九年级数学利润问题解决的教案0.0

人教版数学九年级上册《探究2“成本核算（利润问题）》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册《探究2“成本核算（利润问题）》》这一节主要让学生了解成本核算和利润问题的基本知识。

教材通过实例引入，让学生了解成本、售价、利润等概念，并学会计算利润。

此节内容与生活实际紧密相连，有利于激发学生的学习兴趣。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数和几何基础，对于解决实际问题也有一定的理解。

但在成本核算和利润计算方面，学生可能还比较陌生，因此，在教学过程中，需要通过实例让学生充分理解成本、售价、利润等概念，并掌握计算方法。

三. 教学目标1.让学生了解成本、售价、利润等基本概念，并学会计算利润。

2.培养学生解决实际问题的能力，提高学生的数学应用意识。

3.通过对成本核算和利润问题的学习，培养学生的合作交流能力和思维能力。

四. 教学重难点1.教学重点：成本、售价、利润的概念及计算方法。

2.教学难点：如何运用成本、售价、利润等知识解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，让学生在解决问题的过程中掌握知识。

2.使用实例教学，让学生直观地理解成本、售价、利润等概念。

3.小组讨论，培养学生的合作交流能力。

4.采用启发式教学，引导学生思考和探索，提高学生的思维能力。

六. 教学准备1.准备相关实例，用于讲解成本、售价、利润等概念。

2.准备一些实际问题，用于巩固学生对知识的理解。

3.准备教学PPT，用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实例，引入成本、售价、利润等概念。

例如，假设一件商品的成本是100元，售价是150元，问这件商品的利润是多少？让学生思考并回答。

2.呈现（10分钟）呈现教材中的相关知识点，让学生了解成本、售价、利润等基本概念，并学会计算利润。

同时，通过PPT展示一些实际问题，让学生进一步理解知识。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用成本、售价、利润等知识进行解答。

课题：一元二次方程的应用——利润问题教学目标：1.知识与技能目标（1）以一元二次方程解决的实际问题为载体，使学生初步掌握数学建模的基本方法. （2）通过对一元二次方程应用问题的学习和研究，让学生体验数学建模的过程，从而学会发现、提出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决过程.2.过程与方法目标通过自主探索、合作交流，使学生经历动手实践、展示讲解、探究讨论等活动，发展学生数学思维，培养学生合作学习意识、动手、动脑习惯，激发学生学习热情。

3.情感态度与价值观目标使学生认识到数学与生活紧密相连，数学活动充满着探索与创造，让他们在学习活动中获得成功的体验，建立自信心，从而使学生更加热爱数学、热爱生活.教学重点：列一元二次方程解利润问题应用题.教学难点：发现利润问题中的等量关系，将实际问题提炼成数学问题.关键：建立一元二次方程的数学模型教法：创设情境——引导探究——类比归纳——鼓励创新.学法：自主探索——合作交流——反思归纳——乐于创新.教学过程：一、回顾旧知王慧同学为了锻炼自己社会实践能力，在暑假期间批发一些小玩具在人民广场销售。

一批玩具每件进价是5元，她以8元销售，则每件利润是元。

若她一共批发了20件且全部卖完，则总利润是元。

【设计意图】创设情境，为新授课知识埋下伏笔，同时为解决利润问题做好衔接，借此引导学生探究。

二、探索新知例1、新华商场销售某种冰箱，每台进价为2500元。

市场调研表明：当售价2900元时，平均每天能售出8台；而当售价每降低50元时，平均每天能多售出4台。

商场要想使这种冰箱的销售利润每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？思考：1）分析：本题的主要等量关系是：（2）若设每台冰箱的定价为x元，则降了元，降了个50元，多卖了台，实际卖台，降价后每台的利润是元。

（3）根据上表的分析及等量关系，列方程解答：解：设每台冰箱的定价为x元，则：（x﹣2500）×【8+4×（2900-x）÷50】=5000（4）就刚才分析销售量与有直接关系。

初中数学利润题型教案1. 让学生掌握利润的基本概念，了解利润的计算方法。

2. 培养学生解决实际问题能力，能够将生活中的利润问题转化为数学问题。

3. 培养学生运用二次函数解决利润问题的能力。

二、教学内容1. 利润的基本概念：利润是指收入减去成本后的剩余部分。

2. 利润的计算方法：利润 = 收入 - 成本。

3. 二次函数在利润问题中的应用：通过二次函数模型，分析销售单价、销售量与利润之间的关系。

三、教学过程1. 导入：以商品销售为例，引导学生思考利润的概念和计算方法。

2. 新课讲解：介绍利润的基本概念和计算方法，让学生理解收入、成本和利润之间的关系。

3. 实例分析：以某商品销售为例，引导学生运用二次函数模型分析销售单价、销售量与利润之间的关系。

4. 练习巩固：布置一些简单的利润问题，让学生独立解决，巩固所学知识。

5. 拓展提高：引导学生思考如何优化销售策略，提高利润。

6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调利润的概念和计算方法，以及二次函数在利润问题中的应用。

四、教学方法1. 讲授法：讲解利润的基本概念、计算方法和二次函数模型。

2. 案例分析法：分析实际销售案例，引导学生运用二次函数解决利润问题。

3. 练习法：布置练习题，让学生巩固所学知识。

4. 讨论法：引导学生分组讨论，分享解题心得。

五、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和提问情况，了解学生的学习积极性。

2. 练习完成情况：检查学生完成的练习题，评估学生的掌握程度。

3. 课后反馈：收集学生的课后反馈，了解学生的学习效果。

六、教学资源1. PPT课件：展示利润的基本概念、计算方法和二次函数模型。

2. 练习题：提供一些实际的利润问题，让学生练习。

3. 教学案例：提供一些真实的销售案例，让学生分析。

七、教学建议1. 注重引导学生理解利润的概念和计算方法，强调收入、成本和利润之间的关系。

2. 培养学生运用二次函数解决利润问题的能力，引导学生关注销售策略的优化。

初中利润最大化的问题教案一、教学目标1. 让学生理解利润的概念，掌握利润的计算方法。

2. 让学生了解影响利润的因素，学会分析问题，提出解决方案。

3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的综合素质。

二、教学内容1. 利润的概念及计算方法2. 影响利润的因素3. 利润最大化问题的解决方法三、教学过程1. 导入：通过一个生活中的实例，如某商店进购一批商品，售价与成本之间的关系，引发学生对利润问题的思考。

2. 新课导入：介绍利润的概念，讲解利润的计算方法，如：利润 = 收入 - 成本。

3. 案例分析：分析影响利润的因素，如：售价、成本、销售量等。

引导学生运用数学知识分析问题，提出解决方案。

4. 利润最大化问题探究：让学生分组讨论，每组选取一个实例，运用所学知识解决利润最大化问题。

5. 成果展示：各组汇报讨论成果，分享解题过程和心得体会。

6. 总结提升：教师点评各组表现，总结影响利润的因素，强调数学知识在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 讲授法：讲解利润的概念、计算方法和影响利润的因素。

2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用数学知识解决问题。

3. 分组讨论法：分组探讨利润最大化问题，培养学生的合作意识。

4. 成果展示法：汇报讨论成果，提高学生的表达能力和思维能力。

五、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言、提问和讨论情况，评价学生的参与度。

2. 小组讨论：评价学生在分组讨论中的表现，如合作意识、解决问题能力等。

3. 成果展示：评价学生在汇报讨论成果时的表达能力和思维能力。

4. 课后作业：布置相关作业，检验学生对利润最大化问题的理解和掌握程度。

六、教学资源1. PPT课件：展示利润的概念、计算方法和影响利润的因素。

2. 案例素材：提供生活中实际的利润问题，供学生分析讨论。

3. 作业习题：布置课后作业，巩固所学知识。

七、教学建议1. 注重理论与实际相结合，让学生体会数学知识在生活中的应用。

教师姓名孙洋单位名称霍尔果斯市国门初级中学填写时间2020年8月26日学科数学年级/册九年级上册教材版本人教版课题名称21．3列一元二次方程解决利润问题难点名称发现利润问题中的等量关系，将实际问题提炼成数学问题，建立一元二次方程的数学模型。

难点分析从知识角度分析为什么难根据题意找出利润问题中蕴涵的基本等量关系，再根据等量关系列出一元二次方程，难度都比较大。

难点教学方法从简单问题入手，由浅入深，循序渐进研究，通过自主探索、合作交流，使学生经历动手实践、展示讲解、探究讨论等活动，发展学生数学思维，使其逐步掌握利润问题的基本等量关系，从而建立一元二次方程数学模型解决此类问题。

教学环节教学过程导入生活中，我们常常会遇到销售问题，你知道销售问题中涉及到哪些数量？它们之间有怎样的数量关系？知识讲解（难点突破）一．探索规律。

活动1. 某商品每件进价10元，售价15元，可得利润（ ）元（1）若涨价1元，则售价（ ）元，利润（ ）元（2）若涨价2元，则售价（ ）元，利润（ ）元（3）若涨价X元，则售价（ ）元，利润（ ）元（4）若降价1元，则售价（ ）元，利润（ ）元（5）若降价2元，则售价（ ）元，利润（ ）元（6）若降价X元，则售价（ ）元，利润（ ）元归纳：一件商品的利润= （ ） － （ ）设计意图：通过这次活动，让学生归纳出：一件商品的利润=售价-成本活动2. 某商品原来每天可销售100件，后来市场调查发现，该商品每降价1 元，商场平均每天可多销售2件。

（1）如果降价2元，则多卖（ ）件，每天销售量为（ ）件（2）如果降价3元，则多卖（ ）件，每天销售量为（ ）件（3）如果降价x元，则多卖（ ）件，每天销售量为（ ）件市场调查发现，该商品每涨价2元，商场平均每天可少销售6件。

（1）如果涨价4元，则少卖（ ）件，每天销售量为（ ）件（2）如果涨价6元，则少卖（ ）件，每天销售量为（ ）件（3）如果涨价x元，则少卖（ ）件，每天销售量为（ ）件设计意图：通过这次活动，让学生归纳出：价格调整后商品的销售量=原销售量+变化的量活动3.（1）某件商品进价30元，售价为40元，共卖出100件，总共盈利 （ ）元（2）某件商品进 价a元，售价为b元，共卖出m件，总共盈利（ ）元设计意图：通过这次活动，让学生归纳出：总利润=单件利润 × 销售量总利润=（售价-成本） × 销售量，利润类问题建模完成二. 小试牛刀引例.某商场从厂家以每件21元的价格购进一批商品，若每件的售价为a元，则可卖出（350—10a）件，商场计划要赚450元，则每件商品的售价为多少元？根据： 总利润=单件利润 ×销售量分析：可列方程为：设计意图：通过这次活动，让学生初次感受利润类问题的解题模式。

探究2“成本核算（利润问题）-人教版九年级数学上册教案教学目标1.了解成本核算的定义和作用。

2.掌握计算成本和利润的方法。

3.能够应用成本核算相关知识解决实际问题。

教学重点1.成本核算的定义和作用。

2.计算成本和利润的方法。

教学难点1.应用成本核算相关知识解决实际问题。

教学方法1.讲授法：通过PPT展示成本核算的定义和作用，讲解计算成本和利润的方法。

2.讨论法：通过课堂讨论和案例分析，引导学生应用成本核算相关知识解决实际问题。

教学内容1. 成本核算的定义和作用成本核算是指为了计算企业生产或经营过程中所发生的全部直接费用和间接费用，以确定制造或商品的总成本，为企业经营管理和决策提供准确质量可靠的数值资料，以便于及时分析和比较各类经济效果。

其作用主要有：1.对企业生产、经营过程进行全面掌握。

2.对企业经营决策提供依据。

3.对企业利润和成本进行核算，掌握企业经济效益。

2. 计算成本和利润的方法在成本核算中，计算成本和利润是必不可少的内容。

计算成本可以采用以下几种方法：1.总成本法：计算生产或销售一定数量的产品或商品，全部所需的直接费用和间接费用的总和，即为总成本。

2.单位成本法：计算生产或销售单位产品或商品所需的直接费用和间接费用之和，即为单位成本。

利润计算可以采用以下几种方法：1.利润总额法：销售收入减去销售成本，即为利润总额。

2.利润率法：利润总额除以销售收入，即为利润率。

3. 应用成本核算相关知识解决实际问题在实际问题中，应用成本核算相关知识可以解决很多经济管理方面的问题。

下面通过一个案例来介绍如何应用成本核算相关知识解决实际问题。

【案例】某厂家生产一种产品，每单位售价为35元，每单位直接费用为20元，每单位间接费用为5元。

如果该产品销售1000单位，总成本和利润分别是多少？解：根据上述数据，可以得到每单位产品的总成本为：每单位总成本 = 直接费用 + 间接费用= 20 + 5= 25元因此，该产品的总成本为：总成本 = 1000 × 25= 25000元利润可以采用利润总额法进行计算，即：利润总额 = 销售收入 - 销售成本= 1000 × 35 - 25000= 10000元因此，该产品的利润为10000元。

班级：______姓名：___________ 年级九年级科目数学课型实践与探索课时 1 主备主讲课题应用一元二次方程解决利润问题教研组长签字教学副校长签字一、教学目标1、能利用一元二次方程解决销售问题；2、学生根据生活经验，了解销售问题中各基本量之间的关系，经历具体销售问题中等量关系列一元二次方程的过程，积累利用一元二次方程解决利润问题的经验，经历建模的过程，培养学生的方程思想，模型思想以及数学抽象能力。

3、在数学学习过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

二、教学过程知识预备请你举例说明利润问题中进价(或成本价)、售价、利润、打折的意义，并理解它们各个量之间的关系。

销售总利润= =自主探究某商店准备进一批季节性小家电，单价为40元，经市场预测，销售价定为52元时，可售出180个;定价每增加1元，销售量将减少10个。

商店若准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少？分析1：题目当中进价是元，销售价是元，当销售价在的基础上每增加1元，销售量在的基础上减少10个。

当定价增加x元，定价为__________元，每件利润为______________元；调价后比原来少销售______________个，销售量为____________________个，调价后获利_______________________。

列出方程为：________________________________。

分析2：若设调价后定价为x元，则：每件利润为____________元；调价后比原来少销售_________________，销售量为____________________，调价后获利____________________,列出方程为：______________________________________。

单件进价单件售价单件利润销售量总利润涨价前涨价后单件进价单件售价单件利润销售量总利润涨价前涨价后应用练习某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。

九年级数学导学案班级姓名使用日期：201809 九年级数学导学案设计人：贲知云二次函数的应用二(利润问题)1．会根据实际问题构建函数模型，把实际问题中的变量关系表示成二次函数关系；2．会运用二次函数的知识解决实际问题中的利润问题．【预习案】某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可多售出20千克．（1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；（2）若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？【探究案】探究一某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y＝−x＋60（30≤x≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数解析式；（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？探究二某超市销售樱桃,已知樱桃的进价为15元/千克,如果售价为20元/千克,那么每天可售出250千克,如果售价为25元/千克,那么每天可获利2000元,经调查发现:每天的销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间存在一次函数关系.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)若樱桃的售价不得高于28元/千克,请问售价定为多少时,该超市每天销售樱桃所获的利润最大?最大利润是多少元?探究三鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售量为y个．（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？【训练案】受国内外复杂多变的经济环境影响，去年1至7月，原材料价格一路攀升，海安县某服y2（元）与月份x的函数关系式为y2=x+62（8≤x≤12，且x为整数）．（1）请观察表格中的数据，用学过的函数相关知识求y1与x的函数关系式．（2）若去年该衣服每件的出厂价为100元，生产每件衣服的其他成本为8元，该衣服在1至7月的销售量p1（万件）与月份x满足关系式p1=0.1x+1.1（1≤x≤7，且x为整数）；8至12月的销售量p2（万件）与月份x满足关系式p2=﹣0.1x+3（8≤x≤12，且x为整数），该厂去年哪个月利润最大？并求出最大利润．。

《中考数学疑难问题---利润问题》教学设计一、疑难点分析二次函数是初等函数中的重要函数，在解决各类数学问题和实际问题中有着广泛的应用，是中考的热点之一。

学习二次函数，对于学生数形结合、函数方程等重要数学思想方法的培养，对扩宽学生解题思路、发展智力、培养能力具有十分重要意义。

本节课把一元二次方程和二次函数紧密联系在一起，并在自变量的取值范围内，根据函数的单调性求 y 的最大值。

让学生体会数学建模思想和数形结合的方法解决实际问题。

二、学情分析学生的知识技能基础：学生已经掌握了一元二次方程解决实际问题，二次函数的图像与性质，能用性质解决简单的实际问题。

学生的活动经验基础：学生对简单的利润问题能够解决，较复杂的问题无法入手，急需要对利润问题有个突破。

三、教学目标1．知识与能力：能正确列出函数关系，知道最大值就是顶点的纵坐标；根据题意会用二次函数顶点坐标及非顶点求出实际问题中的最大利润；2.过程与方法：经历从实际问题中建立函数模型，并应用二次函数的性质解决实际问题的过程，体会数学来源于生活，服务于生活的本质，探索并解决不同情况之下的最大值问题，进而提高学生分析问题、解决问题的能力；3.情感、态度与价值观培养学生认真参与、积极交流意识和乐于探索、勇于创新的科学精神。

让学生体验数学活动中充满着探索和创造，增强学好数学的信心。

四、重难点教学重点：能正确列出函数关系，知道最大值就是顶点的纵坐标；教学难点：根据题意会用二次函数顶点坐标及非顶点坐标，在自变量的定义域内根据函数的单调性求实际问题中的最大利润；七、教学反思①[授课流程反思]本节课紧密的把一元二次方程和二次函数联系起来，通过一个一元二次方程的实际问题派生出二次函数问题，在二次函数的背景下，结合实际生活派生出在自变量X 的取值范围内，根据函数的单调性及数形结合求函数的最大值，体现数学的建模思想.本节课采用“研学后教”和“生态课堂”的教学模式，充分发挥学生的积极性，针对难题采用合作探究、小组讨论的方式，效果较好。

初中数学利润教案一、教学目标：1. 让学生理解利润的概念，掌握利润的计算方法。

2. 培养学生解决实际问题的能力，提高学生对数学的应用意识。

3. 培养学生合作学习、积极探究的学习态度。

二、教学内容：1. 利润的概念：利润是指企业在一定时期内的经营成果，是收入与成本的差额。

2. 利润的计算方法：利润 = 收入 - 成本。

3. 利润率的概念：利润率是指利润与收入的比率，用来衡量企业的盈利能力。

利润率 = (利润 / 收入) × 100%。

三、教学过程：1. 导入：通过一个实际案例，如某商场举行打折活动，让学生思考打折后的盈利情况，引出利润的概念。

2. 新课导入：介绍利润的概念和计算方法，让学生理解收入与成本的关系。

3. 实例分析：给出几个实例，让学生计算实例中的利润，巩固利润的计算方法。

4. 利润率的概念：介绍利润率的概念和计算方法，让学生理解企业的盈利能力。

5. 实例分析：给出几个实例，让学生计算实例中的利润率，巩固利润率的计算方法。

6. 练习：布置一些有关利润和利润率的练习题，让学生独立完成，检验学习效果。

7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调利润和利润率的概念及计算方法。

8. 拓展：引导学生思考如何提高企业的盈利能力，激发学生的创新意识。

四、教学方法：1. 采用案例教学法，让学生在实际案例中感受利润和利润率的概念。

2. 采用小组合作学习法，让学生通过合作解决问题，培养学生的团队精神。

3. 采用练习法，让学生在练习中巩固所学知识，提高解题能力。

4. 采用启发式教学法，引导学生思考问题，激发学生的学习兴趣。

五、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

2. 练习完成情况：检查学生练习题的完成情况，评估学生的掌握程度。

3. 课后反馈：收集学生的课后反馈，了解学生的学习感受，为改进教学提供依据。

六、教学资源：1. 教材：选用符合新课程标准的数学教材。

第2课时列一元二次方程解决利润问题1．通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决利润问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程．2．经历分析和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型．3．能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．重点列一元二次方程解决利润问题．难点寻找实际问题中的等量关系．一、复习导入1．列方程解决实际问题的一般步骤是什么？审：审清题意，已知什么，求什么，已知与未知之间有什么关系；设：设未知数，语句要完整，有单位(统一)的要注明单位；列：找出等量关系，列方程；解：解所列的方程；验：是否是所列方程的根；是否符合题意；答：答案也必需是完整的语句，注明单位且要贴近生活．2．列方程解决实际问题的关键是什么？3．请同学们回忆并回答与利润相关的知识？进价：有时也称成本价，是商家进货时的价格；标价：商家在出售时，标注的价格；售价：消费者购买时真正花的钱数；利润：商品出售后，商家所赚的部分；打折：商家为了促销所采用的一种销售手段，打折就是以标价为基础，按一定比例降价出售．二、探究新知课件出示：(1)新华商场销售某种冰箱，每台进价为2 500元，销售价为2 900元，那么卖一台冰箱商场能赚多少钱？(2)新华商场销售某种冰箱，每台进价为2 500元．调查发现：当销售价为 2 900元时，平均每天能售出8台；那么商场平均每天能赚多少钱？(3)新华商场销售某种冰箱，每台进价为2 500元．调查发现：当销售价为 2 900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5 000元，每台冰箱的定价应为多少元？(本题在教材的基础上做了改动，降低难度)分析：本例中涉及的数量关系较多，学生在思考时可能会有一定的难度．所以，教学时采用列表的形式分析其中的数量关系．本题的主要等量关系：每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量＝5 000元．如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价应为(29－x)元．每天的销售量/台每台的销售利润/元总销售利润/元降价前降价后填完上表后，就可以列出一个方程，进而解决问题了．当然，解题思路不应拘泥于这一种，在利用上述方法解完此题后，可以鼓励学生自主探索，找寻其他解题的思路和方法．如求定价为多少，直接设每台冰箱的定价应为x元，应如何解决？三、举例分析例某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月10 000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应购进台灯多少个？请你利用方程解决这一问题．解：设这种台灯的售价应定为x元．根据题意得[600－10(x－40)](x－30)＝10 000.解这个方程得x1＝50，x2＝80(舍去)．600－10(x－40)＝600－10×(50－40)＝500(个)．答：台灯的售价应定为50元，这时应购进台灯500个．四、练习巩固1．教材第55页“随堂练习”．2．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经试销发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1 200元，每件衬衫应降价多少元？五、小结通过这两节课的学习，你能简要说明利用方程解决实际问题的关键和步骤吗？有哪些收获？解决实际问题的关键：寻找等量关系．步骤：①整体地、系统地审清问题；②寻找问题中的“等量关系”；③正确求解方程并检验根的合理性．六、课外作业教材第55页习题2.10第1～4题．设未知数(未知量成了已知量)，带着未知量去“翻译”题目中的有关信息，然后将这些含有的量表示成等量关系，就是实际问题的解题策略．无论是例题的分析还是练习的分析，尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题、解决问题的独到见解以及思维的误区，以便指导今后的教学．课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度．检测内容：第1章得分________ 卷后分________ 评价________一、选择题(每小题3分，共24分)1．下列函数中，不是反比例函数的是(C)A ．y ＝5xB ．y ＝－m 5x (m≠0)C ．y ＝x －17 D ．y ＝－52x2．若反比例函数y ＝kx(k≠0)的图象过点(2，1)，则这个函数的图象一定过点(D)A ．(2，－1)B ．(1，－2)C ．(－2，1)D ．(－2，－1)3．已知反比例函数y ＝kx的图象经过点P(－1，2)，则这个函数的图象位于(D)A ．第二、三象限B ．第一、三象限C ．第三、四象限D ．第二、四象限4．已知反比例函数y ＝1x，下列结论错误的是(B)A ．图象经过点(1，1)B ．当x ＜0时，y 随着x 的增大而增大C ．当x ＞1时，0＜y ＜1D ．图象在第一、三象限5．如图，一张正方形的纸片剪去两个一样的小长方形，得到一个“E ”图案，设小长方形的长和宽分别为x ，y ，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y 与x 的函数图象是( A )第5题图 第6题图 第7题图 第8题图6．(怀化中考)已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象如图，那么正比例函数y ＝kx 和反比例函数y ＝b x在同一坐标系中的图象大致是(C )7．如图，正比例函数y 1＝k 1x 和反比例函数y 2＝k 2x的图象交于A (1，2)，B 两点，给出下列结论：①k 1＜k 2；②当x ＜－1时，y 1＜y 2；③当y 1＞y 2时，x ＞1；④当x ＜0时，y 2随x 的增大而减小．其中正确的有(C )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．(2019·岳麓区三模)如图，点A ，B 在双曲线y ＝3x (x >0)上，点C 在双曲线y ＝1x(x >0)上，若AC ∥y 轴，BC ∥x 轴，且AC ＝BC ，则AB 的长为(B )A ． 2B ．2 2C ．4D ．3 2 二、填空题(每小题3分，共24分)9．请写出一个过点(1，1)，且与x 轴无交点的函数解析式：y ＝1x．10．点P (2m －3，1)在反比例函数y ＝1x的图象上，则m ＝__2__．11．汽车油箱中有油50升，已知汽车的油耗是a (升/百千米)，行驶的路程为s (百千米)，那么s 与a 的函数关系式是__s ＝50a__．12．已知函数y ＝(m －2)x 3－m 2是反比例函数，则m 的值为__－2__．13．如图，一次函数y 1＝k 1x ＋b (k 1≠0)的图象与反比例函数y 2＝k 2x(k 2≠0)的图象交于A ，B 两点，观察图象，当y 1＞y 2时，x 的取值范围是__－1＜x ＜0或x ＞2__．第13题图第14题图第15题图第16题图14．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P (kPa)是气体体积V (m 3)的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于150 kPa 时，气球将爆炸．为了保证安全，气球的体积应不小于__0.64__m 3.15．如图，函数y ＝1x 和y ＝－3x的图象分别是l 1和l 2.设点P 在l 1上，PC ⊥x 轴，垂足为C ，交l 2于点A ，PD ⊥y 轴，垂足为D ，交l 2于点B ，则三角形PAB 的面积为__8__．16．(2019•福建)如图，菱形ABCD 的顶点A 在函数y ＝3x (x ＞0)的图象上，函数y ＝kx(k ＞3，x ＞0)的图象关于直线AC 对称，且经过点B ，D 两点，若AB ＝2，∠BAD ＝30°，则k ＝6＋23 .三、解答题(共72分) 17．(8分)已知反比例函数y ＝k －1x(k 为常数，k ≠1). (1)若点A (1，2)在这个函数的图象上，求k 的值；(2)若在这个函数图象的每一分支上，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围． 解：(1)根据题意得k －1＝1×2，解得k ＝3；(2)由题意得k －1＞0，解得k ＞1.18．(8分)小红家在七月初用购电卡买了1 000度电，设这些电够使用的天数为y ，小红家平均每天的用电度数为x .(1)求y 关于x 的函数表达式；(2)若她家平均每天用电8度，则这些电可以用多长时间？解：(1)根据题意可得x ·y ＝1 000，即y ＝1 000x (x ＞0)；(2)当x ＝8时，y ＝1 0008＝125，故这些电可以用125天．19．(8分)如图是反比例函数y ＝5－2mx的图象的一支．(1)根据图象画出反比例函数图象的另一支，并确定常数m 的取值范围；(2)若点A (m －3，b 1)和点B (m －4，b 2)是该反比例函数图象上的两点，请判断点A ，B 所在象限及b 1与b 2的大小，并说明判断理由．解：(1)∵反比例函数y ＝5－2mx的图象的一支在第一象限，∴5－2m ＞0，解得m ＜52.∵反比例函数的图象关于原点对称，据此可画出图象的另一支，图略；(2)点A ，B 在第三象限，b 1＜b 2.理由如下：由(1)知m ＜52 ，∴m －3＜－12 ，m －4＜－32 ，∴点A (m －3，b 1)和点B (m －4，b 2)都在第三象限的分支上．∵在第三象限内，y 随x 的增大而减小，且m －3＞m －4，∴b 1＜b 2.20．(9分)在平面直角坐标系中，一次函数y ＝－x ＋b 的图象与反比例函数y ＝k x(k ≠0)的图象交于A 、B 点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为(－2，3).(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)如图，若将点C 沿y 轴向上平移4个单位长度至点F ，连接AF 、BF ，求△ABF 的面积．解：(1)把(－2，3)分别代入y ＝－x ＋b ，与y ＝k x 中，有3＝2＋b ，k－2 ＝3，解得b＝1，k ＝－6，∴一次函数的解析式为y ＝－x ＋1，反比例函数的解析式为y ＝－6x；(2)一次函数的解析式为y ＝－x ＋1，当x ＝0时，y ＝1，∴C (0，1)，若将点C 向上平移4个单位长度得到点F ，则CF ＝4.∵一次函数y ＝－x ＋b 的图象与反比例函数y ＝k x(k ≠0)的图象交于A 、B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1，y ＝－6x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3， ∴B (3，－2)，A (－2，3)，∴S △ABF ＝12×4×(2＋3)＝10.21．(9分)已知y ＝y 1＋y 2，y 1与x 2成正比例，y 2与x 成反比例，且x ＝1时，y ＝3；x ＝－1时，y ＝1.求x ＝－12时，y 的值．解：设y 1＝k 1x 2(k 1≠0)，y 2＝k 2x (k 2≠0)，∴y ＝k 1x 2＋k 2x .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＋k 2＝3，k 1－k 2＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝2，k 2＝1.∴y ＝2x 2＋1x ，当x ＝－12 时，y ＝－32 .22．(9分)(2019·襄阳)如图，已知一次函数y 1＝kx ＋b 与反比例函数y 2＝m x的图象在第一、第三象限分别交于A (3，4)，B (a ，－2)两点，直线AB 与y 轴，x 轴分别交于C ，D两点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)比较大小：AD __＝__BC (填“＞”或“＜”或“＝”)； (3)直接写出y 1＜y 2时，x 的取值范围．解：(1)把A (3，4)代入反比例函数y 2＝m x，解得m ＝12，∴反比例函数的解析式为y 2＝12x ；∵B (a ，－2)点在反比例函数y 2＝mx的图象上，∴－2a ＝12，解得a ＝－6，∴B (－6，－2)，∵一次函数y 1＝kx ＋b 的图象经过A (3，4)，B (－6，－2)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝4，－6k ＋b ＝－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝23，b ＝2，∴一次函数的解析式为y 1＝23 x ＋2；(2)由一次函数的解析式为y 1＝23 x ＋2可知C (0，2)，D (－3，0)，∴AD ＝（3＋3）2＋42＝213 ，BC ＝62＋（－2－2）2＝213 ，∴AD ＝BC ； (3)由图象可知：y 1＜y 2时x 的取值范围是x ＜－6或0＜x ＜3.23．(10分)我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18 ℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y (℃)随时间x (小时)变化的函数图象，其中BC 段是双曲线y ＝k x的一部分．请根据图中信息解答下列问题：(1)恒温系统在这天保持大棚内温度为18 ℃的时间有多少小时？ (2)求k 的值；(3)当x ＝16时，大棚内的温度约为多少摄氏度？解：(1)恒温系统在这天保持大棚温度为18 ℃的时间为12－2＝10(小时)；(2)∵点B (12，18)在双曲线y ＝k x 上，∴18＝k 12 ，解得k ＝216；(3)由(2)得y ＝216x，∴当x ＝16时，大棚内的温度为21616＝13.5 (℃).24．(11分)(镇江中考)六·一儿童节，小文到公园游玩．看到公园的一段人行弯道MN (不计宽度)，如图，它与两面互相垂直的围墙OP ，OQ 之间有一块空地MPOQN (MP ⊥OP ，NQ ⊥OQ )，他发现弯道MN 上任一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相等，比如：A ，B ，C 是弯道MN 上的三点，矩形ADOG ，矩形BEOH ，矩形CFOI 的面积相等．爱好数学的他建立了平面直角坐标系(如图)，图中三块阴影部分的面积分别记为S 1，S 2，S 3，并测得S 2＝6(单位：平方米).OG ＝GH ＝HI .(1)求S 1和S 3的值；(2)设T (x ，y )是弯道MN 上的任一点，写出y 关于x 的函数表达式；(3)公园准备对区域MPOQN 内部进行绿化改造，在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木(区域边界上的点除外)，已知MP ＝2米，NQ ＝3米．问一共能种植多少棵花木？解：(1)∵矩形ADOG 、矩形BEOH 、矩形CFOI 的面积相等，∴弯道为反比例函数图象的一部分．设函数表达式为y ＝k x (k ≠0)，OG ＝GH ＝HI ＝a ，则AG ＝k a ，BH ＝k 2a ，CI ＝k3a，所以S 2＝k 2a ·a －k 3a ·a ＝6，解得k ＝36，所以S 1＝k a ·a －k 2a ·a ＝12 k ＝12 ×36＝18，S 3＝k 3a ·a ＝13 k ＝13 ×36＝12；(2)∵k ＝36，∴弯道函数表达式为y ＝36x.∵T (x ，y )是弯道MN 上的任一点，∴y ＝36x ；(3)∵MP ＝2米，NQ ＝3米，∴GM ＝362 ＝18，36OQ＝3，解得OQ ＝12.∵在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木(区域边界上的点除外)，∴x ＝2时，y ＝18，可以种8棵，x ＝4时，y ＝9，可以种4棵，x ＝6时，y ＝6，可以种2棵，x ＝8时，y ＝4.5，可以种2棵，x ＝10时，y ＝3.6，可以种1棵．故一共能种植17棵花木．第24章 解直角三角形检测题（本检测题满分:120分，时间：120分钟）一、选择题（每小题2分，共24分） 1.计算：A. B.232+ C.23 D.231+2.在直角三角形ABC 中，已知90C ∠=︒，40A ∠=︒，3BC =，则AC =( )A.3sin 40︒B.3sin 50︒C.3tan 40︒D.3tan 50︒3.（2013·浙江温州中考）如图，在ABC △中，90,5,3,∠C AB BC =︒==则sin A 的值是（ ）A.34 B.34C.35D.454.如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，CA 是∠BCD 的平分线，且AB ⊥AC ，AB =4，AD =6，则tan B =( )A.2B.2C.D.5.如图，Rt△ABC 中，9,6,AB BC B ==∠=90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ）A.53B.52C.4D.56.在△ABC 中，若三边BC ，CA ，AB 满足 BC ∶CA ∶AB =5∶12∶13，则cos B =（ ） A.125 B.512 C.135 D.13127.已知AD BC ∥，AB AD ⊥，点E ,点F 分别在射线AD ，射线BC 上，若点E 与点B 关于AC 对称，点E 与点F 关于BD 对称，AC 与BD 相交于点G ，则（ ） A.1tan 2ADB +∠= B.25BC CF = C.22AEB DEF ∠+︒=∠ D.4cos 6AGB ∠=第3题图第8题图第5题图第7题图8.河堤横断面如图所示，堤高BC =6 m ，迎水坡AB 的坡比为1∶，则AB 的长为（ ）A.12 mB.4 mC.5 mD.6 m9.如图，一个小球由地面沿着坡度12∶i =的坡面向上前进了10 m ，此时小球距离地面的高度为( )A.5 mB.25 mC.45 mD.310 m 10.如图，在菱形ABCD 中，⊥DE AB ，3cos 5A =，2BE =，则tan ∠DBE 的值是( ) A ．12 B ．2 C ．52 D ．5511.已知直角三角形两直角边长之和为7，面积为6，则斜边长为（ ）A. 5B.C. 7D.12.如图，已知：45°＜∠A ＜90°，则下列各式成立的是( )A.sin cos A A =B.sin cos A >AC.sin tan A >AD.sin cos A <A二、填空题（每小题3分，共18分）13.比较大小：8cos 31︒ 35.（填“＞”“=”或“＜”） 14.如图，在△ABC 中，∠BAC =30°，AB =AC ，AD 是BC 边上的中线，∠ACE =12∠BAC ,CE 交AB 于点E ，交AD 于点F ，若BC =2,则EF 的长为 .15.如图，小兰想测量南塔的高度，她在A 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m 至B 处，测得仰角为60°，那么塔高约为 _________ m.（小兰身高忽略不计，31732.≈）第9题图A B C第12题图AABC第14题图16.已知等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于________ ．17.图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________. 18.在△ABC 中，∠90°，AB =2BC ，现给出下列结论：①sin A =32；②cos B =12；③tan A =33；④tan B =3，其中正确的结论是 .（只需填上正确结论的序号）三、解答题（共78分） 19.（8分）计算下列各题：(1)()42460sin 45cos 22+- ；（2）2330tan 3)2(0-+--.20.(8分)如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =10，sin A =25，求BC 的长和tan B 的值.第20题图 第21题图21.（10分）如图，在一笔直的海岸线l 上有A ，B 两个观测站，A 在B 的正东方向，AB =2（单位：km ）.有一艘小船在点P 处，从A 测得小船在北偏西60°的方向，从B 测得小船在北偏东45°的方向.（1）求点P 到海岸线l 的距离；（2）小船从点P 处沿射线AP 的方向航行一段时间后，到达点C 处，此时，从B 测得小船在北偏西15°的方向.求点C 与点B 之间的距离.（上述2小题的结果都保留根号） 22.（10分）如图，为了测量某建筑物CD 的高度，先在地面上用测角仪自A 处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100 m ，此时自B 处测得建筑物顶部的仰角是45°.已知测角仪的高度是1.5 m ，请你计算出该建筑物的高度．（取3≈1.732，结果精确到1 m ）23.（8分）如图，在梯形ABCD 中，∥AD BC ，AB CD AD ==，⊥BD CD ． （1）求sin ∠DBC 的值；（2）若BC 长度为4cm ，求梯形ABCD 的面积．24.（10分）如图，在一次数学课外实践活动中，小文在点C 处测得树的顶端A 的仰角为37°，BC =20 m ，求树的高度AB .（参考数据：sin 370.60≈ ，cos 370.80≈ ，tan 370.75≈ ）25.（10分）如图，在小山的东侧A 处有一热气球，以每分钟30m 的速度沿着仰角为60°的方向上升，20 min 后升到B 处，这时热气球上的人发现在A 的正西方向俯角为45°的C 处有一着火点，求热气球的升空点A 与着火点C 的距离（结果保留根号）. 26.（14分）（2014·福州中考）如图（1），点O 在线段AB 上，AO =2，OB =1，OC 为射线，且∠BOC =60︒，动点P 以每秒2个单位长度的速度从点O 出发，沿射线OC 做匀速运动，设运动时间为t 秒.（1）当t =12秒时，则OP = ，S △ABP = ；（2）当△ABP 是直角三角形时，求t 的值；（3）如图（2），当AP =AB 时，过点A 作AQ ∥BP ，并使得∠QOP =∠B ，求证：AQ ·BP =3.第26题图BC A东 西 45°60°第25题图 第24题图第24章 解直角三角形检测题参考答案1.C 解析：2.D 解析：在Rt ABC △中，∵ 90C ∠=︒，40A ∠=︒，∴ 50B =︒∠，∴ tan tan 50ACB BC =︒=，∴ tan 503tan 50AC BC =︒=︒.3.C 解析：3sin 5BC A AB == .4.B 解析：如图，过点D 作DE ∥AB 交BC 于点E ，则四边形ABED 是平行四边形， ∴ BE =AD =6.∵ AB ⊥AC ，∴ DE ⊥AC .∵ CA 是∠BCD 的平分线，∴ CD =CE . ∵ AD ∥BC ，∴ ∠ACB =∠DAC =∠DCA .∴ CD =AD =6. ∴ BC =BE +CE =BE +CD =6+6=12. ∴ AC ===8.∴ tan B ===2.5.C 解析：设BN 的长为x ，则AN =9-x ，由题意得DN =AN =9-x .因为D 为BC 的中点，所以132BD BC ==.在Rt△BND 中，∠B =90°，由勾股定理得222BN BD ND +=，即2223(9)x x +=-，解得4x =. 6.C 解析：设，则，，所以，所以△是直角三角形，且∠．所以在△ABC 中，135135==x x AB BC ． 7.A 解析：设AB x =.由题意知AE BC x ==，2BE DE x ==，∴ (21)AD x =. 在Rt ABD △中，22422BD AB AD x =+=+，又2BF BE x ==， ∴ (21)CF BF BC x =-=.根据条件还可以得出45ABE AEB EBF ===︒∠∠∠，EBD EDB ∠=∠=22.5FBD ∠=︒，67.5AGB ABG ∠=∠=︒.A.在Rt ABD △中，tan 21(21)AB ADB AD x ===+∠， ∴ 1tan 2ADB +∠A 正确.B.2255(21)BC x CF x =≠=，故选项B 错误.C.226767.5AEB DEF ∠+︒=︒≠∠=︒，故选项C 错误.D.∵ cos cos 422AB AGB ABG BD ∠=∠==+，∴ 4cos 6AGB ∠D 错误. 第4题答图8.A 解析：先由坡比的定义，得BC ∶AC =1∶.由BC =6 m ，可得AC =6 m. 在Rt △ABC中，由勾股定理，得AB ==12(m).9.B 解析：设小球距离地面的高度为则小球水平移动的距离为所以解得10.B 解析：设又因为在菱形中，所以所以所以由勾股定理知所以211.A 解析：设直角三角形的两直角边长分别为则所以斜边长12.B 解析：在锐角三角函数中仅当∠45°时，，所以选项错误；因为45°＜∠A ＜90°，所以∠B ＜45°，即∠A ＞∠B ，所以BC ＞AC ，所以ABBC＞ABAC，即sin cos A >A ，所以选项正确，选项错误； tan A = ACBC＞1，＜1，所以选项错误.13.＞ 解析：因为8cos 3135 5.92︒≈ ，所以∠8cos 3135︒> 14.31－ 解析：过F 点作FG ∥BC 交AB 于点G . ∵ 在△ABC 中，AB =AC ,AD 是BC 边上的中线，∴ BD =CD =12BC =1,∠BAD =∠CAD =12∠BAC =15°,AD ⊥BC .∵ ∠ACE =12∠BAC ,∴ ∠CAD =∠ACE =15°, ∴ AF =CF .∵ ∠ACD =(180°－30°)÷2=75°, ∴ ∠DCE =75°－15°=60°.在Rt △CDF 中, CF =cos 60DC︒=2,DF =CD 3又AF =CF ,∴ AF =2. ∵ FG ∥BC , ∴ GF ∶BD =AF ∶AD ,即GF ∶1=2∶3解得GF =4－3∴ EF ∶EC =GF ∶BC ,即EF ∶(EF +2)=(4－3∶2,第14题答图解得EF =3－ 1.，所以所以所以()3502532517324332=⨯=≈⨯=DC ..m . 16.15°或75° 解析：如图，.在图①中，，所以∠∠； 在图②中，，所以∠∠.17.76 解析：如图，因为，所以CD =12，由勾股定理得所以这个风车的外围周长为18.②③④ 解析：因为∠C =90°，AB =2BC ，所以∠A =30°，∠B =60°，所以②③④正确. 19.解：（1)24232622cos 45sin 60224 -+=⎭36662222.+==⎭第16题答图B CD②ABCD ①AB CD第17题答图（2）()023tan 30321323323 --+-=-+-=-. 20.分析：由sin A ==求出BC 的长，根据勾股定理求出AC 的长，利用tan B =求出tan B 的值.解：∵ sin A ==，AB =10，∴ BC =4. 又∵ AC ==2，∴ tan B ==.21.分析:（1）如图，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，设PD = km ，根据AD +BD =2列方程求解. （2）过点B 作BF ⊥CA 于点F ，在Rt △ABF 和Rt △BFC 中解直角三角形求解. 解：（1）如图，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，设PD = km ，由题意可知∠PBD =45°，∠PAD =30°， ∴ 在Rt △BDP 中，BD =PD = km,在Rt △PDA 中，AD =PD = km.∵ AB =2 km ，∴=2.∴ ==1.∴ 点P 到海岸线l 的距离为（）km. （2）如图，过点B 作BF ⊥CA 于点F .在Rt △ABF 中，BF =AB ·sin 30°=2×=1（km ）. 在△ABC 中，∠C =180°∠BAC ∠ABC =45°.在Rt △BFC 中，BC =BF =×1=（km ）. ∴ 点C 与点B 之间的距离为 km.点拨：此题是解直角三角形在现实生活中的应用，通过构造直角三角形求解.当利用勾股定理或锐角三角函数不能直接求解时，常采用作垂线、引入未知数（一般为待定的数）构造方程求解. 22.解：设，则由题意可知，m ．在Rt △AEC 中，tan ∠CAE ＝AE CE，即tan 30°＝100+x x ， ∴33100=+x x ，即3x 3(x ＋100)，解得x 50＋503.经检验50＋503是原方程的解．∴故该建筑物的高度约为第21题答图23.解：(1)∵，∴∠∠.∵∥，∴∠∠∠.在梯形中，∵，∴∠∠∠∠∵，∴3∠，∴∠30° ，∴（2）如图，过点作于点.在Rt△中，•∠，•∠，∴在Rt△中，，∴梯形ABCD的面积为24.分析：利用解直角三角形求线段长，首先根据锐角三角函数的定义选取恰当的三角函数关系式，然后把已知的数据代入计算.本题根据锐角三角函数的定义得tan 37°＝AB BC ，把tan370.75≈，BC=20 m代入tan 37°＝ABBC中求出树的高度AB.解:因为tan 37°＝ABBC≈0.75，BC=20 m，所以AB≈0.75×20＝15（m）.25.解：过点作于点..因为∠，3003 m，所以300(3－1)即热气球的升空点与着火点的距离为300(3－1)26.（1）解：1，334；（2）解：①∵∠A<∠BOC=60︒，∴∠A不可能是直角.②当∠ABP=90︒时，如图所示（第26题答图（1）），∵∠BOC=60︒，∴∠OPB=30︒.∴OP=2OB，即2t=2.∴t=1.③当∠APB =90︒时，如图所示（第26题答图（2）），作PD ⊥AB ，垂足为D ，则∠ADP =∠PDB =90︒.在Rt △POD 中，∵ ∠POD=60︒，∴ ∠OPD =30︒. ∵ OP =2t ，∴ OD =t ，PD ，AD =2+t ，BD =1-t （△BOP 是锐角三角形）.26方法一：BP 2=BD 2+PD 2=（1-t ）2+3t 2，AP 2=AD 2+PD 2=(2+t )2+3t 2.∵ BP 2+AP 2=AB 2，∴ (1-t )2+3t 2+(2+t )2+3t 2=9，即4t 2+t -2=0.解得t 1，t 2（舍去）.方法二：∵ ∠APD +∠BPD =90︒，∠B +∠BPD =90︒， ∴ ∠APD =∠B .∴ △APD ∽△PBD .∴ .AD PD PD BD=∴ PD 2=AD ·BD .于是)2=(2+t )(1-t )，即4t 2+t -2=0.解得t 1，t 2（舍去）.综上，当△ABP 为直角三角形时，t =1.（3）证法一：∵ AP =AB ，∴ ∠APB =∠B .如图所示（第26题答图（3）），作OE ∥AP ，交BP 于点E ， ∴ ∠OEB =∠APB =∠B .∵ AQ ∥BP ，∴ ∠QAB +∠B =180︒.又∵ ∠3+∠OEB =180︒，∴ ∠3=∠QAB .又∵ ∠AOC =∠2+∠B =∠1+∠QOP ，∠B =∠QOP ， ∴ ∠1=∠2.在△QAO 和△OEP 中，∵ ∠3=∠QAO ，∠1=∠2， ∴ △QAO ∽△OEP .∴ AQ AO EO EP=，即AQ ·EP =EO ·AO . ∵ OE ∥AP ，∴ △OBE ∽△ABP .∴ 13OE BE BO AP BP BA ===.∴ OE =13AP =1，BP =32EP .∴ AQ ·BP =AQ ·32EP =32AQ ·EP =32AO ·EO =32⨯2⨯1=3.第26题答图（3）证法二：如图所示（第26题答图（4）），连接PQ，设AP与OQ相交于点F. ∵AQ∥BP，∴∠QAP=∠APB.∵AP=AB，∴∠APB=∠B.∴∠QAP=∠B.又∵∠QOP=∠B，∴∠QAP=∠QOP.在△QFA和△PFO中，∵∠QAF=∠FOP，∠QFA=∠PFO，∴△QFA∽△PFO.∴FQ FAFP FO=，即FQ FPFA FO=.又∵∠PFQ=∠OFA，∴△PFQ∽△OFA.∴∠3=∠1. ∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP，∠B=∠QOP，∴∠1=∠2.∴∠2=∠3.∴△APQ∽△BPO.∴AQ APBO BP=.∴AQ·BP=AP·BO=3⨯1=3.第26题答图（4）。