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回归教材：不等式选讲

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镇江市丹徒高级中学2020届高三数学二轮复习教学案（回归课本）
不等式选讲
1. 【课本P6例4】解不等式125xx≥．

变式1. 解不等式：213xx．（2011江苏高考）
变式2. 解不等式233xx≥．（2015江苏高考）
变式3. 设xR，解不等式+21>2xx．（2019江苏高考）
2. 【课本P10例2】已知
2cxa，2

c
yb
，求证：(+)()xyabc．

变式1. 已知实数x，y满足：13xy，126xy，求证：518y．（2012江苏高考）
镇江市丹徒高级中学2020届高三数学二轮复习教学案（回归课本）
变式2. 设0a，13ax，23ay ，求证：24xya|．（2016江苏高考）

3. 【课本P12例2】设0a，0b，求证：
3322
ababab≥
．

变式1. 设0ab≥，求证：3332ab≥2232abab．（2009江苏高考）

变式2. 设a、b是非负实数，求证：3322()ababab≥．（2010江苏高考）
变式3. 已知0ab≥，求证：332222ababab≥．（2013江苏高考）
镇江市丹徒高级中学2020届高三数学二轮复习教学案（回归课本）
4. 【课本P24例1】已知
22

1ab
，221xy，求证：1axby≤．

变式. 已知,,,abcd为实数，且22224,16,abcd证明8acbd≤．（2017江苏高考）
5. 【课本P27例4】设a，b，c是正数，且1abc，求证：
111
9abc≥
．

6. 【课本P28例6】已知2345abcd，求
2222
abcd
的最小值．

变式. 若x，y，z为实数，且22=6xyz，求222xyz的最小值．（2018江苏高考）
镇江市丹徒高级中学2020届高三数学二轮复习教学案（回归课本）
7. 【课本P16例5】设a，b，cR，求证：
222
abcabbcca≥
．

8. 【课本P34例1】设a，b，c为正数，求证：
2
(1)()16abababacbccabc≥
．

变式1. 设a，b，c为正实数，求证：33311123abcabc+≥．（2008江苏高考）
变式2. 已知0,0xy，证明22(1)(1)9xyxyxy．（2014江苏高考）

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高考数学大一轮复习 不等式选讲 2 第2讲 不等式的证明课件 文

高考数学大一轮复习 不等式选讲 2 第2讲 不等式的证明课件 文

选修(xuǎnxiū)45 不等式选讲
第 2 讲 不等式的证明
12/11/2021
第一页，共二十五页。
1．基本不等式 定理 1：设 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时，等 号成立． 定理 2：如果 a、b 为正数，则a＋2 b≥ ab，当且仅当 a＝b 时， 等号成立．
12/11/2021
12/11/2021
第十九页，共二十五页。
反证法证明不等式(师生共研) 设 0<a，b，c<1，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不可 能同时大于14.
12/11/2021
第二十页，共二十五页。
【证明】 设(1－a)b>14，(1－b)c>14，(1－c)a>14， 三式相乘得(1－a)b·(1－b)c·(1－c)a>614，① 又因为 0<a，b，c<1， 所以 0<(1－a)a≤（1－2a）＋a2＝14. 同理：(1－b)b≤14，(1－c)c≤14， 以上三式相乘得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c≤614，与①矛盾． 所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不可能同时大于14.
12/11/2021
第十一页，共二十五页。
(2)证明：由(1)知 9x＋y＝1，又 x>0，y>0， 所以1x＋1y(9x＋y)＝10＋xy＋9yx≥10＋2 xy×9yx＝16， 当且仅当xy＝9yx，即 x＝112，y＝14时取等号， 所以1x＋1y≥16，即 x＋y≥16xy.
12/11/2021
12/11/2021
第三页，共二十五页。
若 a>b>1，证明：a＋1a>b＋1b. 证明：a＋1a－b＋1b＝a－b＋b－ aba＝（a－b）a（b ab－1）. 由 a>b>1 得 ab>1，a－b>0， 所以（a－b）a（b ab－1）>0. 即 a＋1a－b＋1b>0， 所以 a＋1a>b＋1b.
高考数学一轮复习 第十三篇 不等式选讲 第2节 证明不等式的基本方法课件 理

高考数学一轮复习 第十三篇 不等式选讲 第2节 证明不等式的基本方法课件 理

即 a＋b＋2 ab>c＋d＋2 cd. 因为 a＋b＝c＋d，所以 ab>cd. 于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2. 因此|a－b|<|c－d|. 综上， a＋ b> c＋ d是|a－b|<|c－d|的充要条件．
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第二十六页，共二十九页。
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第十八页，共二十九页。
考点三 用综合法证明不等式 已知 x，y，z 均为正数．求证：yxz＋zyx＋xzy≥1x＋1y＋1z.
解：因为 x，y，z 均为正数．所以yxz＋zyx＝1zxy＋yx≥2z，同理可得 xzy＋zyx＝1xyz＋yz≥2x，xzy＋yxz＝1yxz＋xz≥2y，当且仅当 x＝y＝z 时，以 上三式等号都成立． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以 2，得yxz＋zyx＋xzy≥1x＋1y＋ 1 z.
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第十五页，共二十九页。
【反思归纳】 分析法的应用 当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式 没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找 证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．
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第十六页，共二十九页。
第二十四页，共二十九页。
满分展示： 证明：(1)因为要证( a＋ b)> c＋ d， 只需证( a＋ b)2>( c＋ d)2， 即证 a＋b＋2 ab>c＋d＋2 cd， 因为 a＋b＝c＋d，因此只需证 2 ab>2 cd， 即证 ab>cd， 而已知 ab>cd， 因此 a＋ b> c＋ d.
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2021年全国高考数学人教新版特色专题：不等式选讲-(讲义教师版)

2021年全国高考数学人教新版特色专题：不等式选讲-(讲义教师版)

不等式选讲知识集结知识元绝对值不等式的解法不等式的证明知识讲解1．不等式的证明【知识点的知识】证明不等式的基本方法：1、比较法：（1）作差比较法①理论依据：a＞b⇔a﹣b＞0；a＜b⇔a﹣b＜0．②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系．（2）作商比较法①理论依据：b＞0，＞1⇒a＞b；b＜0，＜1⇒a＜b；②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论．2、综合法（1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫做推证法或由因导果法．（2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式．3、分析法（1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．（2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止．注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程．4、放缩法（1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法．（2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键．常用的放缩技巧有：例题精讲不等式的证明例1.（2021春∙中山市期末）求证：【答案】详见解析【解析】题干解析:证明：，即证明，左右两边同时平方，左边=，右边=，则左边>右边即所以。

高考数学文科二轮专题攻略课件：第十七讲 不等式选讲

高考数学文科二轮专题攻略课件：第十七讲 不等式选讲


考点聚焦 栏目索引
2.|x-a|+|x-b|≥c(c>0),|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 (1)令每个绝对值符号里的一次式为0,求出相应的根;
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(2)把这些根由小到大排序,它们把数轴分为若干个区间; (3)在所分区间上,根据绝对值的定义去掉绝对值符号,讨论所得 的不等式在这个区间上的解集; (4)这些解集的并集就是原不等式的解集.
∴原不等式可化为|x-1|≥2x2,即x-1≥2x2或x-1≤-2x2,
解得-1≤x≤
1 2
,故不等式的解集为
x
|
1
x
1 2
.
(2)不等式g(x)+c≤f(x)-|x-1|可化为|x-1|≤2x2-c,
即c≤2x2-|x-1|恒成立,
令函数F(x)=
2x2
2
x2
x x
1, 1,
x x
1, 1,
称,且f(x)=x2+2x.
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(1)解关于x的不等式g(x)≥f(x)-|x-1|;
(2)如果∀x∈R,不等式g(x)+c≤f(x)-|x-1|恒成立,求实数c的取值范
围.
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解析 (1)∵函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,
∴g(x)=-f(-x)=-x2+2x, 高考导航
n
n
n
5.ai∈R,bi∈R(i=1,2,…,n),
i 1
ai2
i 1
bi2
≥(
aibi)2.
i 1
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已知函数f(x)=|x-1|.
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(1)求不等式f(x)≥3-2|x|的解集;