学海导航高三数学人教B版理科第一轮总复习训练4.22三角函数的图象(含答案详析)

三角函数的图象与性质课时作业1．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π答案 D解析 作出y ＝|cos x |的图象(如图)．易知⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π是y ＝|cos x |的一个单调递增区间．应选D.2．(2022·石家庄模拟)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 答案 B解析 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )． 3．(2022·福州模拟)以下函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2答案 A解析 对于A ，注意到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 的周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函数．应选A.4．(2022·厦门模拟)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1的图象的一个对称中心的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0B ．⎝⎛⎭⎪⎫3π8，1C.⎝⎛⎭⎪⎫π8，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，－1 答案 B解析 对称中心的横坐标满足2x ＋π4＝k π，k ∈Z ，解得x ＝－π8＋k π2，k ∈Z .当k ＝1时，x ＝3π8，y ＝1.应选B.5．函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝5π3对称，那么实数a 的值为( )A ．－ 3B ．－33C. 2 D ．22答案 B解析 由题意知f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π3，即a ＝sin 10π3＋a cos 10π3，即a ＝sin 4π3＋a cos 4π3，∴a ＝－32－12a ，即a ＝－33. 6．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝1所得的线段长为π4，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值是( ) A ．0 B ．33C ．1D ． 3答案 D解析 由条件可知，f (x )的周期是π4.由πω＝π4，得ω＝4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×π12＝tan π3＝ 3.7．(2022·桂林模拟)假设函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，那么φ＝( )A.π2B ．2π3C.3π2 D ．5π3答案 C解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (x )的图象关于y 轴对称，即直线x ＝0为其对称轴．∴φ3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )，∵φ∈[0,2π]，∴φ＝3π2.应选C. 8．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的一个单调递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫3π4，7π4B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4 答案 A解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，故由2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )．因此，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )．9．(2022·武汉调研)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2(x ∈R )，以下结论错误的选项是( )A ．函数f (x )是偶函数B ．函数f (x )的最小正周期为πC ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称答案 D解析 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos2x ，此函数为最小正周期为π的偶函数，所以A ，B 正确，由函数y ＝cos x 的单调性知C 正确．函数图象的对称轴方程为x ＝k π2(k ∈Z )，显然，无论k 取任何整数x ≠π4，所以D 错误．应选D.10．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，假设f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，那么实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π 答案 D解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6.∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴由函数的图象和性质可知π2≤a ＋π6≤7π6，解得a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.应选D.11．如果|x |≤π4，那么函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是( )A.2－12B ．－2＋12C ．－1D ．1－22答案 D解析 因为|x |≤π4，所以－22≤sin x ≤22，函数f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54，当sin x ＝－22时，有最小值，f (x )min＝12－22＝1－22.12．(2022·全国卷Ⅰ)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论：①f (x )是偶函数；②f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递增；③f (x )在[－π，π]有4个零点；④f (x )的最大值为2. 其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②④ B ．②④ C ．①④ D ．①③答案 C解析 ①中，f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )， ∴f (x )是偶函数，①正确．②中，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，函数单调递减，②错误．③中，当x ＝0时，f (x )＝0，当x ∈(0，π]时，f (x )＝2sin x ，令f (x )＝0，得x ＝π.又∵f (x )是偶函数，∴函数f (x )在[－π，π]上有3个零点，③错误． ④中，∵sin|x |≤|sin x |，∴f (x )≤2|sin x |≤2， 当x ＝π2＋2k π(k ∈Z )或x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，f (x )能取得最大值2，故④正确．综上，①④正确．应选C.13．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，0成中心对称，那么|φ|的最小值为________．答案π6解析 依题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π3＋φ＝0，10π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，φ＝k π－17π6(k ∈Z )，所以|φ|的最小值是π6.14．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的值域为________，并且取最大值时x 的值为________．答案 [－1,1]π12解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈[0,1]，∴y ∈[－1,1]． 当2x ＋π3＝π2时，即x ＝π12时y 取得最大值1.15．(2022·秦皇岛模拟)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ∈R 且m ＞π6，假设f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，那么m 的最大值是________． 答案5π18解析 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3， ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 5π6＝－32，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9＝cosπ＝－1，∴要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，需要π≤3m ＋π3≤7π6，解得2π9≤m ≤5π18，即m 的最大值是5π18.16．(2022·朝阳区模拟)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)，假设f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，那么f (x )的最小正周期为________．答案 π解析 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，那么12·2πω>π2－π6，且函数的图象关于直线x ＝π2＋2π32＝7π12对称，且一个对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，可得0<ω<3且7π12－π3＝14·2πω，求得ω＝2，∴f (x )的最小正周期为2π2＝π. 17．函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝2πω＝π，∴ω＝2.于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )，即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )．(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8，同理，其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.18．f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的最小正周期为2，且当x ＝13时，f (x )的最大值为2.(1)求f (x )的解析式；(2)在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上是否存在f (x )图象的对称轴？如果存在，求出其对称轴．假设不存在，请说明理由．解 (1)由T ＝2知2πω＝2，解得ω＝π.又当x ＝13时f (x )max ＝2，∴A ＝2.且π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π＋π6(k ∈Z )． ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋2k π＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6.(2)存在．令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k ＋13(k ∈Z )．由214≤k ＋13≤234.得5912≤k ≤6512，又k ∈Z ，∴k ＝5. 故在⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上存在f (x )图象的对称轴，其方程为x ＝163.19．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0对称．(1)求φ，ω的值； (2)求f (x )的单调递增区间；(3)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π2，求f (x )的最大值与最小值． 解 (1)因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)是R 上的偶函数，所以φ＝π2＋k π，k ∈Z ，且0≤φ≤π，那么φ＝π2，即f (x )＝cos ωx .因为图象关于点M ⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，所以ω×3π4＝π2＋k π，k ∈Z ，且0<ω<1，所以ω＝23.(2)由(1)得f (x )＝cos 23x ，由－π＋2k π≤23x ≤2k π且k ∈Z 得，3k π－3π2≤x ≤3k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π－3π2，3k π，k ∈Z .(3)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π2，所以23x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π3，当23x ＝0时，即x ＝0，函数f (x )的最大值为1， 当23x ＝－π2时，即x ＝－3π4，函数f (x )的最小值为0. 20．函数f (x )＝2sin x cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈R .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的最大值和最小值，及相应的x 的值； (3)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的单调区间． 解 (1)∵f (x )＝2sin x cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝sin2x ＋cos2x cos π6＋sin2x sinπ6＋cos2x cos π6－sin2x sin π6＝sin2x ＋3cos2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2x ＋32cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＝2sin π2＝2.(2)∵π2≤x ≤π，∴4π3≤2x ＋π3≤7π3，∴－2≤f (x )≤ 3， 当2x ＋π3＝3π2时，x ＝7π12，此时f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫7π12＝－2，当2x ＋π3＝7π3时，x ＝π，此时f (x )max ＝f (π)＝ 3.(3)∵π2≤x ≤π，∴4π3≤2x ＋π3≤7π3，由正弦函数图象知， 当4π3≤2x ＋π3≤3π2时， 即π2≤x ≤7π12时，f (x )单调递减， 当3π2≤2x ＋π3≤7π3时， 即7π12≤x ≤π时，f (x )单调递增． 故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，7π12，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π12，π.。

•
7 2 2 sin( x - ) 4 6, 所以，由 6 12
7 2 sin( x ) , 6 12 2 7 3 x- , 4 6 12 4
•得 •即

• 所以3＜2x-7＜9，即5＜x＜8.
• 又因为x∈N*，所以x=6，7. • 答：6月、7月这两个月每件盈
•
x 解：设直角三角形的短边为 ( x 1) 5 , x
2 2 2
， • 则 cos 2 1- 2sin 7 . 25 • 解得x=3，所以 •则
2
3 sin , 5
• • • • •
如图，单摆从某点开 始来回摆动，离开平衡位置 O的距离s厘米和时间t秒的函 s 6sin(2 t ), 数关系为 那么 6 单摆来回摆动一次所需的时间为 2 T 1. ____秒. 2 • 解：由条件知周期
2
2
• 则mx+ny =cos( - ), ab • 所以mx+ny的最大值是 ab • 故选B.
.
•
2002年在北京召开
• 的国际数学家大会，会标 • 是以我国古代数学家赵爽
• 的弦图为基础设计的.弦图
• 是由四个全等的直角三角
• 形与一个小正方形拼成的
• 一个大正方形(如图).如果小正方形的 面积为1，
•
•
• • • •
由t=3，y=1.0，得b=1.0.② 所以A=0.5，b=1，所以振幅为12， 1 y cos t 1. 所以 2 6 (2)由题知，当y＞1时才可对冲浪爱 1 cos t .11, cos t 0, 好者开放 2 6 6 2k - t 2k (k 所以 Z ), • 所以 2 6 2 • 所以 • 即12k-3＜t＜12k+3(k∈Z).③

2019高考数学一轮复习第四章三角函数4.2 三角函数的图象及性质练习文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019高考数学一轮复习第四章三角函数4.2 三角函数的图象及性质练习文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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§4.2三角函数的图象及性质考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1。

三角函数的图象及其变换1。

能画出y=sin x，y=cosx,y=tan x的图象2。

了解函数y=Asin(ωx+φ）的物理意义；能画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象，了解参数A,ω，φ对函数图象变化的影响Ⅲ2016课标全国Ⅰ，6；2016课标全国Ⅲ,14;2016四川,4；2015山东，4选择题、填空题★★★2.三角函数的性质及其应用1。

了解三角函数的周期性2.理解正弦函数、余弦函数的性质（如单调性、对称性、奇偶性以及最值问题等).理解正切函数的单调性Ⅲ2017课标全国Ⅱ,3；2017课标全国Ⅱ,13;2017天津,7;2017北京,16；2016课标全国Ⅱ，3选择题、填空题、解答题★★★分析解读通过分析近几年的高考试题可以看出，对三角函数图象和性质的考查一般以基础题为主,难度不大，命题呈现出如下几点:1.研究三角函数必须在定义域内进行，要特别关注三角函数的定义域;2。

求三角函数的单调区间,要利用公式将三角函数式化为一个角的一种函数的形式,再利用整体换元的思想，通过解不等式组得出函数的单调区间；3.三角函数的单调性、奇偶性、周期性及最值是主要考点，重点考查恒等变换及数形结合能力。

7
• (3)周期变换： y=Asin(x+φ)→y=Asin(ωx+φ)(ω＞0). 1 • 将y=Asin(x+φ)图象上各点的横坐标变为 原来的 倍(纵坐标不变). • (4)由y=sinx的图象变换到y=Asin(ωx+φ)的 图象，一般先作相位变换，后作周期变换， 即y=sinx→y=sin(x+φ)→y=Asin(ωx+φ).
14
•
由已知，周期为
2 = ,
• 则ω=2，

• 则结合平移公式和诱导公式可知平移后是 偶函数， • 所以 sin[2( x | |) cos 2 x, 4 • 故选D.
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• • • • • •
y 2sin(2 x ). 题型1：三角函数图像的画法 3 1. 已知函数 (1)求它的振幅、周期、初相； y 2sin(2 x ) 3 的振幅A=2, (1) 2 T ， 周期 2 初相 . 3
16

• (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图 象； 令X 2 x , 3 • (2) y 2sin(2 x ) 2sin X . 3 • 则 • 列表，并描点画出图象：
17
x X y=sinx
y 2sin(2 x ) 3
6
12 0 2
3
1 1 A. B. 6 4 1 1 C. D. = 由平移及周期性得出 ω min 2 3
• • 故选D.
.
1 2
13

4
• 3.已知函数f(x)=sin(ωx+ )(x∈R,ω>0)的 最小正周期为π，将y=f(x)的图象向左平移 |φ|个单位长度，所得图象关于y轴对称， 3 A. B. 则φ的一个值是 ( ) 2 8 C. D. 4 8