第2课时 商品利润最大问题1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系． 2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值． 3．能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题．一、情境导入红光旅社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种方式变化下去，每床每日应提高多少元，才能使旅社获得最大利润？二、合作探究探究点一：最大利润问题 【类型一】利用解析式确定获利最大的条件为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展．某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次(即最低档)的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件．生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议．解析：在这个工业生产的实际问题中，随着生产产品档次的变化，所获利润也在不断的变化，于是可建立函数模型；找出题中的数量关系：一天的总利润＝一天生产的产品件数×每件产品的利润；其中，“每件可节约能源消耗2元”的意思是利润增加2元；利用二次函数确定最大利润，再据此提出自己认为合理的建议．解：设该厂生产第x 档的产品一天的总利润为y 元，则有y ＝[10＋2(x －1)][76－4(x －1)]＝－8x 2＋128x ＋640＝－8(x －8)2＋1152.当x ＝8时，y 最大值＝1152.由此可见，并不是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大．建议：若想获得最大利润，应生产第8档次的产品．(其他建议，只要合理即可) 【类型二】利用图象解析式确定最大利润 (2014·福建莆田)某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y 1(元)与销售时间第x 月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y 2(元)与销售时间第x 月满足函数关系式y 2＝mx 2－8mx ＋n ，其变化趋势如图②所示．(1)求y 2的解析式；(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？解：(1)由题意可得，函数y 2的图象经过两点(3，6)，(7，7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －24m ＋n ＝6，49m －56m ＋n ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝638.∴y 2的解析式为y 2＝18x 2－x ＋638(1≤x ≤12)． (2)设y 1＝kx ＋b ，∵函数y 1的图象过两点(4，11)，(8，10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝11，8k ＋b ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝12.∴y 1的解析式为y 1＝－14x ＋12(1≤x ≤12)．设这种水果每千克所获得的利润为w 元．则w ＝y 1－y 2＝(－14x ＋12)－(18x 2－x ＋638)＝－18x 2＋34x ＋338，∴w ＝－18(x －3)2＋214(1≤x ≤12)，∴当x ＝3时，w 取最大值214，∴第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是214元/千克． 三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策.。
第10课时 二次函数实际应用――最大利润【教学目标】1． 理解二次函数在解决实际问题中有重要的应用. 2． 会利用二次函数解决实际问题中的最大值问题.【要点呈现】1． 在解决最大利润问题中能利用二次函数顶点坐标确定利润的最大值，把最大利润问题转化为求函数的顶点坐标问题。
2．会把面积最大值问题转化为讨论函数的取极值问题，在讨论中要注意顶点坐标与自变量取值范围的讨论问题.【新知探究】例1．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。
市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。
已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？变式：某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m （件）与每件的销售价x （元）满足一次函数m ＝162－3x ．（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y （元）与每件的销售价x （元）间的函数关系式； （2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最为合适?最大销售利润为多少?．例2．如图，在矩形ABCD 中，AB =6cm ，BC =12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果P ，Q 两点同时出发，分别到达B ，C 两点后就停止移动．（1）设运动开始后第t 秒钟后，五边形APQCD 的面积为S cm 2，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围．（2）t 为何值时，S 最小?最小值是多少?变式：如图，把一张长10cm ，宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．Q P D C BA（1）要使长方体盒子的底面积为48cm 2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由； （3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．例3．如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米. 现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系. （1） 直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； （2） 求出这条抛物线的函数解析式；（3） 若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？变式：如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2。
21.3 实际问题与一元二次方程之利润问题学案一、学习目标•了解实际问题与一元二次方程之间的关系•掌握利润问题的求解方法•运用一元二次方程解决实际问题二、课前准备•复习一元二次方程的基本概念和性质•准备纸笔和计算器三、导入新知识实际生活中，我们经常会遇到与利润有关的问题。
利润是指企业在生产和销售商品或提供服务过程中获得的盈余。
在数学中，我们可以用一元二次方程来表示和求解此类问题。
四、讲解与练习1. 利润问题的一般形式利润问题通常可以用一元二次方程表示。
一般形式为：\[y = ax^2 + bx + c\]其中，\[x\]表示销售量，\[y\]表示利润，\[a, b, c\]为常数。
2. 求解利润问题的步骤求解利润问题的关键在于确定一元二次方程的参数\[a, b, c\]。
具体步骤如下： 1. 分析问题，确定一元二次方程的形式。
2. 根据已知条件，建立一元二次方程。
3. 将一元二次方程化简为标准形式。
4. 求解一元二次方程，得到\[x\]的值。
5. 根据\[x\]的值，计算利润\[y\]。
3. 示例问题现在我们通过一个实际问题来进行练习。
假设某公司生产一种商品，已知每个商品的销售量\[x\]与利润\[y\]的关系可以用以下一元二次方程表示：\[y = -0.02x^2 + 5x - 20\]求解以下问题： 1. 当销售量为10时，利润是多少？ 2. 当利润为0时，销售量是多少？首先，我们需要将一元二次方程化简为标准形式，这样才容易求解。
通过整理可得：\[y = -0.02x^2 + 5x - 20\]化简为\[y = -0.02(x^2 - 250x + 10000)\]。
然后，我们可以使用以下步骤进行求解。
步骤 1：当销售量为10时，利润是多少？将\[x\]的值代入一元二次方程中，得到\[y = -0.02(10^2 - 250 \cdot 10 + 10000)\]，计算可得\[y = -0.02\cdot 7500 = -150\]。
