第二章 平稳过程
P103
2. 设随机过程()sin X t Ut =，其中U 是在[]02π，上均匀分布的随机变量。试证 （1）若t T ∈，而{}12T =，，，则(){}12X t t =，，，
是平稳过程；
（2）若t T ∈，而[)0T =+∞，，则(){}
0X t t ≥，不是平稳过程。 证明：
由题意，U 的分布密度为：()1
0220u f u π
π⎧<<⎪=⎨⎪⎩，，其它
数学期望()()[]sin X m t E X t E Ut ==⎡⎤⎣⎦
()()2220
00
1111
sin sin cos cos 212222ut du ut d ut ut t t t t π
π
ππππππ=⋅==-=--⎰
⎰.
相关函数()()()()()sin sin X
X R R t t E X t X t E Ut U t ττττ=+=+=⋅+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，
()()()220
0111sin sin cos 2cos 222ut u t du ut u u du π
π
τττππ⎛⎫=⋅+⋅=⋅-+--⎡⎤ ⎪⎣
⎦⎝⎭⎰
⎰ ()()2220
00
11
11
cos 2cos sin 2sin 442u t u du u t u t π
π
π
ττττππ
ττ⎡⎤
=-
+-=-+-⎡⎤⎢
⎥⎣⎦+⎢⎥⎣
⎦
⎰
()()11
sin 22sin 2424t t πτπτπτπτ
=-
+++.
（1）若t T ∈，而{}12T =，，时，()0X m t =，()X R τ只与τ有关，二者均与t 无关，
因此，(){}12X t t =，，，
是平稳过程。
（2）若t T ∈，而[)0T =+∞，时，()X m t 可能取到不是常数的值，所取到的值与t 有关，
()X R τ取到的值也与t 有关，因此，(){}0X t t ≥，不是平稳过程。
3. 设随机过程
()()0cos X t A t ωΦ=+，t -∞<<+∞
其中0ω是常数，A 和Φ是独立随机变量。Φ服从在区间()02π，中的均匀分布。A 服从瑞利分布，其密度为
()2
2
22000x x e x f x x σσ-⎧⎪≥=⎨⎪<⎩
，，
又设随机过程
()00cos sin Y t B t C t ωω=+，t -∞<<+∞
其中B 与C 是相互独立的正态变量，且都具有分布()
20N σ，。 （1）试证()X t 是平稳过程；
（2）用本章§1例4说明()Y t 是平稳过程。 证明：
（1）由题意知，Φ的分布密度为：()1
0220f ϕπ
ϕπ⎧<<⎪=⎨⎪⎩，，其它
A 服从瑞利分布，其密度为()2
2
220
00x x e x f x x σσ
-⎧⎪≥=⎨⎪<⎩
，， 由题意知，A 和Φ是独立的随机变量，
∴数学期望()()()()()00cos cos X m t E X t E A t E A E t ωΦωΦ==+=+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦
()22
2202
1
cos 2x x
x e dx t d π
σωϕϕσ
π
-
+∞
=⋅
⋅+⋅
⎰⎰ ()()2
2
2
2220020
1
cos 2x
x d e t d t x π
σσωϕωϕσπ-+∞
⎛⎫⎛⎫⎡⎤
⎪=⋅-⋅++ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦
⎝⎭⎝
⎭
⎰
⎰
()()2
22200
1
sin 02x x d e t πσωϕπ-+∞
⎛⎫⎡⎤
⎪=-⋅+=⎢⎥ ⎪⎣⎦
⎝
⎭
⎰
. 相关函数()()()()X
X R R t t E X t X t τττ=+=+⎡⎤⎣⎦，
()(){}
00cos cos E A t A t ωΦωτΦ=+++⎡⎤⎣⎦ ()(){}
200cos cos E A t t ωΦωτΦ=+++⎡⎤⎣⎦ ()()(){}
200cos cos E A E t t ωΦωτΦ=+++⎡⎤⎣⎦
()()22
222002
1
cos cos 2x x
x e dx t t d π
σωϕωτϕϕσ
π
-
+∞
=⋅
⋅+++⋅
⎡⎤⎣⎦⎰⎰ (){}
2
2
3
2220020
011cos 22cos 22x
x d e t d x π
σσωτϕωτϕσπ-+∞
⎛⎫⎛⎫⎡⎤ ⎪=-⋅⋅+++⎡⎤ ⎪⎣⎦⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝
⎭
⎰
⎰ ()2
2
22
200
1cos 4x x d e d π
σωτϕπ-+∞
⎛⎫⎡⎤
⎪=-⋅⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝
⎭
⎰
⎰
()2
2
2
200
1cos 2x x d e σωτ-+∞
⎛⎫⎛⎫ ⎪=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
⎰
()2
2
2
2222200
1cos 2
x x x e e d x σ
σωτ+∞
--+∞
⎡⎤⎢⎥=-⋅--⎢⎥⎣
⎦
⎰
2
2
2001cos 22
x xe dx σωτ-+∞=⋅⎰
22
2200cos x x d e x σ
σωτ-+∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪=⋅- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦⎰22
2200cos x d e σ
ωτσ-+∞⎡⎤
⎛⎫⎢⎥ ⎪=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
⎰ 22
2200cos x d e σ
ωτσ-+∞⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
⎰2
2
2200
cos x e σσωτ+∞
-=-⋅20cos σωτ=.
()X t 的数学期望是常数，相关函数仅与时间间隔τ有关， ()X t ∴是平稳过程。
（2）随机过程()00cos sin Y t B t C t ωω=+，t -∞<<+∞，0ω是常数，B 与C 是相互独立的正态变量，且都具有分布(
)2
0N σ
，，
