收稿日期：2008-08-05
基金项目：澳门科技发展基金资助项目（5，56）；北京师范大学珠海分校重点资助项目（Z 6）作者简介：余建德（3），男，广东中山人，讲师，博士研究生，主要研究方向为数字信号处理算法。
2010年工程图学学报
2010第1期
J OURNAL OF ENG INEERING GRAPHICS
No.1
基于多结点样条的自由曲线最小误差
逼近及其应用
余建德1
，黄
静
2
（1.澳门科技大学资讯科技学院，澳门；
2.北师大珠海分校信息技术与软件工程学院，广东珠海519085）
摘要：多结点样条函数具有良好的局部性，而最小二乘法对数据拟合的全局性较好，因此多结点样条函数最小二乘逼近的稳定性及数值精度都能得到有效的保证。该文综合两者的特点，实现了自由曲线离散数据最小逼近误差数学模型的建立。同时应用此数学模型于一些平面及空间（甚至一些带噪音的）自由曲线拟合上和几何造型骨骼化上，测试其对各种自由曲线的拟合效果，结果证明最小逼近效果明显。
关键词：计算机应用；最小误差逼近；多结点样条；自由曲线中图分类号：TP 391.41文献标识码：A
文章编号：1003-0158(2010)01-0088-06
Least Error Approximation and Its Application for Free-Form
Curves Based on Multi-Knots Spline
U Kin-Tak 1,
HUANG Jing 2
(1.Facult y of Informat ion Technology,Macao University of Science and Technology,Macao,China;
2.College of Information Technology and Software Engineering,Beijing Normal Uni versity,Zhuhai Campus,Zhuhai Guangdong 519085,China )
Abstr act:Muti-knots spline has good locality and least square method has good global characteristics for data fitting.Therefore,the stability and numerical accuracy of least square method based on multi-knots spline approximation could be reached effectively.This paper combines the advantages of them and completes the model building of the free-form curves with least approximation error based on multi-knots spline.Meanwhile,this method is applied to the free-form-curve fitting of some plane and space (even with noise)data and Geometry Shape Skelectonization.The fitting results show that the least approximation effect is good.K ey wor ds:computer application;least
error approximation;
multi-knots spline;
free-form-curves
018/200A 04/200A 0007197-
1问题的提出
在实际应用特别是在反向工程中，对工件测
量（数字化）之后得到的是一系列离散数据，为了实现工件的再加工或误差评定，必须对这些离散数据进行光滑而精确的曲线曲面重构，即数学建模。为实现高效率高精度光滑建模，以用于CAD/CAM 系统，研究曲线曲面最小误差逼近拟合建模具有重要意义。
在建模领域，通常使用B 样条对曲线曲面进行插值建模[1-4]，而多结点样条近年来也因为它的各种优势而被广范用于插值法建模方面，且效果显著。多结点样条函数最早是针对插值问题提出的，1975年，齐东旭教授[5-7]给出了多结点样条基本函数的构造及计算格式；后继的文献[8-11]给出进一步的理论分析和应用。对插值问题而言，多结点技术的最大优点是导致插值过程无须求解任何方程组，而且插值格式具有局部性，这是与通常样条函数插值（三弯矩算法）在计算上的根本区别。被广泛应用的B 样条曲线拟合方法虽然也不必求解方程组，也具有局部性，但在几何造型的应用中，因其无法保证通过型值点而给工程计算带来不便，因此多结点方法在工程应用上和理论研究上受到重视。
鉴于曲线建模是曲面建模的基础，本文研究这种甚具潜力的多结点样条拟合建模及其关键问题，实验表明，所建立的曲线拟合数学模型逼近拟合效果颇佳。
2多结点样条函数
多结点基本样条函数是通过对等距结点B
样条基本函数的平移及迭加而构成。记I 为单位
算子，μ为平均算子，对任意给定的常数ξ，定义
1()[()()]
2f t f t f t ξ
μξξ=++（1）记()()j
h
k j k L t c t μΩ=∑
，()
k t Ω为k 次多结点样条基本函数，
其中121,,,k c c c "为待定常数，()k t Ω为k 次B 样条基本函数
10111()(1),0,1,2,!2k
k j k
j k k x x j k j k Ω+=+
++=+=∑";（2）
01211()max{,0};0,02
k k h h h h +==<<<<=
"。
显然，有0011()(),()()L t t L t t ΩΩ==;当k>1时，为了构造)(t L k ,考虑到)(t L k 的对称性，令
)(t L k 满足(0)1,()0,1,2,,1k k L L i i k ==="于是得到关于121,,,k c c c "的线性方程组，由
{()}j h
k
t μΩ的线性独立性质，可知这样的方程组的解是唯一的，所求得的)(t L k 即为k 次多结点样条基本函数，特别地，当k =2时，取
2
1
010==h ,h ，可求得2次多结点样条基本函数为1/2
22()(2)()L x I x μΩ=,当k=3时，取011
1
0,,12h h h ===，可求得3次多结点样条基本函数为
1/23310
81
()()()333
L x I
x μμΩ=+（3）
多结点样条基本函数（见图1）的性质类似于B 样条基本函数，其主要区别在于：
-0.50.5-101-202-3
3
1
1
1
1
(a)k=0(b)k=1
(c)k=2(d)k=3
图1
多结点样条基本函数
第1期余建德等：基于多结点样条的自由曲线最小误差逼迫及其应用89
