贵州省六校联盟高三数学第一次联考试题 文 新人教A版

某某省七校联盟2015届高三上学期第一次联考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合A={0，1，2，3，4}，B=，则A∩B的真子集个数为（）A．5 B．6 C．7 D．82．（5分）复数z=（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知双曲线x2+my2=1的虚轴长是实轴长的两倍，则实数m的值是（）A．4 B．C．D．﹣44．（5分）如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD的三视图是（用①②③④⑤⑥代表图形）（）A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D．③④⑤5．（5分）设一直角三角形两直角边的长均是区间（0，1）的随机数，则斜边的长小于的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（）A．f（x）=x﹣B．f（x）=C．f（x）=﹣1 D．f（x）=7．（5分）在△ABC中，AB=4，∠ABC=30°，D是边上的一点，且，则的值等于（）A．﹣4 B．0 C．4 D．88．（5分）以下四个命题中，真命题的个数是（）①“若a+b≥2则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题；②存在正实数a，b，使得lg（a+b）=lga+lgb；③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”；④在△ABC中，A＜B是sinA＜sinB的充分不必要条件．A．0 B．1 C．2 D．39．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=2x上，则的值为（）A．B．C．D．10．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．211．（5分）一个平行四边形的三个顶点的坐标为（﹣1，2），（3，4），（4，﹣2），点（x，y）在这个平行四边形的内部或边上，则z=2x﹣5y的最大值是（）A．16 B．18 C．20 D．3612．（5分）已知圆C的方程为（x﹣1）2+y2=1，P是椭圆=1上一点，过P作圆的两条切线，切点为A、B，求•的X围为（）A．[0，] B．[2﹣3，+∞] C．[2﹣3，] D．[，]二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知扇形AOB（∠AOB为圆心角）的面积为，半径为2，则△ABC的面积为．14．（5分）某高中共有学生1000名，其中2014-2015学年高一年级共有学生380人，2014-2015学年高二年级男生有180人．如果在全校学生中抽取1名学生，抽到2014-2015学年高二年级女生的概率为0.19，现采用分层抽样（按年级分层）在全校抽取100人，则应在2015届高三年级中抽取的人数等于．15．（5分）已知椭圆+=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=2px（p＞0）有相同的焦点F，点A 是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则椭圆的离心率是．16．（5分）已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx有3个零点，则实数k的取值X围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，a1=b1=1，且b3s3=36，b2s2=8（n∈N+）．（1）求a n和b n；（2）若a n＜a n+1，求数列的前n项和T n．18．（12分）如图，几何体EF﹣ABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4，∠ADF=90°．（1）求异面直线DF和BE所成角的大小；（2）求几何体EF﹣ABCD的体积．19．（12分）从某校2015届高三年级学生中抽取40名学生，将他们高中学业水平考试的数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图的频率分布直方图．（1）若该校2015届高三年级有640人，试估计这次学业水平考试的数学成绩不低于60分的人数及相应的平均分；（2）若从[40，50）与[90，100]这两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生成绩之差的绝对值不大于10的概率．20．（12分）已知函数f（x）=alnx++1．（Ⅰ）当a=﹣时，求f（x）在区间[，e]上的最值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值X围．21．（12分）已知中心在原点O，左焦点为F1（﹣1，0）的椭圆C的左顶点为A，上顶点为B，F1到直线AB的距离为|OB|．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C1方程为：+=1（m＞n＞0），椭圆C2方程为：+=λ（λ＞0，且λ≠1），则称椭圆C2是椭圆C1的λ倍相似椭圆．已知C2是椭圆C的3倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C2于两点M、N，试求弦长|MN|的取值X围．四、选做题请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，⊙O1和⊙O2公切线AD和BC相交于点D，A、B、C为切点，直线DO1与⊙O1与E、G两点，直线DO2交⊙O2与F、H两点．（1）求证：△DEF～△DHG；（2）若⊙O1和⊙O2的半径之比为9：16，求的值．【选修4-4：极坐标与参数方程】23．已知在一个极坐标系中点C的极坐标为．（1）求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程（写出解题过程）并画出图形（2）在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程．【选修4-5：不等式选讲】24．选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|．（1）当a=3时，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若f（x）≥5﹣x对∀x∈R恒成立，某某数a的取值X围．某某省七校联盟2015届高三上学期第一次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合A={0，1，2，3，4}，B=，则A∩B的真子集个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8考点：子集与真子集．专题：集合．分析：根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：集合A={0，1，2，3，4}，B=={0，1，，，2}，则A∩B={0，1，2}，则A∩B的真子集个数23﹣1=7，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）复数z=（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z；令复数的实部、虚部大于0，得到不等式无解，即对应的点不在第一象限．解答：解：由已知z==[（m﹣4）﹣2（m+1）i]在复平面对应点如果在第一象限，则而此不等式组无解．即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．故选A点评：本题考查复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数；考查复数的几何意义：复数与复平面内的以实部为横坐标，虚部为纵坐标的点一一对应．3．（5分）已知双曲线x2+my2=1的虚轴长是实轴长的两倍，则实数m的值是（）A．4 B．C．D．﹣4考点：双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线x2+my2=1的标准方程为=1，由已知得2=2×2，由此能求出结果．解答：解：∵双曲线x2+my2=1的标准方程为=1，虚轴长是实轴长的两倍，∴2=2×2，解得m=﹣．故选：B．点评：本题考查满足条件的实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．4．（5分）如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD的三视图是（用①②③④⑤⑥代表图形）（）A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D．③④⑤考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的四面体ABCD的直观图，分析出四面体ABCD的三视图的形状，可得答案．解答：解：由已知中四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点，可得：四面体ABCD的正视图为①，四面体ABCD的左视图为③，四面体ABCD的俯视图为②，故四面体ABCD的三视图是①②③，故选：B点评：本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，难度不大，属于基础题．5．（5分）设一直角三角形两直角边的长均是区间（0，1）的随机数，则斜边的长小于的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由题意知本题是一个几何概型，是常说的“约会”问题，解法同一般的几何概型一样，看出试验包含的所有事件对应的集合，求出面积，写出满足条件的集合和面积，求比值即可．解答：解：由题意知本题是一个几何概型，∵两直角边都是0，1间的随机数，设两直角边分别是x，y．∴试验包含的所有事件是{x，y|0＜x＜1，0＜y＜1}对应的正方形的面积是1，满足条件的事件对应的集合{（x，y）|x2+y2＜9/16，x＞0，y＞0．}这个图形是一个圆，面积是，则斜边的长小于的概率P=，故选A．点评：古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到．6．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（）A．f（x）=x﹣B．f（x）=C．f（x）=﹣1 D．f（x）=考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题．分析：选项A，B，当x→+∞时，函数值→+∞，与图象不符，故错误；选项C，函数为偶函数，图象应关于y轴对称，故错误；选项D，函数为奇函数，且完全符合题意，故正确．解答：解：选项A，当x→+∞时，函数值→+∞，与图象不符，故错误；同理可得，选项B，当x→+∞时，函数值→+∞，与图象不符，故错误；选项C，函数为偶函数，图象应关于y轴对称，故错误；选项D，函数为奇函数，且完全符合题意，故正确．故选D点评：本题考查函数的图象和解析式的关系，涉及函数的性质的应用，属基础题．7．（5分）在△ABC中，AB=4，∠ABC=30°，D是边上的一点，且，则的值等于（）A．﹣4 B．0 C．4 D．8考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：由已知中，根据向量垂直的充要条件，可判断出AD为△ABC中BC 边上的高，结合△ABC中，AB=4，∠ABC=30°，可求出向量的模及夹角，代入向量数量积公式，可得答案．解答：解：∵，∴==0即故AD为△ABC中BC边上的高又△ABC中，AB=4，∠ABC=30°，∴AD=2，∠BAD=60°∴==2•4•=4故选C点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，其中根据已知分析出AD为△ABC中BC 边上的高，进而结合已知求出向量的模及夹角是解答的关键．8．（5分）以下四个命题中，真命题的个数是（）①“若a+b≥2则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题；②存在正实数a，b，使得lg（a+b）=lga+lgb；③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”；④在△ABC中，A＜B是sinA＜sinB的充分不必要条件．A．0 B．1 C．2 D．3考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①，写出命题“若a+b≥2则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题，可举例判断①；②，存在正实数a=2，b=2，使得lg（2+2）=lg2+lg2；③，写出“所有奇数都是素数”的否定，再举例说明，可判断③；④，在△ABC中，利用大角对大边及正弦定理可判断④．解答：解：对于①，“若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a，b中至少有一个不小于1，则a+b≥2”，错误，如a=3≥1，b=﹣2，但a+b=1＜2；对于②，存在正实数a=2，b=2，使得lg（2+2）=lg22=2lg2=lg2+lg2成立，故②正确；对于③，“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”，如：9是奇数，但不是素数，故③正确；对于④，在△ABC中，A＜B⇔a＜b⇔2RsinA＜2RsinB⇔sinA＜sinB，故△ABC中，A＜B是sinA ＜sinB的充分必要条件，故④错误．综上所述，②③正确，故选：C．点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考查四种命题之间的关系、全称命题与特称命题之间的关系、充分必要条件的概念及其应用，考查分析、推理能力，属于中档题．9．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=2x上，则的值为（）A．B．C．D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用任意角的三角函数的定义可得tanθ=2，再利用两角和的正弦公式、同角三角函数的基本关系，求得的值．解答：解：由题意可得，tanθ=2，=sin2θ+cos2θ=•=•=•=，故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义、两角和的正弦公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．10．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A，S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解答：解：执行程序框图，有i=0，S=1，A=2i=1，S=2，A=不满足条件i＞2014，i=2，S=1，A=﹣1；不满足条件i＞2014，i=3，S=﹣1，A=2；不满足条件i＞2014，i=4，S=﹣2，A=；不满足条件i＞2014，i=5，S=﹣1，A=﹣1；不满足条件i＞2014，i=6，S=1，A=2；…故A值随i值变化并呈以3为周期循环，当i=2015=671×3+2时，不满足退出循环的条件，故a=﹣1，故选：A．点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基本知识的考查．11．（5分）一个平行四边形的三个顶点的坐标为（﹣1，2），（3，4），（4，﹣2），点（x，y）在这个平行四边形的内部或边上，则z=2x﹣5y的最大值是（）A．16 B．18 C．20 D．36考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不平行四边形对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论．解答：解：∵平行四边形的三个顶点的坐标为A（﹣1，2），B（3，4），C（4，﹣2），∴对应的平行四边形可能是EACB或者ABCD或ABFC，平移直线z=2x﹣5y，由图象可知当直线经过点D时，直线z=2x﹣5y的截距最小，此时z最大，设D（x，y），则满足，即（4，2）=（4﹣x，﹣2﹣y），即4﹣x=4且﹣2﹣y=2，解得x=0，y=﹣4，即D（0，﹣4），代入目标函数得z=﹣5×（﹣4）=20，故选：C点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．，注意满足条件的平行四边形有3个．12．（5分）已知圆C的方程为（x﹣1）2+y2=1，P是椭圆=1上一点，过P作圆的两条切线，切点为A、B，求•的X围为（）A．[0，] B．[2﹣3，+∞] C．[2﹣3，] D．[，]考点：椭圆的简单性质；平面向量数量积的运算．专题：向量与圆锥曲线．分析：利用圆切线的性质：与圆心切点连线垂直；设出一个角，通过解直角三角形求出PA，PB的长；利用向量的数量积公式表示出•，利用三角函数的二倍角公式化简函数，通过换元，再利用基本不等式求出最值．解答：解：设PA与PC的夹角为α，则|PA|=PB|=，∴y=•=|PA||PB|cos2α=•cos2α=•cos2α．记cos2α=u，则y==﹣3+（1﹣u）+≥2﹣3，∵P在椭圆的左顶点时，sinα=，∴cos2α=，∴•的最大值为=，∴•的X围为[2﹣3，]．故选：C．点评：本题考查圆切线的性质、三角函数的二倍角公式、向量的数量积公式、基本不等式求函数的最值，属于中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知扇形AOB（∠AOB为圆心角）的面积为，半径为2，则△ABC的面积为．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：设扇形AOB的弧长为l，圆心角∠AOB的弧度数为φ，则S扇形AOB=l×2=，可求得l==2φ，从而可求φ，利用△AOB的面积公式即可．解答：解：设扇形AOB的弧长为l，圆心角∠AOB的弧度数为φ，则S扇形AOB=l×2=×2φ×2=，∴φ=，∴S△AOB=×2×2×sin=．故答案为：．点评：本题考查扇形面积公式与正弦定理的应用，关键在于利用扇形面积公式求得圆心角∠AOB的弧度数φ，属于中档题．14．（5分）某高中共有学生1000名，其中2014-2015学年高一年级共有学生380人，2014-2015学年高二年级男生有180人．如果在全校学生中抽取1名学生，抽到2014-2015学年高二年级女生的概率为0.19，现采用分层抽样（按年级分层）在全校抽取100人，则应在2015届高三年级中抽取的人数等于25．考点：分层抽样方法．专题：数系的扩充和复数．分析：根据2014-2015学年高二女生被抽到的概率，可以求出2014-2015学年高二女生人数，然后求出2015届高三学生人数即可得到结论．解答：解：∵高中共有学生1000名，在全校学生中抽取1名学生，抽到2014-2015学年高二年级女生的概率为0.19，∴2014-2015学年高二女生共有1000×0.19=190人，则2014-2015学年高二共有学生180+190=370人，则2015届高三人数为1000﹣370﹣380=250人，则采用分层抽样（按年级分层）在全校抽取100人，则应在2015届高三年级中抽取的人数等于人，故答案为：25．点评：本题主要考查分层抽样的应用，利用条件求出2014-2015学年高二女生人数是解决本题的关键，比较基础．15．（5分）已知椭圆+=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=2px（p＞0）有相同的焦点F，点A 是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则椭圆的离心率是﹣1．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆及抛物线的定义知，c=p，故点A（c，2c）；从而求离心率．解答：解：由椭圆及抛物线的定义知，c=p，故点A（c，2c）；则由A也在椭圆上知，+=1，即+=1；解得，=﹣1；故答案为：﹣1．点评：本题考查了圆锥曲线的定义及其应用，属于基础题．16．（5分）已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx有3个零点，则实数k的取值X围是（1，+∞）．考点：函数零点的判定定理；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：由f（0）=ln1=0，可得：x=0是函数y=f（x）﹣kx的一个零点；当x＜0时，由f （x）=kx，得﹣x2+x=kx，解得x=﹣k，由x=﹣k＜0，可得：k＞；当x＞0时，函数f （x）=e x﹣1，由f'（x）∈（1，+∞），进而可得k＞1；综合讨论结果，可得答案．解答：解：∵函数f（x）=，∴f（0）=ln1=0，∴x=0是函数y=f（x）﹣kx的一个零点，当x＜0时，由f（x）=kx，得﹣x2+x=kx，即﹣x+=k，解得x=﹣k，由x=﹣k＜0，解得k＞，当x＞0时，函数f（x）=e x﹣1，f'（x）=e x∈（1，+∞），∴要使函数y=f（x）﹣kx在x＞0时有一个零点，则k＞1，∴k＞1，即实数k的取值X围是（1，+∞），故答案为：（1，+∞）点评：本题考查的知识点是函数零点及零点的个数，二次函数的图象和性质，指数型函数的图象和性质，难度中档．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，a1=b1=1，且b3s3=36，b2s2=8（n∈N+）．（1）求a n和b n；（2）若a n＜a n+1，求数列的前n项和T n．考点：数列的求和；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由题意，a1=b1=1，利用通项公式可得解出即可；（2）由a n＜a n+1，可知d＞0．由（1）可知：a n=2n﹣1．可得==，利用裂项求和即可得到T n．解答：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由题意，a1=b1=1，得解得或．所以，a n=2n﹣1，或，．（2）因为a n＜a n+1，所以d＞0，故a n=2n﹣1．所以，==，故T n==．点评：熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、裂项求和是解题的关键．18．（12分）如图，几何体EF﹣ABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4，∠ADF=90°．（1）求异面直线DF和BE所成角的大小；（2）求几何体EF﹣ABCD的体积．考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）根据几何体的特征，建立空间直角坐标系，求出向量，的坐标，利用向量坐标运算求异面直线所成角的余弦值，可得角的大小；（2）利用几何体的体积V=V E﹣ABCD+V B﹣CEF，分别求得两个棱锥的底面面积与高，代入棱锥的体积公式计算．解答：解：（1）∵AD⊥DF，AD⊥DC，DC∩DF=D，∴AD⊥平面CDF，∴AD⊥DE，又四边形CDEF 为正方形，∴AD，DC，DE所在直线相互垂直，故以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得D（0，0，0），F（0，2，2），B（2，4，0），E（0，0，2），∴，得．设向量夹角为θ，则=．∵异面直线的夹角X围为，∴异面直线DF和BE所成的角为；（2）如图，连结EC，过B作CD的垂线，垂足为N，则BN⊥平面CDEF，且BN=2．∵V EF﹣ABCD=V E﹣ABCD+V B﹣ECF===．∴几何体EF﹣ABCD的体积为．点评：本题考查了异面直线所成角的求法，组合几何体体积的计算，考查了学生的空间想象能力与运算能力，本题采用了向量法求异面直线所成的角，另外本题也可利用作平行线，证角，解三角形求角来求．19．（12分）从某校2015届高三年级学生中抽取40名学生，将他们高中学业水平考试的数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图的频率分布直方图．（1）若该校2015届高三年级有640人，试估计这次学业水平考试的数学成绩不低于60分的人数及相应的平均分；（2）若从[40，50）与[90，100]这两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生成绩之差的绝对值不大于10的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）根据图中所有小矩形的面积之和等于1建立关于a的等式，解之即可求出所求；根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求；（2）成绩在[40，50）分数段内的人数，以及成绩在[90，100]分数段内的人数，列出所有的基本事件，以及两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的基本事件，最后利用古典概型的概率公式解之即可．解答：（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10×（0.05+0.01+0.02+a+0.025+0.01）=1．解得a=0.03．根据频率分布直方图，成绩不低于60（分）的频率为1﹣10×（0.05+0.01）=0.85．由于2015届高三年级共有学生640人，可估计该校2015届高三年级数学成绩不低于60（分）的人数约为640×0.85=544人．可估计不低于60（分）的学生数学成绩的平均分为：45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1=74（2）成绩在[40，50）分数段内的人数为40×0.05=2人，分别记为A，B．成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1=4人，分别记为C，D，E，F若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共15种．如果两名学生的数学成绩都在[40，50）分数段内或都在[90，100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10．如果一个成绩在[40，50）分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有：（A，B），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共7种．点评：本题考查了由频率分布直方图求频率、频数，考查了古典概型的概率计算，是概率统计的基本题型，解答的关键是读懂频率分布直方图，应用相关数据进行准确计算．20．（12分）已知函数f（x）=alnx++1．（Ⅰ）当a=﹣时，求f（x）在区间[，e]上的最值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值X围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导f（x）的定义域，求导函数，利用函数的最值在极值处与端点处取得，即可求得f（x）在区间[，e]上的最值；（Ⅱ）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可确定函数的单调性；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，f（x）min=f（），即原不等式等价于f（）＞1+ln（﹣a），由此可求a的取值X围．解答：解：（Ⅰ）当a=﹣时，，∴．∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴由f′（x）=0得x=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴f（x）在区间[，e]上的最值只可能在f（1），f（），f（e）取到，而f（1）=，f（）=，f（e）=，∴f（x）max=f（e）=，f（x）min=f（1）=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ），x∈（0，+∞）．①当a+1≤0，即a≤﹣1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）②当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）③当﹣1＜a＜0时，由f′（x）＞0得，∴或（舍去）∴f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当﹣1＜a＜0时，f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；当a≤﹣1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，f（x）min=f（）即原不等式等价于f（）＞1+ln（﹣a）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）即aln+﹣+1＞1+ln（﹣a）整理得ln（a+1）＞﹣1∴a＞﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）又∵﹣1＜a＜0，∴a的取值X围为（﹣1，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查恒成立问题，确定函数的单调性，求函数的最值是关键．21．（12分）已知中心在原点O，左焦点为F1（﹣1，0）的椭圆C的左顶点为A，上顶点为B，F1到直线AB的距离为|OB|．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C1方程为：+=1（m＞n＞0），椭圆C2方程为：+=λ（λ＞0，且λ≠1），则称椭圆C2是椭圆C1的λ倍相似椭圆．已知C2是椭圆C的3倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C2于两点M、N，试求弦长|MN|的取值X围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与X围问题．分析：（1）设椭圆C1方程为：（a＞b＞0），直线AB方程为：，F1（﹣1，0）到直线AB距离为d==，b2=a2﹣1，联立解得即可．（2）椭圆C1的3倍相似椭圆C2的方程为：．对切线的斜率分类讨论：若切线m垂直于x轴，求得|MN|=2．若切线m不垂直于x轴，可设其方程为：y=kx+m．将y=kx+m代人椭圆C1方程，利用△=0，可得m2=4k2+3，记M、N两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．将y=kx+m代人椭圆C2方程，利用根与系数的关系、弦长公式、函数的单调性即可得出．解答：解：（1）设椭圆C1方程为：（a＞b＞0），∴直线AB方程为：，∴F1（﹣1，0）到直线AB距离为d==，化为a2+b2=7（a﹣1）2，又b2=a2﹣1，解得：a=2，b=．∴椭圆C1方程为：．（2）椭圆C1的3倍相似椭圆C2的方程为：．①若切线m垂直于x轴，则其方程为：x=±2，易求得|MN|=2．②若切线m不垂直于x轴，可设其方程为：y=kx+m．将y=kx+m代人椭圆C1方程，得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，∴△=48（4k2+3﹣m2）=0，即m2=4k2+3，（*）记M、N两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．将y=kx+m代人椭圆C2方程，得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣36=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴|x1﹣x2|===，∴|MN|===∵3+4k2≥3，∴，即，综合①②，得：弦长|MN|的取值X围为．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切相交问题转化为方程联立可得△及根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．四、选做题请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，⊙O1和⊙O2公切线AD和BC相交于点D，A、B、C为切点，直线DO1与⊙O1与E、G两点，直线DO2交⊙O2与F、H两点．（1）求证：△DEF～△DHG；（2）若⊙O1和⊙O2的半径之比为9：16，求的值．考点：圆的切线的性质定理的证明；相似三角形的判定．专题：计算题；证明题．分析：（1）欲求证：△DEF～△DHG，根据AD是两圆的公切线得出线段的乘积式相等，再转化成比例式相等，最后结合角相等即得；（2）连接O1A，O2A，AD是两圆的公切线结合角平分线得到：AD2=O1A×O2A，设⊙O1和⊙O2的半径分别为9x和16x，利用AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，分别用x表示出DE和DF，最后算出即可．解答：解：（1）证明：∵AD是两圆的公切线，∴AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，∴DE×DG=DF×DH，∴，又∵∠EDF=∠HDG，∴△DEF∽△DHG．（4分）（2）连接O1A，O2A，∵AD是两圆的公切线，∴O1A⊥AD，O2A⊥AD，∴O1O2共线，∵AD和BC是⊙O1和⊙O2公切线，DG平分∠ADB，DH平分∠ADC，∴DG⊥DH，∴AD2=O1A×O2A，（8分）设⊙O1和⊙O2的半径分别为9x和16x，则AD=12x，∵AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，∴144x2=DE（DE+18x），144x2=DF（DF+32x）∴DE=6x，DF=4x，∴．（10分）点评：本题主要考查了圆的切线的性质定理的证明、相似三角形的判定，考查计算能力和逻辑推理能力．【选修4-4：极坐标与参数方程】23．已知在一个极坐标系中点C的极坐标为．（1）求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程（写出解题过程）并画出图形（2）在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）如图，设圆C上任意一点．由余弦定理得：，化简即可得出．（2）利用圆的方程、中点坐标公式可得点M的参数方程，消去参数即可得到普通方程．解答：解：（1）如图，设圆C上任意一点．由余弦定理得：，∴圆C的极坐标方程．（2）在直角坐标系中，点C的坐标为，可设圆C上任意一点又令M（x，y）由，M是线段PQ的中点．。

数学参考答案·第1页（共8页）贵阳市七校2025届高三年级联合考试（一）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 CBADCABD【解析】1．因为i i a z z +=- ，所以i (1)(1)i1i 2a a a z -+--++==+，因为复数z 为纯虚数，所以1010a a -=+≠，，所以1a =，故选C ．2．集合2{|320}[12]A x x x =-+=≤，，(2)B a a =+，，01A B a ⊆⇔<<，所以0a >是A B⊆的必要不充分条件，故选B ．3．设OA = a ，OB = b ，OC = c ，因为+=a b c ，所以四边形OACB 是2π3AOB ∠=的菱形，所以a 与-a b 的夹角即π6OAB ∠=，故选A ． 4．可估计全班学生数学的平均分为3280757855⨯+⨯=，方差为2232[7(8078)][2(7578)]55+-++-11=，故选D ．5．因为e 11e ()()e 1e 1x x xx f x f x -----===-++，所以()f x 为奇函数，又因为1e ()1e 12x x f x +-==-+ 2e 1x+，所以()f x 为R 上的增函数．因为2()(2)0f m f m +->，所以2()(2)(2)f m f m f m >--=-，所以22m m >-，即220m m +->，解得2m <-或1m >，所以实数m 的取值范围为(2)(1)-∞-+∞ ，，，故选C ． 6．根据题意可得A D A E A D A F A E A F ''''''⊥⊥⊥，，，且1A E A F ''==， 1，2A D '=，所以三棱锥D A EF '-可补成一个长方体，则三棱锥D A EF '-的外接球即为长方体的外接球，如图1所示，设长方体图1的外接球的半径为R，可得2R=，所以2R=，所以外接球的体积为3344ππ33V R===⎝⎭，故选A．7．由函数的图象可知：(1)0(2)0f f==，，解得32b c=-=，，所以32()32f x x x x=-+，可得2()362f x x x'=-+，由韦达定理得1212223x x x x+==，，所以21212121212()()2()3()23f x f xx x x x x xx x-=+--++=--，故选B．8．因为2224b b a b b aa b a b a b++=+=++≥，当且仅当23a b==时，等号成立，因为223bt ta b-+≤恒成立，所以234t t-≤，即(34)(1)0t t-+≤，解得413t-≤≤，故选D．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号9 10 11答案ABD ACD AC【解析】9．由图可得，2A=，ππ12π3124ω-=⨯，解得2ω=，故A正确；又函数图象经过点π212⎛⎫⎪⎝⎭，，则π2sin2212ϕ⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭，即πsin16ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，因π||2ϕ<，故ππ62ϕ+=，解得π3ϕ=，故π()2sin23f x x⎛⎫=+⎪⎝⎭；对于B，当5π12x=-时，ππ232x+=-，此时函数取得最小值，故B 正确；对于C，2π4ππ2sin22sin2333f x x x⎛⎫⎛⎫-=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，是奇函数，故C错误；对于D，将函数π()2sin23f x x⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，将得到函数π2sin3y x⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，故D正确，故选ABD．10．对于A：直线210l kx y k++-=：，整理为(2)10k x y++-=，不管k为何值，直线l始终过点(21)-，，故A正确；对于B：1k=时直线l的方程为10x y++=，它不过圆C的圆心(03)，，故B不正确；对于C：由A知当(21)-，是线段AB的中点时，此时弦长AB数学参考答案·第2页（共8页）数学参考答案·第3页（共8页）最短，而圆22(3)16C x y +-=：，圆心是(03)，，半径4r =，圆心(03)，和点(21)-，的距离是||AB ==，故C 正确；对于D ：当2k =时，直线230l x y ++=：，曲线222(6)370x y x y λλλ+++-+-=，即2267x y y +--+(23)0x y λ++=，显然该曲线过直线l 与圆C 的交点，故D 正确，故选ACD ．11．由题意知函数()y f x =的图象关于点(21)，对称，所以(2)1f =，A 正确；若函数()sin(π)1f x x =+，则函数()πcos(π)g x x =，(2)πg =，B 错误；易得函数()y f x =的周期也为2，而函数(2)1y f x =+-是奇函数，所以函数()1y f x =-是奇函数，C 正确；若函数()sin(π)1f x x =+，则(1)1f =，所以20241()2024k f k ==∑，D 错误，故选AC ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）【解析】12．由正弦定理得a b c c b a b-=-+，即222b c a bc +-=，由余弦定理得222cos 22b c a bc A bc bc +-== 12=，又(0π)A ∈，，所以π3A =． 13．因为na x ⎫⎪⎭的展开式的二项式系数和为32，所以5n =，515C kkk k a T x -+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭5325C ()kkk a x--，所以2x -的系数为335C ()80a -=，所以2a =-．14．3220.50.5()()log ()(1)()log ()f x x ax x a x b x x a x b =-+-+=+-+，且210y x =+>恒成立，y x a =-在定义域上单调递增且零点为x a =，0.5(log )y x b =+在定义域上单调递减且零点为1x b =-，故y x a =-与0.5(log )y x b =+在定义域内函数值正负相反且零点重合，则11a b a b =-⇔+=，所以33a b +=≥．数学参考答案·第4页（共8页）四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）（1）证明：由2n n S a n =-可得，当1n =时，1121a a =-，解得11a =， …………………………………………………（2分） 当2n ≥时，112(1)n n S a n ++=-+， 所以111221n n n n n a S S a a +++=-=--，即121n n a a +=+， …………………………………………………………………………（4分） 所以11211211n n n n a a a a ++++==++为常数，且112a +=， 所以数列{1}n a +是以2为首项，2为公比的等比数列．………………………………………………………………………………………（6分） （2）由（1）得11222n n n a -+== ，则21n n a =-，………………………………………………………………………………………（7分） 所以1222n n n S a n n +=-=--，…………………………………………………………（9分） 所以23112(222)[34(2)]n n n T S S S n +=+++=+++-++++22242(32)5241222n n n n n n ++-+++=-=---． …………………………………………（13分） 16．（本小题满分15分） （1）证明：因为AB AD =，CB CD =，所以ABC ADC △≌△，所以ABO ADO △≌△．所以BO OD =，90AOB AOD ∠=∠=︒，所以AC BD ⊥．……………………………（3分） 因为AB AP BC PC AC AC ===，，，所以ABC APC △≌△． 因为BO AC ⊥，所以PO AC ⊥，又因为PO BD O = ，PO ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ． …………………………………………………………………（6分）数学参考答案·第5页（共8页）（2）解：由（1）可知OB OC ⊥，因为5AB BC AC ===， 所以222AB BC AC +=，所以90ABC ∠=︒， 从而由等面积法，可知1025BO ==，由勾股定理，可知1AO ==，因为PB =222PB PO BO =+，所以PO OB ⊥．又因为PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ．……………………………………………（8分） 以O 为原点，OB OC OP ，，所在直线分别为x y z ，，轴，建立如图2所示的空间直角坐标系，由（1）可知BO OD OP ==， 所以2OD OP ==，所以(002)P ，，，因为(200)(010)(200)(040)B A D C --，，，，，，，，，，，，………………………………………………………………………………………（10分） 因为点Q 为线段PC 的中点，所以(021)Q ，，，………………………………………（11分） 所以(221)(012)(202)BQ PA PD =-=--=--，，，，，，，，， 设平面PAD 的法向量为()n x y z =，，，则00PA n PD n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，令1z =-，解得12x y ==，，所以平面PAD 的法向量为(121)n =-，，，……………………………………………（13分） 设直线BQ 与平面PAD 所成角为θ，则||sin |cos |||||18n BQ n BQ n BQ θ〉=〈===，， 所以直线BQ 与平面PAD15分） 图2数学参考答案·第6页（共8页）17．（本小题满分15分）解：（1）由题意得()f x 的定义域为(0)+∞，，11()ax f x a x x='-=-………………………………………………………………………………………（2分） 当0(0)a x ∈+∞≤，，时，()0f x '<，所以()f x 在区间(0)+∞，内单调递减； 当0a >时，令()0f x '=，得1x a=， 当10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0()f x f x <'，单调递减；当1x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，()0()f x f x >'，单调递增．综上，当0a ≤时，()f x 在区间(0)+∞，内单调递减；………………………………（4分） 当0a >时，()f x 在10a ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增．………………（6分）（2）当1a =时，由2e ()x k x f x x -≤，得2e ln x k xx x x--≤， 整理得22e ln xk x x x x +-≥，即2ln 2e xx x x xk +-≥．……………………………………（8分）令2ln ()exx x x xh x +-=， 则22(21ln 1)e (ln )e (ln )(1)()(e )e x x x xx x x x x x x x x h x +---+---='=，……………………（10分）由（1）知，当1a =时，()ln f x x x =-的最小值为(1)10f =>，即ln 0x x ->恒成立， …………………………………………………………………（11分）所以当(01)x ∈，时，()0()h x h x >'，单调递增；当(1)x ∈+∞，时，()0()h x h x <'，单调递减．…………………………………………（13分） 故当1x =时，()h x 取得最大值2(1)e h =，即22ek ≥， 故k 的取值范围为1e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．…………………………………………………………（15分）18．（本小题满分17分）解：（1）记甲同学先投3分球，投篮2次就终止投篮的事件为A ， 11111()11.52522p A ⎛⎫⎛⎫=⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………………………………………………………………（4分）数学参考答案·第7页（共8页）（2）记甲同学先投3分球通过测试的概率为1p ，则1111111117115252252220p ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；…………………………………（7分）记甲同学先投2分球通过测试的概率为2p ， 则2111111117112222220255p ⎛⎫⎛⎫=⨯+-⨯⨯+⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 因为12p p =，故甲同学先投2分或先投3分是一样的．……………………………（10分） （3）记甲同学先投3分球投篮累计得分为X ，先投2分球投篮累计得分为Y ，X 可能取0，2，3，4，5，………………………………………………………………（11分） 412(0)525P X ==⨯=，411(2)51225P X ==⨯⨯=， 1111(3)52220P X ==⨯⨯=，411(4)51225P X ==⨯⨯=，111113(5)5252220P X ==⨯+⨯⨯=，1113()2345 2.1520520E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．……………………………………………（14分）Y 可能取0，2，4，5， 111(0)224P Y ==⨯=，121142(2)C 2255P Y ==⨯⨯⨯=， 111(4)224P Y ==⨯=，121111(5)C 22510P Y ==⨯⨯⨯=， 21123()245 2.1541010E Y =⨯+⨯+⨯=>． 故甲同学先投2分球投篮累计得分期望最大． ………………………………………（17分） 19．（本小题满分17分）解：（1）因为点P 在椭圆C 上，PF x ⊥轴，且||1PF =，故0)F ，所以P的坐标为1)， 所以222112a a +=-，解得24a =，2a =．……………………………………………（4分） （2）由（1）知椭圆C 的方程为22142x y +=，设动点00()M x y ，，则2200142x y +=，所以220022x y =-，………………………………（5分）故||||2MF x==-，…………………………………………（7分）|||MN x=-，………………………………………………………………………（9分）所以||||2MFMN=．………………………………………………………………………（10分）（3）不妨设AFB∠γ=，ABF△的外接圆半径为R，则由正弦定理||||||2sin sin sinAF BF ABRαβγ===，所以||2sin||2sin||2sinAF R BF R AB Rαβγ===，，．…………………………………（12分）如图3，过A B，分别作直线x=D E，，过B作BG AD⊥于点G，由（2）的结论可得||||||||AF BFAD BE==所以||||(||||)2AF BF AD BE-=-，即2sin2sin||2R R AGαβ-=，所以||(sin sin)AGαβ=-，………………………………………………………（14分）又2ABk=，得tan2BAG∠=，则||cos||3AGBAGAB=∠=，即(sin sin)2sin3Rαβγ-=，…………………………（16分）所以sin sinαβγ-=，当且仅当π2γ=时等号，所以sin sinαβ-的最大值为3．……………………………………………………（17分）图3数学参考答案·第8页（共8页）。

贵阳市七校2025届高三年级联合考试（一）数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将答题卡交回.本卷满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.已知复数z 满足i i a z z +⋅=-，若复数z 为纯虚数，则实数a 的值为（）A.2- B.1- C.1D.22.设集合{}2320,{2}A xx x B x a x a =-+≤=<<+∣∣，则0a >是A B ⊆的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.若向量,,a b c 都是单位向量，且a b c += ，则a 与a b - 的夹角为（）A.π6B.π3C.2π3 D.5π64.为了了解某班学生数学成绩，利用分层随机抽样抽取了一个10人的样本，统计如下：学生数平均分方差男生6807女生4752则可估计全班学生数学的平均分和方差分别为（）A.77.5,5B.77.5,11C.78,5D.78,115.已知函数()e 1e 1x xf x -=+，且满足()()220f m f m +->，则实数m 的取值范围是（）A.()1,+∞ B.(),2-∞- C.()(),21,-∞-+∞ D.()2,1-6.如图甲，在边长为2的正方形ABCD 中，,E F 分别是,AB BC 的中点，将,,AED BEF DCF 分别沿,,DE EF DF 折起，使得,,A B C 三点重合于点A '，如图乙，若三棱锥A EFD '-的所有顶点均在球O 的球面上，则球O 的体积为（）A.B.6πC.8πD.7.已知函数()32f x x bx cx =++的图像如图所示，12,x x 是()f x 的极值点，则()()1212f x f x x x --等于（）A.12-B.23-C.1-D.43-8.已知0,0a b >>，且22a b +=，若223b t t a b-≤+恒成立，则实数t 的取值范围是（）A.2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.4,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.2ω=B.函数()f x 的图象关于直线5π12x =-对称C.函数2π3f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数D.将函数()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数π2sin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象10.已知直线:210l kx y k ++-=与圆22:670C x y y +--=相交于,A B 两点，下列说法正确的是（）A.直线l 恒过某一定点B.1k =时，AB 最大C.AB 的最小值为D.当2k =时，对任意R λ∈，曲线()2226370x y x y λλλ+++-+-=过直线l 与圆C 的交点11.我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数.已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()g x ，若函数()21y f x =+-是奇函数，函数()1y g x =+是偶函数，则（）A.()21f = B.()12g =C.函数()1y f x =-是奇函数D.20241()1012k f k ==∑三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin sin sin sin A B cC B a b-=-+，则A =__________.13.若na x ⎫-⎪⎭的展开式的二项式系数和为32，且2x -的系数为80，则实数a 的值为__________.14.设函数()()()3212log f x x ax x a x b =-+-+，若()0f x ≤，则33a b +的最小值为______.四､解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a n =-.(1)求证{}1n a +为等比数列；(2)求数列{}n S 的前n 项和n T .16.如图甲，中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”.某种风筝的骨架模型是是四棱锥P ABCD -，其中AB AD AP CB CD CP AC ======交BD 于点O ，如图乙.（1）求证：AC ⊥平面PBD ；（2）若5,AC PB ==，点Q 是线段PC 的中点，求直线BQ 与平面PAD 所成角的正弦值.17.已知函数()ln f x ax x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若1a =，且()2e x k xf x x-≤，求k 的取值范围.18.某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，在M 处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，在N 处连续投2次两分球，每投进一次得2分，未投进不得分，测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮（若前两次投篮后确定不能通过测试也终止投篮）.甲同学为了通过测试，刻苦训练，投中3分球的概率为15，投中2分球的概率为12，且每次投篮结果互不影响.（1）若甲同学先投3分球，求他投篮2次就终止投篮的概率；（2）为使通过测试的概率最大，甲同学应先投几分球？（3）为使投篮累计得分期望最大，甲同学应先投几分球？19.已知椭圆()2222:102x y C a a a +=>-过点,P F 为C 的右焦点，PF x ⊥轴，且1PF =，如图，过点P的两条动直线交椭圆于1,1,2,2.（1）求实数a 的值；（2）设M 是C 的动点，过点M 作直线x =,MN N 为垂足，求MF MN；（3）记,FBA FAB αβ∠=∠=，若直线AB 的斜率为2，求sin sin αβ-的最大值.贵阳市七校2025届高三年级联合考试（一）数学贵阳六中贵阳八中贵州省实验中学贵阳民中贵阳华师一学校贵阳二中注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将答题卡交回.本卷满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】D二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）【9题答案】。

2019—2020学年度第一学期高三六校联考数学期初检测答案一、选择题(1). .A (2). .D (3). .B (4). .B (5). .D (6). .A (7). .C (8). .C (9). .A 二、填空题(10). 40- (11). 5 (12). 1:3 (13). 33 (14). 22 (15). 2143⎛⎤- ⎥ ⎝⎦- 三、解答题16.(1) X 可以为0123，，， (1分) ()222222531030C C P X C C ==⋅= (2分)()112211322212222253538130C C C C C C P X C C C C ⋅⋅==⋅+⋅=(4分) ()2112113232122222535315230C C C C C C P X C C C C ⋅⋅==⋅+⋅= (6分) ()21131222536330C C C P X C C ⋅==⋅= (7分) X 0123P1304151215分)(2) ①P （一次游戏获奖）()()7=2310P X P X =+== (10分)②7~4,10Y B ⎛⎫⎪⎝⎭(11分)()7410E Y ∴=⨯ (12分)()145E Y ∴=(13分)17. (1)SB SC BO OC ==，SO BC ∴⊥ (1分) 平面SBC ⊥平面ABC (2分) 平面SBC 平面=ABC BC (3分) SO ⊂平面SBC (4分)SO ∴⊥平面SBC(2)2SB SC AB AC ====2BC =, BS CS BA CA ∴⊥⊥，如图，分别以,,OB OA OC 为x 轴，y 轴，z 轴的非负半轴，建立空间直角坐标系()0,1,0A ，()1,0,0B ，()0,0,1S ，()1,0,0C - (5分)()1,1,0AB ∴=-，()1,0,1SC =-- (6分) 1cos ,222AB SC AB SC AB SC===⋅⋅ (8分) ∴异面直线AB 和SC 所成角为3π(9分) (3)设(),,m a b c =为平面SBA 的法向量()()1,1,01,0,1AB SB =-=-，0a b a c -=⎧∴⎨-=⎩，即()1,1,1m = (11分) 设()0,0,M t ，[]()0,1t ∈()0,1,AM t ∴=-设AM 与平面SAB 所成角为θsin cos ,m AM m AM m AMθ==⋅∴213031t t-=⋅+ )22661521t t t +=-+231030t t -+=()()3310t t --=3t =（舍） 13t =(13分) OM ∴的长为13(14分)18. (1)11n n S qS +=+11n n S qS -=+ ()2n ≥1n n a qa +∴= ()2n ≥ (1分)211S qS =+1211a a qa ∴+=+11a =21a qa ∴= (3分)1n n a qa += ()*n N ∈ 0q >{}n a ∴为公比是q 的等比数列 (4分)即1n n a q -=232,,24a a a -成等差数列322224a a a ∴=+- (5分) 2223q q =-()()2120q q -+=2q =-（舍）12q =112n n a -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ (7分)（2）1n nb a = (9分)11n n b q -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭2=3b13n n b -∴= (10分).()()()()()()11111113311=11231313131i nnn i i i i i i i i i i b b b +--===+⎛⎫⎪=- ⎪++++++⎝⎭∑∑∑ (13分). ()()101121113111111=112313131313131ni n n i i i b b b+-=+⎛⎫∴-+-+⋅⋅⋅+- ⎪++++++++⎝⎭∑31133==22314232n n ⎛⎫∴-- ⎪+⋅+⎝⎭ (15分).19. (1) 22e =，2b c a ∴==(1分) 设圆F 的方程为()222x y c c +-=，圆心为()0,c ，半径为c 设d 为圆心到直线40x y +-=的距离则d ， (3分)22222d r ⎛+= ⎝⎭(4分)()22422c c -∴+= 即28200c c +-=()()2100c c -+= 0c > 2c ∴= (6分) 椭圆的方程为22184y x += (7分) (2)设1l 的方程为2x ty =-，2l 的方程为12x y t=--联立 222802y x x ty ⎧+-=⎨=-⎩，可得()222280y ty +--=整理()222180t y ty +-=，设()11,M x y ，M 不是椭圆的顶点12821ty t ∴=+，带入2x ty =-，得2124221t x t -=+222428,2121t t M t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭(10分) 联立 2228012y x x y t ⎧+-=⎪⎨=--⎪⎩，设()22,N x y ， 222882121t t y t t --∴==+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 带入12x y t =--，得2222214242=2121t t x t t ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭=+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭222428,22t t N t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ (12分)①若MN 斜率存在()()()()()()2222222222228882821212=42424224221212MN t t t t t t t t k t t t t t t t t --+++++=---+--+-++ 34224243=881t t tt t +=-- (13分)MN l ：22228342=212t t t y x t t t ⎛⎫---- ⎪+-+⎝⎭2222233428=1122t t t ty x t t t t --⋅---++ ()()()()22222342813=112t t t t ty x t t t -+----+ ()()3222324=112t t t y x t t t +---+ 2232=11t ty x t t --- 232=13t y x t ⎛⎫- ⎪-⎝⎭ 恒过203⎛⎫ ⎪⎝⎭， (15分)②若MN 斜率不存在1l 的方程为2x y =-，2l 的方程为2x y =--28,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，28,33N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时MN l ：23x =，亦过203⎛⎫ ⎪⎝⎭， (16分)综上，直线MN 恒过203⎛⎫⎪⎝⎭，20. （1）()()1ln 2f x a x '=+ (2分)2e k f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭()112a ∴+= 即 1a = (3分) =ln 2222e ee f ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭222e e b ∴=⨯+ 即 2eb =- (4分) （2）()1ln2f x x '=+令()0f x '> 12x e∴> (6分) ①12t e≥时，()f x 在[],1t t +单调递增 ()()min ln2f x f t t t == (7分)②112t t e <<+时，即102t e<<时 ()f x 在1,2t e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，1,12t e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦单调递增()min 1122f x f e e⎛⎫== ⎪⎝⎭ (8分)③112t e+≤时，0t > ∴舍 (9分)综上()min 1ln 2211022t t t ef x t e e ⎧≥⎪⎪=⎨⎪<<⎪⎩（3）(),1ln2M m m +，(),1ln2N n n +，ln1ln 21ln 2nn mm k n m n m+--∴==-- (11分)ln ln ln 11=n n n m n n m m m m m n m m n m n m---+-=--- 0m n << 1nm∴>令nt m =，设()ln 1g t t t =-+()11g t t'=-，()1,t ∈+∞，()0g t '∴<即()g t 在()1,+∞单调递减()1=0g ()0g t ∴<ln 10n n m m -+< ln10nm n m m∴-<-即ln1nm n m m <- (14分) ln ln ln 11=n n n m n m m m n m n n m n n m n m--+--=--- 令n t m =，设()1ln 1h t t t =+-()22111t h t t t t-'=-=，()1,t ∈+∞，()0h t '∴> 即()h t 在()1,+∞单调递增()1=0h ()0h t ∴>ln 10n m m n +-> ln10nm n m n ∴->- 即ln1n m n m n>- (17分) 综上ln 11n m n n m m <<-，即11,k n m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭。