山西省忻州市岢岚县第二中学九年级数学上册 22.2 用函数观点看一元二次方程学案(无答案)(新版)新人教版

22.2 用函数的观点看一元二次方程（1）教学目标：1．通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。

2．使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识。

3．进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。

重点难点：重点：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题是教学的重点。

难点：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点．教学过程：一、引言在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。

本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题。

二、探索问题问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水。

连喷头在内，柱高为0.8m。

水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示。

根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y＝－x2＋2x＋4 5。

(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少? （最大值）(2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内? （就是求如图(2)B点的横坐标）问题2：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m。

这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少?是否会超过1m?教学要点1．教师分析：根据已知条件，要求ED的宽，只要求出FD的长度。

在如图(3)的直角坐标系中，即只要求出D点的横坐标。

因为点D在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D的横坐标。

解：以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴，建立直角坐标系。

二次函数y ＝ax 2＋k 的图象 学习目标：1、知识和技能：1.会用描点法画出k ax y +=2的图象；2.掌握二次函数k ax y +=2的性质；3.理解抛物线2ax y =与k ax y +=2之间的位置关系.2、过程和方法：用描点法画二次函数k ax y +=2的图像，归纳整理得出抛物线k ax y +=2的特点；3、情感、态度、价值观：渗透体会数形结合思想，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯，增强学习信心.学习重点：二次函数k ax y +=2的图象和性质学习难点：理解抛物线2ax y =和k ax y +=2的位置关系.导学方法：课时：导学过程课前预习：阅读22.1.3(1)二次函数y ＝ax 2＋k 的图象内容解决<<导学案>>自主测评内容。

课堂导学：1、情境导入：1.函数2ax y =的顶点是，对称轴是，a ＞0时，开口，a ＜0时，开口。

2.一次函数x y 2=与12+=x y 的图像有怎么样的关系？3.猜想二次函数2x y =与12+=x y 的图像之间的关系2、出示目标、自主学习：1.会用描点法画出k ax y +=2的图象；2.掌握二次函数k ax y +=2的性质；3.理解抛物线2ax y =与k ax y +=2之间的位置关系.3、合作探究：在同一直角坐标系中画二次函数2x y =，12+=x y 与12-=x y 的图像观察图像归纳性质。

展示反馈例：填空1．抛物线y ＝－x 2－2可由抛物线y ＝－x 2＋3向_______平移_______个单位得到的．2．抛物线y ＝－x 2＋h 的顶点坐标为（0，2），则h ＝_______________．3．抛物线y ＝4x 2－1与y 轴的交点坐标为_____________，与x 轴的交点坐标为_________四、学习小结：二次函数y ＝ax 2＋k 的图象和性质。

五、达标检测：1抛物线3312--=x y 的开口，对称轴是，顶点坐标是，它可以看做是抛物线231x y -=向平移个单位得到的.当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当x 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x=时，函数有最值，是y=.2．将二次函数y ＝5x 2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________．3．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y ＝－x 2的方向相反，形状相同的抛物线解析式____________________________．4．抛物线y ＝4x 2＋1关于x 轴对称的抛物线解析式为______________________课后练习：1.必做题：练习、<<导学案>> 2选做题：22.1、4板书设计：。

人教版九年级数学上册22.2二次函数与一元二次方程导学案1、教学目标1．理解二次函数与一元二次方程的关系．2．会判断抛物线与x轴的交点个数．3．掌握方程与函数间的转化．4．会利用二次函数的图象求相应一元二次方程的近似解．2、预习反馈阅读教材P43～46，完成下列问题．1．画出二次函数y＝x2－3x＋2的图象如图，利用图象回答：(1)当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝1或2．(2)当y＞0时，二次函数y＝x2－3x＋2的图象在x轴的上方，此时对应的自变量x的取值范围是x＜1或x＞2；(3)当y＜0时，二次函数y＝x2－3x＋2的图象在x轴的下方，此时对应的自变量x的取值范围是1＜x＜2．2．心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x(min)之间是二次函数关系，当提出概念13 min时，学生对概念的接受力最大，为59.9；当提出概念30 min时，学生对概念的接受能力就剩下31.(1)根据题意，可知y与x满足的二次函数关系式为y＝－0.1x2＋2.6x＋43；(2)当提出概念20 min时，学生对概念的接受能力为55．3、例题讲解例1如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系h＝20t－5t2.请解答以下问题：(1)小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？【思路点拨】求小球的飞行高度达到15 m，就是求当h＝15时，相对应的t的值．【解答】解方程15＝20t－5t2，t2－4t＋3＝0，t1＝1，t2＝3.当小球飞行1 s和3 s时，它的飞行高度为15 m.【点拨】小球在某一时间达到15 m，然后继续上升，达到最大高度后开始下落，经过一段时间，小球高度又回落到15 m．所以在两个时间球的高度为15 m.(2)小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？【思路点拨】求小球的飞行高度达到20 m，就是求当h＝20时，相对应的t的值．【解答】解方程20＝20t－5t2，t2－4t＋4＝0，t1＝t2＝2.当小球飞行2 s时，它的飞行高度为20 m.【点拨】小球在某一时间达到最大高度，所以只在一个时间球的高度为20 m.(3)小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？【思路点拨】求小球能否达到某一高度，就是将h的值代入函数解析式，得到关于t 的一元二次方程．如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值．【解答】解方程20.5＝20t－5t2，t2－4t＋4.1＝0.因为(－4)2－4×4.1＜0，所以方程无实数根．这就是说，小球的飞行高度达不到20.5 m.(4)小球从飞出到落地要用多少时间？【思路点拨】求小球从飞出到落地要用多少时间，就是求当h＝0时，t的值．【解答】小球飞出时和落地时的高度都是0 m，解方程0＝20t－5t2，t2－4t＝0，t1＝0，t2＝4.当小球飞行0 s和4 s时，它的高度为0 m．这表明小球从飞出到落地要用4 s．从图来看，0 s时小球从地面飞出，4s时小球落回地面．【点拨】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程之间的关系，当y为某一确定值m时，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m.反过来，解方程ax2＋bx＋c＝0又可以看作已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的值为0，求自变量x的值．例2(1)已知下列三个二次函数：①y＝x2＋x－2；②y＝x2－6x＋9；③y＝x2－x＋1，这些函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？【思路点拨】先画出相应地二次函数的图象，再根据函数图象即可得出结论．【解答】(1)这些函数的图象如图所示．①抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1.当x取公共点的横坐标时，函数值是0.由此得出方程x2＋x－2＝0的根是－2，1.②抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x＝3时，函数值是0.由此得出方程x2－6x＋9＝0有两个相等的实数根是3.③抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点．由此可知，方程x2－x＋1＝0没有实数根．【点拨】如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况有何联系？【思路点拨】如果一元二次方程有两个不等的实数根，那么相应的二次函数的图象与x轴有两个公共点；如果一元二次方程有两个相等的实数根，那么相应的二次函数的图象与x轴有一个公共点；如果一元二次方程没有实数根，那么相应的二次函数的图象与x轴没有公共点．【解答】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点，这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的三种情况；没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根．【跟踪训练】已知抛物线y＝2x2＋8x＋m.(1)若抛物线与x轴有两个公共点，则m的取值范围是m＜8；(2)若抛物线与x轴只有一个公共点，则m的取值范围是m＝8；(3)若抛物线与x轴没有公共点，则m的取值范围是m＞8．例3利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根(结果保留小数点后一位)．【解答】画出函数y＝x2－2x－2的图象如图所示，它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7，2.7.所以方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7，x2≈2.7.【点拨】根据二次函数的图象来求一元二次方程的根时，我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围来估计一元二次方程的根．4、巩固训练1．小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是(D)A．无解B．x＝1C．x＝－4 D．x＝－1或x＝42．二次函数y＝x2－2x＋1与x轴的交点个数是(C)A ．1个或2个B ．2个C ．1个D ．0个3．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)如图所示，则关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是(C)A ．x ＜2B ．x ＞－3C ．－3＜x ＜1D ．x ＜－3或x ＞14．已知抛物线y ＝kx 2－4x －3与x 轴有交点，则k 的取值范围是k ≥－43且k ≠0．5．如图所示，你能直观看出哪些方程的根？解：－x 2＋2x ＋3＝0的根为x 1＝－1，x 2＝3；－x 2＋2x ＋3＝4的根为x 1＝x 2＝1；－x 2＋2x 2＋3＝3的根为x 1＝0，x 2＝2.【点拨】 此题充分体现二次函数与一元二次方程之间的关系，即函数y ＝－x 2＋2x ＋3中，y 为某一确定值m(如4、3、0)时，相应的x 值是方程－x 2＋2x ＋3＝m(m ＝4、3、0)的根．5、课堂小结1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与二次方程之间的关系，当y 为某一确定值m 时，相应的自变量x 的值就是方程ax 2＋bx ＋c ＝m 的根．2．若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点为(x 0，0)，则x 0是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根．3．有下列对应关系：。

人教版数学九年级上册22.2《用函数观点看一元二次方程（2）》说课稿一. 教材分析《用函数观点看一元二次方程（2）》是人教版数学九年级上册第22.2节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了函数的概念、图像以及一元二次方程的解法的基础上进行授课的。

通过本节课的学习，使学生能够理解并掌握一元二次方程与二次函数的关系，能够运用函数的观点解决实际问题，提高学生的数学应用能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对函数的概念、图像以及一元二次方程的解法有一定的了解。

但是，对于一元二次方程与二次函数的关系，以及如何运用函数的观点解决实际问题，还有一定的困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、探究，从而理解并掌握一元二次方程与二次函数的关系，提高学生的数学思维能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解并掌握一元二次方程与二次函数的关系，能够运用函数的观点解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、思考、探究，培养学生的数学思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程与二次函数的关系。

2.教学难点：如何运用函数的观点解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、探究法、合作学习法。

2.教学手段：多媒体课件、黑板、粉笔。

六. 说教学过程1.导入：通过复习函数的概念、图像以及一元二次方程的解法，引导学生进入本节课的学习。

2.探究：提出问题，引导学生观察、思考一元二次方程与二次函数的关系。

通过师生互动，共同探讨，得出结论。

3.应用：运用函数的观点解决实际问题，巩固学生对一元二次方程与二次函数关系的理解。

4.总结：对本节课的内容进行总结，强调一元二次方程与二次函数的关系，以及如何运用函数的观点解决实际问题。

5.作业：布置相关的练习题，巩固学生的学习成果。

七. 说板书设计板书设计如下：一元二次方程与二次函数的关系1.一元二次方程：ax^2 + bx + c = 02.二次函数：y = ax^2 + bx + c八. 说教学评价通过课堂提问、作业批改、学生表现等方式进行评价。