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数学高三解析几何知识点高三学生在学习数学时，解析几何是一个非常重要的知识点。
它不仅在高中阶段有很大的分量，而且在后续的数学学习中也扮演着重要的角色。
本文将对高三解析几何的一些关键知识点进行详细的介绍和解析。
一、直线与平面1. 直线的表达式直线的一般方程为 Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。
此外，直线还可以通过点斜式、截距式等形式进行表达。
（举例）点斜式方程为 y - y₁ = k(x - x₁)，其中(x₁, y₁)为直线上的一点，k为直线的斜率。
2. 平面的表达式平面的一般方程为 Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D 为常数。
同样地，平面还可以通过法向量式、点法式等形式进行表达。
（举例）法向量式方程为 A₁x + B₁y + C₁z = D₁，其中(A₁, B₁, C₁)为平面的法向量。
二、直线与平面的位置关系1. 直线与平面的交点直线与平面的交点即直线上满足平面方程的点。
2. 直线与平面的位置关系直线与平面可以相交、平行或者重合。
判断直线与平面的位置关系，可以通过直线与平面的法向量是否垂直来进行判定。
三、曲线的方程1. 圆的方程圆的方程为 (x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)为圆心的坐标，r为半径。
2. 椭圆的方程椭圆的方程为 (x - a)² / m² + (y - b)² / n² = 1，其中(a, b)为椭圆的中心坐标，m, n为椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。
3. 抛物线的方程抛物线的方程为 y = ax² + bx + c，其中a, b, c为常数。
4. 双曲线的方程双曲线的方程为 (x - a)² / m² - (y - b)² / n² = 1，其中(a, b)为双曲线的中心坐标，m, n为双曲线在x轴和y轴上的半轴长度。
高考数学二轮复习专题七解析几何【重点知识回顾】解析几何是高中数学的重要内容之一，各地区在这一部分的出题情况较为相似，一般两道小题一道大题，分值约占15%，即22分左右.具体分配为：直线和圆以及圆锥曲线的基础知识两个容易或中档小题，机动灵活，考查双基；解答题难度设置在中等或以上，一般都有较高的区分度，主要考查解析几何的本质——“几何图形代数化与代数结果几何化”以及分析问题解决问题的能力.解析几何的主要内容是高二中的直线与方程，圆与方程，圆锥曲线与方程考查的重点：直线的倾斜角与斜率、点到直线的距离、两条直线平行与垂直关系的判定、直线和圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系；圆锥曲线的定义、标准方程、简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、曲线与方程、圆锥曲线的简单应用等，其中以直线与圆锥曲线的位置关系最为重要。
圆锥曲线方程这章扩展开的内容比较多，比较繁杂，对学生来说不一定要把所有的结论一一记住，关键是掌握圆锥曲线的概念实质以及直线和圆锥曲线的关系.因此，在复习过程中要注意下述几个问题：（1）在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，对于抛物线还应同时注意开口方向，这是减少或避免错误的一个关键，同时勿忘用定义解题.（2）在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别式进行判.但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线，通过图形求解.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.（3）求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥曲线定义时，则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题，也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程. 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置；定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m ＞0,n ＞0)；定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.（4）在解与焦点三角形（椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形）有关的命题时，一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义.（5）要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用.（6）求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一，它是各种知识的综合运用，具有较大的灵活性，求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程”，将“形”化成“数”，使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质. 求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等.解题时，注意求轨迹的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围.【典型例题】1.直线的基本问题：直线的方程几种形式、直线的斜率、两条直线平行与垂直的条件、两直线交点、点到直线的距离。
高考解析几何复习资料知识要点：1、有向线段的概念，两点间距离公式。
线段的定比分点公式是解析几何研究问题的几个基本工具，应准确地、熟练地掌握和运用。
2、曲线与方程的概念，把数与形结合起来，使“数”的准确与“形”的直观有机结合，形成了解析几何的基本思想方法。
要掌握直角坐标系中的曲线与方程的关系和轨迹的概念，能够根据所给的条件，选择适当的直角坐标系求曲线的方程，并能画出方程所表示的曲线，也应该会求两条曲线的交点。
3、充要条件的概念是理解曲线与方程的关系及一些命题关系的一个重要概念，要理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，能初步判断给定的两个命题的充要关系。
4、直线与圆锥曲线位置关系的判定是解析几何的一个重要的学习内容，应掌握其判定方法。
直线方程是一个二元一次方程，圆锥曲线方程是二元二次方程，当判定两线的位置关系时，将两个方程联之为方程组，消去一元得到一个一元方程，从而由这个一元方程的解的情况来判定其位置关系（直线与圆的位置关系，还可以由圆心到直线的距离来判定）。
5、应注意对于直线与圆，直线与椭圆，消元后所得一元方程是一元二次方程，则由此方程无实数解，有一个实数解，有两个不等实数解来确定两线是相离、相切、相交的关系，而对于直线与双曲线，直线与抛物线，消元后所得一元方程不一定是一元二次方程，可能是一元一次方程，若方程有一解，则两线有一个交点，它们分别是与渐近线，对称轴平行的直线和曲线的一个交点；如果所得方程是一元二次方程，那么同样由实数解的个数可确定交点的个数，也就判定出位置关系了。
6、当直线与圆锥曲线有两个交点P1P2时，我们称P1P2为共弦，求它的长度是经常遇到的问题，要熟练地求解，注意可以不必将两点坐标全部求出，p p12由一元二次方程的系数就可以计算。
7、圆锥曲线上是否存在相异两点关于某直线l对称的问题，涉及的知识较多，对这类问题也应有所了解。
8、曲线与方程的概念是形成解析几何基本方法的出发点，对“曲线与方程”、“方程的曲线”要透彻地理解，曲线的方程指的是：“如果某曲线C上的点()x y，与一个二元方程()，=0的实数解建立了如下的关系：F x y①曲线上的每一点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
高考数学解析几何知识点归纳解析几何是高考数学中的一个重要板块，它将代数与几何巧妙地结合在一起，具有较强的综合性和逻辑性。
以下是对高考数学中解析几何知识点的详细归纳。
一、直线1、直线的倾斜角与斜率倾斜角：直线与 x 轴正方向所成的角，范围是0, π)。
斜率：当倾斜角不是 90°时，斜率 k ＝tanα（α 为倾斜角）。
过两点 P(x₁, y₁)，Q(x₂, y₂)的直线斜率 k ＝（y₂ y₁) ／（x₂ x₁)（x₁≠ x₂）。
2、直线的方程点斜式：y y₁＝ k(x x₁)，适用于已知斜率和一点的情况。
斜截式：y ＝ kx ＋ b，其中 k 为斜率，b 为截距。
两点式：（y y₁) ／（y₂ y₁) ＝（x x₁) ／（x₂ x₁)，适用于已知两点的情况。
截距式：x ／ a ＋ y ／ b ＝ 1，其中 a、b 分别为 x 轴和 y 轴上的截距（a ≠ 0，b ≠ 0）。
一般式：Ax ＋ By ＋ C ＝ 0（A、B 不同时为 0）。
3、两直线的位置关系平行：斜率相等且截距不相等，即 k₁＝ k₂且 b₁ ≠ b₂（斜截式）；A₁B₂ A₂B₁＝ 0 且 A₁C₂ A₂C₁ ≠ 0 （一般式）。
垂直：斜率之积为－1，即 k₁k₂＝－1 （斜率都存在）；A₁A₂＋ B₁B₂＝ 0 （一般式）。
4、点到直线的距离公式点 P(x₀, y₀)到直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的距离 d ＝｜Ax₀＋ By₀＋ C| ／√（A²＋ B²)二、圆1、圆的方程标准方程：（x a)²＋（y b)²＝ r²，圆心为（a, b)，半径为 r。
一般方程：x²＋ y²＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0（D²＋ E² 4F ＞ 0），圆心为（D/2, E/2)，半径为 r ＝√（D²＋ E² 4F) ／ 2 。
高考解析几何知识点总结归纳在高考数学考试中，几何是一个重要的知识点，占据了一定的比重。
为了帮助同学们更好地备考和应对高考，本文将对高考解析几何知识点进行总结和归纳。
1.直线与圆的位置关系在几何学中，直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离。
首先是两者相交的情况，如果直线与圆相交于两个不同的交点，则称直线与圆相交于两点；如果直线只与圆相交于一个交点，则称直线与圆相切；如果直线与圆没有交点，则称直线与圆相离。
2.判定平行线在高考中，常常需要判定两条直线是否平行。
一种常用的方法是使用平行线的基本判定定理，即如果两条直线分别与一条第三条直线相交，并且两个交点分别在这条第三条直线的同一侧，则可判定这两条直线平行。
3.三角形的内角和外角三角形是解析几何中的基本图形，对于三角形的内角和外角，有一些重要的性质需要掌握。
首先是内角和定理，也被称为角和定理，即任意三角形的内角和等于180°。
另外一个是外角和定理，即三角形的一个外角等于该三角形的另外两个内角的和。
4.相似三角形相似三角形是指具有相同形状但不一定相等的三角形。
相似三角形之间有很多重要的性质，比如对应角相等、对应边成比例等。
在解析几何中，常常需要利用相似三角形的性质来解决一些问题。
5.三角形的面积与高三角形的面积与高是一个重要的考点，通常使用海伦公式或底边高公式来求解。
海伦公式适用于一般的三角形，公式为：面积 = sqrt(s * (s-a) * (s-b) * (s-c))，其中s是半周长，a、b、c是三角形的三条边。
底边高公式适用于直角三角形，公式为：面积 = 1/2 * 底边 * 高。
6.圆的面积与周长圆是解析几何中的基本图形，其面积与周长的计算需要掌握一些重要的公式。
圆的周长也被称为圆周长，公式为：周长= 2πr，其中r是圆的半径。
圆的面积公式为：面积= πr²。
7.平行四边形的性质平行四边形是指具有两组平行边的四边形。
解析几何(jiě xī jǐhé)总结(zǒngjié)一、直线(zhíxiàn)1、直线的倾斜角：一条直线向上(xiàngshàng)的方向与X轴的正方向所成的最小正角。
2、范围(fànwéi)3、直线的斜率：当倾斜角不是时，倾斜角的正切值。
4、直线的斜率公式：设,5、直线的倾斜角和斜率关系：（如右图）；；单调增；，；单调增6、直线的方程（1）点斜式：⑵、斜截式：（3）两点式：⑷、截距式：⑸、一般式：⑹、参数式：（t为参数）参数t几何意义：定点到动点的向量7、直线的位置关系的判定（相交、平行、重合）：；：，平行：且相交：重合：12k k =且垂直：8、到角及夹角(新课改后此部分已删掉)到角：直线(zh íxi àn)1l 依逆时方向(f āngxi àng)旋转到与2l 重合(ch óngh é)时所有转的角。
夹角(ji ā ji ǎo)：不大于直角的从1l 到2l 的角叫1l 与2l 所成的角，简称(ji ǎnch ēng)夹角。
9、点到直线的距离（应用极为广泛） P （）到的距离平行线间距离：10、简单线性规划（确定可行域，求最优解，建立数学模型）⑴、目标函数：要求在一定条件下求极大值或极小值问题的函数。
用关于变量是一次不等式（等式）表示的条件较线性约束条件。
⑵、线性规划：求线性目标函数在线性的约束条件下的最值问题11、直线系：具有某种公共属性的直线的集合。
（1）同斜率的直线系方程：y kx b =+（k 为定值，b 为变量） （2）共截距的直线系方程：y kx b =+（b 为定值，k 为变量） （3）平行线束：与平行的直线系：（m 为变量）（4）垂直线束：与0Ax By C ++=垂直的直线系：（m 为变量）（5）过直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的直线系方程：或（不包含1l ）（适用于证明恒过定点问题） 12、对称问题点关于点的对称 直线关于点的对称 曲线关于点的对称 点关于直线的对称 直线关于直线的对称 曲线关于(gu āny ú)直线的对称二、轨迹(gu ǐj ì)问题(一)求轨迹(gu ǐj ì)的步骤1、建模：设点建立适当(sh ìd àng)的坐标系，设曲线上任一点p （x ，y ）2、立式：写出适条件(ti áoji àn)的p 点的集合3、代换：用坐标表示集合列出方程式f （x ，y ）=04、化简：化成简单形式，并找出限制条件5、证明：以方程的解为坐标的点在曲线上 （二）求轨迹的方法1、直接法：求谁设谁，按五步去直接求出轨迹2、定义法：利用已知或几何图形关系找到符合圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义3、转移代入法：适用于一个动点随另一曲线上的动点变化问题4、交轨法：适用于求两条动直线交点的轨迹问题。
高中数学解析几何知识点全面梳理汇编解析几何是高中数学的重要分支之一，通过运用坐标系以及代数方法，研究几何问题，并将其转化为代数问题进行求解。
在高中阶段，学生需要掌握解析几何的基本概念、性质以及相关的定理与公式。
本文将全面梳理高中数学解析几何的知识点，帮助学生加深对该领域的理解。
一、直线与平面1. 直线的方程直线的方程可分为点斜式、一般式、截距式等形式。
点斜式方程为y-y₁=k(x-x₁)，其中(k为斜率，x₁、y₁为直线上的一点)；一般式方程为Ax+By+C=0；截距式方程为x/a+y/b=1，其中a、b分别为x、y轴的截距。
2. 直线的性质直线的性质包括斜率、截距、垂直、平行等。
两条直线垂直时，斜率之积为-1；两条直线平行时，斜率相等。
3. 直线的位置关系直线的位置关系主要有相交、重合、平行等情况。
通过解直线方程，可以判断直线的位置关系。
4. 平面的方程平面的方程可分为一般式、点法式、截距式等形式。
一般式方程为Ax+By+Cz+D=0；点法式方程为n·[P-P₀]=0，其中n为平面的法向量，P₀为平面上的一点。
5. 平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系有相交、重合、平行等情况。
通过解平面方程，可以判断平面的位置关系。
二、直线与平面的交点1. 直线与平面的交点坐标求解通过联立直线方程和平面方程，可以求解直线与平面的交点坐标。
将直线方程代入平面方程，求解未知变量即可得到交点坐标。
2. 直线与平面的位置关系判断通过解直线方程和平面方程，并进行代入，可以判断直线与平面的位置关系。
当直线在平面上时，直线方程的解同时满足平面方程。
三、直线与直线的位置关系1. 直线与直线的位置关系判断通过解两条直线的方程，并进行代入，可以判断直线与直线的位置关系。
当两条直线重合时，两条直线的方程解相等；两条直线平行时，两条直线的斜率相等。
2. 直线与直线的夹角直线与直线之间的夹角可以通过斜率进行计算。
两条直线的夹角等于两条直线斜率的差的反函数的斜率。
直线部分一、直线的倾斜角和斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
注意：规定当直线和x 轴平行或重合时，其倾斜角为o0，所以直线的倾斜角α的范围是o o 1800<≤α；（2倾斜角不是o 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率， ①斜率是用来表示倾斜角不等于o 90的直线对于x 轴的倾斜程度的。
②每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x 轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。
③斜率计算公式：设经过),(11y x A 和),(22y x B 两点的直线的斜率为k ，则当21x x ≠时，2121tan x x y y k --==α；当21x x =o 二、直线方程的几种形式：（1）点斜式：过已知点),(00y x ，且斜率为k 的直线方程：)(00x x k y y -=-；注意：①当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =； ②k x x y y =--00表示：)(00x x k y y -=-直线上除去),(00y x 的图形 。
（2）斜截式：若已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则直线方程：b kx y +=；注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。
（3）两点式：若已知直线经过),(11y x 和),(22y x 两点，且（2121,y y x x ≠≠），则直线的方程：121121x x x x y y y y --=--； 注意：①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；②当两点式方程写成如下形式0))(())((=-----x x y y y y x x 时，方程可以适应在于任何一条直线。
解析几何知识点高考高考是每个学生都不可逃避的考试，而其中涉及到的数学题目，特别是解析几何相关的知识点，常常成为考生们头疼的问题。
解析几何是数学中的一个重要分支，它通过运用数学的方法来研究几何图形，将几何问题转变为代数问题，利用代数工具进行求解。
下面，我们就来解析一些高考中常见的解析几何知识点。
首先，让我们来谈谈直线的方程。
直线是解析几何中最基本的图形之一。
对于给定的一条直线，我们可以使用不同的方法来确定它的方程。
其中最常用的是斜截式和点斜式。
斜截式方程形如 y = kx + b，其中 k 表示斜率，b 表示 y 轴截距。
而点斜式方程则是通过给定直线上一点的坐标和直线的斜率来求得，它的形式为 y - y1 = k(x - x1)。
这两种形式的方程可以互相转化，根据题目的要求来选择使用。
其次，我们来探讨一下圆的方程。
圆是解析几何中的另一个重要图形，它是由平面上一点到另一点的距离相等的所有点的集合。
对于给定的圆，我们也可以使用不同的方式来确定它的方程。
常用的方式有标准方程和一般方程。
标准方程形如 (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，其中 (a, b) 表示圆心的坐标，r 表示半径的长度。
一般方程则是通过圆心和半径的定义条件求得，它的形式为 x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0。
除了直线和圆的方程，我们还需要学习抛物线、椭圆和双曲线的方程。
这些曲线在解析几何中也有着重要的地位。
抛物线的方程有三种常见形式：顶点式、焦点式和参数方程。
椭圆的方程由焦点、两个焦点之间的距离和两条焦点连线的长度唯一确定。
而双曲线则是通过焦点、两个焦点之间的距离和两条焦点连线的长度的差来确定。
解析几何中还有一些常用的定理和公式，例如直线的相交情况、直线与圆的位置关系、直线的倾斜角度等。
这些定理和公式需要我们进行理解和掌握，以便能够在解析几何的题目中灵活运用。
解析几何是数学中的一门重要学科，它与几何学、代数学和数学分析等其他学科有着紧密的联系。
专题七：解析几何专题——点差法一、点差法定义应用问题在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为()()1122,,x y x y 、，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率..1 求弦中点的轨迹方程例1、已知椭圆2212x y +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.例2 直线():50l ax y a --+=（a 是参数）与抛物线()2:1f y x =+的相交弦是AB ，则弦AB 的中点轨迹方程是 .2 求曲线方程例4 已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的一条准线方程是1x =，有一条倾斜角为4π的直线交椭圆于A B 、两点，若AB 的中点为11,24C ⎛⎫-⎪⎝⎭，求椭圆方程.3 求直线的斜率例5 已知椭圆221259x y +=上不同的三点()()11229,,4,,,5A x y B C x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭与焦点()4,0F 的距离成等差数列.（1）求证：128x x +=；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k .4 确定参数的范围例6 若抛物线2:C y x =上存在不同的两点关于直线():3l y m x =-对称，求实数m 的取值范围.5 证明定值问题例7 已知AB 是椭圆()222210x y a b a b+=>>不垂直于x 轴的任意一条弦，P 是AB 的中点，O 为椭圆的中心.求.6处理存在性问题 例8 已知双曲线22112x y -=，过()1,1B 能否作直线l ，使l 与双曲线交于P ，Q 两点，且B 是线段PQ 的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由..二、用点差法解圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
专题七 解析几何 第一讲 直线与圆1.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为( )A.5B.5C.5D.52.下列说法中不正确的是( )A.平面上任一条直线都可以用一个关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=(,A B 不同时为0)表示B.当0C =时,方程0Ax By C ++=(,A B 不同时为0)表示的直线过原点C.当0,0,0A B C =≠≠时,方程0Ax By C ++=表示的直线与 x 轴平行D.任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化3.已知设点M 是圆224690C x y x y +--+=上的动点，则点M 到直线240x y ++=距离的最小值为( )2 2- 2+ 2 4.已知直线1l ，2l 分别过点(1,3)P -，(2,1)Q -，若它们分别绕点P ，Q 旋转，但始终保持平行，则1l ，2l 之间的距离d 的取值范围为( )A.(0,5]B.(0,5)C.(0,)+∞D.5.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是( )A.[2,6]B.[4,8]C.D.6.已知直线:10l x ay +-=是圆22:6210C x y x y +--+=的对称轴,过点()1,A a -作圆C 的一条切线,切点为B ,则AB =( ) A.1B.2C.4D.87.已知点(2,0),(1,1)A B --，射线AP 与x 轴的正方向所成的角为π4，点Q 满足||1QB =，则||PQ 的最小值为( )1 B.1 C.1 18.（多选）已知直线12:210,:20l ax y a l x ay a --+=+--=,圆22:4240E x y x y +-+-=,则以下命题正确的是( )A.直线12,l l 均与圆E 不一定相交B.直线1l 被圆E 截得的弦长的最小值C.直线2l 被圆E 截得的弦长的最大值6D.若直线1l 与圆E 交于2,,A C l 与圆E 交于,B D ,则四边形ABCD 面积最大值为14 9. （多选）已知圆221:()1C x a y ++=，圆2222:()(2)2C x a y a a -+-=，下列说法正确的是( )A.若12C OC △（O 为坐标原点）的面积为2，则圆2C 的面积为2πB.若a ，则圆1C 与圆2C 外离C.若a ，则y x =1C 与圆2C 的一条公切线D.若a 1C 与圆2C 上两点间距离的最大值为610. （多选）已知直线11:0l ax y -+=，2:10l x ay ++=，a ∈R ，则下列结论中正确的是( )A.不论a 为何值，1l ，2l 都互相垂直B.当a 变化时，1l ，2l 分别经过定点(0,1)A 和(1,0)B -C.不论a 为何值，1l ，2l 都关于直线0x y +=对称D.若1l ，2l 相交于点M ，则MO11.过两直线10x +=0y +的交点，并且与原点的最短距离为12的直线的方程为________________.12.圆221:2120C x y x ++-=与圆222:440C x y x y ++-=的交点为A ，B ，则弦AB 的长为_____.13.已知圆22:2410C x y x y ++-+=，若存在圆C 的弦AB ，使得AB =，且其中点M 在直线20x y k ++=上，则实数k 的取值范围是___________.14.已知曲线2:2x C y =，D 为直线12y =-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B.（1）证明：直线AB 过定点；（2）若以20,5E ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程.15.已知半圆224(0)x y y +=≥，动圆与此半圆相切（内切或外切，如图），且与x 轴相切.（1）求动圆圆心的轨迹方程，并画出其轨迹.（2）是否存在斜率为13的直线l ，它与（1）中所得的轨迹由左至右顺次交于A ，B ，C ，D 四点，且满足||2||AD BC =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.答案以及解析1.答案：B解析：设圆心为()00,P x y ，半径为r ，圆与x 轴，y 轴都相切，00x y r ∴==，又圆经过点(2,1)，00x y r ∴==且()()2220021x y r -+-=，222(2)(1)r r r ∴-+-=，解得1r =或5r =.①1r =时，圆心(1,1)P ，则圆心到直线230x y --=的距离d ==②5r =时，圆心(5,5)P ，则圆心到直线230x y --=的距离d ==故选B. 2.答案：D解析：对于选项A,在平面直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角α,当90α≠︒时,直线的斜率k 存在,其方程可写成y kx b =+,它可变形为0kx y b -+=,与0Ax By C ++=比较,可得,1,A k B C b ==-=；当90α=︒时,直线的斜率不存在,其方程可写成1x x =,与0Ax B C ++=比较,可得11,0,A B C x ===-,显然,A B 不同时为0,所以此说法是正确的.对于选项B,当0C =时,方程0Ax By C ++=(,A B 不同时为0),即0Ax By +=,显然有000A B ⨯+⨯=,即直线过原点()0,0,故此说法正确.对于选项C,因为当0A =,0,0B C ≠≠时,方程0Ax By C ++=可化为Cy B=-,它表示的直线与x 轴平行,故此说法正确.D 说法显然错误. 3.答案：B解析：由题意可知圆心(2,3)C ，半径2r =，则点M 到直线240x y ++=距离的最小值min22d =-=-，故选B. 4.答案：A解析：易知两直线之间的最大距离为P ，Q 两点间的距离，由两点间的距离公式得||5PQ .故1l ，2l 之间的距离d 的取值范围为(0,5].5.答案：A解析：由圆22(2)2x y -+=可得圆心坐标为()2,0，半径r ABP △的面积记为S ，点P 到直线AB 的距离记为d ，则有1||2S AB d =⋅.易知||AB =max d ==，min d =26S ≤≤，故选A.6.答案：C解析：已知直线:10l x ay +-=是圆22:6210C x y x y +--+=的对称轴,圆心()3,1C ,半径3r =,所以直线l 过圆心()3,1C ,故310a +-=,故2a =-.所以点()1,2A --,||5AC =,||4AB ==.故选C.7.答案：A解析：因为||1QB =，所以点Q 在以点B 为圆心，1为半径的圆上， 显然当射线AP 在x 轴的下方时||PQ 取得最小值，此时直线:20AP x y ++=，点B 到AP 的距离d ==所以||PQ 1，故选A. 8.答案：BCD解析：由题意,直线1:210l ax y a --+=,即(2)10a x y --+=.令20x -=,得2,1x y ==,即直线1l 过定点()2,1;直线2:20l x ay a +--=,即2(1)0x a y -+-=,令10y -=,得2,1x y ==,即直线2l 过定点()2,1,所以直线12,l l 过同一个定点()2,1,记为点M .圆22:4240E x y x y +-+-=可化为22(2)(1)9x y -++=,而点()2,1M 在圆E 内部,所以直线12,l l 均与圆E 相交,所以A 选项错误;对于直线1l ,当0a =时,直线1l 被圆E 截得的弦长最小,且最小值为所以B 选项正确;对于直线2l ,当0a =时,直线2l 被圆E 截得的弦长最大,且最大值恰好为圆E 的直径6,所以C 选项正确;又当0a ≠时,直线1l 的斜率为a ,直线2l 的斜率为1a-,即直线12l l ⊥.设圆心E 到直线12,l l 的距离分别为12,d d ,则12d d ==又22212||4d d EM +==,即22||||99444AC BD -+-=,所以22||||56AC BD +=,所以2211||||||||14222ABCDAC BD S AC BD +=⋅≤⨯=四边形,当且仅当||||AC BD ==,等号成立,故四边形ABCD 面积最大值为14,所以D 选项正确,故选BCD. 9.答案：BC解析：本题考查圆与圆的位置关系.依题意1(,0)C a -，2(,2)C a a ，圆1C 半径11r =，圆2C 半径2|r a =.对于选项A ，1221|||2|22C OC S a a a =-⋅==△，则a =2|2r a ==，则圆2C 的面积为22π4πr =，选项A 错误；对于选项B，12|C C a，121|r r a +=+，若圆1C 与圆2C 外离，则1212C C r r >+，即|1|a a >，得2a >或2a <，选项B 正确；对于选项C ，当a =时，1C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2C ⎝，121r r ==，1212|2C C a r r ===+，所以圆1C 与圆2C 外切，且121C C k =，所以两圆的公切线中有两条的斜率为1，设切线方程为0x y b -+=1=，解得2b =-或2b =，则一条切线方程为0x y -=，即y x =，选项C 正确；对于选项D，当a =1(C，2C ，11r =，22r =，12|4C C a ==，圆1C 与圆2C 上两点间距离的最大值为1247r r ++=，选项D 错误.故选BC.10.答案：ABD解析：因为110a a ⨯-⨯=，所以无论a 为何值，1l ，2l 都互相垂直，故A 正确；1l ，2l 分别经过定点(0,1)A 和(1,0)B -，故B 正确；1:10l ax y -+=关于直线0x y +=对称的直线方程为10ay x -++=，不是2:10l x ay ++=，故C 错误；由10,10,ax y x ay -+=⎧⎨++=⎩解得221,11,1a x a a y a --⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩即2211,11a a M a a ---+⎛⎫ ⎪++⎝⎭，所以MO =≤MO的最大值是D 正确.故选ABD.11.答案：12x =或10x +=解析：联立10,0,x y ⎧+=⎪+解得1,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即两直线的交点为12⎛ ⎝⎭.当直线的斜率不存在时，12x =，到原点的距离等于12，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为12y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即220kx y k -+=.因为直线与原点的最短距离为12，所以12=，解得k =，所以所求直线的方程为10x +=，所以所求直线的方程为12x =或10x +=. 12.答案：解析：圆221:2120C x y x ++-=与圆222:440C x y x y ++-=联立可得： 公共弦的方程为260x y -+=，222:440C x y x y ++-=变形为()()222:228C x y ++=-，故222:440C x y x y ++-=的圆心为()22,2C -，半径为， 而()22,2C -满足260x y -+=，故弦AB 的长为圆2C 的直径， 故弦AB的长为.故答案为：. 13.答案：k 解析：圆C 的方程可化为22(1)(2)4x y ++-=，圆心(1,2)C -，半径2r =，由于弦AB满足||AB =M，则||1CM ， 因此M 点在以(1,2)C -为圆心，1为半径的圆上， 又点M 在直线20x y k ++=上，故直线20x y k ++=与圆22(1)(2)1x y ++-=1≤，解得k ≤14.答案：（1）见解析（2）当0t =时，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；当1t =±时，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ 解析：（1）证明：依题意，可设:AB y kx b =+，1,2D t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()11,A x y ，()()2212,B x y x x ≠.联立2,2,x y y kx b ⎧=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得2220x kx b --=. 2480k b ∆=+>，122x x k +=，122x x b =-.又直线DA 与抛物线相切，则2111122x x x t+=-， 所以211210x tx --=，同理222210x tx --=. 所以1222k x x t =+=，1221b x x -=⋅=-， 所以k t =，12b =，则直线1:2AB y tx =+，必过定点10,2⎛⎫⎪⎝⎭. （2）解法一：由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+.由21,22y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得2210x tx --=. 于是122x x t +=，()21212121y y t x x t +=++=+.设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=，解得0t =或1t =±.当0t =时，||2EM =，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭； 当1t =±时，||2EM =，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 解法二：设M 为线段AB 的中点，由（1）可知212,M t t ⎛+⎫ ⎪⎝⎭.所以()2,2EM t t =-，()2,FM t t =，又EM FM ⊥，则()2220t t t t ⋅+-⋅=， 解得0t =或1t =或1t =-.当0t =时，||2EM =，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭； 当1t =±时，||2EM =，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 15.答案：（1）见解析（2）不存在满足题意的直线l .理由见解析解析：（1）设动圆圆心(,)M x y ，作MN x ⊥轴于点N . ①若动圆与半圆外切，则||2||MO MN =+，2y +， 两边平方得22244x y y y +=++，化简得211(0)4y x y =->. ②若动圆与半圆内切，则||2||MO MN =-，2y =-， 两边平方得22244x y y y +=-+，化简得211(0)4y x y =-+>.综上，当动圆与半圆外切时，动圆圆心的轨迹方程为211(0)4y x y =->； 当动圆与半圆内切时，动圆圆心的轨迹方程为211(0)4y x y =-+>. 动圆圆心的轨迹如图所示.（2）假设满足题意的直线l 存在，可设l 的方程为13y x b =+.依题意，可得直线l 与曲线211(0)4y x y =->交于A ，D 两点，与曲线211(0)4y x y =-+>交于B ，C 两点.由21,3114y x b y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩与21,311,4y x b y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y 整理可得23412120x x b ---=①与23412120x x b ++-=②. 设(),A A A x y ，(),B B B x y ，(),C C C x y ，(),D D D x y ，则43A D x x +=，12123A D b x x --=，43B C x x +=-，12123B C b x x -=.又||A D AD x =-，||B C BC x -，且||2||AD BC =，2A D B C x x x x ∴-=-，即()()22444A D A D B C B C x x x x x x x x ⎡⎤+-=+-⎣⎦， 整理得2244(1212)44(1212)43333b b ⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫+=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解得23b =.将23b =代入方程①，得2A x =-，103D x =. 函数211(0)4y x y =->的定义域为(,2)(2,)-∞-+∞，∴假设不成立，即不存在满足题意的直线l .。
【高中数学竞赛真题·强基计划真题考前适应性训练】专题07解析几何真题专项训练（全国竞赛＋强基计划专用〉一、单选题1. (2020·北京高三强基计划〉从圆～切J羔间的线段称为切J羔弦，贝0椭困C内不与任何切点弦相交的区域丽积为（〉－zA B.!!.3c.主4 D.前三个答案都2不对2. (2022·北京·高三校考强基计划〉内接于椭圆王→L=1的菱形周长的最大值和最小4 9值之利是（〉A. 4..{JjB.14.J]3c孚♂D上述三个选项都不对3. (2020湖北武汉·高三统考强基计划〉己知直线11:y=-..!.x，乌：y=..!.x ，动点户在椭2圆ι4= l(a > b > 0）上，作PM Ill，交12于点M，作PN I I以忏点N若。
－－IPMl2 +IPN l2为定值，则（〉A.ab=2B.ab=3C.a=2bD.a=3b4. (2020北京·高三强基计划〉设直线y=3x+m与椭圆三＋丘＝I交于A,B两点，0为25 16坐标原点，贝I],.OAB面积的最大值为（〉A.88.JO c.12 D.前三个答案都不对s. (2022·贵州·高二统考竞赛〉如圈，c,,c2是离心率都为e的椭圆，点A,B是分别是C2的右顶点和上顶点，过A,B两点分别作c,�］切线，，' 12 .若直线l，，儿的斜率分别芳、J k, , k2，则lk儿｜的值为（〉A .e 2 B.e 2 -1C.I-e2D.-i e 6. (2020湖北武汉·高三统考强基计划〉过椭圆！....＋L =I 的中心作两条互相垂直的弦4 9A C 和B D ，顺次连接A ,B,C,D 得－四边形，则该四边形的丽积可能为（A. 10B. 12c. 14D. 167.(2019贵州高三校联考竞赛〉设椭圆C：牛牛！（a>b>O）的左、右焦点分别为。
7.3 解析几何(压轴题)命题角度1曲线与轨迹问题高考真题体验·对方向1.(2017全国Ⅱ·20)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.(1)解设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由得x0=x,y0=y.因为M(x0,y0)在C上,所以=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)证明由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由=1得-3m-m2+tn-n2=1.又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以=0,即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.2.(2016全国Ⅲ·20)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.(1)证明由题知F.设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,且A,B,P,Q,R.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1==-b=k2.所以AR∥FQ.(2)解设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|,S△PQF=.由题设可得|b-a|,所以x1=0(舍去),x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由k AB=k DE可得(x≠1).而=y,所以y2=x-1(x≠1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以所求轨迹方程为y2=x-1.新题演练提能·刷高分1.(2018山西太原二模)已知以点C(0,1)为圆心的动圆C与y轴负半轴交于点A,其弦AB的中点D恰好落在x轴上.(1)求点B的轨迹E的方程;(2)过直线y=-1上一点P作曲线E的两条切线,切点分别为M,N.求证:直线MN过定点. (1)解设B(x,y),则AB的中点D,y>0.∵C(0,1),则,在☉C中,∵DC⊥DB,∴=0,∴-+y=0,即x2=4y(y>0).∴点B的轨迹E的方程为x2=4y(y>0).(2)证明由已知条件可得曲线E的方程为x2=4y,设点P(t,-1),M(x1,y1),N(x2,y2).∵y=,∴y'=,∴过点M、N的切线方程分别为y-y1=(x-x1),y-y2=(x-x2).由4y1=,4y2=,上述切线方程可化为2(y+y1)=x1x,2(y+y2)=x2x.∵点P在这两条切线上,∴2(y1-1)=tx1,2(y2-1)=tx2,即直线MN的方程为2(y-1)=tx,故直线2(y-1)=tx过定点C(0,1).2.(2018广西梧州3月适应性测试)已知A(-2,0),B(2,0),直线PA的斜率为k1,直线PB的斜率为k2,且k1k2=-.(1)求点P的轨迹C的方程;(2)设F1(-1,0),F2(1,0),连接PF1并延长,与轨迹C交于另一点Q,点R是PF2中点,O是坐标原点,记△QF1O与△PF1R的面积之和为S,求S的最大值.解(1)设P(x,y),∵A(-2,0),B(2,0),∴k1=,k2=,又k1k2=-,∴=-,∴=1(x≠±2),∴轨迹C的方程为=1(x≠±2).(2)由O,R分别为F1F2,PF2的中点,故OR∥PF1,故△PF1R与△PF1O同底等高,故,S==S△PQO,当直线PQ的斜率不存在时,其方程为x=-1,此时S△PQO=×1×;当直线PQ的斜率存在时,设其方程为y=k(x+1),设P(x1,y1),Q(x2,y2),显然直线PQ不与x轴重合,即k≠0;联立解得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,Δ=144(k2+1)>0,故|PQ|=|x1-x2|=,点O到直线PQ的距离d=,S=|PQ|d=6,令u=3+4k2∈(3,+∞),故S=6,故S的最大值为.3.(2018甘肃兰州一模)已知圆C:(x+1)2+y2=8,过D(1,0)且与圆C相切的动圆圆心为P.(1)求点P的轨迹E的方程;(2)设过点C的直线l1交曲线E于Q,S两点,过点D的直线l2交曲线E于R,T两点,且l1⊥l2,垂足为W(Q,R,S,T为不同的四个点).①设W(x0,y0),证明:<1;②求四边形QRST的面积的最小值.(1)解设动圆半径为r,由于D在圆内,圆P与圆C内切,则|PC|=2-r,|PD|=r,|PC|+|PD|=2>|CD|=2,由椭圆定义可知,点P的轨迹E是椭圆,a=,c=1,b==1,E的方程为+y2=1. (2)①证明由已知条件可知,垂足W在以CD为直径的圆周上,则有=1,又因Q,R,S,T为不同的四个点,<1.②解若l1或l2的斜率不存在,四边形QRST的面积为2.若两条直线的斜率都存在,设l1的斜率为k,则l1的方程为y=k(x+1),解方程组得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,则|QS|=2,同理得|RT|=2,∴S QSRT=|QS|·|RT|=,当且仅当2k2+1=k2+2,即k=±1时等号成立.综上所述,当k=±1时,四边形QRST的面积取得最小值.4.(2018福建福州3月质检)设点A为圆C:x2+y2=4上的动点,点A在x轴上的投影为Q,动点M满足2,动点M的轨迹为E.(1)求E的方程;(2)设E与y轴正半轴的交点为B,过点B的直线l的斜率为k(k≠0),l与E交于另一点P.若以点B为圆心,以线段BP长为半径的圆与E有4个公共点,求k的取值范围.解(1)设点M(x,y),A(x1,y1),则Q(x1,0),因为2,所以2(x1-x,-y)=(0,-y1),所以解得由于点A在圆C:x2+y2=4上,所以x2+4y2=4,所以点M的轨迹E的方程为+y2=1.(2)由(1)知,E的方程为+y2=1,因为直线l:y=kx+1(k≠0).由得(1+4k2)x2+8kx=0.设B(x1,y1),P(x2,y2),因此x1=0,x2=-,|BP|=|x1-x2|=,则点P的轨迹方程为x2+(y-1)2=,由得3y2+2y-5+=0(-1≤y≤1),(*)依题意得,(*)式关于y的方程在(-1,1)有两个不同的实数解,设f(x)=3x2+2x-5+(-1<x<1),因为函数f(x)的对称轴为x=-,要使函数f(x)的图象在(-1,1)与x轴有两个不同的交点,则整理得即所以解得k∈,所以k的取值范围为.命题角度2直线与圆锥曲线的位置关系高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅰ·19)设椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.(1)解由已知得F(1,0),l的方程为x=1.由已知可得,点A的坐标为.所以AM的方程为y=-x+或y=x-.(2)证明当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°,当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x1<,x2<,直线MA,MB的斜率之和为k MA+k MB=,由y1=kx1-k,y2=kx2-k得k MA+k MB=.将y=k(x-1)代入+y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,所以,x1+x2=,x1x2=.则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k==0.从而k MA+k MB=0,故MA,MB的倾斜角互补,所以∠OMA=∠OMB.综上,∠OMA=∠OMB.2.(2018全国Ⅱ·19)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B 两点,|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).设A(x1,y1),B(x2,y2).由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.由题设知=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.3.(2018全国Ⅲ·20)已知斜率为k的直线l与椭圆C:=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<-;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且=0.证明:||,||,||成等差数列,并求该数列的公差.(1)证明设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=1.两式相减,并由=k得·k=0.由题设知=1,=m,于是k=-.①由题设得0<m<,故k<-.(2)解由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.又点P在C上,所以m=,从而P,||=.于是||===2-.同理||=2-.所以||+||=4-(x1+x2)=3.故2||=||+||,则||,||,||成等差数列,设该数列的公差为d,则2|d|=|||-|||=|x1-x2|=.②将m=代入①得k=-1.所以l的方程为y=-x+,代入C的方程,并整理得7x2-14x+=0.故x1+x2=2,x1x2=,代入②解得|d|=.所以该数列的公差为或-.4.(2017全国Ⅲ·20)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB 为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.(1)证明设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.又x1=,x2=,故x1x2==4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为=-1,所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M上.(2)解由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=.由于圆M过点P(4,-2),因此=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-.当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当m=-时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为,圆M的半径为,圆M 的方程为.5.(2017北京·18)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A为线段BM的中点.(1)解由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=.所以抛物线C的方程为y2=x.抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-.(2)证明由题意,设直线l的方程为y=kx+(k≠0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).由得4k2x2+(4k-4)x+1=0.则x1+x2=,x1x2=.因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1),直线ON的方程为y=x,点B的坐标为.因为y1+-2x1=====0,所以y1+=2x1.故A为线段BM的中点.6.(2017天津·19)设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为,已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A),直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为,求直线AP的方程.解(1)设F的坐标为(-c,0).依题意,=a,a-c=,解得a=1,c=,p=2,于是b2=a2-c2=.所以,椭圆的方程为x2+=1,抛物线的方程为y2=4x.(2)设直线AP的方程为x=my+1(m≠0),与直线l的方程x=-1联立,可得点P,故Q.将x=my+1与x2+=1联立,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0或y=.由点B异于点A,可得点B.由Q,可得直线BQ的方程为(x+1)-=0,令y=0,解得x=,故D.所以|AD|=1-.又因为△APD的面积为,故,整理得3m2-2|m|+2=0,解得|m|=,所以m=±.所以,直线AP的方程为3x+y-3=0或3x-y-3=0.新题演练提能·刷高分1.(2018河北唐山一模)已知椭圆Γ:=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为A,长轴长为2,B 为直线l:x=-3上的动点,M(m,0),AM⊥BM.当AB⊥l时,M与F重合.(1)求椭圆Γ的方程;(2)若直线BM交椭圆Γ于P,Q两点,若AP⊥AQ,求m的值.解(1)依题意得A(0,b),F(-c,0),当AB⊥l时,B(-3,b),由AF⊥BF,得k AF·k BF==-1,又b2+c2=6,解得c=2,b=.所以,椭圆Γ的方程为=1. (2)由(1)得A(0,),依题意,显然m≠0,所以=-,又AM⊥BM,所以k BM=,所以直线BM的方程为y=(x-m),设P(x1,y1),Q(x2,y2).联立有(2+3m2)x2-6m3x+3m4-12=0,x1+x2=,x1x2=.|PM|·|QM|=|(x1-m)(x2-m)|=|x1x2-m(x1+x2)+m2|==,|AM|2=2+m2,由AP⊥AQ得,|AM|2=|PM|·|QM|,所以=1,解得m=±1.2.(2018河南郑州一模)已知圆C:x2+y2+2x-2y+1=0和抛物线E:y2=2px(p>0),圆心C到抛物线焦点F的距离为.(1)求抛物线E的方程;(2)不过原点的动直线l交抛物线于A,B两点,且满足OA⊥OB.设点M为圆C上任意一动点,求当动点M到直线l的距离最大时的直线l的方程.解(1)C:x2+y2+2x-2y+1=0可化为(x+1)2+(y-1)2=1,则圆心C为(-1,1).∵F,0,∴|CF|=,解得p=6.∴抛物线的方程为y2=12x.(2)设直线l为x=my+t(t≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).联立可得y2-12my-12t=0.∴y1+y2=12m,y1y2=-12t.∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,即(m2+1)y1y2+mt(y1+y2)+t2=0.整理可得t2-12t=0,∵t≠0,∴t=12.∴直线l的方程为x=my+12,故直线l过定点P(12,0).∴当CN⊥l时,即动点M经过圆心C(-1,1)时到动直线l的距离取得最大值.k MP=k CP==-,∴m=,此时直线l的方程为x=y+12,即为13x-y-156=0.3.(2018甘肃第一次诊断性考试)椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作垂直于x轴的直线l与椭圆E在第一象限交于点P,若|PF1|=5,且3a=b2.(1)求椭圆E的方程;(2)A,B是椭圆C上位于直线l两侧的两点.若直线AB过点(1,-1),且∠APF2=∠BPF2,求直线AB 的方程.解(1)由题意可得|PF2|==3,因为|PF1|=5,由椭圆的定义得a=4,所以b2=12,所以椭圆E的方程为=1.(2)易知点P的坐标为(2,3).因为∠APF2=∠BPF2,所以直线PA,PB的斜率之和为0.设直线PA的斜率为k,则直线PB的斜率为-k,设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线PA的方程为y-3=k(x-2),由可得(3+4k2)x2+8k(3-2k)x+4(3-2k)2-48=0,∴x1+2=.同理,直线PB的方程为y-3=-k(x-2),可得x2+2=,∴x1+x2=,x1-x2=,k AB=,∴满足条件的直线AB的方程为y+1=(x-1),即为x-2y-3=0.命题角度3圆锥曲线的最值、范围问题高考真题体验·对方向1.(2017山东·21)在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2.(1)求椭圆E的方程.(2)如图,动直线l:y=k1x-交椭圆E于A,B两点,C是椭圆E上一点,直线OC的斜率为k2,且k1k2=,M是线段OC延长线上一点,且|MC|∶|AB|=2∶3,☉M的半径为|MC|,OS,OT是☉M 的两条切线,切点分别为S,T,求∠SOT的最大值并求取得最大值时直线l的斜率.解(1)由题意知e=,2c=2,所以a=,b=1,因此椭圆E的方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程得(4+2)x2-4k1x-1=0,由题意知Δ>0,且x1+x2=,x1x2=-.所以|AB|=|x1-x2| =.由题意可知圆M的半径r为r=|AB|=.由题设知k1k2=,所以k2=,因此直线OC的方程为y=x.联立方程得x2=,y2=,因此|OC|=.由题意可知sin=,而=,令t=1+2,则t>1,∈(0,1),因此=≥1,当且仅当,即t=2时等号成立,此时k1=±,所以sin ,因此.所以∠SOT最大值为.综上所述:∠SOT的最大值为,取得最大值时直线l的斜率为k1=±.2.(2016全国Ⅱ·20)已知椭圆E:=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.解(1)设M(x1,y1),则由题意知y1>0.当t=4时,E的方程为=1,A(-2,0).由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为y=x+2.将x=y-2代入=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=,所以y1=.因此△AMN的面积S△AMN=2×.(2)由题意t>3,k>0,A(-,0).将直线AM的方程y=k(x+)代入=1得(3+tk2)x2+2·tk2x+t2k2-3t=0.由x1·(-)=得x1=,故|AM|=|x1+.由题设,直线AN的方程为y=-(x+),故同理可得|AN|=.由2|AM|=|AN|得,即(k3-2)t=3k(2k-1).当k=时上式不成立,因此t=.t>3等价于<0,即<0.由此得解得<k<2.因此k的取值范围是(,2).3.(2016全国Ⅰ·20)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A 于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q 两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.解(1)因为|AD|=|AC|,EB∥AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC.所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为:=1(y≠0).(2)当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),由得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,则x1+x2=,x1x2=,所以|MN|=|x1-x2|=.过点B(1,0)且与l垂直的直线m:y=-(x-1),A到m的距离为,所以|PQ|=2=4.故四边形MPNQ的面积S=|MN||PQ|=12.可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8).当l与x轴垂直时,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ的面积为12.综上,四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8).新题演练提能·刷高分1.(2018江西南昌一模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过焦点F的直线交C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,y1y2=-4.(1)求抛物线方程;(2)点B在准线l上的投影为E,D是C上一点,且AD⊥EF,求△ABD面积的最小值及此时直线AD的方程.解(1)依题意F,当直线AB的斜率不存在时,|y1y2|=-p2=-4,p=2.当直线AB的斜率存在时,设AB:y=k,由化简得y2-y-p2=0.由y1y2=-4,得p2=4,p=2,所以抛物线方程为y2=4x.(2)设D(x0,y0),B,则E(-1,t).又由y1y2=-4,可得A.因为k EF=-,AD⊥EF,所以k AD=,故直线AD:y+.由化简得y2-2ty-8-=0,所以y1+y0=2t,y1y0=-8-.所以|AD|=·|y1-y0|=.设点B到直线AD的距离为d,则d=.所以S△ABD=|AD|·d=≥16,当且仅当t4=16,即t=±2.当t=2时,直线AD的方程为x-y-3=0,当t=-2时,直线AD的方程为x+y-3=0.2.(2018山东济南一模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1:x2=4y,直线l与抛物线C1交于A,B 两点.(1)若直线OA,OB的斜率之积为-,证明:直线l过定点;(2)若线段AB的中点M在曲线C2:y=4-x2(-2<x<2)上,求的最大值.(1)证明设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+m,由得x2-4kx-4m=0,Δ=16(k2+m)>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,k OA·k OB==-,由已知:k OA·k OB=-,所以m=1,所以直线l的方程为y=kx+1,所以直线l过定点(0,1).(2)解设M(x0,y0),则x0==2k,y0=kx0+m=2k2+m,将M(x0,y0)代入C2:y=4-x2(-2<x<2),得2k2+m=4-(2k)2,∴m=4-3k2.∵-2<x0<2,∴-2<2k<2,∴-<k<.∵Δ=16(k2+m)=16(k2+4-3k2)=32(2-k2)>0,∴-<k<,故k的取值范围是k∈(-).|AB|=,将m=4-3k2代入,得|AB|=4≤4=6,当且仅当k2+1=2-k2,即k=±时取等号,所以|AB|的最大值为6.3.(2018山东青岛一模)已知O为坐标原点,点A,B在椭圆C:+y2=1上,点E-在圆D:x2+y2=r2(r>0)上,AB的中点为Q,满足O,E,Q三点共线.(1)求直线AB的斜率;(2)若直线AB与圆D相交于M,N两点,记△OAB的面积为S1,△OMN的面积为S2,求S=S1+S2的最大值.解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点Q(x0,y0).∵点A,B在椭圆C上,∴相减得+(y1-y2)(y1+y2)=0.∴k AB==-.∵x0=,y0=,∴k AB=-.∵E,∴k OE=-.∵O,E,Q三点共线,∴k OQ=k OE=-,∴k AB=-=1.(2)∵点E在圆D上,∴r2=.∴圆D的方程为x2+y2=.设直线AB的方程:y=x+m,由得3x2+4mx+2m2-2=0.由Δ>0得m2<3.x1+x2=-,x1x2=,则|AB|=.设O到直线AB的距离为d,d=,∴|MN|=2=2.∴S=S1+S2=|AB|·d+|MN|·d=×2|m|=,∴当m2=<3时,即m=±时,S max=.4.(2018广东珠海3月质检)已知抛物线C1:y2=2px(p>0),圆C2:x2+y2=4,直线l:y=kx+b与抛物线C1相切于点M,与圆C2相切于点N.(1)若直线l的斜率k=1,求直线l和抛物线C1的方程;(2)设F为抛物线C1的焦点,设△FMN,△FON的面积分别为S1,S2,若S1=λS2,求λ的取值范围.解(1)由题设知l:x-y+b=0,且b>0,由l与C2相切知,C2(0,0)到l的距离d==2,得b=2,∴l:x-y+2=0.将l与C1的方程联立消x得y2-2py+4p=0,其Δ=4p2-16p=0得p=4,∴C1:y2=8x.综上,l:x-y+2=0,C1:y2=8x.(2)不妨设k>0,根据对称性,k>0得到的结论与k<0得到的结论相同.此时b>0,又知p>0,设M(x1,y1),N(x2,y2),由消y得k2x2+2(kb-p)x+b2=0,其Δ=4(kb-p)2-4k2b2=0得p=2kb,从而解得M,由l与C2切于点N知C2(0,0)到l:kx-y+b=0的距离d==2,得b=2,则p=4k,故M.由得N,故|MN|=|x M-x N|=.F到l:kx-y+b=0的距离d0==2k2+2,∴S1=S△FMN=|MN|d0=,又S2=S△FON=|OF|·|y N|=2k,∴λ=(k2+1)=2k2++3≥2+3.当且仅当2k2=即k=时取等号,与上同理可得,k<0时亦是同上结论.综上,λ的取值范围是[3+2,+∞).命题角度4圆锥曲线的定值、定点问题高考真题体验·对方向1.(2017全国Ⅰ·20)已知椭圆C:=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3,P4中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l 过定点.P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知C经过P3,P4两点.又由知,C不经过点P1,所以点P2在C上.因此解得故C的方程为+y2=1.(2)证明设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2,如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知t≠0,且|t|<2,可得A,B的坐标分别为.则k1+k2==-1,得t=2,不符合题设.从而可设l:y=kx+m(m≠1).将y=kx+m代入+y2=1得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.由题设可知Δ=16(4k2-m2+1)>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.而k1+k2===.由题设k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.即(2k+1)·+(m-1)·=0.解得k=-.当且仅当m>-1时,Δ>0,于是l:y=-x+m,即y+1=-(x-2),所以l过定点(2,-1).2.(2016北京·19)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:|AN|·|BM|为定值.(1)解由题意得解得a=2,b=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明由(1)知,A(2,0),B(0,1).设P(x0,y0),则+4=4.当x0≠0时,直线PA的方程为y=(x-2).令x=0,得y M=-,从而|BM|=|1-y M|=.直线PB的方程为y=x+1.令y=0,得x N=-,从而|AN|=|2-x N|=.。
