高二数学教案第八章圆锥曲线方程教材分析

圆锥曲线的统一极坐标方程教学目标掌握三种圆锥曲线的统一极坐标方程，了解统一方程中常数的几何意义．会根据已知条件求三种圆锥曲线的极坐标方程，能根据圆锥曲线的统一极坐标方程进行有关计算．通过建立三种二次曲线的统一极坐标方程，对学生进行辩证统一的思想教育．教学重点：圆锥曲线统一的极坐标方程，会根据条件求出圆锥曲线的统一极坐标方程．教学难点：运用圆锥曲线统一的极坐标方程解决有关计算问题．教学疑点：双曲线左支所对应的θ范围，双曲线的渐近线的极坐标方程．活动设计：1．活动：思考、问答、讨论．2．教具：尺规、挂图．教学过程：一、问题引入大家已经学过，椭圆、双曲线、抛物线有两种几何定义，其中，第二定义把三种圆锥曲线统一起来了，请回忆后说出三种圆锥曲线的第二定义．学生1答：列定点F(焦点)的距离与列定直线l(准线)的距离比是一个常数e(离心e∈(0，1)时椭圆，e∈(1，f∞)时双曲线，e=1时抛物线．二、数学构建建立统一方程在极坐标系中，同样可以根据圆锥曲线的几何定义，求出曲线的极坐标方程．过F作FK⊥l于K，以F为极点，KF延长线为极轴，建立极坐标系．设M(ρ，θ)是曲线上任一点，连MF，作MA⊥l于A，MB⊥l于B(如图3-24)．|FK|=常数，设为p．∵|MA|=|BK|=|KF|+|FB|，∴|MA|=p+ρcosθ．这就是圆锥曲线统一的极坐标方程．三、知识理解对圆锥曲线的统一极坐标方程，请思考讨论并深入了解下述几个要点：(1)必须以双曲线右焦点和椭圆的左焦点为极点，Ox轴方向向右，尚若Ox方向向左，其方程如何？(讨论后)学生2答：无需重新求方程，只须两个极坐标系Ox与Ox′之间的坐标关系作坐标转换(图3-25)．(2)根据统一的极坐标方程，由几何条件求出e、p后即可写出曲线的极坐标方程，这要明确e、p的几何意义分别是离心率和焦准距(ep为有关几何量e，p，a，b，c？(讨论后)学生3答：此式为统一极坐标方程的标准式得到一个二元一次方程组，使问题的计算得以简化．e∈(0，1)时，表椭圆．e=1时，表抛物线．e∈(1，+∞)时，表双曲线．但注意到，e＞1时，1-ecosθ≤0关于θ有解，而ep＞0，这样ρ＜0，甚至无意义．前面学过，通常情况下，ρ≥0，这就似乎出现矛盾，如何解决这一矛盾？(讨论后)学生4答：(如图3-26)上面推导统一方程过程中，当m在左支时，|MA|=|BK|=此时方程与右支的情况不同．这时，若设θ=θ′+π，ρ′=-ρ，上述推导与分析实际上是：若射线OP与双曲线有两个交点；当视θ=∠xOP时，则ρ＞0(∵cosθ＜0)，此时所表点是右支上的点；当视θ=∠xOP-π时，则ρ＜0，此时所表点是左支上的点．综上知，e＞1时，统一极坐标方程所表双曲线情况是：若ρ＞0，即1-ecosθ＞0，则表右支；若ρ＜0，即1-ecosθ＜0，则表左支；取θ∈[0，2π)，则θ范围所对曲线如下：线左支；条渐近线．如图3-27所示，只有掌握这一对应关系，才能在有关计算中不会造成混乱和错误．四、应用举例线交椭圆于M、N两点，设∠F2F1M=θ(0≤θ＜π)，求θ的值，使|MN|等于短轴长．解：以F1为极点，F1F2为极轴建立极坐标系椭圆的极坐标方程为设M(ρ1，θ)、N(ρ2，θ+π)，则五、课堂小结(1)三种圆锥曲线的统一极坐标方程，常数的几何意义．(2)曲线的极坐标方程求法，根据极坐标方程确定a、b、c的注意点及进行有关计算．(3)双曲线左、右支所对的ρ及θ的范围．六、布置作业1．第二教材．2．选择题：线方程是(C) A ．ρcosθ=1 B ．ρcosθ=2(2)椭圆、双曲线、抛物线三条曲线的焦点是极点(椭圆左焦点和双曲线右焦点)，它们的图形如图3-28所示，则图中编号为①、②、③的曲线应分别是(D)．A ．椭圆、双曲线、抛物线B ．抛物线、椭圆、双曲线C ．椭圆、抛物线、双曲线D ．双曲线、抛物线、椭圆双曲线θρcos 5115-=的两渐近线的夹角是 。

引申：
在平面直角坐标系中，已知 ABC中B(-3,0)，C(3,0),且三边
|AC|, |BC| , |AB|长依次成等差数列，求顶点A的轨迹方程．
解：因为B（-3，0），C（3，0）所以|BC|=6,
又三边|AC|, |BC| , |AB|长依次成等差数列.
AC AB 2 BC 12,
A
这两个定点叫做椭圆的___焦__点__，两焦点间的
距离叫做椭圆的__焦__距__
M
MF1 MF2 2a,
F1
F2
F1F2 2c 2a 2c 0时,为椭圆
注意：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2 ；
若常数＜|F1F2 |，则轨迹不存在； 若常数>| F1F2|”,则轨迹是椭圆.
如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程 的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的 集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．
根据例题同理可知：
A点的轨迹方程是
B
C
x2 y2 1. （y 0)
36 27
已知等腰F1BF2的周长为4 2
3，又顶角F1BF2
2
3
，
当F1BF2的边F1F2和周长保持不变时,求顶点B的轨迹方程.
解： 如图建立坐标系，使x轴经过F1,F2， y 原点0与F1,F2的中点重合，依题意，有：
B
点A的轨迹为: x2 y2 1 y 0.
25 16 注意： 求出曲线的方程后，要注意检查一下方程的曲线上 的点是否都是符合题意．
练习3、椭圆
x2 100
y2 36
1上一点P到焦点F1 的距离
等于6，则点P到另一个焦点 F2 的距离是__1_4____．
练习4、写出适合下列条件的椭圆的标准方4kk

第八章复习圆锥曲线方程综合复习【知识总结】 1．知识网络2．知识纲要(1)椭圆的定义、标准方程、几何性质、参数方程． (2)双曲线的定义、标准方程、几何性质． (3)抛物线的定义、标准方程、几何性质． (4)圆锥曲线的应用．【方法总结】1．坐标法是解析几何的基本方法，它是用代数的方法研究几何问题．2．待定系数法是求椭圆、双曲线、抛物线方程的一个基本方法．利用椭圆、双曲线、抛物线的定义解题也是常用的方法．3．直线和圆锥曲线的位置关系，可转化为直线和圆锥曲线的方程的公共解问题，体现了方程的思想．数形结合也是解决直线和圆锥曲线位置关系的常用方法．4．一些最值问题常用函数思想，运用韦达定理求弦的中点和弦长问题，是经常使用的方法．5．在求一些没有坐标系的动点的轨迹方程时，应建立适当的坐标系．利用平移公式把非标准位置的圆锥曲线转化成标准位置的圆锥曲线．由标准位置的圆锥曲线的性质，容易求出非标准位置的圆锥曲线的性质．【典例剖析】［例1］ 已知α∈［0，π)，试讨论当α的值变化时，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示曲线的形状．解：(1)当α＝0时，方程为y 2＝1，即y ＝±1，表示两条平行于x 轴的直线．(2)当α∈(0，4π)时，cos α＞sin α＞0，方程可化为ααcos sin 22y x +＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆．(3)当α＝4π时，方程为x 2＋y 2＝2，表示圆心在原点，半径为42的圆．(4)当α∈(2,4ππ)时，sin α＞cos α＞0，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．(5)当α＝2π时，方程化为x 2＝1，表示两条平行于y 轴的直线．(6)当α∈(2π，π)时，sin α＞0，cos α＜0，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在x 轴上的双曲线．点评：方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示的曲线的类型由sin α和cos α的值确定，sin α和cos α的值又由α的值确定．α在不同范围内取值时，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示的曲线的类型不同．因此解答本例的关键之处在于对α的分类讨论．［例2］ 一炮弹在某处爆炸，在A 处听到爆炸声的时间比在B 处晚2 s ． (1)爆炸点应在什么样的曲线上？(2)已知A 、B 两点相距800 m ，并且此时声速为340 m/s ，求曲线的方程．解：(1)由声速及A 、B 两点听到爆炸声的时间差，可知A 、B 两点与爆炸点的距离差，因此爆炸点应位于以A 、B 为焦点的双曲线上．因为爆炸点离A 处比离B 处远，所以爆炸点应在靠近B 处的一支上．(2)以线段AB 的垂直平分线为y 轴、直线AB 为x 轴建立如图8—12所示的直角坐标系．设爆炸点P 的坐标为(x ，y)．则｜PA ｜－｜PB ｜＝340×2＝680． ∴2a ＝｜PA ｜－｜PB ｜＝680，a ＝340． 2c ＝｜AB ｜＝800．c ＝400． ∴b 2＝c 2－a 2＝44400．∴点P 所在的曲线方程为4440011560022y x -＝1(x ＞0)． 点评：由爆炸点到A 、B 两点的距离差是常数，知爆炸点在以A 、B 为焦点的双曲线上．因此求爆炸点所在曲线的方程就是求双曲线的方程．［例3］ 已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且与以点A(0，2)为圆心，1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 点关于直线y ＝x 对称，求双曲线C 的方程．解：设双曲线C 过第Ⅰ、Ⅲ象限的渐近线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0．∵该直线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，∴21|20|k+-＝1，∴k ＝1，∴双曲线C 的两条渐近线方程为y ＝±x ． 故双曲线C 的方程为x 2－y 2＝a 2．∵C 的一个焦点与A 点关于直线y ＝x 对称， ∴双曲线C 的一个焦点为(2，0)．∴2a 2＝2，a 2＝1．∴双曲线C 的方程为x 2－y 2＝1． 点评：由双曲线的焦点在x 轴两条渐近线过坐标原点知，双曲线的方程是焦点在x 轴上的标准方程．求标准方程就是求a 2、b 2．［例4］ 过抛物线的焦点F 作不垂直于对称轴的直线交抛物线于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交对称轴于N ，求证：｜AB ｜＝2｜NF ｜．证明：设抛物线方程为y 2＝2px(p ＞0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点为M(x 0，y 0)．则y 12＝2px 1，y 22＝2px 2．两式相减并整理得2121212y y px x y y +=--． ∵M 是AB 的中点， ∴0212122y py p x x y y ==--．∵MN ⊥AB ，∴k MN ＝－py 0． ∴直线MN 的方程为y －y 0＝－py 0(x －x 0)， 令y ＝0得N 点的横坐标x N ＝x 0＋p ． ∴22||0p x p x NFN +=-=． 又｜AB ｜＝｜AF ｜＋｜BF ｜＝x 1＋x 2＋p ＝2(x 0＋2p)． ∴｜AB ｜＝2｜NF ｜．点评：当A 、B 两点都在曲线上时，求直线AB 的斜率，可把A 、B 两点的坐标代入曲线的方程并把得到的两式相减．［例5］ 已知中心在原点，一焦点为F(0，50)的椭圆被直线l ：y ＝3x －2截得的弦的中点的横坐标为21，求椭圆的方程． 解：∵椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上， ∴椭圆的方程为标准方程． ∵c ＝50，∴a 2＝b 2＋50．∴椭圆的方程可写成222250bx b y ++＝1．把直线y ＝3x －2代入椭圆的方程并整理得 10(b 2＋5)x 2－12b 2x －b 4－46b 2＝0，∴x 1＋x 2＝)5(101222+b b ，∵弦的中点的横坐标为21 ∴)5(101222+b b ＝1，b 2＝25． ∴a 2＝75．∴所求椭圆的方程为257522x y +＝1．点评：解决直线被圆锥曲线截得的弦的中点问题，经常用到韦达定理．［例6］ 如图8—14，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1．以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，｜AM ｜＝17，｜AN ｜＝3，且｜BN ｜＝6．建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程．解法一：以l 1为x 轴，MN 的中点O 为原点建立如图的平面坐标系．由题意可知，曲线段C 所在的抛物线在直角坐标系中的位置是标准的，并且点N 是该抛物线的焦点，l 2是准线．所以可令抛物线的方程为y 2＝2px(p ＞0)．过点A 作AQ ⊥l 2，AE ⊥l 1，垂足分别为Q 和E ，由于△AMN 是锐角三角形，则点E 必在线段MN 上．所以，｜AQ ｜＝｜AN ｜＝3，∵｜AM ｜＝17，∴｜QM ｜＝22||||22=-AQ AM ，｜AE ｜＝｜QM ｜＝22，｜EN ｜＝22||||AE AN -＝1．∴p ＝｜MN ｜＝｜ME ｜＋｜EN ｜＝｜AQ ｜＋｜EN ｜＝4． ∴抛物线方程为y 2＝8x ．由上述可知｜OE ｜＝1，点B 到准线l 2的距离为6，则点B 的横坐标为4，又曲线段在x 轴上方，故曲线段C 的方程为y 2＝8x(1≤x ≤4，y ＞0)．解法二：以l 1为x 轴，l 2为y 轴建立如图8—15的直角坐标系，其中M 点为原点，这时焦点N 在x 轴上，顶点O ′应是线段MN 的中点．令曲线段C 所在的抛物线方程为：y 2＝2p(x －x o ′)(p ＞0)．设A ),22(121y pp y +， B ),22(222y pp y +，则由①－②得y 12＝8， 代入①得(24p p +)2＝9， ∴8＋p 2＝6p ． ∵p ＞3，∴p ＝4． ∵y 1＞0，∴y 1＝22，代入③得y 2＝42．∴曲线段C 的方程为y 2＝8(x －2)(22≤y ≤42)．点评：该例题给出的条件比较简明、直接，由抛物线的概念，可知曲线段C 是一段抛物线弦．因此，入手不难．关键的问题是怎样建立适当的坐标系，使得解答过程简单．此例还应注意方程中x 或y 的取值范围．【综合训练】1．θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4的曲线不可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆解析：当sin θ∈［－1，0)时，方程x 2＋y 2sin θ＝4的曲线是双曲线；sin θ＝0时，方程的曲线是两条平行直线；sin θ∈(0，1)时，方程的曲线是椭圆；sin θ＝1时，方程的曲线是圆．答案：C2．已知椭圆21)(1222t y x -+＝1的一条准线方程为y ＝8，则实数t 的值为( ) A ．7或－7B ．4或12C ．1或15D ．0解析：由题设y －t ＝±7，∴y ＝t ±7＝8，∴t ＝1或15． 答案：C3．双曲线ky x 224+＝1的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)B ．(－12，0)C ．(－3，0)D ．(－60，－12)解析：∵a 2＝4，b 2＝－k ，∴c 2＝4－k ．∵e ∈(1，2)，∴4422ka c -=∈(1，4)，∴k ∈(－12，0)．答案：B4．以12422y x -＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( ) A ．121622y x +＝1B ．161222y x +＝1C ．41622y x +＝1D ．16422y x +＝1 解析：双曲线41222x y -＝1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±12)．∴椭圆的顶点坐标为(0，±4)，焦点坐标为(0，±12)．∴在椭圆中a ＝4，c ＝12，∴b 2＝4．∴椭圆的方程为16422y x +＝1． 答案：D5．过抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于( ) A ．2a B ．a21 C ．4a D ．a4 解析：当直线平行于x 轴时，由于F 点的纵坐标为a 41，因此x P ＝－a 21，x Q ＝a21， ∴||1||111Q P x x q p +=+＝4a ． 答案：C6．过抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点作一条直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则2121x x y y 等于( ) A ．4 B ．－4 C ．－p 2D ．以上都有可能解析：由已知｜AB ｜＝x 1＋2p ＋x 2＋2p，∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1＋x 2＋p)2， 整理得4x 1x 2＋2y 1y 2＋p 2＝0，又2px 1＝y 12，2px 2＝y 22，∴4x 1x 2＝22221pyy ，∴22221p y y ＋2y 1y 2＋p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝42p ，∴2121x x y y ＝－4． 答案：B7．抛物线y ＝x 2到直线 2x －y ＝4距离最近的点的坐标是( ) A ．)45,23(B ．(1，1)C ．)49,23(D ．(2，4)解析：设P(x ，y)为抛物线y ＝x 2上任一点，则P 到直线的距离d ＝53)1(5|42|5|42|22+-=+-=--x x x y x ， ∴x ＝1时，d 取最小值553，此时P(1，1)． 答案：B8．12222=-b y a x 与2222ay b x -＝1(a ＞b ＞0)的渐近线( )A ．重合B ．不重合，但关于x 轴对称C ．不重合，但关于y 轴对称D ．不重合，但关于直线y ＝x 对称解析：双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为y ＝±ay b x x a b 222,-＝1的渐近线方程y ＝±b a x 、y ＝a b x 与y ＝b a x 关于直线y ＝x 对称，y ＝－a b x 与y ＝－bax 关于直线y ＝x 对称．答案：D9．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( ) A ．(4，0) B ．(2，0) C ．(0，2) D ．(0，－2)解析：直线x ＋2＝0为抛物线y 2＝8x 的准线，由于动圆恒与直线x ＋2＝0相切，所以圆心到直线的距离等于圆心到所过定点的距离，由抛物线定义可知，定点为抛物线的焦点(2，0)．答案：B10．设P 是椭圆4922y x +＝1上一点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则cosF 1PF 2的最小值是( )A ．－91B ．－1C ．91 D ．21 解析：设P(x 0，y 0)，则－3≤x 0≤3．cosF 1PF 2＝)353)(353(2)52()353()353(||||2||||||0022020212212221x x x x PF PF F F PF PF -+--++=-+2020959195x x --=∴当x 0＝0时，cosF 1PF 2最小，最小值为－91．答案：A11．已知点A(0，1)是椭圆x 2＋4y 2＝4上的一点，P 是椭圆上的动点，当弦AP 的长度最大时，则点P 的坐标是_________．解析：∵点P 在椭圆上，∴设点P 的坐标为(2cos θ，sin θ)，则｜AP ｜＝316)31(sin 3)1(sin cos 4222++-=-+θθθ．∴当sin θ＝－31时，｜AP ｜最大，此时P 的坐标为(±31,324-)． 答案：(±31,324-) 12．已知F 1、F 2是双曲线2222by a x -＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦．如果∠PF 2Q ＝90°，则双曲线的离心率是_________．解析：由｜PF 2｜＝｜QF 2｜，∠PF 2Q ＝90°，知｜PF 1｜＝｜F 1F 2｜即ac a b c a b ⋅==2,2222， ∴e 2－2e －1＝0，e ＝1＋2或e ＝1－2(舍)．答案：1＋213．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px(p ＞0)的准线相切，则抛物线的方程为_________．解析：圆的方程可化为(x －3)2＋y 2＝16，抛物线的准线为x ＝－2p ，由题设可知3＋2p ＝4，∴p ＝2．∴抛物线的方程为y 2＝4x ．答案：y 2＝4x14．点P(8，1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在的直线方程是______． 解析：设弦的两端点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则x 12－4y 12＝4，x 22－4y 22＝4，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－4(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝0．∵AB 的中点为P(8，1)，∴x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝2，∴2121x x y y --＝2．∴直线AB 的方程为y －1＝2(x －8)，即2x －y －15＝0． 答案：2x －y －15＝015．P 为椭圆2222by a x +＝1(a ＞b ＞0)上一点，F 1为它的一个焦点，求证：以PF 1为直径的圆与以长轴为直径的圆相切．证明：设PF 1的中点为M ，则两圆圆心之间的距离为｜OM ｜＝21｜PF 2｜＝21 (2a －｜PF 1｜)＝a －21｜PF 1｜． 即两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差，∴两圆内切．即以PF 1为直径的圆与以长轴为直径的圆相切．16．已知双曲线的一个焦点为(－1，－1)，相应准线是x ＋y －1＝0，且双曲线过点(－41，0)．求双曲线的方程．解：设P(x ，y)为双曲线上的任意一点，则 2|1041|)10()141(2|1|)1()1(2222-+-+++-=-++++y x y x ，化简整理， 得2xy －4x －4y －1＝0．即所求双曲线方程为2xy －4x －4y －1＝0．17．人造卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点离地面距离为p ，远地点离地面距离为q ，地球的半径为R ．求卫星运行轨道的短轴长．解：由于近地点与远地点到地球中心的距离的和为2a ，∴2a ＝(p ＋R)＋(q ＋R)， ∴2)(,2p q R p a c q p R a -=+-=++=． ∴pq p q R R p q q p R c a b +++=--++=-=)()2()]2([22222． ∴短轴长为2pq p q R R +++)(2．18．抛物线y 2＝2px 的焦点弦AB 的中点为M ，A 、B 、M 在准线上的射影依次为C 、D 、N ．求证：(1)A 、O 、D 三点共线，B 、O 、C 三点共线；(2)FN ⊥AB(F 为抛物线的焦点)．证明：(1)设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)、中点M(x 0，y 0)，焦点F 的坐标是(2p ，0)． 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x k y 2)2(2得ky 2－2py －kp 2＝0．∴A 、B 、M 在准线上的射影依次为C 、D 、N ，∴C(－2p ，y 1)、D(－2p ，y 2)、N(－2p ，y 0)． ∵2,222121111p y k y p py y x y k OD OA -====， 由ky 2－2py －kp 2＝0得y 1y 2＝kkp 2-＝－p 2， ∴k OA ＝k OD ，∴A 、O 、D 三点共线．同理可证B 、O 、C 三点共线．(2)k FN ＝py -0，当x 1＝x 2时，显然FN ⊥AB ；当x 1≠x 2时，k AB ＝)(22122121212y y py y x x y y --=-- 0212y p y y p =+=，∴k FN ·k AB ＝－1．∴FN ⊥AB ．综上所述知FN ⊥AB 成立． 19．已知双曲线2222by a x -＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右两个焦点分别为F 1、F 2，P 是它左支上一点，P 到左准线的距离为d ，双曲线的一条渐近线为y ＝3x ，问是否存在点P ，使d 、｜PF 1｜、｜PF 2｜成等比数列？若存在，求出P 的坐标；若不存在说明理由．解：假设存在点P(x 0，y 0)满足题中条件．∵双曲线的一条渐近线为y ＝3x ，∴a b a b 3,3==，∴b 2＝3a 2，c 2－a 2＝3a 2，a c ＝2．即e ＝2． 由dPF PF PF ||||||112=＝2得， ｜PF 2｜＝2｜PF 1｜ ①∵双曲线的两准线方程为x ＝±ca 2， ∴｜PF 1｜＝｜2x 0＋2·c a 2｜＝｜2x 0＋a ｜，｜PF 2｜＝｜2x 0－2·ca 2｜＝｜2x 0－a ｜．∵点P 在双曲线的左支上，∴｜PF 1｜＝－(a ＋ex 0)，｜PF 2｜＝a －ex 0，代入①得：a －ex 0＝－2(a ＋ex 0)，∴x 0＝－23a ，代入220220by a x ＝1，得y 0＝±215a ． ∴存在点P 使d 、｜PF 1｜、｜PF 2｜成等比数列，点P 的坐标是(－23a ，±215a)．。

2019-2020年高二数学上第八章圆锥曲线方程：8.6抛物线的性质教案我们根据抛物线的标准方程y2＝2px(p＞0)①来研究它的几何性质．1．范围因为p＞0，由方程①可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．2．对称性以－y代y，方程①不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．3．顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程①中，当y=0时，x=0，因此抛物线①的顶点就是坐标原点．4．离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．例1已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M(2，y2=2px(p＞0)．因为点M在抛物线上，所以即p=2．因此所求方程是y2=4x．的范围内几个点的坐标，得描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分(图8－23)．在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线．这就是标准方程中2p的一种几何意义(图8－24)．利用抛物线的几何性抛物线基本特征的草图．例2探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分(图8－25(1))，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点的位置．解：如图8－25(2)，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径．设抛物线的标准方程是y2=2px(p＞0)．由已知条件可得点A的坐标是(40，30)，代入方程，得302=2p×40，练习1．求适合下列条件的抛物线方程：(1)顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点M(5，－4)；(2)顶点在原点，焦点是F(0，5)；(3)顶点在原点，准线是x=4；(4)焦点是F(0，－8)，准线是y=8．小结：1、抛物线的几何性质2、在解题过程中要注意利用数形结合的数学思想作业：课本P123 1、2、32019-2020年高二数学下 11.1《直线方程》教案（1）沪教版一、教学内容分析本节的重点是直线的方程的概念、直线的点方向式方程．用向量方法推导直线方程是二期课改的亮点之一，体现了从几何角度出发，除两点确定一条直线外，确定直线需要两个独立的条件：点和方向.利用给定的条件，通过向量平行的充要条件（对应坐标的关系式）推导出直线的点方向式方程.本节的难点是理解直线方程的定义.通过推导直线的点方向式方程，从中体会向量知识的应用和坐标法的含义.通过对直线与二元一次方程关系的分析，初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想！从而培养学生用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）的研究能力.二、教学目标设计理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程；加强分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养；体验探究新事物的过程，树立学好数学的信心.三、教学重点及难点直线的方程的概念、直线的点方向式方程；理解直线方程以及点方向式方程的推导.一、解析几何发展史解析几何的主要思想：用坐标表示点，用方程表示曲线，把几何图形代数化，并能够参与代数运算.二、讲授新课（一）直线方程定义：对于坐标平面内的一条直线，如果存在一个方程，满足（1）直线上的点的坐标都满足方程；（2）以方程的解为坐标的点都在直线上.那么我们把方程叫做直线的方程.从上述定义可见，满足（1）、（2），直线上的点的集合与方程的解的集合就建立了对应关系，点与其坐标之间的一一对应关系.（二）点方向式方程1、概念引入在几何上，要确定一条直线需要一些条件，如两个不重合的点（不重合的两点确定一条直线），又如一个点和一个平行方向（原因是过已知点作平行于一条直线的直线有且只有一条）等等.我们将这些条件用代数形式描述出来，从而建立方程.若此方程满足直线方程定义中的（1）、（2），就找到了直线的方程.2、概念形成直线的点方向式方程的定义在平面上过一已知点，且与某一方向平行的直线是惟一确定的，我们在直角坐标平面中求该直线的方程．直线的点方向式方程的推导建立平面直角坐标系，设的坐标是，方向用非零向量表示.设直线上任意一点的坐标为，由直线平行于非零向量，故.根据的充要条件，得①；反之，若为方程①的任意一解，即，记为坐标的点为，可知，即在直线上.综上，根据直线方程的定义知，方程①是直线的方程.当时，方程①可化为②.值得注意的是：方程②不能表示过且与坐标轴垂直的直线．事实上当时，方程①可化为③，表示过且与轴垂直的直线；当时，方程①可化为④，表示过且与轴垂直的直线.我们把方程叫做直线的点方向式方程，非零向量叫做直线的方向向量. 3、概念深化从上面的推导看，方向向量是不唯一的，与直线平行的非零向量都可以作为方向向量. 由点方向式易得，过不同的两点的直线的方程是0))(())((112112=-----y y x x x x y y . 4、例题解析例1 观察下列直线方程，并指出各直线必过的点和它的一个方向向量. ①; ② ; ③; ④.解 ①经过点，它的一个方向向量是；②化简得到：，从中可见该直线经过点，一个方向向量是； ③经过点，它的一个方向向量是； ④经过点，它的一个方向向量是．[说明]通过直线的点方向式方程，可以判断一条直线经过的一个点和它的方向向量.例2 已知点和，求经过点且与平行的直线的点方向式方程？ 解： ，所以过点且与平行的直线的点方向式方程是． 变式1 求经过点、C 两点的直线的点方向式方程. 解： ，．思考：有没有别的表达方式？是否一样呢 ？ 不妨化简，得到的都是：变式2 在中，求平行于边的中位线所在直线的点方向方程. 解 的中点为，的中点为，则，所以所在直线的点方向方程是2252721--=-y x ． [说明]这些题目的解法关键在于找点和方向向量！三、巩固练习 练习11.1（1） 四、课堂小结 1.直线方程的定义2.直线的点方向式方程的推导.3、用向量方法推导直线方程的主要思想4、确定直线方程的几个要素 五、课后作业习题11.1 A 组1，2，3，4 ；B 组1，2 六、教学设计说明直线这一章节的核心思想是：通过坐标把几何问题表示成代数问题，然后通过方程来研究直线！直线是解析几何中最基本而内涵丰富，应用广泛的内容之一，同时也是应用解析法解决平面几何问题的基础，涉及角，距离的计算和平行垂直的判断，不但是重要的知识点，更是进一步学习圆锥曲线的基本工具.在新教材中，用向量方法推导直线方程体现了从几何角度分析，确定直线需要两个独立的条件（位置和方向），利用给定的条件，通过向量平行的充要条件（对应坐标的关系式）推导出直线的点方向式方程.我们用向量工具推导直线方程，不仅形式十分简洁明了，而且能充分认识字母系数的含义，这对以后学习直线的一般式以及位置关系有十分重要的意义！对于学生而言，初中时已学过一次函数、正比例函数，这两种函数的图像都是直线．而这节课进一步讲明白直线与方程之间需满足怎样的关系才能够称为直线方程！所以这节课的重点为：直线方程的意义、直线的点方向式方程.难点为：直线方程的定义.对于点方向式的推导，我采取引导学生推导的策略，在讲解点方向式方程时，就完全由学生类比向量平行的充要条件，让学生自己探究，自己感悟，感受成功的喜悦！在讲直线与方程关系的时候，先举一个简单的例子，并借助于图像来说明直线与方程的关系，从而由特殊到一般，理解直线方程的定义！本节课通过建立直线的方程，从中体会向量知识的应用和坐标法的含义.初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想！从而培养学生会用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）进行研究的能力.创造适合学生的教学，坚持“教”为“学”服务！。