2021中考数学必刷题 (338)

2021中考数学必刷题493第Ⅰ卷(选择题共48分)一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分)1．|－15|的相反数是( )A.15B．－15C．－5 D．52．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )3．2018年政府工作报告指出，过去五年来，我国经济实力跃上新台阶．国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，稳居世界第二.82.7万亿用科学记数法表示为( )A．0.827×1014B．82.7×1012C．8.27×1013D．8.27×10144．下列运算正确的是( )A．a2·a3＝a6B．(a＋b)(a－2b)＝a2－2b2C．(ab3)2＝a2b6D．5a－2a＝35．为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次跳绳成绩，下列统计中能用来比较两人成绩稳定程度的是( )A．平均数B．中位数C．众数D．方差6．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为( )A．90°－α B．α C．180°－α D．2α7．在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝bx(b≠0)与二次函数y＝ax2＋bx(a≠0)的图象大致是( )8．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x－7<5（x－1），x3≤3－x－22的解集是( )A．x＜－2 B．x≤245C．－2＜x≤245D．2＜x≤2459.如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点，若∠A＝60°，∠B＝100°，BC＝4，则扇形BDE的面积为( )A.13πB.23πC.49πD.59π 10．下列四个函数：①y＝－2x ＋1；②y＝3x －2；③y＝－3x ；④y＝x 2＋2，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大的函数是( ) A ．①②③ B ．①③④ C ．②③④ D ．②④11．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是( )1 2 3 256 7 2 2 3 10… … …A ．210 B.41 C ．5 2 D.5112．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD，分别交BC ，BD 于点E ，P ，连接OE ，∠ADC＝60°，AB ＝12BC ＝1，则下列结论：①∠CAD＝30°；②BD＝7；③S 平行四边形ABCD ＝AB·AC；④OE＝14AD ；⑤S △APO ＝312，正确的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷(非选择题 共102分)二、填空题(本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分)13．计算：|－3|－1＝________．14．一元二次方程x 2－4x ＋2＝0的两根为x 1，x 2，则x 12－4x 1＋2x 1x 2的值为________．15．三棱柱的三视图如图所示，已知△EFG 中，EF ＝8 cm ，EG ＝12 cm ，∠EFG＝45°.则AB 的长为________cm .16．如图所示的网格是正方形网格，∠BAC________∠DAE.(填“＞”“＝”或“＜”)17．已知：[x]表示不超过x 的最大整数．例：[3.9]＝3，[－1.8]＝－2.令关于k 的函数f(k)＝[k ＋14]－[k4](k 是正整数)．例：f(3)＝[3＋14]－[34]＝1.则f(2 019)－f(2 018)＝________． 18．如图，矩形OABC 的边AB 与x 轴交于点D ，与反比例函数y ＝k x (k＞0)在第一象限的图象交于点E ，∠AOD＝30°，点E 的纵坐标为1，△ODE 的面积是433，则k 的值是________．三、解答题(本大题共7小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 19．(本题满分8分)化简分式(a 2－3a a 2－6a ＋9＋23－a )÷a －2a 2－9，并在2，3，4，5这四个数中取一个合适的数作为a 的值代入求值．20．(本题满分10分)某校体育社团在校内开展“最喜欢的体育项目(四项选一项)”调查，对九年级学生随机抽样，并将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合统计图解答下列问题：(1)本次抽样人数有________人；(2)补全条形统计图和扇形统计图；(3)该校九年级共有600名学生，估计九年级最喜欢跳绳项目的学生有________人；(4)若从3名最喜欢“篮球”项目的学生和1名最喜欢“跳绳”项目的学生中随机抽取两人参加训练，用列表或画树状图的方法求所抽取的两人都最喜欢“篮球”项目的概率．21．(本题满分10分)如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B 处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者，在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别为45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米，为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少米？(结果保留整数．参考数据：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos 65°≈0.4，2≈1.4)22．(本题满分12分) 如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD.(1)求证：OP⊥CD；(2)连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．23．(本题满分12分)在水果销售旺季，某水果店购进一批优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y(千克)与该天的售价x(元/千克)满足如下表所示的一次函数关系．销售量y(千克) …34.8 32 29.6 28 …售价x(元/千克) …22.6 24 25.2 26 …(1)(2)如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？24．(本题满分12分)定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等)，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：(1)如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形(保留画图痕迹，找出3个即可)；(2)如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝80°，∠ADC＝140°，对角线BD平分∠ABC.求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；运用：(3)如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH＝∠HFG ＝30°，连接EG，若△EFG的面积为23，求FH的长．25．(本题满分14分)如图，抛物线y＝13x2－13x－4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE∥AC交x轴于点E，交BC于点F.(1)求A，B，C三点的坐标；(2)试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．参考答案1.B2.A3.C4.C5.D6.C7.D8.C9.C 10.C 11.B12.D13．2 14.2 15.4 2 16.＞17.1 18.3 319．解：原式＝[a（a－3）（a－3）2－2a－3]÷a－2（a＋3）（a－3）＝(aa－3－2a－3)·（a＋3）（a－3）a－2＝a－2a－3·（a＋3）（a－3）a－2＝a＋3.∵a≠－3，2，3，∴a＝4或a＝5，取a＝4，则原式＝7.20．解：(1)50(2)补全条形统计图和扇形统计图如下．(3)180(4)列表如下(用A表示最喜欢“篮球”，用B表示最喜欢“跳绳”)．A1A2A3 BA1(A1，A2) (A1，A3) (A1，B)A2(A2，A1) (A2，A3) (A2，B)A3(A3，A1) (A3，A2) (A3，B)B (B，A1) (B，A2) (B，A3)项目的结果共有6种，∴所抽取的两人都最喜欢“篮球”项目的概率P ＝612＝12.21．解：如图，作AH⊥CN 于H.在Rt △ABH 中，∵∠BAH＝45°，BH ＝10.5－2.5＝8(米)， ∴AH＝BH ＝8米．在Rt △AHC 中，tan 65°＝CHAH ，∴CH＝8tan 65°≈16.8(米)， ∴BC＝CH －BH ＝16.8－8≈9(米)．答：云梯需要继续上升的高度BC 约为9米． 22．(1)证明：如图，连接OC ，OD ， 则OC ＝OD.∵PD，PC 是⊙O 的切线， ∴∠ODP＝∠OCP＝90°. 在Rt △ODP 和Rt △OCP 中，⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OC ，OP ＝OP ， ∴Rt △ODP≌Rt △OCP， ∴∠DOP＝∠COP. ∵OD＝OC ， ∴OP⊥CD.(2)解：连接AD ，BC 如图所示，则OA ＝OD ＝OC ＝OB ＝2， ∴∠ADO＝∠DAO＝50°， ∠BCO＝∠CBO＝70°，∴∠AOD＝80°，∠BOC＝40°， ∴∠COD＝60°. ∵OD＝OC ，∴△CO D 是等边三角形． 由(1)知，∠DOP＝∠COP＝30°， 在Rt △ODP 中，OP ＝OD cos 30°＝433.23．解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b. 将(22.6，34.8)，(24，32)代入y ＝kx ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧22.6k ＋b ＝34.8，24k ＋b ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝80， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－2x ＋80. 当x ＝23.5时，y ＝－2x ＋80＝33. 答：当天该水果的销售量为33千克． (2)根据题意得(x －20)(－2x ＋80)＝150， 解得x 1＝35，x 2＝25. ∵20≤x≤32， ∴x＝25.答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元． 24．(1)解：如图所示，点D 1，D 2，D 3，D 4任选三个点即可．(2)证明：∵∠ABC＝80°，BD 平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC＝40°， ∴∠A＋∠ADB＝140°. ∵∠ADC＝140°， ∴∠BDC＋∠ADB＝140°， ∴∠A＝∠BDC， ∴△ABD∽△BDC，∴BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”． (3)解：如图，过点E 作EQ⊥FG 于Q.∵FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”，∴△EFH 与△HFG 相似． ∵∠EFH＝∠HFG， ∴△FEH∽△FHG， ∴FE FH ＝FHFG， ∴FH 2＝FE·FG，∴EQ＝FE·sin 60°＝32FE.∵12FG·EQ＝23，∴12FG·32FE ＝23， ∴FG·FE＝8，∴FH 2＝FE·FG＝8，∴FH＝2 2.25．解：(1)当y ＝0时，13x 2－13x －4＝0，解得x 1＝－3，x 2＝4，∴A(－3，0)，B(4，0)， 当x ＝0时，y ＝－4， ∴C(0，－4)． (2)存在．满足条件的Q 点坐标为(522，522－4)或(1，－3)．(3)如图，过点F 作FG⊥PQ 于点G,则FG∥x 轴．由B(4，0)，C(0，－4)得△OBC 为等腰直角三角形， ∴∠OBC ＝∠QFG＝45°， ∴△FQG 为等腰直角三角形， ∴FG＝QG ＝22FQ.∵PE∥AC，PG∥CO，∴∠FPG＝∠ACO. ∵∠FGP＝∠AOC＝90°， ∴△FGP∽△AOC. ∴FG OA ＝PG CO ，即FG 3＝PG 4， ∴PG＝43FG ＝43·22FQ ＝223FQ ，∴PQ＝PG ＋GQ ＝223FQ ＋22FQ ＝726FQ ，∴FQ ＝327PQ.设P(m ，13m 2－13m －4)(0＜m ＜4)，则Q(m ，m －4)，∴PQ＝m －4－(13m 2－13m －4)＝－13m 2＋43m ，∴FQ＝327(－13m 2＋43m)＝－27(m －2)2＋427.∵－27＜0， ∴QF 有最大值，∴当m ＝2时，QF 有最大值．。

4． 【考点】V2：全面调查与抽样调查．菁优网版权所有 【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽 样调查得到的调查结果比较近似． 【解答】解：A、国家旅游局调查国民对“五一”期间出行旅游的满意程度调查范 围广适合抽样调查，故 A 不符合题意； B、调查中国民众对美国在韩部署萨德系统持反对态度的比例调查范围广适合抽 样调查，故 B 不符合题意； C、调查中国国产航母各零部件的质量是事关重大的调查适合普查，故 C 符合题 意； D、调查重庆市初 2017 级学生的中考体考成绩调查范围广适合抽样调查，故 D 不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据 所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行 普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事 关重大的调查往往选用普查．
23．（10.00 分）2017 年 3 月 19 日上午 8 时，一年一度的重庆国际马拉松赛在南 滨路和巴滨路上正式开跑，3 万名来自世界各地的马拉松运动员沿长江母亲河畔 展示了速度与激情．某广告公司抓住这一商机自制了一款文化衫，每件成本为 20 元，调研发现这一天可以销售 150 件． （1）如果广告公司要求当天的利润不低于 2250 元，则文化衫销售单价至少为多 少元？ （2）为了扩大该广告公司的认知度，公司在比赛当天开展促销活动，使销售量 尽可能大，决定销售单价在（1）中的最低销售价的基础上再降低 m%，则销售 量可以在 150 件的基础上增加 m 件，结果当天的销售额为 5670 元，求出 m 的值． 24．（10.00 分）如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，点 D 为 AC 上一点，连接 BD，过 C 点作 BD 的垂线交 BD 的延长线于点 E，连接 AE，过点 A 作 AF⊥AE 交 BD 于点 F，连接 CF． （1）若 CE=2，AE= ，求 BC 的长； （2）若点 D 为 AC 的中点，求证：CF=2CD．

专题05平方根、立方根、二次根式
一、单选题（共15小题）
1.（2020•徐汇区二模）下列二次根式中，最简二次根式是（）
A．B．C．D．
【解答】解：（B）原式＝|a+b|，故B不是最简二次根式．
（C）原式＝2，故C不是最简二次根式．
（D）原式＝|a|，故D不是最简二次根式．
故选：A．
【知识点】最简二次根式
2.（2020•青山区模拟）计算：﹣的结果是（）
A．B．2C．D．2
【解答】解：﹣
＝4﹣3
＝
故选：A．
【知识点】二次根式的加减法
3.（2020•云南模拟）要使式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）
A．x≥1B．x≤1C．x≥1且x≠﹣2D．x＞1
【解答】解：要使式子在实数范围内有意义，则x﹣1＞0，
解得：x＞1．
故选：D．
【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件
4.（2020•九龙坡区校级模拟）规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[3.87]＝3，[]。

专题33几何综合压轴问题（解答题）一、解答题1．（湖南省郴州市2021年中考数学试卷）如图1，在等腰直角三角形中，．点，ABC 90BAC ∠=︒E F 分别为，的中点，为线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点逆时针方向AB AC H EF E F AH A 旋转得到，连接，．90︒AG GC HB（1）证明：；AHB AGC A A ≌（2）如图2，连接，，交于点．GF HC AF AF Q ①证明：在点的运动过程中，总有；H 90HFG ∠=︒②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？4AB AC ==EH AQG A 2．（2021·湖北中考真题）问题提出 如图（1），在和中，，ABC A DEC A 90ACB DCE ∠=∠=︒，，点在内部，直线与交于点，线段，，之间存BC AC =EC DC =E ABC A AD BE F AF BF CF 在怎样的数量关系？问题探究 （1）先将问题特殊化．如图（2），当点，重合时，直接写出一个等式，表示，，D F AF BF 之间的数量关系；CF （2）再探究一般情形．如图（1），当点，不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．D F 问题拓展 如图（3），在和中，，，（是ABC A DEC A 90ACB DCE ∠=∠=︒BC kAC =EC kDC =k 常数），点在内部，直线与交于点，直接写出一个等式，表示线段，，E ABC A AD BEF AF BF CF 之间的数量关系．3．（2021·浙江中考真题）（证明体验）（1）如图1，为的角平分线，，点E 在上，．求证：平分AD ABC A 60ADC ∠=︒AB AE AC =DE ．ADB ∠（思考探究）（2）如图2，在（1）的条件下，F 为上一点，连结交于点G ．若，，AB FC AD FB FC =2DG =，求的长．3CD =BD （拓展延伸）（3）如图3，在四边形中，对角线平分，点E 在上，ABCD AC ,2BAD BCA DCA ∠∠=∠AC．若，求的长．EDC ABC ∠=∠5,2BC CD AD AE ===AC 4．（2021·浙江中考真题）如图1，四边形内接于，为直径，上存在点E ，满足ABCD O A BD A AD ，连结并延长交的延长线于点F ，与交于点G ．A A AE CD =BE CD BE AD（1）若，请用含的代数式表列．DBC α∠=αAGB ∠（2）如图2，连结．求证；．,CE CE BG =EF DG =（3）如图3，在（2）的条件下，连结，．CG 2AD =①若，求的周长．tan ADB ∠=FGD A ②求的最小值．CG 5．（2021·浙江中考真题）在扇形中，半径，点P 在OA 上，连结PB ，将沿PB 折叠AOB 6OA =OBP A 得到．O BP 'A （1）如图1，若，且与所在的圆相切于点B ．75O ∠=︒BO 'A AB ①求的度数．APO ∠'②求AP 的长．（2）如图2，与相交于点D ，若点D 为的中点，且，求的长．BO 'A AB A AB //PD OB AAB 6．（2021·浙江中考真题）已知在中，是的中点，是延长线上的一点，连结ACD △РCD B AD ,BC AP ．（1）如图1，若，求的长．90,60,,ACB CAD BD AC AP ︒∠=︒∠===BC （2）过点作，交延长线于点，如图2所示．若，求证：D //DE AC AP E 60,CAD BD AC ∠︒==．2BC AP =（3）如图3，若，是否存在实数，当时，？若存在，请直接写出45CAD ∠=︒m BD mAC =2BC AP =的值；若不存在，请说明理由．m 7．（2021·安徽中考真题）如图1，在四边形ABCD 中，，点E 在边BC 上，且ABC BCD ∠=∠，，作交线段AE 于点F ，连接BF ．//AE CD //DE AB CF //AD （1）求证：；ABF EAD △≌△（2）如图2，若，，，求BE 的长；9AB =5CD =ECF AED ∠=∠（3）如图3，若BF 的延长线经过AD 的中点M ，求的值．BEEC 8．（2021·四川中考真题）在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连ABC A AB AC =D BC B C 结．AD（1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，结，，则60C ∠=°D AB E AE DE BDE ∠=________；（2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．60C ∠=°AD A 60︒AE BE ①在图2中补全图形；②探究与的数量关系，并证明；CD BE （3）如图3，若，且，试探究、、之间满足的数量关系，并证AB AD kBC DE ==ADE C ∠=∠BE BD AC 明．9．（2021·山东中考真题）如图1，O 为半圆的圆心，C 、D 为半圆上的两点，且．连接并A A BD CD =AC 延长，与的延长线相交于点E ．BD （1）求证：；CD ED =（2）与，分别交于点F ，H ．AD OC BC ①若，如图2，求证：；CF CH =CF AF FO AH ⋅=⋅②若圆的半径为2，，如图3，求的值．1BD =AC10．（2021·江苏中考真题）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1）是边长为3的等边三角形，E 是边上的一点，且，小亮以为边作等边三角形ABC A AC 1AE BE ，如图1，求的长；BEF CF（2）是边长为3的等边三角形，E 是边上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，ABC A AC BE BEF 如图2，在点E 从点C 到点A 的运动过程中，求点F 所经过的路径长；（3）是边长为3的等边三角形，M 是高上的一个动点，小亮以为边作等边三角形ABC A CD BM BMN ，如图3，在点M 从点C 到点D 的运动过程中，求点N 所经过的路径长；（4）正方形的边长为3，E 是边上的一个动点，在点E 从点C 到点B 的运动过程中，小亮以ABCD CB B 为顶点作正方形，其中点F 、G 都在直线上，如图4，当点E 到达点B 时，点F 、G 、H 与BFGH AE 点B 重合．则点H 所经过的路径长为______，点G 所经过的路径长为______．11．（2021·吉林中考真题）实践与探究操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD ，将正方形纸片沿过点A 的直线折叠，使点B 落在正方形ABCD 的内部，点B 的对应点为点M ，折痕为AE ，再将纸片沿过点A 的直线折叠，使AD 与AM 重合，折痕为AF ，则 度．EAF ∠=操作二：如图②，将正方形纸片沿EF 继续折叠，点C 的对应点为点N ．我们发现，当点E 的位置不同时，点N 的位置也不同．当点E 在BC 边的某一位置时，点N 恰好落在折痕AE 上，则 ∠=AEF 度．在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：（1）设AM 与NF 的交点为点P ．求证：．ANP FNE △≌△（2）若，则线段AP 的长为 ．AB =12．（2021·湖南中考真题）如图，在中，，N 是边上的一点，D 为的中点，过ABC A AB AC =BC AN 点A 作的平行线交的延长线于T ，且，连接．BC CD AT BN =BT（1）求证：；BN CN =（2）在如图中上取一点O ，使，作N 关于边的对称点M ，连接、、、AN AO OC =AC MT MO OC 、得如图．OT CM ①求证：；TOM AOC A A ∽②设与相交于点P ，求证：．TM AC 1//,2PD CM PD CM =13．（2021·浙江台州市·中考真题）如图，BD 是半径为3的⊙O 的一条弦，BD ＝，点A 是⊙O 上的一个动点（不与点B ，D 重合），以A ，B ，D 为顶点作平行四边形ABCD ．（1）如图2，若点A 是劣弧的中点．A BD ①求证：平行四边形ABCD 是菱形；②求平行四边形ABCD 的面积．（2）若点A 运动到优弧上，且平行四边形ABCD 有一边与⊙O 相切．ABD ①求AB 的长；②直接写出平行四边形ABCD 对角线所夹锐角的正切值．14．（2021·青海中考真题）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，可以采用如下方法：60,30,15︒︒︒操作感知：第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开（如图13-1）．ABCD AD BC EF 第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段A EF B BM BN （如图13-2）．猜想论证：（1）若延长交于点，如图13-3所示，试判定的形状，并证明你的结论．MN BC P BMP A 拓展探究：（2）在图13-3中，若，当满足什么关系时，才能在矩形纸片中剪出符AB a BC b ==，a b ，ABCD （1）中的等边三角形？BMP 15．（2021·海南中考真题）如图1，在正方形中，点E 是边上一点，且点E 不与点重ABCD BC B C ≌合，点F 是的延长线上一点，且．BA AF CE =（1）求证：；DCE DAF A A ≌（2）如图2，连接，交于点K ，过点D 作，垂足为H ，延长交于点G ，连接EF AD DH EF ⊥DH BF ．,HB HC ①求证：；HD HB =②若，求的长．DK HC ⋅=HE 16．（2021·甘肃中考真题）问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，ABCD ,E F ,AB BC 于点．,DE AF DE AF =⊥G（1）求证：四边形是正方形；ABCD （2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由．CB H BH AE =AHF △类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，ABCD ,E F ,AB BC DE AF G ，求的长．,60,6,2DE AF AED AE BF =∠=︒==DE 17．（2021·四川中考真题）如图1，在中，，，点D 是边上一点（含ABC A 90ACB ∠=︒AC BC =AB 端点A 、B ），过点B 作垂直于射线，垂足为E ，点F 在射线上，且，连接、BE CD CD EF BE =AF ．BF（1）求证：；ABF CBE A A ∽（2）如图2，连接，点P 、M 、N 分别为线段、、的中点，连接、、．求AE AC AE EF PM MN PN 的度数及的值；PMN ∠MNPM（3）在（2）的条件下，若面积的最大值．BC =PMN A 18．（2021·山西中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，为的中点，连接，，试猜想与的数量关ABCD A BE AD ⊥E F CD EF BF EF BF系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如ABCD A BF F CD 图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证C 'C 'DC AB G AG BG 明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图③，点A 的对应点为，ABCD A B 'A 使于点，折痕交于点，连接，交于点．该小组提出一个问题：若此'A B CD ⊥H AD M 'A M CD N 的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形）的面积．请你思ABCD A 5AB=BC =BHNM考此问题，直接写出结果．19．（2021·浙江中考真题）问题：如图，在中，，，，的平分线ABCD A 8AB =5AD =DAB ∠ABC ∠AE ，BF 分别与直线CD 交于点E ，F ，求EF 的长．答案：．2EF =探究：（1）把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变．8AB =①当点E 与点F 重合时，求AB 的长；②当点E 与点C 重合时，求EF 的长．（2）把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点C ，D ，E ，F 相邻两点间的距离相8AB =5AD =等时，求的值．ADAB20．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形绕点顺时针旋转，得到矩形ABCD A ()090αα︒<≤︒'''AB C D [探究1]如图1，当时，点恰好在延长线上．若，求BC 的长．90α=︒'C DB 1AB =[探究2]如图2，连结，过点作交于点．线段与相等吗？请说明'AC 'D '//'D M AC BD M 'D M DM 理由．[探究3]在探究2的条件下，射线分别交，于点，（如图3），，存在一定的DB 'AD 'AC P N MN PN 数量关系，并加以证明．21．（2021·浙江中考真题）如图，在菱形中，是锐角，E 是边上的动点，将射线绕ABCD ABC ∠BC AE 点A 按逆时针方向旋转，交直线于点F ．CD （1）当时，AE BC EAF ABC ，^Ð=Ð①求证：；AE AF =②连结，若，求的值；BD EF ，25EF BD =ABCD A ＡＥＦ菱形ＳＳ（2）当时，延长交射线于点M ，延长交射线于点N ，连结12EAF BAD ∠=∠BC AF DC AE AC MN，，若，则当为何值时，是等腰三角形．42AB AC ==，CE AMN A 22．（2017·山东德州市·中考真题）如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝5cm ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，过点E 作EF AB 交PQ 于F ，连接BF ．//（1）求证：四边形BFEP 为菱形；（2）当点E 在AD 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动；①当点Q 与点C 重合时（如图2），求菱形BFEP 的边长；②若限定P 、Q 分别在边BA 、BC 上移动，求出点E 在边AD上移动的最大距离．23．（2020·广西中考真题）已知：在矩形中，，是边上的一个动点，将ABCD 6AB =AD =P BC 矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．ABCD A P D G EF （1）如图1，当点与点重合时，则线段_______________，_____________；P C EB =EF =（2）如图2，当点与点，均不重合时，取的中点，连接并延长与的延长线交于点P B C EF O PO GF ，连接，，．M PF ME MA ①求证：四边形是平行四边形：MEPF②当时，求四边形的面积．1tan 3MAD ∠=MEPF 24．（2020·山东中考真题）在等腰△ABC 中，AC ＝BC ，是直角三角形，∠DAE ＝90°，∠ADE ＝ADE A 12∠ACB ，连接BD ，BE ，点F 是BD 的中点，连接CF ．（1）当∠CAB ＝45°时．①如图1，当顶点D 在边AC 上时，请直接写出∠EAB 与∠CBA 的数量关系是 ．线段BE 与线段CF 的数量关系是 ；②如图2，当顶点D 在边AB 上时，（1）中线段BE 与线段CF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：思路一：作等腰△ABC 底边上的高CM ，并取BE 的中点N ，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；思路二：取DE 的中点G ，连接AG ，CG ，并把绕点C 逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形CAG A 全等或相似有关知识来解快问题．（2）当∠CAB ＝30°时，如图3，当顶点D 在边AC 上时，写出线段BE 与线段CF 的数量关系，并说明理由．25．（2021·天津中考真题）已知内接于，点D 是上一点．ABC A ,,42O AB AC BAC =∠=︒A O A（Ⅰ）如图①，若为的直径，连接，求和的大小；BD O A CD DBC ∠ACD ∠（Ⅱ）如图②，若//，连接，过点D 作的切线，与的延长线交于点E ，求的大CD BA AD O A OC E ∠小．26．（2021·浙江中考真题）如图，锐角三角形内接于，的平分线交于点，交ABC O A BAC ∠AG O A G 边于点，连接．BC F BG(1)求证：．ABG A AFC ∽△(2)已知，，求线段的长（用含，的代数式表示）．AB a =AC AF b ==FG a b (3)已知点在线段上（不与点，点重合），点在线段上（不与点，点重合），E AF A F D AE A E ，求证：．ABD CBE ∠=∠2BG GE GD =⋅27．（2021·山东中考真题）如图，已知正方形ABCD ，点E 是BC 边上一点，将△ABE 沿直线AE 折叠，点B 落在F 处，连接BF 并延长，与∠DAF 的平分线相交于点H ，与AE ，CD 分别相交于点G ，M ，连接HC（1）求证：AG ＝GH ；（2）若AB ＝3，BE ＝1，求点D 到直线BH 的距离；（3）当点E 在BC 边上（端点除外）运动时，∠BHC 的大小是否变化？为什么？28．（2021·甘肃中考真题）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知是弦上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．A ,ABC AB（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作线段的垂直平分线，分别交于点于点，连接；AC DE A AB ,D AC E ,AD CD ②以点为圆心，长为半径作弧，交于点（两点不重合），连接．D DA AAB F ,F A ,,DF BD BF （2）直接写出引理的结论：线段的数量关系．,BC BF 29．（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点和线段，给出如下xOy O A A BC 定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（分别是的对应点），则称线段是BC A O A B C '',B C '',B C BC 的以点为中心的“关联线段”．O A A（1）如图，点的横､纵坐标都是整数．在线段中，的以点112233,,,,,,A B C B C B C 112233,,B C B C B C O A A 为中心的“关联线段”是______________；（2）是边长为1的等边三角形，点，其中．若是的以点为中心的“关联线ABC A ()0,A t 0t ≠BC O A A 段”，求的值；t （3）在中，．若是的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值ABC A 1,2AB AC ==BC O A A OA 和最大值，以及相应的长．BC 30．（2021·湖北中考真题）如图，在菱形中，是对角线上一点（），，ABCD O BD BO DO >OE AB ⊥垂足为，以为半径的分别交于点，交的延长线于点，与交于点．E OE O A DC H EO F EF DC G（1）求证：是的切线；BC O A （2）若是的中点，，．G OF 2OG =1DG =①求的长；AHE ②求的长．AD 31．（2021·山东中考真题）如图，在中，是直径，弦，垂足为，为上一点，O A AB CD AB ⊥H E A BC 为弦延长线上一点，连接并延长交直径的延长线于点，连接交于点，若F DC FE AB G AE CD P ．FE FP =（1）求证：是的切线；FE O A （2）若的半径为8，，求的长．O A 3sin 5F =BG 32．（2021·四川中考真题）如图，⊙O 的半径为1，点A 是⊙O 的直径BD 延长线上的一点，C 为⊙O 上的一点，AD ＝CD ，∠A ＝30°．（1）求证：直线AC 是⊙O 的切线；（2）求△ABC 的面积；（3）点E 在上运动（不与B 、D 重合），过点C 作CE 的垂线，与EB 的延长线交于点F ． ¼BND ①当点E 运动到与点C 关于直径BD 对称时，求CF 的长；②当点E 运动到什么位置时，CF 取到最大值，并求出此时CF 的长．33．（2021·重庆中考真题）在中，，是边上一动点，连接，将绕点逆ABC A AB AC =D BC AD AD A 时针旋转至的位置，使得．AE 180DAE BAC ∠+∠=︒（1）如图，当时，连接，交于点．若平分，，求的190BAC ∠=︒BE AC F BE ABC ∠2BD =AF 长；（2）如图，连接，取的中点，连接．猜想与存在的数量关系，并证明你的猜2BE BE G AG AG CD 想；（3）如图，在（2）的条件下，连接，．若，当，3DG CE 120BAC ∠=︒BD CD >150AEC ∠=︒时，请直接写出的值．BD DGCE -34．（2021·四川中考真题）如图，点D 在以AB 为直径的⊙O 上，过D 作⊙O 的切线交AB 延长线于点C ，于点E ，交⊙O 于点F ，连接AD ，FD ．AE CD ⊥（1）求证：；DAE DAC ∠=∠（2）求证：；DF AC AD DC ⋅=⋅（3）若，，求EF 的长．1sin 4C ∠=AD =35．（湖南省益阳市2021年中考数学真题）如图，在等腰锐角三角形中，，过点B 作ABC AB AC =于D ，延长交的外接圆于点E ，过点A 作于F ，的延长线交于BD AC ⊥BD ABC A AF CE ⊥,AE BC 点G ．（1）判断是否平分，并说明理由；EA DEF ∠（2）求证：①；②．BD CF =22BD DE AE EG =+⋅36．（2021·湖南中考真题）如图①，是等腰的斜边上的两动点，E F 、Rt ABC A BC 且．45,EAF CD BC ∠=︒⊥CD BE =（1）求证：；ABE ACD △≌△（2）求证：；222EF BE CF =+（3）如图②，作，垂足为H ，设，不妨设，请利用AH BC ⊥,EAH FAH αβ∠=∠=AB =（2）的结论证明：当时，成立．45αβ+=︒tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-⋅37．（2021·黑龙江中考真题）如图所示，四边形为正方形，在中，ABCD A ECH 的延长线与的延长线交于点，点在同一条直线上．90,,ECH CE CH HE ∠=︒=CD F D B H 、、（1）求证：；CDE CBH A A ≌（2）当时，求的值；15HB HD =FD FC（3）当时，求的值．3,4HB HG ==sin CFE ∠38．（2021·四川中考真题）如图，为的直径，C 为上一点，连接，D 为延长线AB O A O A ,AC BC AB 上一点，连接，且．CD BCD A ∠=∠（1）求证：是的切线；CD O A（2）若，的面积为的长；O A ABC A CD （3）在（2）的条件下，E 为上一点，连接交线段于点F ，若，求的长．O A CE OA 12EF CF =BF 39．（2021·湖南中考真题）如图，在中，点为斜边上一动点，将沿直线折Rt ABC △P BC ABP △AP 叠，使得点的对应点为，连接，，，．B B 'AB 'CB 'BB 'PB '（1）如图①，若，证明：．PB AC '⊥PB AB ''=（2）如图②，若，，求的值．AB AC =3BP PC =cos B AC '∠（3）如图③，若，是否存在点，使得．若存在，求此时的值；若不存30ACB ∠=︒P AB CB '=PCBC 在，请说明理由．40．（2021·浙江中考真题）（推理）如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点C 落在点F 处，连结BE ，CF ，延长CF 交AD 于点G ．（1）求证：．BCE CDG △△≌（运用）（2）如图2，在（推理）条件下，延长BF 交AD 于点H ．若，，求线段DE 的长．45HD HF =9CE =（拓展）（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE 折叠，连结CF ，延长CF ，BF 交直线AD 于G ，两点，若AB k BC =，，求的值（用含k 的代数式表示）．45HD HF =DE EC 41．（2021·江苏中考真题）已知正方形ABCD 与正方形AEFG ，正方形AEFG 绕点A 旋转一周．(1)如图①，连接BG 、CF ，求的值；CFBG(2)当正方形AEFG 旋转至图②位置时，连接CF 、BE ，分别去CF 、BE 的中点M 、N ，连接MN 、试探究：MN 与BE 的关系，并说明理由；(3)连接BE 、BF ，分别取BE 、BF 的中点N 、Q ，连接QN ，AE =6，请直接写出线段QN 扫过的面积．42．（2021·湖北中考真题）在矩形中，，，是对角线上不与点，重合ABCD 2AB =4=AD F AC A C 的一点，过作于，将沿翻折得到，点在射线上，连接．F FE AD ⊥E AEF A EF GEF △G AD CG （1）如图1，若点的对称点落在上，，延长交于，连接．A G AD 90FGC ∠=︒GF AB H CH①求证：；CDG GAH △∽△②求．tan GHC ∠（2）如图2，若点的对称点落在延长线上，，判断与是否全等，A G AD 90GCF ∠=︒GCF A AEF A 并说明理由．。