. |A|=0 C. A可逆 D. A不可逆

答案：D 6. 设A为3×3矩阵，且|A|=2，则|2A|等于（ ）。 A. 4 B. 8 C. 16 D. 64

答案：C 7. 设A为n阶方阵，若A^T=A，则A称为（ ）。 A. 对称矩阵 B. 正交矩阵 C. 斜对称矩阵 D. 反对称矩阵

答案：A 8. 设A为n阶方阵，若A^TA=E，则A称为（ ）。 A. 对称矩阵 B. 正交矩阵 C. 斜对称矩阵 D. 反对称矩阵

答案：B 9. 设A为n阶方阵，若A^T=-A，则A称为（ ）。 A. 对称矩阵 B. 正交矩阵 C. 斜对称矩阵 D. 反对称矩阵 答案：D 10. 设A为n阶方阵，若A^T=A^-1，则A称为（ ）。 A. 对称矩阵 B. 正交矩阵 C. 斜对称矩阵 D. 反对称矩阵

答案：B 二、填空题（每题4分，共20分） 11. 设矩阵A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}，则|A|=________。

线性代数期末试题及参考答案

线性代数期末试题及参考答案

线性代数期末试题及参考答案一、单项选择题<每小题3分，共15分）1．下列矩阵中，<）不是初等矩阵。

<A ）001010100 (B>100000010 (C>10002001(D>100012012．设向量组123,,线性无关，则下列向量组中线性无关的是<）。

<A ）122331,,<B ）1231,,<C ）1212,,23<D）2323,,23．设A 为n 阶方阵，且250AA E。

则1(2)A E <）(A> A E (B>EA (C>1()3A E (D>1()3A E 4．设A 为n m 矩阵，则有<）。

<A ）若n m，则b Ax 有无穷多解；<B ）若n m，则0Ax 有非零解，且基础解系含有m n个线性无关解向量；<C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax 有唯一解；<D ）若A 有n 阶子式不为零，则0Ax仅有零解。

5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则< ）<A ）A 与B 相似<B ）AB ，但|A-B|=0<C ）A=B<D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B|二、判断题(正确填T ，错误填F 。

每小题2分，共10分>1．A 是n 阶方阵，R ，则有A A。

< ）2．A ，B 是同阶方阵，且0AB ，则111)(A B AB 。

< ）3．如果A 与B 等价，则A 的行向量组与B 的行向量组等价。

( >4．若B A,均为n 阶方阵，则当B A 时，B A,一定不相似。

( >5．n 维向量组4321,,,线性相关，则321,,也线性相关。

< ）三、填空题<每小题4分，共20分）1．0121n n。

2．A 为3阶矩阵，且满足A3,则1A=______，*3A。

线性代数期末考试试题及答案

线性代数期末考试试题及答案

线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若矩阵A是可逆的，则下列哪个选项是正确的？A. A的行列式为0B. A的行列式不为0C. A的逆矩阵不存在D. A的逆矩阵是其转置矩阵答案：B2. 线性方程组有唯一解的充分必要条件是：A. 系数矩阵的行列式为0B. 系数矩阵的行列式不为0C. 增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩D. 增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩答案：B3. 设A是n阶方阵，若A的特征值均为1，则A可能是：A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 任意对角矩阵D. 任意方阵答案：B4. 向量空间中，若两个向量组等价，则它们：A. 包含相同数量的向量B. 包含相同数量的线性无关向量C. 可以相互线性表出D. 具有相同的维数答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A的秩为r，则矩阵A的行向量组和列向量组的最大线性无关组包含的向量数量均为______。

答案：r2. 若向量组α1, α2, ..., αn线性无关，则向量组α1+β,α2+β, ..., αn+β线性相关，其中β为非零向量，这说明向量组α1, α2, ..., αn的线性相关性与向量β的______有关。

答案：选择3. 设A是3×3矩阵，且A的行列式|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式|A^(-1)|等于______。

答案：1/24. 若线性方程组的系数矩阵A和增广矩阵B具有相同的秩，则该线性方程组的解集的维数为n-r，其中n是矩阵A的阶数，r是矩阵A的秩，则该线性方程组的解集的维数为______。

答案：n-r三、解答题（每题15分，共40分）1. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}\]，求矩阵A的特征值和特征向量。

答案：特征值λ1 = 5，对应的特征向量为\[\begin{pmatrix}-2 \\1\end{pmatrix}\]；特征值λ2 = 1，对应的特征向量为\[\begin{pmatrix}1 \\1.5\end{pmatrix}\]。