2020-2021学年河南省名校联盟高二上学期12月联合考试数学（文）试题一、单选题1．已知:[1,3]q x ∃∈，2231x x -<，则q ⌝为（ ） A ．[1,3]x ∀∉，2231x x -≥ B ．[1,3]x ∃∉，2231x x -≥ C ．[1,3]x ∀∈，2231x x -≥ D ．[1,3]x ∃∈，2231x x -≥【答案】C【分析】根据特称命题的否定是全称命题，即可求解. 【详解】解：:[1,3]q x ∃∈，2231x x -<，q ∴⌝为：[1,3]x ∀∈，2231x x -≥.故选：C.2．已知,a b c >>则（ ） A ．ab ac > B ．22a b > C ．a b a c +>+ D ．a b b c ->-【答案】C【分析】利用不等式的基本性质，可判定A 、B 不正确，C 正确，利用特值法，可得判定D 不正确.【详解】由()ab ac a b c -=-，因为b c >，可得0b c ->，但a 的符号不确定，所以A 不正确；由22()()a b a b a b -=+-，因为a b >，可得0a b ->，但+a b 的符号不确定， 所以A 不正确；由b c >，根据不等式的性质，可得a b a c +>+，所以C 正确；例如：3,2,1a b c ===，可得1,1a b b c -=-=，此时a b b c -=-，所以D 不正确. 故选：C.3．“25x <<”是“34x <<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断即可.【详解】若34x <<，则25x <<成立，即必要性成立，反之若25x <<，则34x <<不成立，所以“25x <<”是“34x <<”的必要不充分条件. 故选：B.4．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a =，1sin 3A =，则sin B =（ ）A ．B C D 【答案】C【分析】由正弦定理即可求出.【详解】因为,a =所以2b a =. 由正弦定理可得sin sin a b A B=，则sin 1sin 236b A B a ===. 故选：C.5．在等差数列{}n a 中，2510a a +=，3614a a +=，则58a a +=（ ） A ．12 B ．22C ．24D ．34【答案】B【分析】利用等差数列的性质即可求解. 【详解】设数列{}n a 的公差为,d 则()362514102,22a a a a d =+-+-==故58526106222a a a a d +=++=+⨯=. 故选：B6．已知方程22135x y m m +=+-表示双曲线，则m 的取值范围是（ ）A ．(3,)-+∞B ．(5,)+∞C ．()3,5-D ．()(),35,-∞-+∞【答案】C【详解】由()5,()30m m +-< 解得35,m -<<则实数m 的取值范围是(3,5)-.7．与椭圆221106x y +=有相同焦点的曲线方程是（ ）A ．221610x y +=B ．2212014x y +=C ．2211410x y -=D ．2233x y -=【答案】D【分析】由椭圆方程可确定焦点坐标，依次确认四个选项中的焦点坐标即可. 【详解】椭圆221106x y +=的焦点为()2,0±；对于A ，椭圆的焦点坐标为()0,2±，A 错误； 对于B，椭圆的焦点坐标为()，B 错误； 对于C，双曲线的焦点坐标为()±，C 错误；对于D ，双曲线方程可化为2213x y -=，则其焦点坐标为()2,0±，D 正确.故选：D.8．关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为(-3，1)，则关于x 的不等式cx 2+bx +a ＞0的解集为（ ） A ．1(,1)3-B ．1(1,)3- C ．()1,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．1(,1)(,)3-∞-+∞ 【答案】C【分析】由题意，0a <且3,1-是ax 2+bx +c =0的两根，进一步找到,,a b c 的关系，带入原不等式化简解不等式即可.【详解】因为不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为(-3，1)，所以0,930,0,a a b c a b c <⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩即0,2,3.a b a c a <⎧⎪=⎨⎪=-⎩不等式cx 2+bx +a ＞0等价于3x 2-2x -1＞0， 解得13x <-或x ＞1.故选：C9．已知A 地与C 地的距离是4千米，B 地与C 地的距离是3千米，A 地在C 地的西北方向，B 地在C 地的西偏南15︒方向上，则A ，B 两地之间的距离是（ ） A ．13千米 B ．13千米C ．37千米D ．37千米【答案】A【分析】利用余弦定理即可求解.【详解】如图，由题意可得4AC =千米，3BC =千米，451560ACB ∠=︒+︒=，则22212cos 169243132AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 故13AB =. 故选：A10．下列结论正确的是（ ）A ．在ABC 中，“A 是钝角”是“ABC 是钝角三角形”的必要不充分条件B ．“0a ∃>,关于x 的方程20x x a ++=有两个不相等的实数根”是真命题C ．“菱形的对角线相等且互相垂直”是真命题D ．若p 是真命题，则q ⌝可能是真命题 【答案】B【分析】由充分条件、便要条件的判定方法，可判定A 错误；根据一元二次方程的性质，可判定B 正确；由菱形的性质，可判定C 错误；根据命题与命题的否定一定是一真一假，可判定D 错误.【详解】由“A 是钝角”可以得到“ABC ∆是钝角三角形”，反之“ABC 是钝角三角形”不一定得到“A 是钝角”， “A 是钝角”是“ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件，所以A 错误；若关于x 的方程20x x a ++=有两个不相等的实数根，则满足140a ∆=->，解得14a <， 即14a <时，关于x 的方程20x x a ++=有两个不相等的实数根，所以B 正确；由菱形的性质可得菱形的对角线不一定相等，所以C 错误；根据命题与命题的否定一定是一真一假，若p 是真命题，则q ⌝一定为假命题，所以D 错误. 故选：B.11．已知等比数列{}n a 共有32项，其公比3q =，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列{}n a 的所有项之和是（ ） A ．30 B ．60C ．90D ．120【答案】D【分析】设等比数列{}n a 的奇数项之和为1S ，偶数项之和为2,S 则213S S =，1260S S +=，则可求出1S ,2,S 值，从而得出答案.【详解】设等比数列{}n a 的奇数项之和为1S ，偶数项之和为2,S 则311531a a S a a =++++，()2463213531123a a a a q a a a a S S ++++=++++==又1260S S +=，则11603S S +=，解得1230,90S S ==， 故数列{}n a 的所有项之和是3090120+=. 故选：D12．已知12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，12PF F ∆内切圆的圆心为I ，现有下列结论: ①12PF F ∆内切圆的圆心必在直线x a =上； ② 12PF F ∆内切圆的圆心必在直线x b =上； ③双曲线C 的离心率等于1212IF F PIF PIF S S S ∆∆∆-④双曲线C 的离心率等于1212IF F PIF PIF S S S ∆∆∆+其中所有正确结论的序号为（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】A【分析】设12PF F △的内切圆分别与12,PF PF 切于点,A B ，与12F F 切于点N ，根据切线长定理以及双曲线定义即可得到122FN F N a -=，由此可解得(),0N a ，所以12PF F ∆的内切圆必经过点(),0a ，即可判断①正确，②错误；根据三角形面积公式以及双曲线定义即可求出双曲线C 的离心率等于1212IF F PIF PIF S S S ∆∆∆-，所以③正确，④错误．【详解】设12PF F △的内切圆分别与12,PF PF 切于点,A B ，与12F F 切于点N ，如图所示：则1122,,PA PB F A F N F B F N ===. 又点Р在双曲线的右支上，所以122,PF PF a -= 又1122,PF PA AF PF PB BF =++=，所以()()1212122||PF PF PA AF PB BF AF BF a =++-==--，故122.FN F N a -=设点N 的坐标为(),0x ，可得()()2,x c c x a +--=解得x a =， 所以12PF F ∆的内切圆必经过点(),0a ，显然内切圆的圆心与点M 的连线垂直于x 轴， 所以12PF F ∆内切圆的圆心必在直线x a =上，故①正确，②错误. 又设12PF F ∆内切圆的半径为r ，所以()1212121222122IF F PIF PIF c r S ce S S ar PF PF ∆∆∆⨯⨯====-⨯-⨯，所以③正确，④错误. 因此所有正确结论的序号为①③． 故选：A.二、填空题13．椭圆221 116xy+=上任意一点到两焦点的距离之和为__________．【答案】211【分析】根据椭圆定义即可求解．【详解】因为211,a=所以椭圆221116x y+=上任意一点到两焦点的距离之和为2211a=．故答案为：211．14．已知x，y满足约束条件5220x yx yy+≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则23z x y=+的最大值是________.【答案】14【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出z的最大值.【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，将23z x y=+化为233zy x=-+，观察图形可知，当直线233zy x=-+经过点A时，z取得最大值，联立直线5220x yx y+=⎧⎨-+=⎩，解得14xy=⎧⎨=⎩，即()1,4A，max213414z∴=⨯+⨯=.故答案为：14.15．已知p：13x，q：25m x m-<<+，若p⌝是q⌝的必要不充分条件，则m 的取值范围是______.【答案】{}21m m -≤≤【分析】由命题的否定及必要不充分条件的性质可转换条件为{2x x m ≤-或}5x m ≥+{1x x ≤-或}3x ≥，即可得解.【详解】由题意，p ⌝：1x ≤-或3x ≥，q ⌝：2x m ≤-或5x m ≥+， 因为p ⌝是q ⌝的必要不充分条件， 所以{2x x m ≤-或}5x m ≥+{1x x ≤-或}3x ≥，所以2153m m -≤-⎧⎨+≥⎩且等号不同时成立，解得21m -≤≤.故答案为：{}21m m -≤≤.16．已知0m >，0n >，且m n t +=（t 为常数）.若3311m n +++的最小值为2，则t =________.【答案】4【分析】计算得出112m n t +++=+，可得()()1112m n t +++=+，将代数式()()112m n t ++++与3311m n +++相乘，展开后利用基本不等式可求得3311m n +++的最小值，结合已知条件可得出关于实数t 的等式，进而可求得实数t 的值. 【详解】因为0m >，0n >，则0m n t +=>，所以112m n t +++=+， 所以()()1112m n t +++=+，则()()()()313133133111611211211m n m n m n t m n t n m ++⎡⎤⎛⎡⎫+=++++=++⎢⎥ ⎪++++++++⎝⎭⎣⎤⎣⎦⎦， 因为()()()()3131313122361111m n m n n m n m +++++≥⋅=⨯=++++，当且仅当m n =时，等号成立，所以11331222t m n +≥++=+，解得4t =. 故答案为：4.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.三、解答题17．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，57a =-，555S =-. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最小值及对应的n 值.【答案】（1）217n a n =-；（2）当8n =时，n S 的值最小，且864.S =- 【分析】（1）利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式即可求解. （2）利用等差数列的前n 项和公式配方即可求最值. 【详解】解:（1）设等差数列{}n a 的公差为d .由题意可得515147,54555,2a a d S a d =+=-⎧⎪⎨⨯=+=-⎪⎩解得115,2a d =-=.故11()217n a a n d n =+-=-. （2）由（1）可得()2116.2n n n n S na d n n -=+=- 因为28()64,n S n =--所以当8n =时，n S 取得最小值，最小值为864.S =-18．（1）求经过点(),2,12P Q ⎛ ⎝⎭且焦点在坐标轴上的椭圆的标准方程﹔（2）求与双曲线2212x y -=有公共的渐近线，且过点的双曲线的标准方程.【答案】（1）22182x y +=；（2）2212x y -=.【分析】（1）设椭圆方程为(221,0,Ax By A B +=>且)A B ≠，将P ，Q 的坐标代入，解方程可得A ，B ，即可得到所求椭圆的方程；（2）设所求双曲线方程为()2202x y t t -=≠，再将点代入所求双曲线方程，可得t ，即可得到所求双曲线方程．【详解】解:（1）依题意，设椭圆的方程为22(10,0,Ax By A B +=>>且A B ≠)，因为椭圆过,)2(2,1P Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭两点， 所以161241A B A B ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 解得1812A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因此，该椭圆的标准方程为22182x y +=.()2设所求双曲线的方程为()2202x y t t -=≠，将点代入双曲线方程得222t -=，解得1t =-，因此，所求双曲线的标准方程为2212x y -=.19．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin (cos 1)a B b A =+. （1）证明：ABC 是直角三角形.（2）若D 为BC 的中点，且6AD =，求ABC 面积的最大值. 【答案】（1）证明见解析；（2）36.【分析】（1）先利用正弦定理得出sin cos 1A A =+，再利用辅助角公式得到14A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求出2A π=，即可得出答案；（2）先求出a 的值，再利用基本不等式得到72bc ≤，即可求解.【详解】（1）证明：因为sin (cos 1)a B b A =+所以sin sin sin (cos 1)A B B A =+.因为0B π<<，所以sin 0B ≠，所以sin cos 1A A =+，所以sin cos 1A A -=，14A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin 42A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为0A π<<， 所以3444A πππ-<-<， 所以44A ππ-=， 故2A π=，即ABC 是直角三角形；（2）因为2A π=，且6AD =， 所以12a =，所以222144b c a +==.因为222b c bc +≥（当且仅当b c =时等号成立），所以2144bc ≤，即72bc ≤.故ABC 的面积1362S bc =≤， 即ABC 面积的最大值为36.20．某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x 百台这种仪器，需另投入成本f (x )万元，()f x =2550500,040,100,25003013000,40,100.x x x x N x x x N x ⎧++<<∈⎪⎨+-≥∈⎪⎩假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元.（1）求利润g (x )（万元）关于产量x （百台）的函数关系式；（2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）252501500,040,100,()25002000(),40,100.x x x x N g x x x x N x ⎧-+-<<∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩；（2）产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元.【分析】（1）依题意求出各段的函数解析式，再写成分段函数即可；（2）根据解析式求出各段函数的最大值，再取最大的即可；【详解】解：（1）由题意可知，当0＜x ＜40，100x ∈N 时，g (x )＝300x -5x 2-50x -500-1000＝-5x 2+250x -1500；当x ≥40，100x ∈N 时，25002500()300301300010002000g x x x x x x ⎛⎫=--+-=-+ ⎪⎝⎭ 综上，252501500,040,100,()25002000(),40,100.x x x x N g x x x x N x ⎧-+-<<∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩（2）当0＜x ＜40，100x ∈N 时，g (x )＝-5x 2+250x -1500＝-5(x -25)2+1625，且当x ＝25时，g (x )取得最大值1625；当x ≥40，100x ∈N 时，2500()2000()1900g x x x=-+≤，当且仅当x ＝50时，g (x )取得最大值1900.综上，当x ＝50，即产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元.【点睛】(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型.(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．21．已知p :存在2000001,),[()x x mx x lnx m R ∈+∞-+>∈，12:,q x x 是方程220x ax --=的两个实根，不等式212|2|m m x x -≥-对任意实数[1,1]a ∈-恒成立． （1）若p ⌝是真命题，求m 的取值范围；（2）若p q ∧为假，p q ∨为真，求m 的取值范围．【答案】（1）(],1-∞；（2）(](),11,3-∞-．【分析】（1）若p ⌝是真命题，则对任意[)1,x ∈+∞，()2ln x mx x x m -+≤∈R ，通过参变分离进而求得参数范围；（2）若p q ∧为假，p q ∨为真，则p ，q 中有且只有一个是真的，分类讨论：若p 为真，q 为假；若p 为假，q 为真，求解结果再取并集即可．【详解】解：（1）p ⌝是真命题，∴对任意[)1,x ∈+∞，()2ln x mx x x m -+≤∈R ，ln m x x ∴≤+．令ln y x x =+，函数ln y x x =+在[)1,+∞上单调递增，∴当1x =时，min 1y =， 1m ∴≤，m ∴的取值范围是(],1-∞；（2）由（1）可知当命题p 为真命题时，1m ，因为1x ，2x 是方程220x ax --=的两个实根，所以12x x a +=，122x x =-， 所以12x x -==[]1,1a ∈-，所以12x x -=， 因为不等式2122m m x x -≥-对任意实数[]1,1a ∈-恒成立，所以223m m -≥，所以223m m -≥或223m m -≤-，解得1m ≤-或3m ≥， 所以当命题q 为真命题时，1m ≤-或3m ≥．若p q ∧为假，p q ∨为真，则p ，q 中有且只有一个是真的，若p 为真，q 为假，则1,13,m m >⎧⎨-<<⎩解得13m <<； 若p 为假，q 为真，则13,1,m m m ≤-≥⎧⎨≤⎩或解得1m ≤-． 综上所述，1m ≤-或13m <<，即m 的取值范围为(](),11,3-∞-．【点睛】方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．22．设圆222150x y x ++-=的圆心为,A ，直线l 过点()10B ,且与x 轴不重合，l 交圆,A 于,CD 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （1）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程.（2）直线l 过点,A 且与点E 的轨迹交于,M N 两点，MON △的面积是否存在最大值?若存在，求出面积MON △的最大值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析，221(0)43x y y +=≠；（2）存在，32. 【分析】（1）利用椭圆的定义可得EA EB +为定值，以及点E 的轨迹方程；（2）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，写出根与系数的关系，利用三角形面积公式和弦长公式，以及对勾函数的性质得出MON △面积的最大值．【详解】（1）因为,//AD AC EB AC =，故,EBD ACD ADC ∠=∠=∠ 所以EB ED =， 故EA EB EA ED AD +=+=.又圆A 的标准方程为22(1)16x y ++=， 从而4AD =， 所以4EA EB +=.由题设得()1,02(0),1,A B AB -=，， 由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为221(0)43x y y +=≠. （2） MON 的面积存在最大值.因为直线l 过点,A 可设直线l 的方程为1x my =-或0y =(舍去)，则223412,1x y x my ⎧+=⎨=-⎩整理得22(34)690m y my +--=， ()22263634144()(10)m m m ∆=++=+>.设点()()1122,,,M x y N x y ， 则12122269,3434m y y y y m m +==-++则12y y -===所以1222111223434MON SOA y y m m =⋅⋅-=⨯⨯=++设1,t =≥则221m t =-，则()226661313143MON t t S t t t t===+-++ 设()13g t t t=+， 易知它在区间[1,)+∞上为增函数， 所以()()14min g t g ==， 所以32MON S ≤， 当且仅当0m =时取等号，因此，MON △面积的最大值为32. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的定义，考查椭圆的轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，解决本题的关键点是联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系，结合对勾函数的性质，得出三角形面积的最大值，考查学生计算能力，属于中档题．。
