直线与方程学习知识点总结计划.docx
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精品文档 直线与方程知识点总结
一、直线基本知识 1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 ① 关于倾斜角的概念要抓住三点： ⅰ. 与 x 轴相交 ; ⅱ.x 轴正向 ; ⅲ. 直线向上方向 .
② 直线与 x 轴平行或重合时 , 规定它的倾斜角为 00 .
③ 倾斜角 的范围 0
0
1800 .
④ 0 90 , k 0 ； 90 180 , k 0
（2）直线的斜率 ①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为 90 0 的直线斜率不存在。
②经过两点 P1 (x1, y1 ), P2 (x2 , y2 ) （ x1 x2 ）的直线的斜率公式是 k y2 y1 （ x1 x2 ） x2 x1
③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。
2、两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1 ,l 2 ，其斜率分别为 k1 , k2 ，则有 l1 / /l 2 k
1 k2
。
特别地，当直线 l1 ,l 2 的斜率都不存在时， l1与 l 2 的关系为平行。
（2）两条直线垂直 如果两条直线 l1 ,l 2 斜率存在，设为 k1, k2 ，则 l1 l 2 k1 gk
2 1
注：两条直线 l1 ,l2 垂直的充要条件是斜率之积为 -1 ，这句话不正确；由两直线的斜率
之积为 -1 ，可以得出两直线垂直， 反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为 -1 。如果 l1 , l2 中 有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0 时， l1与 l2 互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 ( x1, y1 ) 为直线上一定点， 不包括垂直于 x 轴 y y1 k(x x1 ) 的直线
k 为斜率
. 精品文档 斜截式 y kx b k 为斜率， b 是直线在 y 不包括垂直于 x 轴
轴上的截距 的直线 两点式 y y1 x x1 ( x1, y1 ), (x2 , y2 )
是直 线 上
不包括垂直于 x 轴
和 y 轴的直线 y2 y1 x2 x1 两定点
(其中 x1 x2 , y1 y2 )
截距式 x y
1 a 是直线在 x
轴上的非零 不包括垂直于 x 轴
a b 截距， b 是直线在 y 轴上 和 y 轴或过原点的 的非零截距 直线
一般式 Ax By C 0 A ， B ， C 为系数 无限制，可表示任 何位置的直线
(其中 A, B不同时为 0）
注：过两点 P1 (x1, y1 ), P2 (x2 , y2 ) 的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。 （1）
若 x1 x2且 y1 y2 ，直线垂直于 x 轴，方程为 x x1 ； （2）若 x1 x2且 y1 y2 ，直线垂直于 y 轴，方程为 y y1 ； （3）（ 3）若 x1 x2且 y1 y2 ，直线方程可用两点式表示） 2、线段的中点坐标公式 x1 x2
若两点 1 ( 1, 1), 2 ( 2 , 2 ) ，且线段 x 2
y 12 的中点 M 的坐标为 (x, y) ，则 P x y P x P , P y1 y2
y 2
3. 过定点的直线系 ①斜率为 k 且过定点 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 y y0 k(x x0 ) ；
② 过 两 条 直 线 l1 : A1 x B1 y C1 0 , l2 : A2 x B2 y C
2 0
的交 点 的 直 线系 方程 为
A1 x B1 y C1 ( A2 x B2 y C2 ) 0 （ 为参数），其中直线 l 2 不在直线系中 .
三、直线的交点坐标与距离公式 1. 两条直线的交点 设两条直线的方程是 l1 : A1 x B1 y C1 0 , l2 : A2 x B2 y C
2 0
两条直线的交点坐标
就是方程组 A1 x B1 y C1 0
A2 x B2 y C2
的解， 0
若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。
2. 几种距离 . 精品文档 （1）两点间的距离
平面上的两点 P1
( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 间的距离公式 P P ( x x ) 2 ( y
2 y ) 2 1 2 2 1 1
特别地，原点 O (0,0) 与任一点 P(x, y) 的距离 OP x2 y
2
（2）点到直线的距离
点 P ( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax By C
Ax0 By0 C
0 的距离 d A2 B2
（3）两条平行线间的距离
两条平行线 l1 : Ax By C1 0 , l 2 : Ax By C 2 0
间的距离 d
C2 C1
A2 B2
（注意： ① 求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； ② 求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。）
补充： 1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角
（2）．已知斜率 k 的范围，求倾斜角 的范围时，若 k 为正数，则 的范围为 (0, )
2
的子集，且 k=tan 为增函数；若 k 为负数，则 的范围为 ( , ) 的子集，且 k=tan 为增
2 函数。若 k 的范围有正有负，则可所范围按大于等于 0 或小于 0 分为两部分，针对每一部 分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。 2 、利用斜率证明三点共线的方法：
已知 A(x1, y1 ), B( x2 , y2 ), C (x3, y3 ), 若 x1 x2 x3或 k
AB kAC ，则有 A、B、C
三点
共线。
注：斜率变化分成两段， 90 0 是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。
3. 两条直线位置关系的判定： 已知 l1 : Ax By C1 0 , l2 : Ax By C
2 0
，则：
（1） l1 l 2 A1 A2 B1B
2 0
（2） l1 // l 2 A1B2 - A2 B1 0, A1C 2 A2C
1 0;
（3） l1与 l 2重合 A1 B2 - A2B1 0, A1C 2 A2 C
1 0;
（4） l1 与 l2 相交A1B
2 A2 B
1 0
. 精品文档 如果 A2 B2 C2 0 时，则：
(1) l1 l2 A
1
? A
2 1
B1 B2
(2) l1 // l2 A1 B1 C1 ( A2 , B2 ,C2
不为 ）；
A2 B2 C2
0
(3) l1 与 l 2 重合
A1 B1 C
1
( A2 , B2 ,C
2
不为 ）
A2 B2 C 2
0
(4) l1 与 l 2
相交
A
1
B1 ( A2 , B2不为
0） A2 B2
4. 有关对称问题常见的对称问题：（1）中心对称 x 2a x
1
①若点 M ( x1 , y1) 及 N ( x2 , y2 ) 关于 P( a,b) 对称，则由中点坐标公式得
y 2b y1
②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利
用 l1 // l 2 ，由点斜式得到所求直线方程。 （2）轴对称 ①点关于直线的对称 若两点 P ( x , y ) 与 P ( x , y ) 关于直线 l : Ax By C 0对称，则线段 P P 的中点在对称 1 1 1 2 2 2 1 2
轴 l 上，而且连接 P1P2 的直线垂直于对称轴 l 上，由方程组
A( x1 2 x2 ) B( y1 2 y2 ) C 0
x2
y2 y1 A 1 y2
x2 x1
?( ) B
可得到点 P1 关于 l 对称的点 P2 的坐标 ( x2 , y2 ) （其中 A 0, x1 x2 ） ②直线关于直线的对称 此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。
注：①曲线、直线关于一直线 yx b 对称的解法： y 换 x ， x 换 y . 例：曲线 f ( x, y) 0 关于直线 y x 2 对称曲线方程是 f ( y 2, x 2) 0
②曲线 C : f ( x, y) 0 关于点 (a,b) 的对称曲线方程是 f (2a x,2b y) 0
5. 两条直线的交角
