2020年中考专题28新定义与阅读理解创新型问题(共50道)(解析版)

2020中考复习——新定义问题专题训练（四）班级：___________姓名：___________ 得分：___________一、选择题1.若※是新规定的运算符号，设a※b=ab+a+b，则在2※x=−16中，x的值()A. −8B. 6C. 8D. −62.若定义新运算a∗b=a2−3b，则4∗1的值是：A. 5B. 7C. 13D. 153.已知a，b为有理数，定义一种运算：a※b=2a−3b，若(5x−3)※(1−3x)=29，则x的值为()A. 2B. 3C. 4D. 54.我们约定a⊕b=10a×10b，如2⊕3=102×103=105，那么3⊕8为()A. 24B. 1024C. 1011D. 11105.定义新运算：a⊕b={ab(b>0),−ab(b<0).例如：4⊕5=45，4⊕(−5)=45，则函数y=2⊕x(x≠0)的图象大致是()A. B.C. D.6.给出一种运算：对于函数y=x n，规定y′=nx n−1.例如：若函数y=x4，则有y′=4x3.已知函数y=x3，则方程y′=12的解是()A. x1=4，x2=−4B. x1=2，x2=−2C. x1=x2=0D. x1=2√3，x2=−2√37.规定|a bc d |=ad−bc，若|2−2x8|=|−1763x+2|，则x的值是()A. −60B. 4.8C. 24D. −128.定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[3.1]=3，[−1.4]=−2，[−9]=−9，函x2的解为()数y=[x]的图象如图所示，则方程[x]=13A. 0或√3B. 0或√3或√6C. −√3或−√6D. 0或√6二、填空题9.阅读材料：设a⃗=(x1,y1)，b⃗ =(x2,y2)，如果a⃗//b⃗ ，则x1⋅y2=x2⋅y1，根据该材料填空，已知a⃗=(4,3)，b⃗ =(8,m)，且a⃗//b⃗ ，则m=________．10.对于实数a，b，定义运算“※”：a※b=a2+b，则方程x※(x−2)=0的根为____．11.定义新运算：对于任意实数a，b都有：a※b=a(a−b)+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2※5=2×(2−5)+1=2×(−3)+1=−5，那么不等式3※x<13的解集为______．12.规定图形表示a+d−b−c，则________．3，则(2※3)※3=______．13.定义运算“※”的运算法则为：a※b=√ab+214.阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程x2=−1时，突发奇想：x2=−1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2=−1，那么当x2=−1时，有x=±i，从而x=±i是方程x2=−1的两个根．据此可知：(1)i可以运算，例如：i3=i2⋅i=−1×i=−i，则i4=_________，i2011=_____________，i2012=____________；(2)方程x2−2x+2=0的两根为________________(根用i表示，并写出求解过程)．15.定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b=b2，当a<b时，a⊕b=a−1，则当x=−2时(1⊕x)⊕(−3⊕x)的值是_______．16.在一次函数y=kx+b(k≠0)中，我们称点(k,b)为该一次函数图象的伴随点．例如，一次函数y=2x+1的图象的伴随点为(2,1).一次函数y=−x+3的图象的伴随点为________．三、解答题17. 定义：若有理数a ，b 满足等式a +b =ab +2，则称a ，b 是“雉水有理数对”，记作(a,b).如：数对(2,0)，(12,3)都是“雉水有理数对”． (1)数对(4,23)____(填“是”或“不是”)“雉水有理数对”； (2)若(m,5)是“雉水有理数对”，求m 的值；(3)请写出一个符合条件的“锥水有理数对”___________(注意：不能与题目中已有的“雉水有理数对”重复)18. 规定两数a 、b 之间的一种运算，记作<a ，b >.定义：如果ac =b ，那么<a ，b >=c ． 例如：因为23=8，所以<2，8>=3．(1)根据上述规定填空：<−5，25>=____________，<13，127>=_____________； (2)已知<2，a >=m ，<4，b >=n ，求<2，ab >(用含m 、n 的代数式表示)； (3)若<3，a >=444，<4，b >=333，则a 、b 的大小关系是：a _______b(填“>”、“<”或“=”)．19. 先阅读，然后解答提出的问题：设a ，b 是有理数，且满足a +√2b =3−2√2，求b a 的值．解：由题意得(a −3)+(b +2)√2=0，因为a ，b 都是有理数，所以a −3，b +2也是有理数，由于√2是无理数，所以a −3=0，b +2=0，所以a =3，b =−2，所以b a =(−2)3=−8．问题：设x，y都是有理数，且满足x2−2y+√5y=8+4√5，求x+y的值．20.若三个非零实数x,y,z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x,y,z构成“和谐三数组”．(1)实数1，2，3可以构成“和谐三数组”吗？请说明理由．(k为常数，k≠0)的图象上，(2)若M(t,y1),N(t−1,y2),M(t+1,y3)三点均在函数kx且这三点的纵坐标y1,y2,y3构成“和谐三数组”，求实数t的值；21.对于平面直角坐标系xOy中的点P(a,b)，若点P′的坐标为(a+kb,ka+b)(其中k为常数，且k≠0)，则称点P′为点P的“k属派生点”.例如：P(1,4)的“2属派生点”为P′(1+2×4,2×1+4)，即P′(9,6)．(1)点P(−1,6)的“2属派生点”P′的坐标为____；(2)若点P的“3属派生点”P′的坐标为(6,2)，求点P的坐标；(3)若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且线段PP′的长度为线段OP长度的2倍，求k的值．22.阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点．例如，如图1，点A表示的数为−1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的好点，但点D是【B、A】的好点．知识运用：(1)如图1，点B是【D，C】的好点吗？_________(填是或不是)；(2)如图2，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为−40，点B所表示的数为20.现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？23.材料一：如果10b=n，那么b为n的劳格数，记为b=d(n)，由定义可知：10b=n与b=d(n)所表示的b、n两个量之间的同一关系．例如：101=10，d(10)=1；材料二：劳格数有如下运算性质：若m、n为正数，则d(mn)=d(m)+d(n)(1)根据劳格数的定义，填空：d(102)=____，d(10−2)=____；(2)若d(2)=0.301，求d(4)+d(16)的值；(3)已知d(3)=2a+b，d(9)=3a+2b+c，d(27)=6a+2b+c，证明：a=b=c．24. 【知识重现】在七上数学教材p 58中，我们已经学习：求n 个相同因数a 的积的运算叫做乘方(power)，乘方的结果叫做幂(power)，a 叫做底数(base number)，n 叫做指数(exponent)，a n 读作“a 的n 次幂”(或“a 的n 次方”)；在a n =M 中，已知底数a ，指数n ，求幂M 的运算叫做乘方运算．例如23=8，(−3)3=−27． 【学习新知】定义：如果a n =M(a >0且a ≠1)，即a 的n 次方等于M(a >0且a ≠1)，那么数n 叫做以a 为底M 的对数(logaritℎm)，记作n =log a M.其中a 叫做对数的底数，M 叫做真数，n 叫做以a 为底M 的对数．例如：因为23=8，所以log 28=3；因为34=81，所以log 381=4；因为(15)2=125，所以log 15125=2.其中零没有对数；在有理数范围内，负数没有对数． 【应用新知】(1)根据定义计算：①log 22=_______；log 327=_______；log 12116=______．②如果log a 4=2，那么a =_________．(2)结合上面的知识计算：log 525+(−log 39)2−log 110110． (3)已知log a M +log a N =log a MN ，log a M −log a N =log a MN (a >0,a ≠1,M 、N 均为正数)，求log 23+log 210+log 26−log 290的值．答案和解析1.D解：由题意可知，原式可化为方程2x+2+x=−16，解得x=−6．2.C解：由题意可得：4∗1=42−3×1=13，3.A解：由题意得2(5x−3)−3(1−3x)=29，10x−6−3+9x=29，10x+9x=29+6+3，19x=38，x=2，4.C解：根据题中的新定义得：3⊕8=103×108=1011，5.D解：由题意可得y={2x,x>0,−2x ,x<0,只有D符合．6.B解：由函数y=x3得n=3，则y′=3x2，∴3x2=12，x2=4，x=±2，x1=2，x2=−2，7.D解：根据题中的新定义化简得：2×8+2x=−(3x+2)−6×7，整理得：2x+3x=−60，合并同类项，得：5x=−60，系数化为1，得：x=−12，8.B解：结合图象可得[x]可能为0或1或2，x2=0，得到x=0；由13x2=1，得到x=√3或−√3(舍去)；由13x2=2，得到x=√6或−√6(舍去)，由13综上，x=0或√3或√6，9.6解：由题意可得4m=3×8，解得m=6．10.x1=1，x2=−2解：根据题意得：x2+x−2=0，则(x−1)(x+2)=0，∴x−1=0或x+2=0，解得：x1=1，x2=−2，11.x>−1解：3※x <13， 3(3−x)+1<13， 解得：x >−1．12. 8解：由题意得3+6−(−4)−5=8．13. 2解：∵2※3=√2×3+23=√83=2，∴(2※3)※3=2※3=2．14. (1)1；−i ；1； (2)1+i ；1−i解：(1)根据i 2=−1 可将 i 4 化为 i 2⋅i 2 ； i 2011=(i 2)1005⋅i ； i 2012=(i 2)1006⋅i 进行计算即可； ∵ i 2=−1 ， ∴ i 4=i 2⋅i 2=1∴ i 2011=(i 2)1005⋅i =(−1)1005⋅i =−i ； ∴ i 2012=(i 2)1006⋅i =(−1)1006⋅i =i ． ∴ i 4=1 ， i 2011=−i ， i 2012=1； 故答案为1；−i ；1；(2)x 2−2x +1=−1，(x −1)2=−1， x −1=±i ， x =1±i ，∴x 1=1+i ，x 2=1−i ．15. 16解：1>−2，把x =−2代入得：原式=[1⊕(−2)]⊕[−3⊕(−2)] =(−2)2⊕(−3−1) =4⊕(−4)=(−4)2 =16，16. (−1,3)解：根据题意可得一次函数y =−x +3的伴随点为(−1,3)．17. 解：(1)是；(2)∵(m,5)是“雉水有理数对”， ∴m +5=5m +2，m =34； (3)(3,12)(答案不唯一)．解：(1)∵4+23=143，4×23+2=143，∴4+23=4×23+2，∴数对(4,23)是“雉水有理数对”． 故答案为是； (2)见答案；(3)取a =3，则3+b =3b +2， 解得：b =12，∴符合条件的“锥水有理数对”：(3,12). 故答案为(3,12).18. 解：(1)2；3；(2)∵<2，a >=m ，<4，b >=n ， ∴2m =a ，4n =b∴ab =2m ×4n =2m ×22n =2m+2n ， ∴<2，ab >=m +2n ． (3)>．解：(1)∵(−5)2=25，(13)3=127， ∴<−5，25>=2，<13，127>=3．故答案为2；3．(2)见答案；(3)根据题意得：a =3444，b =4333．∴a =34×111=(34)111=81111，b =43×111=(43)111=64111，∵81>64，∴a >b ．19. 解：∵x 2−2y +√5y =8+4√5，∴(x 2−2y −8)+(y −4)√5=0，∴x 2−2y −8=0，y −4=0，解得，x =±4，y =4，当x =4，y =4时，x +y =4+4=8，当x =−4，y =4时，x +y =(−4)+4=0，即x +y 的值是8或0．20. 解：(1)不能，理由如下：∵1、2、3的倒数分别为1，12，13，∴12+13≠1，1+1 2≠13，1+1 3 ≠12， ∴实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”；(2)∵M(t,y 1)，N(t −1,y 2)，R(t +1,y 3)三点均在函数y =k x (k 为常数，k ≠0)的图象上，∴y 1、y 2、y 3均不为0，且y 1=k t ，y 2=k t−1，y 3=k t+1，∴1y 1=t k ，y 2=1y 2=t−1k ，y 3=y 3=t+1k ，∵y 1，y 2，y 3构成“和谐三组数”，∴有以下三种情况：当1y 1=1y 2+1y 3时，则t k =t−1k +t+1k ，即t =t +1+t −1，解得t =2t ，所以t 不存在；当1y 2=1y 1+1y 3，则 t−1k =t k +t+1k 即t −1=t +t +1，解得t =−2；当1y 3=1y 1+1y 2时，则t+1k =t k +t−1k t +1=t +t −1，解得t =2；∴t 的值为−2或2．21. (1)(11,4)；(2)解：设点P 的坐标为(x,y)，由题意得{x +3y =63x +y =2， 解得：{x =0y =2， 则点P 的坐标为(0,2)；(3)∵点P 在x 轴的正半轴上，∴b =0，a >0，∴点P 的坐标为(a,0)(a >0)，则点P′的坐标为(a,ka)，∴线段PP′的长为点P′到x 轴的距离为|ka|，OP 的长为a ，由题意得|ka|=2a ，解得：k =±2．解：(1)由题意得点P(−1,6)的“2属派生点”P′的坐标为(−1+2×6,−1×2+6)=(11,4)， 故答案为(11,4)；22. 解：(1)是；(2)(Ⅰ)若P 是【A ，B 】的好点，则AP =2BP 可得BP =20，2t =20，t =10； (Ⅱ)若P 是【B ，A 】的好点，则BP =2AP 可得BP =40，2t =40，t =20； (Ⅲ)若B 是【A ，P 】的好点，则BA =2BP 可得BP =30，2t =30，t =15；(Ⅳ)若A是【B，P】的好点，则AB=2AP可得AP=30，BP=30=2t，t=15；综上所述：当t=10s或20s或15s时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点．解：(1)由数轴可得：BC=1，BD=2，∴BD=2BC，∴点B是【D，C】的好点，故答案为是；23.解：(1)(1)2；−2．(2)∵d(2)=0.301，∴d(4)+d(16)=2d(2)+4d(2)=6d(2)=1.806；(3)∵d(3)=2a+b，d(9)=2d(3)=4a+2b=3a+2b+c，∴a=c，d(27)=d(3)+d(9)即2a+b+3a+2b+c=6a+2b+c，∴a=b，∴a=b=c，解：(1)根据题意得：d(102)=2，d(10−2)=−2；故答案为：(1)2；−2．24.解：(1)①1；3；4；②2；；2 180−log2 90=log2 2=1．。

一、选择题10．（2020·遵义）构建几何图形解决代数问题是“数形结合“思想的重要性，在计算tan15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15° ＝AC CD2tan22.5°的值为（）A．＋1 B．－1 C．D．12{答案}B{解析}本题考查阅读理解能力，要求能用类比的方法解决问题．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，所以tan 22.5°＝ACCD1－1．故选B .7．（2020·河南）定义运算:m☆n=21mn mn.例如: 4☆2=4×22-4×2-1=7.则1☆x=0方程的根的情况为( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.只有一个实数根{答案}A{解析}由定义新运算可得210x x，∴△=411-14-1-2+=⨯⨯）（）（=5＞0，所以方程有两个不相等的实数根，因此本题选A．9．（2020·枣庄）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：21a ba b⊗=-，这里等式右边是实数运算．例如：21113138⊗==--．则方程()2214⊗-=--xx的解是（）A．x＝4 B．x＝5 C．x＝6 D．x＝7{答案}B{解析}根据新定义运算，把方程转化为分式方程．因为211(2)(2)4xx x⊗-==---，所以原方程可转化为12144x x=---，解得x＝5．经检验，x＝5是原方程的解．8.（2020·淮安）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为"幸福数"．下列数中为"幸福数"的是（）A.205B.250C.502D.520{答案} D{解析}设较小的奇数为x，较大的为x+2，根据题意列出方程，求出解判断即可．设较小的奇数为x，较大的为x+2，根据题意得：（x+2）2﹣x2＝（x+2﹣x）（x+2+x）＝4x+4，若4x+4＝205，即x=2014，不为整数，不符合题意；若4x+4＝250，即x=2464，不为整数，不符合题意；若4x+4＝502，即x=4984，不为整数，不符合题意；D若4x +4＝520，即x ＝129，符合题意． 故选：D ．9．（2020·随州）将关于x 的一元二次方程0=q +px -x 2变形为q -px x 2=，就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如=-=⋅=)(23q px x x x x …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”，已知：0=1-x -x 2，且x ＞0，则3x +2x -x 34的值为（ ）A.51-B.53-C.51+D.53+{答案}C{解析}本题考查了降次法、整体代入法、整式的化简求值，一元二次方程的解法.解答过程如下： ∵0=1-x -x 2，∴1x x 2+=，∴3x +2x -x 34=3x +1)2x (x -)1(x 2++=3x +2x -2x -12x x 22++=3x +x -12=3x +1)(x -1+=3x +1-x -1=2x ，∵0=1-x -x 2，且x ＞0，∴x=251+， ∴原式=2×251+=51+.因此本题选C ． 12.(2020·潍坊)若定义一种新运算：(2)6(2)a b a b a bab ab 例如：31312⊗=-=；545463⊗=+-=．则函数(2)(1)y x x =+⊗-的图象大致是（ ）A. B. C. D.{答案}A{解析}本题考查了一次函数的图象，在新定义下，求出函数关系式是解题的关键.根据(2)6(2)a b a b abab ab ，可得当22(1)x x 时，4x ≤，分两种情况当4x ≤时和当4x >时， (2)(1)(2)(1)213x x x x x x ,即：3y =; 当4x >时，(2)(1)(2)(1)621625xx xx xx x ，即：25y x =-，∴20k =>，∴当4x >时，25y x =-，函数图像y 随x 的增大而增大，A 选项符合题意，故选：A ．7．（2020·恩施）在实数范围内定义运算“∴”：1a b a b =+-☆，例如：232314=+-=☆．如果21x =☆，则x 的值是（ ）． A. 1- B. 1 C. 0 D. 2{答案}C{解析}根据题目中给出的新定义运算规则进行运算：2211☆=+-=+x x x ，又21x =☆，∴11x +=，∴0x =．故选：C ．二、填空题12．（2020·衢州）定义(1)a b a b =+※，例如232(31)248=⨯+=⨯=※，则(1)x x -※的结果为 ．{答案}21x -{解析}解析：根据题中的新定义得：(1)x x -※＝(1)(1+1)x x -⋅-＝21x -．18．（2020·枣庄）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S 可用公式S ＝a ＋21b －1（a 是多边形内的格点数，b 是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick ）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S ＝________．{答案}6{解析}直接利用所给的公式计算即可．由图可知，五边形内部格点有4个，故a ＝4；五边形边上格点有6个，故b ＝6．∴S ＝a ＋21b －1＝4＋21×6－1＝6．16．（2020·乐山）我们用符号[x ]表示不大于x 的最大整数．例如：[1.5]＝1，[－1.5]＝－2，那么： （1）当－1＜[x ]≤2时，x 的取值范围是________；（2）当－1≤x ＜2时，函数y ＝x 2－2a [x ]＋3的图象始终在函数y ＝[x ]＋3的图象下方，则实数a 的范围是________．{答案}（1）0≤x ≤3；（2）a ＜－1或a ≥32．{解析}（1）根据符号[x ]表示不大于x 的最大整数，得到－1＜[x ]≤2时[x ]＝0，1，2；当[x ]＝0时，0≤x ＜1；当[x ]＝1时，1≤x ＜2；当[x ]＝2时，2≤x ＜3；从而x 的取值范围是0≤x ＜3； （2）本题可根据题意构造新函数，采取自变量分类讨论的方式判别新函数的正负，继而根据函数性质反求参数．令y 1＝x 2－2a [x ]＋3，y 2＝[x ]＋3，y 3＝y 2－y 1，由题意可知：y 3＝－x 2＋(2a ＋1)[x ]＞0时，函数y ＝x 2－2a [x ]＋3的图象始终在函数y ＝[x ]＋3的图象下方．①当－1≤x ＜0时，[x ]＝－1，y 3＝－x 2－(2a ＋1)，此时y 3随x 的增大而增大，故当x ＝－1时，y 3有最小值－2a －2＞0，得a ＜－1；②当0≤x ＜1时，[x ]＝0，y 3＝－x 2，此时y 3≤0；③1≤x ＜2时，[x ]＝1，y 3＝－x 2+(2a ＋1)，此时y 3随x 的增大而减小，故当x ＝2时，y 3有最小值2a －3≥0，得a ≥32；综上所述，a ＜－1或a ≥32．11．(2020·青海)对于任意两个不相等的数a ，b ，定义一种新运算“⊕”如下： a ⊕b，如：3⊕2＝12⊕4＝______．{答案{解析}依题意可知12⊕4．17．（2020·宜宾）定义：分数nm （m ，n 为正整数且互为质数）的连分数123111a a a +++（其中a 1，a 2，a 3，…，为整数，且等式右边的每个分数的分子都为1），记作nm△11a +21a +31a +…， 例如：719＝1197＝1527+＝11275+＝112215++＝1121152++＝11211122+++，719的连分数为11211122+++，记作719△12+11+12+12，则 △11+12+13． {答案}710{解析}根据连分数的定义列式计算即可解答．11+12+13△111123++＝11173+＝1317+＝1107＝710．三、解答题24.(2020·宁波)(本题14分)定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.（1）如图1，∠E 是△ABC 中∠A 的遥望角，若∠A ＝a ，请用含a 的代数式表示∠E .（2）如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ＝BD ，四边形ABCD 的外角平分线DF 交⊙O 于点F ，连结BF 并延长交CD 的延长线于点E .求证：∠BEC 是△ABC 中∠BAC 的遥望角. （3）如图3，在（2）的条件下，连结AE ，AF ，若AC 是⊙O 的直径. ①求∠AED 的度数；②若AB ＝8，CD ＝5，求△DEF 的面积.{解析}（1）根据外角的性质及角平分线的概念求解；（2）根据圆内按四边形的性质，同弧或等弧所对圆周角的性质分别证明BE 、CE 为△ABC 的内角及外角平分线即可； （3）①连结CF ，根据遥望角的性质及同弧所对圆周角的性质证明∠BEC ＝∠FAD ，再由△FDE ≌△FDA 证明AD ＝DE ，最后由等腰直角三角形的性质求得∠AED 的度数；②作AG ⊥BE 于点G ，FM ⊥CE 于点M ，根据相似三角形的判定证明△EGA ∽△ADC ，由相似三角形的性质及勾股定理求得△ACD 边长，进而求得△DEF 的面积． {答案}24.解：（1）∵BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ．∴∠E ＝∠ECD －∠EBD＝12(∠ACD －∠ABC)＝12∠A ＝12a（2）如图，延长BC 到点T.∵四边形FBCD 内接于⊙O ， ∴∠FDC ＋∠FBC ＝180°，又∵∠FDE ＋∠FDC ＝180°，∴∠FDE ＝∠FBC ，∵DF 平分∠ADE ，∴∠ADF ＝∠FDE ，∵∠ADF ＝∠ABF ，∴∠ABF ＝∠FBC ，∴BE 是∠ABC 的平分线，∵AD ＝BD ，∴∠ACD ＝∠BFD ，∵∠BFD ＋∠BCD ＝180°，∠DCT ＋∠BCD ＝180°，∴∠DCT ＝∠BFD ，∴∠ACD ＝∠DCT ，∴CE 是△ABC 的外角平分线，∴∠BEC 是△ABC 中∠BAC 的遥望角. （3）①如图，连结CF.∵∠BEC 是△ABC 中∠BAC 的遥望角，∴∠BAC ＝2∠BEC ， ∵∠BFC ＝∠BAC ，∴∠BFC ＝2∠BEC ，∵∠BFC ＝∠BEC ＋∠FCE ，∴∠BEC ＝∠FCE ，∵∠FCE ＝∠FAD ，∴∠BEC ＝∠FAD ，又∵∠FDE ＝∠FDA ，FD ＝FD ，∴△FDE ≌△FDA(AAS)， ∴DE ＝AD ，∵∠AED ＝∠DAE ，∵AC 是⊙O 的直径 ∴∠ADC ＝90°，∴∠AED ＋∠DAE ＝90°，∴∠AED ＝∠DAE ＝45°. ②如图，过点A 作AG ⊥BE 于点G ，过点F 作FM ⊥CE 于点M.∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，∵BE 平分∠ABC ，∴∠FAC ＝∠EBC ＝12∠ABC ＝45°，∵∠AED ＝45°，∴∠AED ＝∠FAC ，∵∠FED ＝∠FAD ，∴∠AED －∠FED ＝∠FAC －∠FAD ，∴∠AEG＝∠CAD，∴∠EGA＝∠ADC＝90°，∴△EGA∽△ADC，∴AE：AC＝AG:CD∵在Rt△ABG中，AG＝22AB＝42，在Rt△ADE中，AE＝2AD，∴AD:AC＝45，在Rt△ADC中，AD2＋DC2＝AC2，∴设AD＝4x，AC＝5x，则有(4x)2＋52＝(5x)2，∴x＝53，∴ED＝AD＝203，∴CE＝CD＋DE＝353，∵∠BEC＝∠FCE，∴FC＝FE，∵FM⊥CE，∴EM＝12CE＝356，∴DM＝DE－EM＝56，∵∠FDM＝45° ,∴FM＝DM＝56，∴S△DEF＝12DE·FM＝259.22．（2020·黔西南州）规定:在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如:正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题:（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；A．矩形 B．正五边形C．菱形 D．正六边形（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有:________（填序号）；（3）下列三个命题:①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（）个；A．0 B．1 C．2 D．3（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．{解析}本题考查了新定义“旋转对称图形”．（1）根据旋转对称图形的定义进行判断；（2）先分别求每一个图形中的旋转角，然后再进行判断；（3）根据旋转对称图形的定义进行判断；（4）利用旋转对称图形的定义进行设计．{答案}解:（1）B（2）（1）（3）（5）（3）C（4）如答图:22．（2020·重庆B卷）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．例如：426是“好数”，因为4,2,6都不为0，且4+2=6，6能被6整除;643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除．（1）判断312，675是否是“好数”?并说明理由；（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．{解析}本题是一道新定义问题，正确理解“好数”是解题的关键．（1）根据“好数”的定义进行判断即可；（2）设n =100a +10b +c ,根据“好数”的定义可知6≤a ≤9,1≤b ≤4,1≤c ≤9.由题意，得a =b +5①，a +b =mc ②，将①代入，得2b +5=mc .所以2b +5，m ,c 都为奇数，进而分类讨论求解即可. {答案}解： （1）312是“好数”，675不是“好数”.理由如下：312是“好数”，因为3,1,2都不为0，且3+1=4,4能被2整除； 675不是“好数”，因为6+7=13,13不能被5整除.（2）设n =100a +10b +c （a ,b ，c 为整数且6≤a ≤9,1≤b ≤4,1≤c ≤9）. 由题意，得a +b =mc （m 为正整数），a =b +5，∴2b +5=mc . 又∵2b +5为奇数，∴m ,c 同时为奇数.当b =1时，a =6,mc =7，则m =7,c =1或m =1,c =7,此时“好数”有2个：611,617；当b =2时，a =7,mc =9，则m =9,c =1或m =1,c =9或m =3,c =3，此时“好数”,3个：721,729,723； 当b =3时，a =8,mc =11，则m =11,c =1,此时“好数”有1个：831； 当b =4时，a =9,mc =13，则m =13,c =1,此时“好数”有1个：941； 所以共有“好数”2+3+1+1=7（个）.综上所述，百位数字比十位数字大5的所有“好数”共有7个.28．（2020·北京）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，A ，B 为⊙O 外两点，AB =1．给出如下定义：平移线段AB ，得到⊙O 的弦A ´B ´（A´，B´分别为点A ，B 的对应点），线段AA ´长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦12P P 和34P P ，则这两条弦的位置关系是 ；在点1234,,,P P P P 中，连接点A 与点 的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”； （2）若点A ，B都在直线y +上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为1d ，求1d 的最小值； （3）若点A 的坐标为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为2d ，直接写出2d 的取值范围．{解析}（1）根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可；（2）过点O 作OE ⊥AB 于点E ，交弦CD 于点F ，分别求出OE 、OF 的长，由1d OE OF =-得到1d 的最小值；（3）线段AB 的位置变换，可以看作是以点A 32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O 上都存在两条对应线段A ´B ´和A ´´B ´´ ,满足它们平行且相等，由平移距离可知，AA ´的长度的最小值即为平移距离，因此当且仅当AA ´＝AA´´时，平移距离最大（否则谁小取谁）{答案}解： （1）平行；P 3；（2）如图，线段AB在直线y =+上，平移之后与圆相交，得到的弦为CD ，CD ∥AB ，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，交弦CD 于点F ，OF ⊥CD ，令0y =，直线与x 轴交点为（-2，0），直线与x 轴夹角为60°，∴2sin 60OE ︒==．由垂径定理得：OF ==，∴1d OE OF =-=；（3）线段AB 的位置变换，可以看作是以点A 32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O 内找到与之平行，且长度为1的弦即可；点A 到O的距离为52AO ==． 如图，平移距离2d 的最小值即点A 到⊙O 的最小值：53122-=；如图，由平移距离可知，AA ´的长度的最小值即为平移距离，因此当且仅当AA ´＝AA´´时，平移距离最大，如图所示：由题意可知：△AA ´O ≌△AA ´´O ，可得∠AOA ´´＝120°，在Rt △A ´OC 中，A ´C，所以AA ´．∴232d ≤≤．27．（2020·常州）(10分)如图1，⊙I 与直线a 相离，过圆心I 作直线a 的垂线，垂足为H ，且交⊙I 于P 、Q 两点(Q 在P 、H 之间)．我们把点P 称为⊙I 关于直线a 的“远点”，把PQ ·PH 的值称为⊙I 关于直线a 的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点E 的坐标为(0，4)，半径为1的⊙O 与两坐标轴交于点A 、B 、C 、D ．①过点E 画垂直于y 轴的直线m ，则⊙O 关于直线m 的“远点”是点________(填“A ”“B ”“C ”或“D ”)，⊙O 关于直线m 的“特征数”为________；②若直线n 的函数表达式为y ＝3x ＋4，求⊙O 关于直线n 的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy ，直线l 经过点M (1，4)，点F 是坐标平面内一点，以F 为圆心，2为半径作⊙F ．若⊙F 与直线l 相离，点N (－1，0)是⊙F 关于直线l 的“远点”，且⊙F 关于直线l 的“特征数”是45，求直线l 的函数表达式．{答案}解：（1）根据定义得⊙O 关于直线m 的远点是D ；（2）如图1，圆O 关于直线m 的特征数为DB ×DE ＝[1－(－1)]·[4－（－1）]＝2×5＝10．②如图2，过O 点作OA 1⊥直线n 于A 1，延长A 1O 交圆O 于点B 1，设4y =+ 与y 轴交于点C 1，∴OC 1＝4∵k∴直线4y =+与x 轴的所夹锐角为60°． ∴∠A 1C 1O ＝90°－60°＝30° 在Rt △A 1C 1O 中，A 1O ＝12C 1O ＝2 ∵OB 1＝1，∴⊙O 关于直线n 的特征数＝2B 1O ×A 1B 1＝2(2＋1)＝6 (2)如图3，设过M 的直线l 解析式为y ＝k 1x ＋b 1∴4＝k 1＋b 1，即k 1＝4－b 1，∴l 的解析式为y ＝(4－b 1)x ＋b 1 设⊙F 与NF 所在直线交D 1，NF 的延长线交y ＝k 1x ＋b 1于E 1 ∵⊙F，∴NF ＝FD 1∵⊙F 关于直线l 的“特征数”是 ∴ND 1·NE 1＝1NE =即1NE = 由点N 到直线l的距离公式得1NE ==∴b 1＝7或113 经检验，b 1＝7或113都是原方程的解，且符合题意． 当b 1＝7时，k 1＝－3，此时直线l 的函数表达式为y ＝－3x ＋7． 当b 1＝113时，k 1＝13此时直线l 的函数表达式为11137y x =+．综上所述，此时直线l 的函数表达式为y ＝－3x ＋7或11137y x =+．图1 图2图3{解析}本题是新定义问题，直接应用定义就可以求出原点和特征数；（2）过点过O点作OA1⊥直线n于A1，延长A1O交圆O于点B1，然后求出B1O和A1B1的值后即可求出特征值；（3）如图3，先根据特征数和半径的值，求出点N到直线的距离，直线l要经过点M，又要到N即可求出直线l的解析式．（2020·山西）20．阅读与思考下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．任务:(1)填空:“办法一”依据的一个数学定理是;（2） 根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS ＝90°;（3）①尺规作图:请在图③的木板上，过点C 作出AB 的垂线（ 在木板上保留作图痕迹，不写作法）;②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可） ．{解析}本题考查作图在实际中的应用.（1）由作图方法可知“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理；（2）由“办法二”可知: QR ＝QC ，QS ＝QC ，根据等边对等角得∠QCR ＝∠QRC ，∠QCS ＝∠QSC ，根据三角形内角和定理可得结论．（3）①图略；②答案不唯一．{答案}解:（1）勾股定理的逆定理(或如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形) .（2）解:证明:由作图方法可知: QR ＝QC ，QS ＝QC ，∴∠QCR ＝∠QRC ，∠QCS ＝∠QSC .又∵∠SRC ＋∠RCS ＋∠RSC ＝180°，第20题图③A BC x 年x 月x 日 星期日没有直角尺也能作出直角今天，我在书店一本书上看到下面材料:木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB ，现根据木板的情况，要过AB 上的一点C ，作出AB 的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢?办法一:如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB 上量出CD ＝ 30cm ，然后分别以D ，C 为圆心，以50cm 与40cm 为半径画圆弧，两弧相交于点E ，作直线CE ，则∠DCE 必为90°．办法二:如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M ，N 两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M 与点C 重合，用铅笔在木板上将点N 对应的位置标记为点Q ，保持点N 不动，将木棒绕点N 旋转，使点M 落在AB 上，在木板上将点M 对应的位置标记为点R ．然后将RQ 延长，在延长线上截取线段QS ＝MN ，得到点S ，作直线SC ，则∠RCS ＝90°．我有如下思考:以上两种办法依据的是什么数学原理呢?我还有什么办法不用直角尺也∴∠QCR ＋∠QCS ＋∠QRC ＋ ∠QSC ＝ 180°．.∴2 （∠QCR ＋∠QCS ）＝ 180°．∴∠QCR ＋∠QCS ＝90°． 即∠RCS ＝ 90°．.（3）①如图，直线CP 即为所求，作图正确．.②答案不唯一，如:三边分别相等的两个三角形全等（或SSS ）;等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（或等腰三角形三线合"）;到条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上等．……（8分）18．（2020·湖北荆州）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x 的值. 【问题】解方程：2224250x x xx【提示】可以用“换元法”解方程. t （t ≥0），则有222x x t ， 原方程可化为：2450tt 【续解】229t{解析}在解无理方程时最常用的方法是换元法，一般方法是通过观察确定用来换元的式子．本题用来换元t ，其两边分别平方后有222x x t ，这样原方程可变形为关于t 的一元二次方程，即可求得t 的值，再根据所设条件对t 的值进行讨论后作出取舍，即可求出x 的值． {答案}解：【续解】229t ∴23t ，即11t ，25t ∵220tx x ， ∴221tx x ， 则有221x x ，配方，得：212x 解得：112x ，212x 经检验：112x ，212x 是原方程的根.21．（2020·怀化）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．（1）下面四边形是垂等四边形的是 ；（填序号）第20题图④①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且∠DBC＝45°，证明：四边形ABCD是垂等四边形．（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD内接于⊙O中，∠BCD＝60°．求⊙O的半径．{答案}解：（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形；②矩形对角线相等但不垂直，故不是垂等四边形；③菱形的对角线互相垂直但不相等，故不是垂等四边形；④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；故选：④；（2）∵AC⊥BD，ED⊥BD，∴AC∥DE，又∵AD∥BC，∴四边形ADEC是平行四边形，∴AC＝DE，又∵∠DBC＝45°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BD＝DE，∴BD＝AC，又∵BD⊥AC，∴四边形ABCD是垂等四边形；（3）如图，过点O作OE⊥BD，∵四边形ABCD 是垂等四边形，∴AC ＝BD ，又∵垂等四边形的面积是24，∴12AC •BD ＝24， 解得，AC ＝BD ＝4√3，又∵∠BCD ＝60°，∴∠DOE ＝60°，设半径为r ，根据垂径定理可得：在△ODE 中，OD ＝r ，DE =2√3，∴r =DE sin60°=√332=4，∴⊙O 的半径为4．{解析}本题是一道圆的综合题，主要考查了平行四边形的性质、菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、新定义、圆周角定理、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用新定义解答问题．（1）根据垂等四边形的性质对每个图形判断即可；（2）根据已知条件可证明四边形ACED 是平行四边形，即可得到AC ＝DE ，再根据等腰直角三角形的性质即可得到结果；（3）过点O 作OE ⊥BD ，根据面积公式可求得BD 的长，根据垂径定理和锐角三角函数即可得到⊙O 的半径．20. （2020·张家界）阅读下面材料：对于实数,a b ，我们定义符号min{,}a b 的意义为：当a b <时，min{,}a b a =；当a b 时，min{,}a b b =，如：min{4,2}2,min{5,5}5-=-=．根据上面的材料回答下列问题：（1）min{1,3}-=______；（2）当2322min ,233x x x -++⎧⎫=⎨⎬⎩⎭时，求x 的取值范围．（1）﹣1 ；（2）x≥134{解析}本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键． （1）比较大小，即可得出答案；（2）根据题意判断出2x 3x+223－≥ 解不等式即可判断x 的取值范围． {答案}解：（1）由题意得min{1,3}-=﹣1故答案为：﹣1；（2）由题意得：2x 3x+223－≥ 3（2x －3）≥2（x+2）6x －9≥2x+44x≥13 X≥134∴x 的取值范围为x≥134． 24．（2020·长沙）我们不妨约定：若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H 函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H 点”，根据该约定，完成下列各题（1）在下列关于x 的函数中，是“H 函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”,不是“H 函数”的打“×” ①x y 2＝（ ） ②()0≠m xm y ＝（ ） ③13－＝x y （ ） （2）若点A （1，m ）与点B （n ，－4）关于x 的“H 函数”()02≠a c bx ax y ＋＋＝的一对“H 点”，且该函数的对称轴始终位于直线x ＝2的右侧，求a ,b ,c 的值或取值范围；（3）若关于x 的“H 函数”c bx ax y 322＋＋＝（a ,b ,c 是常数）同时满足下列两个条件：①0＝＋＋c b a ,②()()0322＜＋＋－＋a b c a b c ,求该“H 函数”截x 轴得到的线段长度的取值范围．{解析}本题考查了审题能力，二次函数的性质、图形和系数的关系等．（1）正比函数是原点对称图形，所以①是“H 函数”，反比例函数一定是原点对称图形，所以②是“H 函数”，而最后③的图形是直线，但是不原点对称，所以③不是“H 函数”；（2）先求出A (1，4)，B (－1，－4)，根据二次函数的性质就能知道图像的开口向下，把A (1，4)，B (－1，－4)，代入关系式，加上对称轴公式，就能得到4＝a ＋b ＋c ,－4＝a－b ＋c ,a b 2－＞2，用代入消元法解出结果即可；（3）与（2）的方法近似，根据题意先设一对“H 点”（m ，n ）和（－m ，－n ）代入，再加上题里给的关系式0＝＋＋c b a ,()()0322＜＋＋－＋a b c a b c ，这样随不能求出具体数，但是能够得到系数之间的数量关系，这样这问求的()21221241x x x x x x －＋＝－，就能进行化简求值a c a b x x 342221⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛－＝－，最后要找到最大与最小值即可． {答案}答案 （1）√，√，×（2）解:由題意得A , B 两点关于原点对称∴A (1，4)，B (－1，－4)又∵函数的对称轴始终位于直线x ＝2的右侧，∴A ，B 两点都在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，∴a ＜0将A ，B 两点代入原方程可得：4＝a ＋b ＋c , －4＝a －b ＋c解得 b ＝4,a ＝－c 又∵ab 2－＞2 ∴－1＜a ＜0∵a ＝－c∴－1＜－c ＜0,解得 0＜c ＜1又∵a ≠0，∴c ≠0綜上所述: b ＝4,－1＜a ＜0，0＜c ＜1（3）当y ＝0时，y ＝ax 2＋2bx ＋3c 可化为ax 2＋2bx ＋3c ＝0， ()21221241x x x x x x －＋＝－当在x 轴有两个交点时，（2b ）2－4×a ×3c ≥0，x 1＋x 2＝a b 2－，x 1·x 2＝a c 3 ∴a c a b x x 342221⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛－＝－，∵0＝＋＋c b a ,∴3234221＋＋＝－⎪⎭⎫ ⎝⎛a b x x 又∵()()0322＜＋＋－＋a b c a b c ,解得－3＜ab ＜1 ∵这是关于x 的“H 函数”，∴设（m ，n ）和（－m ，－n ）代入y ＝ax 2＋2bx ＋3c 中 可得n ＝am 2＋2bm ＋3c ，－n ＝am 2－2bm ＋3c ，两式相加得2am 2＋6c ＝0，∵m 2＞0，∴ac 26－＞0，又∵0＝＋＋c b a ,∴a b ＞－1， ∴－1＜a b ＜1，∵3234221＋＋＝－⎪⎭⎫ ⎝⎛a b x x ∴2＜21x x －＜7225. (2020·湘潭)阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC 的重心为点O ，求△OBC 与△ABC 的面积．（2）性质探究：如图（二），已知△ABC 的重心为点O ，请判断OD OA 、OBC ABC SS 是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由．（3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，连接BE 交对角线AC 于点M ．①若正方形ABCD 的边长为4，求EM 的长度；②若1CME S =，求正方形ABCD 的面积．{解析}（1）连接DE ，利用相似三角形证明12OD AO =，运用勾股定理求出AD 的长，运用三角形面积公式求解即可；（2）根据（1）的证明可求解；（3）①证明△CME ∽△ABM 得12EM BM =，再运用勾股定理求出BE 的长即可解决问题； ②分别求出S △BMC 和S △ABM 即可.{答案}（1）连接DE ，如图，∵点O 是△ABC 的重心，AD ∴，BE 是BC ，A C 边上的中线，D E ∴，为BC ，AC 边上的中点，DE ∴为△ABC 的中位线，//DE AB ∴，12DE AB =， ∴~ODE OAB ，12OD DE OA AB ∴==， 2AB ∴=，1BD =AD ∴=，3OD =，11222OBC S BC OD ∴=⨯⨯=⨯=11222ABC S BC AD =⋅⋅=⨯=；（2）由（1）可知，12OD OA =是定值； 112132OBC ABC BC OD SOD S AD BC AD ⋅===⋅是定值； （3）①∵四边形ABCD 是正方形，//CD AB ∴，4AB BC CD ÷==，∴CME AMBEM CE BM AB∴= ∵E 为CD的中点，122CE CD ∴== BE ∴==12EM BM ∴=13EM BE ∴=，即EM = ②∴1CME S =，且12ME BM = ∴2BMC S =， ∵12ME BM =， ∴214CME AMB S ME SBM ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴4S4AMB CME S ==， 246ABC BMC ABM S S S ∴=+=+=，又ADC ABC S S =△△∴6ADC S =．∴正方形ABCD 的面积为：6+6=12．26．（2020·内江）我们知道，任意一个正整数x 都可以进行这样的分解：x m n =⨯（m ，n 是正整数，且m n ≤），在x 的所有这种分解中，如果m ，n 两因数之差的绝对值最小，我们就称m n ⨯是x 的最佳分解．并规定：()m f x n=． 例如：18可以分解成118⨯，29⨯或36⨯，因为1819263->->-，所以36⨯是18的最佳分解，所以()311862f ==． （1）填空：()6________f =；()9_________f =；（2）一个两位正整数t （10t a b =+，19a b ≤≤≤，a ，b 为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求()f t 的最大值；（3）填空：∴()22357_____________f ⨯⨯⨯=；∴()32357_____________f ⨯⨯⨯=；∴()42357_____________f ⨯⨯⨯=；∴()52357_____________f ⨯⨯⨯=．{答案}解：（1）6＝1×6＝2×3，∴6−1＞3−2，∴()6f ＝23；9=1×9=3×3，∴9−1＞3−3， ∴()9f =1，故答案为：23；1； （2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b ＋a−10a−b ＝9（b−a ）＝54，∴b−a ＝6，∴1≤a≤b≤9，∴b ＝9，a ＝3或b ＝8，a ＝2或b ＝7，a ＝1， ∴t 为39，28，17；∴39＝1×39＝3×13，∴()39f ＝313；28＝1×28＝2×14＝4×7， ∴()28f ＝47；17＝1×17，∴()11717f =；∴()f t 的最大值47． （3）∴∴22357⨯⨯⨯=20×21∴()220235721f ⨯⨯⨯=； ∴32357⨯⨯⨯=28×30∴()3281423573015f ⨯⨯⨯==； ∴∴42357⨯⨯⨯=56×30∴()4301523575628f ⨯⨯⨯==； ∴∴52357⨯⨯⨯=56×60∴()5561423576015f ⨯⨯⨯==，故答案为：20141514,,,21152815．{解析}本题考查了因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键．（1）6＝1×6＝2×3，由已知可求()6f ＝23；9=1×9=3×3，由已知可求()9f =1； （2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b ＋a−10a−b ＝9（b−a ）＝54，得到b−a ＝6，可求t 的值，故可得到()f t 的最大值；（3）根据()m f x n=的定义即可依次求解．20．（2020·通辽）用※定义一种新运算：对于任意实数m 和n ，规定m ※n ＝m 2n ﹣mn ﹣3n ， 如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．（1）求（﹣2（2）若3※m ≥﹣6，求m 的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．{解析}（1）根据定义进行列式计算；（2）根据定义列出不等式，再进行求解，然后把解集在数轴上表示出来．{答案}解：（1）（－2（－2）223（2）∵3※m =32 m －3 m －3 m =3 m ，又∵3※m ≥﹣6，∴3 m ≥﹣6，得m ≥﹣2．在数轴上表示如下：22．（7分）（2020•呼和浩特）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程x ﹣＝0，就可以利用该思维方式，设＝y ，将原方程转化为：y 2﹣y ＝0这个熟悉的关于y 的一元二次方程，解出y ，再求x ，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．已知实数x ，y 满足，求x 2+y 2的值．解：令xy ＝a ，x +y ＝b ，则原方程组可化为：，整理得：，②﹣①得：11a 2＝275，解得：a 2＝25，代入②可得：b ＝4，∴方程组的解为：或，x 2+y 2＝（x +y ）2﹣2xy ＝b 2﹣2a ，当a ＝5时，x 2+y 2＝6，当a ＝﹣5时，x 2+y 2＝26，因此x 2+y 2的值为6或26．21．（9分）（2020•遂宁）阅读以下材料，并解决相应问题：小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y ＝a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0，a 1、b 1、c 1是常数）与y ＝a 2x 2+b 2x +c 2（a 2≠0，a 2、b 2、c 2是常数）满足a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y ＝2x 2﹣3x +1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y ＝2x 2﹣3x +1可知，a 1＝2，b 1＝﹣3，c 1＝1，根据a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0，求出a 2，b 2，c 2就能确定这个函数的旋转函数．请思考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．解：（1）由y＝x2﹣4x+3函数可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝﹣x2﹣4x﹣3；（2）∵y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，∴，解得：，∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1．（3）证明：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x+3））＝﹣6，∴点C的坐标为（0，﹣6）．当y＝0时，2（x﹣1）（x+3）＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣3，0）．∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）．设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a，解得：a＝﹣2，过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6．∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6，∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．。

阅读理解型专题 湖南 刘志超阅读理解型问题重点考查学生的阅读理解能力、从材料中获取有用信息的能力、抽象概括的能力、以及分析问题解决问题的能力.此类题往往是先通过材料定义一个新概念，或定义一种新运算，或提供一种解题的新思路，要求学生通过阅读理解，认识这些新定义，理解新运算，抽象概括材料中蕴含的新方法，进而运用它们解决问题.一、定义新概念型阅读理解题例1（2018·重庆）对任意一个四位数n ，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n 为“极数”.（1）请任意写出三个“极数”，并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由； （2）如果一个正整数a 是另一个正整数b 的平方，则称正整数a 是“完全平方数”.若四位数m 为“极数”，记D （m ）=33m，求满足D （m ）是完全平方数的所有m. 解析：（1）答案不唯一，如5247，1485，9306. 猜想：任意一个“极数”都是99的倍数.理由：设任意一个“极数”n 的千位数字为a ，百位数字为b （其中1≤a ≤9，0≤b ≤9，且a ，b 均为正整数），则这个“极数”n=1000a+100b+10（9-a ）+（9-b ）=990a+99b+99=99（10a+b+1）. ∵1≤a ≤9，0≤b ≤9， ∴10a+b+1是正整数.∴任意一个“极数”都是99的倍数.（2）由（1）可知，设任意一个“极数”m 的千位数字为a ，百位数字为b （其中1≤a ≤9，0≤b ≤9，且a ，b 均为正整数），则这个“极数”m=99（10a+b+1）. ∴D （m ）=33m=3（10a+b+1）. ∵D （m ）是完全平方数，∴3（10a+b+1）是完全平方数，也是3的倍数. ∵1≤a ≤9，0≤b ≤9， ∴11≤10a+b+1≤100.∴10a+b+1=3×22、3×32、3×42、3×52.∴D （m ）是完全平方数的所有m 值为1188，2673，4752，7425.例2（2018·北京）对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为图形N 上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M ，N 间的“闭距离”，记为d （M ，N ）.已知点A （-2，6），B （-2，-2），C （6，-2）. （1）求d （点O ，△ABC ）；（2）记函数y=kx （-1≤x ≤1，k ≠0）的图象为图形G.若d （G ，△ABC ）=1，直接写出k 的取值范围； （3）⊙T 的圆心为T （t ，0），半径为1.若d （⊙T ，△ABC ）=1，直接写出t 的取值范围.解析：（1）画出图形如图1，可知点O 到△ABC 的最小距离为2，即原点（0，0），（-2，0）两点间的距离，故d （点O ，△ABC ）=2.图1（2）如图2，y=kx（k≠0）经过原点，在-1≤x≤1范围内，函数图象为线段.当y=kx（-1≤x≤1，k≠0）经过（-1，1）时，k=-1，此时d（G，△ABC）=1；当y=kx（-1≤x≤1，k≠0）经过（-1，-1）时，k=1，此时d（G，△ABC）=1.∴-1≤k≤1.又∵k≠0，∴k的取值范围为-1≤k＜0或0＜k≤1.图2（3）⊙T与△ABC的位置分三种情况讨论如下：①若⊙T位于△ABC的左侧，易知当t=-4时，d（⊙T，△ABC）=1；②若⊙T位于△ABC的内部，当点T与点O重合时，有d（⊙T，△ABC）=1；如图3，当点T在点T3位置时，过点T3作T3M⊥AC于点M，由d（⊙T，△ABC）=1知T3M=2. ∵AB=BC=8，∠ABC=90°，∴∠C=∠T3DM=45°.∴T3D=22.∴t=4-22.∴此时t的取值范围为0≤t≤4-22；③若⊙T位于△ABC的右侧，由d（⊙T，△ABC）=1得T4N=2.∵∠T4DC=∠C=45°，∴T4D=22.∴t=422 .综上，t 的取值范围为t=-4，0≤t ≤4-22或t=4+22.图3点评：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是正确理解“闭距离”的定义，同时运用数形结合、分类讨论等思想方法解决问题. 跟踪训练：1.（2018·潍坊）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系.如图，在平面内取定一点O 为极点，从点O 出发引一条射线Ox 称为极轴，线段OP 的长度称为极径.点P 的极坐标就可以用线段OP 的长度以及从Ox 转动到OP 的角度（规定逆时针方向为正）来确定，即P （3，60°）或P （3，-300°）或P （3，420°）等，则点P 关于点O 成中心对称的点Q 的极坐标，下列表示不正确的是（ ）A.Q （3，240°）B.Q （3，-120°）C.Q （3，600°）D.Q （3，-500°）第1题图2.（2018·长沙改编）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”. （1）在“平行四边形、矩形、菱形、正方形”中，一定是“十字形”的是 ；在凸四边形ABCD 中，AB=AD 且CB ≠CD ，则该四边形 “十字形”.（填“是”或“不是”）（2）如图，点A ，B ，C ，D 是⊙O 上按逆时针方向排列的四个动点，AC 与 BD 交于点 E ，∠ADB-∠CDB=∠ABD-∠CBD ，则四边形ABCD 是“十字形”吗？请说明理由.xyT 4T 3T 2T 1NMCBAOD 60°POx第2题图二、定义新运算型阅读理解题例3 （2018·广元）若用“*”表示一种运算规则，我们规定：a*b=ab-a+b，如3*2=3×2-3+2=5. 以下说法中错误的是（）A.不等式（-2）*（3-x）＜2的解集是x＜3B.函数y=（x+2）*x的图象与x轴有两个交点C.在实数范围内，无论a取何值，代数式a*（a+1）的值总为正数D.方程（x-2）*3=5的解是x=5解析：根据运算规则可知，（-2）*（3-x）=（-2）×（3-x）-（-2）+（3-x）=x-1，解x-1＜2，得x＜3，故选项A正确；函数y=（x+2）*x=（x+2）x-（x+2）+x=x2+2x-2.∵∆=22-4×1×（-2）=12＞0，∴此函数图象与x轴有两个交点，故选项B正确；a*（a+1）=a（a+1）-a+a+1=a2+a+1=（a+12）²+34.∵（a+12）2≥0，∴（a+12）²+34≥34，即a*（a+1）≥34，故选项C正确；（x-2）*3=3（x-2）-（x-2）+3=2x-1，解2x-1=5，得x=3，故选项D错误. 故选D.跟踪训练：3.（2018·金华）对于两个非零实数x，y，定义一种新的运算：a bx yx y*=+.若()112*-=，则()22-*的值是 .4.（2018·益阳）规定a⊗b =（a+b）b，如2⊗3=（2+3）×3=15，若2⊗x=3，则x= .三、探究新方法型阅读理解题例4（2018·黔西南）“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法. 例如：如图4，图①中有6个点，图②中有12个点，图③中有18个点，…，按此规律，求图⑩、图n有多少个点.①②③图4我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图5），这样图①中黑点个数是6×1=6个；图②中黑点个数是6×2=12个；图③中黑点个数是6×3=18个；…，容易求出图⑩、图n中黑点的个数分别是、 .图5请你参考以上“分块计数法”先将图6中的点阵进行分块，再完成以下问题： （1）第5个点阵中有 个小圆圈，第n 个点阵中有 个小圆圈； （2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵.图6解析：由图5可得黑点个数分别是6×1=6，6×2=12，6×3=18，…，可以猜想图⑩中黑点个数是6×10=60，图n 中黑点个数是6n.（1）分法：如图7，第1个点阵中有1个小圆圈，第2个点阵中有6×1+1个小圆圈，第3个点阵中有6×（1+2）+1个小圆圈，第4个点阵中有6×（1+2+3）+1个小圆圈，所以第5个点阵中有6×（1+2+3+4）+1=6×⨯+4（41）2+1=61个小圆圈，…，第n 个点阵中有6×n n -（1）2+1=3n 2-3n+1个小圆圈.图7（2）设第n 个点阵的小圆圈个数为271，则3n 2-3n+1=271，整理，得n 2- n-90=0，解得n 1=-9（不符合题意，舍去），n 2=10.所以第10个点阵中小圆圈的个数为271. 跟踪训练：5.（2018·随州）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看做分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：例：将0.7•化为分数形式由于 0.7•=0.777 …，设x=0.777… ①第4个第3个第2个第1个第1个第2个第3个第4个则10 x=7.77…②②-①得9x=7，解得x=79，于是得0.7•=79.同理可得0.3•=39=13，1.4•=1+0.4•=1+49=139.根据以上阅读，回答下列问题:（以下计算结果均用最简分数表示）【基础训练】（1）0.5•= ，5.8•= ；（2）将0.2•3•化为分数形式，写出推导过程：【能力提升】（3）0.3•15•= ，2.01•8•= ；（注：0.3•15•=0.315 315…， 2.01•8•=2.018 18…）【探索发现】（4）试比较0.9•与1的大小: 0.9• 1.（填“＞”、“＜”或“=”）答案：1. D2.解：（1）菱形，正方形不是（2）四边形ABCD 是“十字形”.理由：∵∠ADB-∠CDB ＝∠ABD-∠CBD ， ∴∠ADB+∠CBD ＝∠ABD+∠CDB. ∵∠CBD ＝∠CAD ，∠CDB ＝∠CAB ，∴∠ADB+∠CAD ＝∠ABD+∠CAB ，即∠AED ＝∠AEB. ∴∠AED ＝∠AEB ＝90°，即AC ⊥BD. ∴四边形ABCD 是“十字形”. 3. -1 4.-3或15. 解：（1）59539（2）由于0.23g g＝0.2323…，设x ＝0.2323… ① 则100x ＝23.2323… ② ②-①得99x ＝23，解得x ＝2399. ∴0.23g g＝2399. （3）35111 11155提示：由于0.315gg＝0.315 315…，设x ＝0.315 315… ① 则1000x ＝315.315 315… ②②-①得999x ＝315，解得x ＝35111，于是0.315g g ＝35111.设x ＝2.018g g ，则10x ＝20.18g g③ 1000x ＝2018.18g g④ ④-③得990x ＝1998，解得x ＝11155，于是2.018g g ＝11155. （4）=提示：由于0.9g＝0.999…，设x ＝0.999… ① 则10x ＝9.999… ②②-①得9x ＝9，解得x ＝1，于是0.9g＝1.。

中考数学新定义创新型综合压轴问题【方法归纳】新定义＂型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。

它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接＂新知识＂；（3）定义新概念.这类试题考查考生对＂新定义＂的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将＂新定义＂的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题。

解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。

北京中考最后一题的新定义主要涉及函数与圆的有关新定义问题，属于函数的范畴，已经考过“对应点”、“关联线段”、“平移距离”“闭距离”、“相关矩形”、“反称点”、“有界函数”、“关联点”等新定义。

在平时的教学过程中要从细节中挖掘出数学的本质特征，引领学生找到解决问题的思想方法。

解答这类问题的关键是要读懂题目提供的新知识，理解其本质，把它与已学的知识联系起来，把新的问题转化为已学的知识进行解决。

【典例剖析】【例1】（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b),N.对于点P给出如下定义：将点P向右(a≥0)或向左(a<0)平移|a|个单位长度，再向上(b≥0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度，得到点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．(1)如图，点M(1,1),点N在线段OM的延长线上，若点P(−2,0),点Q为点P的“对应点”．①在图中画出点Q；OM;②连接PQ,交线段ON于点T.求证：NT=12(2)⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON=t(1<t<1)，若P为⊙O外2一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ.当点M在⊙O上运动时直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）【例2】（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′,C′分别是B,C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．（1）如图，点A,B1,C1,B2,C2,B3,的横､纵坐标都是整数．在线段B1C1,B2C2,B3C3中，⊙O 的以点A为中心的“关联线段”是______________；（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A(0,t)，其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；（3）在△ABC中，AB=1,AC=2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC长．【真题再现】1．（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A′B′（A′,B′分别为点A，B的对应点），线段AA′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦P 1P 2和P 3P 4，则这两条弦的位置关系是 ；在点P 1,P 2,P 3,P 4中，连接点A 与点 的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线y =√3x +2√3上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 1，求d 1的最小值；（3）若点A 的坐标为(2,32)，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 2，直接写出d 2的取值范围．2（2019·北京·中考真题）在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 两边的中点，如果DE⌢上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称DE⌢为△ABC 的中内弧．例如，下图中DE ⌢是△ABC 的一条中内弧．（1）如图，在Rt △ABC 中，AB =AC =2√2，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．画出△ABC 的最长的中内弧DE⌢，并直接写出此时DE ⌢的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A(0,2)，B(0,0)，C(4t,0)(t >0)，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．①若t =12，求△ABC 的中内弧DE⌢所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围；②若在△ABC 中存在一条中内弧DE⌢，使得DE ⌢所在圆的圆心P 在△ABC 的内部或边上，直接写出t 的取值范围．3．（2018·北京·中考真题）对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为图形N 上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M ，N 间的“闭距离”，记作d （M ，N ）．已知点A （−2，6），B （−2，−2），C （6，−2）．（1）求d （点O ，△ABC ）；（2）记函数y =kx （−1≤x ≤1，k ≠0）的图象为图形G ，若d （G ，△ABC ）=1，直接写出k 的取值范围；（3）⊙T 的圆心为T （t ，0），半径为1．若d （⊙T ，△ABC ）=1，直接写出t 的取值范围． 4.（2017·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形M ，给出如下的定义：若在图形M 存在一点Q ，使得P 、Q 两点间的距离小于或等于1，则称P 为图形M 的关联点．（1）当⊙O 的半径为2时，①在点P 1(12,0),P 2(12,√32),P 3(52,0) 中，⊙O 的关联点是_______________． ②点P 在直线y=-x 上，若P 为⊙O 的关联点，求点P 的横坐标的取值范围．（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，直线y=-x+1与x 轴、y 轴交于点A 、B ．若线段AB 上的所有点都是⊙C 的关联点，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．5．（2016·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2），且x 1≠x 2，y 1≠y 2，若P ，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与，Q 的“相关矩形”．下图为点P ，Q 的“相关矩形”的示意图．（1）已知点A 的坐标为（1，0）．①若点B 的坐标为（3，1）求点A ，B 的“相关矩形”的面积；②点C 在直线x=3上，若点A ，C 的“相关矩形”为正方形，求直线AC 的表达式；（2）⊙O 的半径为，点M 的坐标为（m ，3）．若在⊙O 上存在一点N ，使得点M ，N 的“相关矩形”为正方形，求m 的取值范围．6．（2015·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0．（1）当⊙O的半径为1时．，0），T（1，√3）关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求①分别判断点M（2，1），N（32其坐标；②点P在直线y=﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；x+2√3与x轴、y轴分别交于点A，B，若（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣√33线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．7．（2014·北京·中考真题）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足−M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．(x>0)和y=x+1(−4<x≤2)是不是有界函数？若是有界函数，（1）分别判断函数y=1x求其边界值；（2）若函数y=−x+1(a⩽x⩽b,b>a)的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（3）将函数y=x2(−1≤x≤m，m≥0)的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值≤t≤1？是t，当m在什么范围时，满足348．（2013·北京·中考真题）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在两个点A ，B ，使得∠APB=60°，则称P 为⊙C 的关联点．已知点D （，），E （0，－2），F （，0）（1）当⊙O 的半径为1时，①在点D ，E ，F 中，⊙O 的关联点是 ；②过点F 作直线交y 轴正半轴于点G ，使∠GFO=30°，若直线上的点P （m ，n ）是⊙O 的关联点，求m 的取值范围；（2）若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r 的取值范围．【模拟精练】一、解答题1．（2022·北京朝阳二模）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，AB =1，且A ，B 两点中至少有一点在⊙O 外．给出如下定义：平移线段AB ，得到线段A ′B ′（A ′，B ′分别为点A ，B 的对应点），若线段A ′B ′上所有的点都在⊙O 的内部或⊙O 上，则线段AA ′长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．(1)如图1，点A 1，B 1的坐标分别为（－3，0），（－2，0），线段A 1B 1到⊙O 的“平移距离”为___，点A 2，B 2的坐标分别为（－12，√3），（12，√3），线段A 2B 2到⊙O 的“平移距离”为___；(2)若点A，B都在直线y=√3x+2√3上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d，求d的最小值；(3)如图2，若点A坐标为（1，√3），线段AB到⊙O的“平移距离”为1，画图并说明所有满足条件的点B形成的图形（不需证明）．2．（2022·北京北京·二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于线段PQ给出如下定义：若线段PQ与⊙O有两个交点M，N，且PM=MN=NQ，则称线段PQ是⊙O的“倍弦线”．(1)如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．在线段AB，AD，CB，CD中，⊙O的“倍弦线”是_____________；(2)⊙O的“倍弦线”PQ与直线x=2交于点E，求点E纵坐标y E的取值范围；(3)若⊙O的“倍弦线”PQ过点(1,0)，直线y=x+b与线段PQ有公共点，直接写出b的取值范围．3．（2022·北京大兴·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和直线y=1，给出如下定义：若点P在直线y=1上，且以点P为顶点的角是45°，则称点P为直线y=1的“关联点”．(1)若在直线x=1上存在直线y=1的“关联点”P．则点P的坐标为_____；(2)过点P(2,1)作两条射线，一条射线垂直于x轴，垂足为A；另一条射线、交x轴于点B，若点P为直线y=1的“关联点”．求点B的坐标；(3)以点O为圆心，1为半径作圆，若在⊙O上存在点N，使得∠OPN的顶点P为直线y=1的“关联点”．则点P的横坐标a的取值范围是________．4．（2022·北京东城·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于图形G及过定点P(3,0)的直线l，有如下定义：过图形G上任意一点Q作QH⊥l于点H，若QH+PH有最大值，那么称这个最大值为图形G关于直线l的最佳射影距离，记作d(G,l)，此时点Q称为图形G关于直线l的最佳射影点．(1)如图1，已知A(2,2)，B(3,3)，写出线段AB关于x轴的最佳射影距离d(AB,x轴)=____________；(2)已知点C(3,2)，⊙C的半径为√2，求⊙C关于x轴的最佳射影距离d（⊙C，x轴），并写出此时⊙C关于x轴的最佳射影点Q的坐标；(3)直接写出点D(0,√3)关于直线l的最佳射影距离d(点D,l)的最大值．5．（2022·北京·清华附中一模）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM=QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．(1)如图1，已知点A(0,3)，B(2,3)；①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值是______，最大值是______；,0)，P2(1,4)，P3(−3,0)这三个点中，与点O是线段AB的一对平衡点的是______．②在P1(32(2)如图2，已知⊙O的半径为1，点D的坐标为（5，0）．若点E(x,2)在第一象限，且点D 与点E是⊙O的一对平衡点，求x的取值范围；(3)如图3，已知点H(−3,0)，以点O为圆心，OH长为半径画弧交x的正半轴于点K．点C(a,b)（其中b≥0）是坐标平面内一个动点，且OC=5，⊙C是以点C为圆心，半径为2的圆，若HK上的任意两个点都是⊙C的一对平衡点，直接写出b的取值范围．6．（2022·北京丰台·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，T（0，t）为y轴上一点，P为平面上一点．给出如下定义：若在⊙O上存在一点Q，使得△TQP是等腰直角三角形，且∠TQP＝90°，则称点P为⊙O的“等直点”，△TQP为⊙O的“等直三角形”．如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．(1)当t＝2时，在点A，B，C，D中，⊙O的“等直点”是；(2)当t＝3时，若△TQP是⊙O“等直三角形”，且点P，Q都在第一象限，求CP的值．OQ 7．（2022·北京市第一六一中学分校一模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形W，如果线段OP与图形W无公共点，则称点P为关于图形W的“阳光点”；如果线段OP与图形W有公共点，则称点P为关于图形W的“阴影点”．(1)如图1，已知点A（1，3），B（1，1），连接AB．①在P1（1，4），P2（1，2），P3（2，3），P4（2，1）这四个点中，关于线段AB的“阳光点”是；②线段A1B1∥AB，A1B1上的所有点都是关于线段AB的“阴影点”，且当线段A1B1向上或向下平移时，都会有A1B1上的点成为关于线段AB的“阳光点”，若，A1B1的长为4，且点A1在B1的上方，则点A1的坐标为．(2)如图2，已知点C（1，√3），⊙C与y轴相切于点D，若⊙E的半径为3，圆心E在直线2l：y=−√3x+4√3上，且⊙E的所有点都是关于⊙C的“阴影点”，求点E的横坐标的取值范围；(3)如图3，⊙M的半径为3，点M到原点的距离为5，点N是⊙M上到原点距离最近的点，点Q和T是坐标平面的两个动点，且⊙M上的所有点都是关于△NQT的“阴影点”直接写出△NQT的周长的最小值．8．（2022·北京市第五中学分校模拟预测）定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的“冰雪距离”，已知O（0，0），A（1，√2），B （m，n），C（m，n+2）是平面直角坐标系中四点．(1)根据上述定义，完成下面的问题：①当m＝2√2，n=√2时，如图1，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是；②当m＝2√2时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是√2，则n的取值范围是；(2)如图2，若点B落在圆心为A，半径为√2的圆上，当n≥√2时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”记为d，结合图象，求d的最小值；(3)当m的值变化时，动线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为√2，线段BC的中点为M．直接写出点M随线段BC运动所走过的路径长．9．（2022·北京市师达中学模拟预测）如果一个圆上所有的点都在一个角的内部或边上，那么称这个圆为该角的角内圆．特别地，当这个圆与角的至少．．一边相切时，称这个圆为该角的角内相切圆．在平面直角坐标系xOy中，点E，F分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．(1)分别以点A（1，0），B（1，1），C（3，2）为圆心，1为半径作圆，得到⊙A，⊙B和⊙C，其中是∠EOF的角内圆的是；(2)如果以点D（t，2）为圆心，以1为半径的⊙D为∠EOF的角内圆，且与直线y=x有公共点，求t的取值范围；(3)点M在第一象限内，如果存在一个半径为1且过点P（2，2√3）的圆为∠EMO的角内相切圆，直接写出∠EOM的取值范围．10．（2021·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于图形Q和∠P，给出如下定义：若图形Q上的所有的点都在∠P的内部或∠P的边上，则∠P的最小值称为点P对图形Q的可视度．如图1，∠AOB的度数为点O对线段AB的可视度．（1）已知点N（2，0），在点M1(0,2√3)，M2(1,√3)，M3(2,3)中，对线段ON的可视度为360º的点是______．（2）如图2，已知点A（-2，2），B（-2，-2），C（2，-2），D（2，2），E（0，4）．①直接写出点E对四边形ABCD的可视度为______°；②已知点F（a，4），若点F对四边形ABCD的可视度为45°，求a的值．11．（2022·北京四中模拟预测）在平面内，对点组A1，A2，...，An和点P给出如下定义：点P与点A1，A2，...，An的距离分别记作d1，d2，...，dn，数组d1，d2，...，dn的中位数称为点P对点组A1，A2，...，An的中位距离．例如，对点组A1（0，0），A2（0，3），A3（4，1）和点P（4，3），有d1＝5，d2＝4，d3＝2，故点P对点组A1，A2，A3的中位距离为4．(1)设Z1（0，0），Z2（4，0），Z304），Y（0，3），直接写出点Y对点组Z1，Z2，Z3的中位距离；(2)设C1（0，0），C2（8，0），C3（6，6），则点Q1（7，3），Q2（3，3），Q3（4，0），Q4（4，2）中，对点组C1，C2，C3的中位距离最小的点是，该点对点组C1，C2，C3的中位距离为；(3)设M（1，0），N(0,√3)，T1（t，0），T2（t+2，0），T3（t，2），若线段MN上任意一点对点组T1，T2，T3的中位距离都不超过2，直接写出实数t的取值范围．12．（2020·北京·人大附中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，对于平面中的点P，Q和图形M，若图形M上存在一点C，使∠PQC=90°，则称点Q为点P关于图形M的“折转点”，称△PCQ为点P关于图形M的“折转三角形”（1）已知点A(4,0)，B(2,0)①在点Q1(2,2)，Q2(1,−√3)，Q3(4,−1)中，点O关于点A的“折转点”是______；②点D在直线y=−x上，若点D是点O关于线段AB的“折转点”，求点D的横坐标x D的取值范围；（2）⊙T的圆心为(t,0)，半径为3，直线y=x+2与x，y轴分别交于E，F两点，点P为⊙T 上一点，若线段EF上存在点P关于⊙T的“折转点”，且对应的“折转三角形”是底边长为2的等腰三角形，直接写出t的取值范围．13．（2020·北京市陈经纶中学分校三模）平面直角坐标系xOy中，对于点M和图形W，若图形W上存在一点N（点M，N可以重合），使得点M与点N关于一条经过原点的直线l对称，则称点M与图形W是“中心轴对称”的对于图形W1和图形W2，若图形W1和图形W2分别存在点M和点N（点M，N可以重合），使得点M与点N关于一条经过原点的直线l对称，则称图形W1和图形W2是“中心轴对称”的．特别地，对于点M和点N，若存在一条经过原点的直线l，使得点M与点N关于直线l对称，则称点M和点N是“中心轴对称”的．（1）如图1，在正方形ABCD中，点A(1,0)，点C(2,1)，①下列四个点P1(0,1)，P2(2,2)，P3(−12,0)，P4(−12,−√32)中，与点A是“中心轴对称”的是________；②点E在射线OB上，若点E与正方形ABC D是“中心轴对称”的，求点E的横坐标x E的取值范围;（2）四边形GHJK的四个顶点的坐标分别为G(−2,2)，H(2,2)，J(2,−2)，K(−2,−2),一次函数y=√3x+b图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段与四边形GHJK是“中心轴对称”的，直接写出b的取值范围．14．（2022·北京房山·二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形G和点Q，给出如下定义：将图形G绕点Q顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形G关于点Q的“垂直图形”，例如，图1中线段OD为线段OC关于点O的“垂直图形”．(1)线段MN关于点M(1,1)的“垂直图形”为线段MP．①若点N的坐标为(1,2)，则点P的坐标为__________；②若点P的坐标为(4,1)，则点N的坐标为__________；(2)E(−3,3),F(−2,3),H(a,0)．线段EF关于点H的“垂直图形”记为E′F′，点E的对应点为E′，点的对应点为F′．①求点E′的坐标（用含a的式子表示）；②若⊙O的半径为2，E′F′上任意一点都在⊙O内部或圆上，直接写出满足条件的EE′的长度的最大值．15．（2022·北京丰台·xOy中，⊙O的半径为1，A为任意一点，B 为⊙O上任意一点，给出如下定义：记A，B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在⊙O上时，p=0），最大值为q，那么把p+q的值称为点A与⊙O的“关联距离”，记作d（A，2⊙O）(1)如图，点D，E，F的横、纵坐标都是整数①d（D，⊙O）＝__________；②若点M在线段EF上，求d（M，⊙O）的取值范围；(2)若点N在直线y=√3x+2√3上，直接写出d（N，⊙O）的取值范围；(3)正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足d（P，⊙O）的最小值为1，最大值为√10，直接写出m的最小值和最大值．16．（2022·北京平谷·二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作d(P,Q)．已知点A(−2,2)，B(2,2)，连接AB．(1)d（点O，AB）＝；(2)⊙O半径为r，若d(⊙O,AB)=0，直接写出r的取值范围；(3)⊙O半径为r，若将点A绕点B逆时针旋转α°(0°<α<180°)，得到点A′．①当α=30°时d(⊙O,A′)=0，求出此时r的值；②对于取定的r值，若存在两个α使d(⊙O,A′)=0，直接写出r的范围．17．（2022·北京密云·二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P(2,3)与图形T，给出如下定义：在点P与图形T上各点连接的所有线段中，线段长度的最大值与最小值的差，称为图形T关于点P的“宽距”．(1)如图，⊙O的半径为2，且与x轴分别交于A，B两点．①线段AB关于点P的“宽距”为______；⊙O关于点P的“宽距”为______．②点M(m,0)为x轴正半轴上的一点，当线段AM关于点P的“宽距”为2时，求m的取值范围．(2)已知一次函数y=x+1的图象分别与x轴、y轴交于D、E两点，⊙C的圆心在x轴上，且⊙C的半径为1．若线段DE上的任意一点K都能使得⊙C关于点K的“宽距”为2，直接写出圆心C的横坐标x C的取值范围．18．（2022·北京门头沟·二模）我们规定：如图，点H在直线MN上，点P和点P′均在直线MN的上方，如果HP=HP′，∠PHM=∠P′HN，点P′就是点P关于直线MN的“反射点”，其中点H为“V点”，射线HP与射线HP′组成的图形为“V形”．在平面直角坐标系xOy中，(1)如果点P(0,3) ，H(1.5,0)，那么点P关于x轴的反射点P′的坐标为；(2)已知点A(0,a) ，过点A作平行于x轴的直线l．①如果点B(5,3) 关于直线l的反射点B′和“V点”都在直线y=−x+4上，求点B′的坐标和a的值；②⊙W是以(3,2) 为圆心，1为半径的圆，如果某点关于直线l的反射点和“V点”都在直线y=−x+4上，且形成的“V形”恰好与⊙W有且只有两个交点，求a的取值范围．19．（2022·北京东城·一模）对于平面直角坐标系xOy中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A，B两点，使得△ABC为等腰直角三角形，且∠ABC=90°，则称点C为图形G的“友好点”．(1)已知点O(0,0)，M(4,0)，在点C1(0,4)，C2(1,4)，C3(2,−1)中，线段OM的“友好点”是_______；(2)直线y=−x+b分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点C(2,1)为线段PQ的“友好点”，求b 的取值范围；(3)已知直线y=x+d(d>0)分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的⊙O的“友好点”，直接写出d的取值范围．20．（2022·北京顺义·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点R和线段PQ，给出如下定义：M为线段PQ上任意一点，如果R，M两点间的距离的最小值恰好等于线段PQ的长，则称点R为线段PQ的“等距点”．(1)已知点A(5,0)．①在点B1(−3,4)，B2(1,5)，B3(4,−3)，B4(3,6)中，线段OA的“等距点”是______；②若点C在直线y=2x+5上，并且点C是线段OA的“等距点”，求点C的坐标；(2)已知点D(1,0)，点E(0,−1)，图形W是以点T(t,0)为圆心，1为半径的⊙T位于x轴及x 轴上方的部分．若图形W上存在线段DE的“等距点”，直接写出t的取值范围．21．（2022·北京市十一学校模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P为图形G上任意一点，将点P到原点O的最大距离与最小距离之差定义为图形G的“全距”．特别地，点P到原点O的最大距离与最小距离相等时，规定图形G的“全距”为0．(1)已知，点A(−4√2,2)，B(2√2,2)．①原点O到线段AB上一点的最大距离为_______，最小距离为_______；②当点C的坐标为(0,m)时，且△ABC的“全距”为4，求m的取值范围；(2)已知OM=7，等边△DEF的三个顶点均在半径为3的⊙M上．求△DEF的“全距”d的取值范围．22．（2022·北京房山·二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2．给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N，（点M、N 可以重合）使得AM=2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系(1)如图1，点C(√3,0),D(0,−1),E(0,1)，点P在线段CE上运动（点P可以与点C，E重合），连接OP,DP．①线段OP的最小值为__________，最大值为__________；线段DP的取值范围是__________；②在点O，点D中，点__________与线段EC满足限距关系；(2)在（1）的条件下，如图2，⊙O的半径为1，线段FG与x轴、y轴正半轴分别交于点F，G，且FG∥EC，若线段FG与⊙O满足限距关系，求点F横坐标的取值范围；(3)⊙O的半径为r(r>0)，点H，K是⊙O上的两个点，分别以H，K为圆心，2为半径作圆得到⊙H和⊙K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r的取值范围．23．（2022·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于△ABC和直线l给出如下定义：若△ABC的一条边关于直线l的对称线段PQ是⊙O的弦，则称△ABC是⊙O 的关于直线l的“关联三角形”“关联轴”．(1)如图1，若△ABC是⊙O的关于直线l的“关联三角形”，请画出△ABC与⊙O的“关联轴”（至少画两条）；(2)若△ABC中，点A坐标为(2,3)，点B坐标为(4,1)，点C在直线y=−x+3的图像上，存在“关联轴l”使△ABC是⊙O的关联三角形，求点C横坐标的取值范围；(3)已知A(√3,1)，将点A向上平移2个单位得到点M，以M为圆心MA为半径画圆，B，C为⊙M 上的两点，且AB=2（点B在点A右侧），若△ABC与⊙O的关联轴至少有两条，直接写出OC 的最小值和最大值，以及OC最大时AC的长．24．（2022·北京市十一学校二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形W，给出如下定义：点P是图形W上任意一点，若存在点Q，使得∠OQP是直角，则称点Q是图形W的“直角点”．(1)已知点A（6，8），在点Q1(5,0)，Q2(−2,4)，Q3(9,5)中，________是点A的“直角点”；(2)已知点B（-4，4），C（3，4），若点Q是线段BC的“直角点”，求点Q的横坐标n的取值范围；(3)在（2）的条件下，已知点D（m-1，0），E（m，0），以线段DE为边在x轴上方作正方形DEFG．若正方形DEFG上的所有点均为线段BC的“直角点”，求m的取值范围．25．（2022·北京通州·一模）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P为图形G上任意―点，将点P到原点O的最大距离与最小距离之差定义为图形G的“全距”．特别地，点P 到原点O的最大距离与最小距离相等时，规定图形G的“全距”为0．(1)如图，点A(−√3,1)，B(√3,1)．①原点O到线段AB上一点的最大距离为______，最小距离为______；②当点C的坐标为(0,m)时，且△ABC的“全距”为1，求m的取值范围；(2)已知OM＝2，等边△DEF的三个顶点均在半径为1的⊙M上．请直接写出△DEF的“全距”d 的取值范围．26．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy中，点P不在坐标轴上，点P关于x 轴的对称点为P1，点P关于y轴的对称点为P2，称△P1PP2为点P的“关联三角形”．(1)已知点A(1，2)，求点A的“关联三角形”的面积；(2)如图，已知点B(m，n)，⊙T的圆心为T(2，2)，半径为2．若点B的“关联三角形”与⊙T 有公共点，直接写出m的取值范围；(3)已知⊙O的半径为r，OP=2r，若点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点，直接写出∠PP1P2的取值范围．27．（2022·北京一七一中一模）已知平面直角坐标系xOy中，对于线段MN及P、Q，若∠MPN= 45°且线段MN关于点P的中心对称线段M′N′恰好经过点Q，则称Q是点P的线段MN−45°对经点.(1)设点A(0,2)，①Q1(4,0)，Q2(2,2)，Q3(2+√7,1)，其中为某点P的线段OA−45°对经点的是___________.②选出①中一个符合题意的点Q，则此时所对应的对称中心P的坐标为.③已知B(0,1)，设⊙B的半径是r，若⊙B上存在某点P的线段OA−45°对经点，求r的取值范围.(2)已知C(0,t)，D(0,−t)(t>0)，若点Q(4,0)同时是相异两点P1，P2的线段CD−45°对经点，直接写出t的取值范围.28．（2022·北京大兴·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，已知点A，过点A 作直线MN．对于点A和直线MN，给出如下定义：若将直线MN绕点A顺时针旋转，直线MN与⊙O有两个交点时，则称MN是⊙O的“双关联直线”，与⊙O有一个交点P时，则称MN是⊙O的“单关联直线”，AP⊙O的“单关联线段”．(1)如图1，A(0,4)，当MN与y轴重合时，设MN与⊙O交于C，D两点．则MN是⊙O的“______的值为______；关联直线”（填“双”或“单”）；ACAD(2)如图2，点A为直线y=−3x+4上一动点，AP是⊙O的“单关联线段”．①求OA的最小值；②直接写出△APO面积的最小值．29．（2022·北京市燕山教研中心一模）对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ，给出如下定义：若存在△PQR使得S△PQR=PQ2，则称△PQR为线段PQ的“等幂三角形”，点R称为线段PQ 的“等幂点”．(1)已知A(2,0)．①在点P1(2,4),P2(1,2),P3(−4,1),P4(1,−4)中，线段OA的“等幂点”是____________；②若存在等腰△OAB是线段OA的“等幂三角形”，求点B的坐标；(2)已知点C的坐标为C(2,−1)，点D在直线y=x−3上，记图形M为以点T(1,0)为圆心，2为半径的⊙T位于x轴上方的部分．若图形M上存在点E，使得线段CD的“等幂三角形”△CDE 为锐角三角形，直接写出点D的横坐标x D的取值范围．30．（2022·北京平谷·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r，对于平面上任一点P，我们定义：若在⊙O上存在一点A，使得点P关于点A的对称点点B在⊙O内，我们就称点P为⊙O的友好点．(1)如图1，若r为1．①已知点P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（2，0）中，是⊙O的友好点的是；②若点P（t，0）为⊙O的友好点，求t的取值范围；(2)已知M（0，3），N（3，0），线段MN上所有的点都是⊙O的友好点，求r取值范围．。