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1复杂求值法：对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷——弹簧振动振子机械能守恒问题新解

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对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷
——弹簧振动振子机械能守恒问题新解（复杂求值法）
李学生1，师教民2
（1.山东大学 物理学院，山东 济南 250100；2.石家庄广播电视大学 科学技术部，河北 石家庄 050081）
摘 要：重新解答了第26届全国中学生物理竞赛复赛第三题第一小题，指明了该题的参考
解答（标准答案）错误．
关键词：物理竞赛试题；弹簧振子；动能；势能；机械能守恒
中图分类号：O 313.1 文献标识码：A
公元2009年第26届全国中学生物理竞赛复赛三、1.题为：
一质量为m 的小球与一劲度系数为k 的弹簧相连组成一体系，置于光滑水平地面上，弹簧的另一端与固定墙面相连，小球做一维自由振动．试问在一沿此弹簧长度方向以正常数u 的速度做匀速运动的参考系里观察，此体系的机械能是否守恒，并说明理由． 参考解答：否．原因是墙壁对于该体系而言是外界，墙壁对弹簧有作用力，在运动参考系里此力的作用点有位移，因而要对体系做功，从而会改变这一体系的机械能．
1)我们重新解答该题
分析：因为地球、墙壁固连在一起，故它们是一个质点，俗称为地面参照系，简称为地面系．弹簧被视为只有弹力而无质量的弹簧，叫做轻质弹簧，就像只有质量而无体积的物体叫做质点一样，因此，尽管弹簧已无质量但是仍有弹力．与弹簧相连的小球是另一个质点．质点地面和质点小球通过弹簧的弹力相互作用．小球与弹簧可伸缩的部分组成弹簧振子体系．因为弹簧没有质量，所以小球的机械能就是弹簧振子体系的机械能．
解：在地面系观察时，以弹簧未被压缩和拉伸时（弹簧平衡时）的小球所处地面位置o 为坐标原点，以弹簧长度方向且向右的直线ox 为x 轴，建立直线坐标系；匀速运动系为小车．如图1．
在地面系观察时，在弹簧振子体系中，因为墙壁施与的约束力T 是弹簧左端的弹力f 的反作用力，所以T =-f ．因为弹簧圈左与墙壁固连，右与弹簧固连，所以f 和T 都作用在弹簧圈即约束力T 的作用点上且因T =-f 而成为平衡力，故f 和T 在弹簧圈即T 的作用点处就抵消，从而使T 加不到小球上（图1中只画出f 和T 的两个方向中的一个方向），所以T 不在小球的振动位移上对小球做功，即墙壁不改变小球的机械能，小球的机械能仅由弹簧右端的弹力f 来维持．即小球只受到五大常见保守力（参见论文《论势能》）之一的弹簧弹力作用，不受任何其他外力和非保守内力作用．
据弹簧振子知识（参见论文《论势能》第3～4，6～7页）知，小球做简谐振动.设0时刻，小车系和地面系完全重合；将小球向右拉至最大振幅B 并放手，则小球便做角频率为ω的简谐振动.设t 时刻，小球的振幅、速度、加速度、受的力、动能、势能、机械能，在地面系分别为x ，v ，a ，f ，e k ，e p ，e ；在小车系分别为X ，V ，A ，F ，E k ，E p ，E ．则再据伽利略变换有：
ma =f =-kx ，k =mω2，x =B cos (ωt )，v =-ωB sin (ωt )，
X =x -ut ，V =v -u ，A =a -0=a ，F =mA =ma =f =-kx =保守力．
据地面系中的动能定义式[参见论文《论势能和动能的对称性》第8页(26)式]知：
e k (t )=21m v 2 =21m [-ωB sin (ωt )]2=21m ω2B 2sin 2 (ωt )=2
1kB 2sin 2 (ωt )． 据地面系中的势能定义式[参见论文《论势能和动能的对称性》第4页(15)式]知：
-图1 弹簧振动振子机械能守恒问题新解
2 e p (t )=
21kx 2=21kB 2cos 2 (ωt )．e (t )=e k (t )+e p (t )=21kB 2sin 2 (ωt )+21kB 2cos 2 (ωt )=2
1kB 2=常数． 所以，在地面系，弹簧振子体系的机械能守恒且守恒值为21kB 2． 据小车系中的机械能定义式[参见论文《论势能和动能的对称性》第9页(32)式]知：
E =e +221mu -m u ⋅v 0=21kB 2+22
1mu -m u ⋅0=21kB 2+21mu 2=常数． 所以，在小车系，弹簧振子体系的机械能守恒，守恒值为21kB 2+2
1mu 2． 2)剖析参考解答错误
原清华大学教授、《大学物理》副主编高炳坤先生在其论文文献[1]中说：“从地面上看，墙对弹簧的作用力F （见图2）的作用点无位移，故F 不作功，…．
从小车上看，墙对弹簧的作用力F 的作用点却以恒速-v 移动（图2），故F 要作负功…．”
本文研究的竞赛题的参考解答（即标准答案）说：“…墙壁对于该体系而言是外界，墙壁对弹簧有作用力，在运动参考系里此力的作用点有位移，因而要对体系做功…．”
从地面上看，振子或小球也有振动位移，但是高炳坤先生和参考解答（即标准答案）都认为，墙壁对弹簧的作用力T 不在小球的振动位移上对小球做功．这种认识正确，理由为：墙壁的约束力T 只是弹簧左端的弹力f 的反作用力，所以T =-f ．可是又因为弹簧圈左与墙壁固连，右与弹簧固连，所以它是墙壁和弹簧的中间物，故f 和T 都作用在弹簧圈即约束力T 的作用点上且因T =-f 而成为平衡力，故不论是从地面系还是从小车系看，f 和T 在弹簧圈处就抵消，从而使T 加不到小球上，故T 不在小球的振动位移上对小球做功，即墙壁不改变弹簧振子体系的机械能，弹簧振子体系的机械能仅由弹簧右端的弹力f 来维持．但是从小车系看，弹簧圈即T 的作用点和弹簧振子体系一起因为有速度-u 而有位移-ut (从u 为常数也可看出T =-f )，故f 和T 对弹簧振子体系在位移-ut 上都做功．然而因为f 和T 大小相等、方向相反而使它们做的功也因为大小相等、正负不同而抵消，所以墙壁不能改变弹簧振子体系的机械能，因此参考解答（即标准答案）说墙壁“会改变这一体系的机械能”是错误的．
参考文献：
[1]高炳坤．能量追踪[J ]．大学物理，2001，(20)3：15-16．
[2]赵凯华，罗蔚茵．新概念物理教程 力学[M ]．北京：高等教育出版社，2000：124． Our Discussion on A Question from CPHO ——Brand-new explanation of mechanical energy
conservation of a spring vibration oscillator
Li Xue-sheng 1，Shi Jiao-min 2
(1.School of Physics ，Shan dong University, Jinan 250100, China ；
2.Department of Science and Technology, Shijiazhuang Radio and Television
University, Shijiazhuang 050081, China )
Abstract ：This article re-explained the question of III. (1) of the 26th Session of National Physics Contest and pointed out that the key to the problem provided (i.e. the standard key) is wrong.
Key words ：the physics contest ；a spring oscillator ；kinetic energy ；potential energy ；conservation of mechanical energy
作者简介： 李学生(1969−)，男，教授，山东济南人．现从事普通物理的教学与研究．
Email ：diancizhiliang@
师教民(1945−)，男，教授，河北晋州人．现从事数学、物理、电工、电子的教学与研究．
Email ：shijm618@。

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2024年9月第41届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答

2024年9月第41届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答

第41届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答（2024年9月21日9:00-12:00）一、（45分） （1）（1.1）记质量为M 的振子偏离平衡位置的位移为x （向左为正），单摆的偏转角为θ（向左为正），摆臂上的张力为T ，按牛顿第二定律，摆锤在水平方向上的运动方程为m ẍ+lθcos θ−lθ sin θ =−T sin θ ①在竖直方向上的运动方程为m −l sin θθ−lθ cos θ =m g −T cos θ ② 利用小幅度振动条件，保留到小量θ的领头阶，有sin cos 1 ， ③将③式代入①②式，并保留到小量θ的领头阶，得T mg ④ ẍ+lθ+g θ=0⑤【注: 利用悬点不动的非惯性系也可更方便地得到上述结果。

在悬点不动的非惯性系中，摆锤额外受到横向的惯性力−mẍ，有角向运动方程mlθ=−m g sin θ−mẍcosθ ①′ 同时也有径向运动方程2θcosθsin ml mx g T m ②′进一步利用小摆幅条件，保留到小量θ的领头阶，即得⑤④式。

】质量为M 的振子在水平方向上做一维运动， 由牛顿第二定律得Mẍ=−kx +T sin θ+H cos ωt ⑥由③④⑥式得Mẍ+kx −m g θ=H cos ωt ⑦只考虑系统在强迫力下的稳定振动，稳定振动的圆频率为ω，设cos(x x A t ) ⑧ cos()l B t ⑨其中φ 、φ 是稳定振动与所受强迫力之间的位相差。

将⑧⑨式代入方程⑤⑦后，所得出的两个方程对任意时间 t 均成立，故有00x ，⑩进而有22M m k A m B H⑪ 22200A B⑫由⑪⑫式得2202222200()()()HA k M m⑬222222222000()()H B A k M m⑭其中（1.2）由⑬式可知，当没有阻尼器时（这时0m ），有2HA k M ⑮即当风的频率为⑯时，大楼受迫振动幅度最大。

当风的频率取⑮式所示的值、但有阻尼器时，由⑬式得k g H H kl Mg M l A g k gkm m l M⑰为了调节阻尼器的参数m 、l 使得A 最小，可取Mgl k， ⑱或m 尽可能大。

专题 弹簧振子单摆《机械振动与波》要点

专题 弹簧振子单摆《机械振动与波》要点

● 基础知识落实 ●1、弹簧振子： 2.单摆（1）.在一条不可伸长、不计质量的细线下端系一质点所形成的装臵.单摆是实际摆的理想化物理模型.（2）.单摆做简谐运动的回复力单摆做简谐运动的回复力是由重力mg 沿圆弧切线的分力 F ＝mgsin θ 提供(不是摆球所受的合外力)，θ为细线与竖直方向的夹角，叫偏角.当θ很小时，圆弧可以近似地看成直线，分力F 可以近似地看做沿这条直线作用，这时可以证明F ＝－tmgx ＝－kx .可见θ很小时，单摆的振动是 简谐运动 . （3）.单摆的周期公式①单摆的等时性：在振幅很小时，单摆的周期与单摆的 振幅 无关，单摆的这种性质叫单摆的等时性，是 伽利略 首先发现的.②单摆的周期公式 π2 g lT =，由此式可知T ∝g1，T 与 振幅 及 摆球质量 无关. （4）.单摆的应用①计时器：利用单摆的等时性制成计时仪器，如摆钟等，由单摆的周期公式知道调节单摆摆长即可调节钟表快慢.②测定重力加速度：由gl T π2=变形得g ＝22π4T l ，只要测出单摆的摆长和振动周期，就可以求出当地的重力加速度.③秒摆的周期 秒 摆长大约 米 （5）.单摆的能量摆长为l ，摆球质量为m ，最大偏角为θ，选最低点为重力势能零点，则摆动过程中的总机械能为:E ＝ mgl (1－cos θ) ，在最低点的速度为v ＝ ) cos 1(2 θ-gl .知识点一、弹簧振子：1、定义：一根轻质弹簧一端固定，另一端系一质量为m 的小球就构成一弹簧振子。

2、回复力：水平方向振动的弹簧振子，其回复力由弹簧弹力提供；竖直方向振动的弹簧振子，其回复力由重力和弹簧弹力的合力提供。

3、弹簧振子的周期：km T π2= ① 除受迫振动外，振动周期由振动系统本身的性质决定。

② 弹簧振子的周期和频率只取决于弹簧的劲度系数和振子的质量，与其放臵的环境和放臵的方式无任何关系。

如某一弹簧振子做简谐运动时的周期为T ，不管把它放在地球上、月球上还是卫星中；是水平放臵、倾斜放臵还是竖直放臵；振幅是大还是小，只要还是该振子，那它的周期就还是T 。

机械能守恒定律的应用

机械能守恒定律的应用

机械能守恒定律的应用机械能守恒定律是物理学中的一项基本定律，它描述了一个系统中机械能的总量始终保持不变。

在本文中，将探讨机械能守恒定律的应用，并通过实例来说明其在实际问题中的重要性。

一、弹簧振子的机械能守恒定律应用弹簧振子是物理学中经常使用的一个模型，它由一个弹簧和一块质点组成。

当质点受力振动时，机械能守恒定律可以被用来分析系统的能量变化。

假设质点的质量为m，弹簧的劲度系数为k，质点的位移为x。

在振动开始时，质点的势能为0，动能也为0。

根据机械能守恒定律，振动过程中质点的总机械能E保持不变。

在振动的最大位移处，质点的动能最大，势能最小。

而在质点通过平衡位置时，势能最大，动能最小。

但总的机械能保持不变。

这个定律的应用可以帮助我们计算弹簧振子的振幅、周期等重要参数。

通过测量振动过程中质点的位移和速度，我们可以根据机械能守恒定律来计算出系统的机械能，从而得到一系列相关参数。

二、滑块在弯曲道轨道中的机械能守恒定律应用考虑一个滑块沿弯曲道轨道下滑的情况。

滑块沿轨道下滑时，它既有势能也有动能，但总机械能保持不变。

在滑块下滑的过程中，重力对滑块做功，将势能转化为动能。

根据机械能守恒定律，滑块在不发生外力做功情况下，总机械能保持不变。

这一定律的应用可以帮助我们分析滑块在弯曲道轨道中的运动。

通过测量不同位置滑块的高度和速度等信息，我们可以应用机械能守恒定律来计算系统的机械能。

通过这些计算，我们可以推导出滑块的轨迹、速度以及其它相关参数。

三、摩擦力对机械能守恒的影响机械能守恒定律对摩擦力的处理需要格外注意。

摩擦力会把机械能转化为热能，从而使系统的机械能发生变化。

在实际问题中，摩擦力是不可避免的，因此必须考虑它的影响。

当有摩擦力存在时，系统的机械能不再保持恒定，而是逐渐减少。

这种情况下，我们需要分析摩擦力产生的热量，从而对系统能量的损失有所了解。

通过使用一些补偿方法，如改进设备、减少能量损失等，可以在摩擦力影响下最大限度地保持机械能的守恒。

高中物理中的弹簧振子问题解析

高中物理中的弹簧振子问题解析

高中物理中的弹簧振子问题解析弹簧振子是高中物理课程中的重要内容之一，它是力学中的一个经典问题。

弹簧振子的研究对于理解振动现象、能量转化以及波动等方面具有重要意义。

本文将从弹簧振子的基本原理、运动方程、振动频率和能量转化等方面进行解析。

弹簧振子的基本原理是基于胡克定律，即弹簧的伸长量与所受外力成正比。

当弹簧受到拉伸或压缩时，它会产生恢复力，使得弹簧试图回到其平衡位置。

这种恢复力与弹簧的伸长量成正比，而且方向与伸长量相反。

根据牛顿第二定律，弹簧振子的运动可以用运动方程描述。

弹簧振子的运动方程可以表示为：m(d²x/dt²) = -kx，其中m是振子的质量，k是弹簧的劲度系数，x是振子的位移。

这个方程可以通过解微分方程得到振子的位移随时间的变化规律。

当忽略阻尼和外力的影响时，弹簧振子的解是一个简谐振动。

简谐振动的特点是振动频率恒定，且振幅不断变化。

振动频率可以通过振子的质量和弹簧的劲度系数来确定。

频率的公式是ω = √(k/m)，其中ω是角频率，它等于2π乘以振动频率。

这个公式告诉我们，当弹簧的劲度系数增大或质量减小时，振动频率会增大。

弹簧振子的能量转化也是一个重要的研究方向。

在振动过程中，能量在势能和动能之间不断转化。

当振子位于平衡位置时，它的动能最大，势能为零。

而当振子位移最大时，势能最大，动能为零。

在振动过程中，动能和势能不断交替，总能量保持不变。

弹簧振子的能量转化可以通过数学公式来描述。

振子的势能可以表示为Ep = (1/2)kx²，动能可以表示为Ek = (1/2)mv²，其中Ep是势能，Ek是动能，k是劲度系数，x是位移，m是质量，v是速度。

根据能量守恒定律，Ep + Ek = 常数。

这个公式告诉我们，当振子的位移增大时，势能增大，而动能减小；反之，当位移减小时，势能减小，动能增大。

除了基本原理、运动方程、振动频率和能量转化，弹簧振子还有一些其他的研究方向。