2015年江苏省常州市中考数学试题及解析

专题17 相似三角形及应用学校：___________姓名：___________班级：___________1.【江苏省南通市海安县2015届九年级上学期期末考试数学试题】下列条件不能判定△ABC 与△DEF 相似的是（ ） A ．B ． ,C ． ∠A=∠D ，∠B=∠E D ．，∠B=∠E【考点定位】相似三角形的判定．2. 【江苏省徐州市市区、铜山县2015届九年级中考模拟数学试题】直线l 1∥l 2∥l 3，且l 1与l 2的距离为1，l 2与l 3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A ，B ，C 恰好分别落在三条直线上，AC 与直线l 2交于点D ，则线段BD 的长度为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A ．【解析】分别过点A 、B 、D 作AF ⊥l 3，BE⊥l 3，DG⊥l 3，先根据全等三角形的判定定理得出AB BC AC DE EF DF ==AB BCDE EF=A D ∠=∠AB BCDE EF=254253203154△BCE≌△ACF，故可得出CF 及CE 的长，在Rt△ACF 中根据勾股定理求出AC 的长，再由相似三角形的判定得出△CDG∽△CAF，故可得出CD 的长，在Rt△BCD 中根据勾股定理即可求出BD 的长．分别过点A 、B 、D 作AF⊥l 3，BE⊥l 3，DG⊥l 3，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC=BC，∵∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，∴∠EBC=∠ACF，∠BCE=∠CAF， 在△BCE 与△ACF 中，，【考点定位】1.相似三角形的判定与性质；2.平行线之间的距离；3.全等三角形的判定与性质；4.等腰直角三角形．3.【江苏省淮安市2015年中考数学试题】如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a ，b 与l 1、l 2、l 3分别相交于A 、B 、C 和点D 、E 、F ．若，DE =4，则EF 的长是（ ）EBC ACF BC ACBCE CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩32=BCABA ．B ． C．6 D ．10 【答案】C ．【考点定位】平行线分线段成比例．4.【江苏省南京市2015年中考数学试题】如图所示，△ABC 中，DE ∥BC ，若，则下列结论中正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C ．【考点定位】相似三角形的判定与性质．5.【江苏省南通市海安县2015届九年级上学期期末考试数学试题】若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：3，则△ABC 与△A′B′C′的面积之比为 ． 【答案】1：9．【解析】∵△ABC ∽△A′B′C′，相似比为1：3，∴△A BC 与△A′B′C′的面积之比为1：9．故答案为：1：9．【考点定位】相似三角形的性质．6.【江苏省扬州市2015年中考数学试题】如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A 、B 、C 都在横格线上，若线段AB =4 cm ，则线段BC = cm3832012AD DB =12AE EC =12DE BC =1=3ADE ABC △的周长△的周长1=3ADE ABC △的面积△的面积【答案】12【考点定位】平行线分线段成比例7.【江苏省常州市2015年中考数学试题】如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC的长是．【答案】6．【考点定位】相似三角形的判定与性质．8.【江苏省无锡市2015年中考数学试题】已知：如图，AD 、BE 分别是△ABC 的中线和角平分线，AD ⊥BE ，AD ＝BE ＝6，则AC的长等于 ．【答案】952故答案为：952【考点定位】全等三角形的判定及性质；相似三角形的判定及性质；勾股定理.9.【江苏省苏州市吴中、相城、吴江区2015届九年级中考一模数学试题】如图，在平面直角坐标系中，已知点A （0，6），B （8，0）．点P 从A 点出发，以每秒1个单位的速度沿AO 运动；同时，点Q 从O 出发，以每秒2个单位的速度沿OB 运动，当Q 点到达B 点时，P 、Q 两点同时停止运动．（1）求运动时间t 的取值范围；（2）t 为何值时，△POQ 的面积最大？最大值是多少？（3）t 为何值时，以点P 、0、Q 为顶点的三角形与Rt △AOB 相似？BACDE【答案】(1) 0≤t ≤4；(2) 当t=3时，△POQ 的面积最大，最大值是9．(3) 当t 为或时，以点P 、0、Q 为顶点的三角形与Rt △AOB 相似． 【解析】试题分析：（1）由点Q 从O 出发，以每秒2个单位的速度沿O B 运动，当Q 点到达B 点时，P 、Q 两点同时停止运动，可得：2t=8，解得：t=4，进而可得：0≤t ≤4；（2）先根据三角形的面积公式，用含有t 的式子表示△POQ 的面积=-t 2+6t ，然后根据二次函数的最值公式解答即可；试题解析：（1）∵点A （0，6），B （8，0），∴OA=6，OB=8，∵点Q 从O 出发，以每秒2个单位的速度沿OB 运动，当Q 点到达B 点时，P 、Q 两点同时停止运动，∴2t=8，解得：t=4， ∴0≤t ≤4；（2）根据题意得：经过t 秒后，AP=t ，OQ=2t ，∴OP=OA-AP=6-t ， ∵△POQ 的面积=•OP •OQ ，即△POQ 的面积=×（6-t ）×2t=-t 2+6t ． ∵a=-1＜0，∴△POQ 的面积有最大值，当t=-=3时，△POQ 的面积的最大值==9， 即当t=3时，△POQ 的面积最大，最大值是9． （3）①若Rt △POQ ∽Rt △AOB 时，125181112122b a 244ac b a∵Rt △POQ ∽R t △AOB ，∴，即，解得：t= ②若Rt △QOP ∽Rt △AOB 时， ∵Rt △QOP ∽Rt △AOB ，∴，即，解得：t=． 所以当t 为或时，以点P 、0、Q 为顶点的三角形与Rt △AOB 相似．【考点定位】相似三角形与一次函数综合题．10.【江苏省南京市2015年中考数学试题】如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且．（1）求证：△ACD ∽△CBD ； （2）求∠ACB 的大小．【答案】（1）证明见试题解析；（2）90°． 【解析】【考点定位】相似三角形的判定与性质．PO OQ AO OB =6268t t-=125 PO OQ OB AO =6286t t-=18111251811AD CDCD BD=。

二次函数一.选择题1. (2015?安徽,第10题4分)如图，一次函数y i=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+( b- 1) x+c的图象可能是( )考点：二次函数的图象；正比例函数的图象.分析：由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+ (b-1) x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+ (b- 1) x+c与x轴有两个交点，根据k - 1方程根与系数的关系得出函数y=ax2+ (b- 1) x+c的对称轴x= - ' _ ' >0，即可进行判断.2a解答：解：’••一次函数y1=x与二次函数y2=ax+bx+c图象相交于P、Q两点，•••方程ax2+ (b - 1) x+c=0有两个不相等的根，•函数y=ax + (b - 1) x+c与x轴有两个交点,•••方程ax2+ (b - 1) x+c=0的两个不相等的根X1> 0, X2> 0,X1+X2=-> 0,•/ a > 0，开口向上，• A符合条件，故选A.点评：本题考查了二次函数的图象，直线和抛物线的交点，交点坐标和方程的关系以及方程和二次函数的关系等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.•函数y=ax2+ (b - 1) x+c的对称轴x=-b-1> 0,2. （2015?湖北,第11题3分）二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象在平面直角坐标系中的位置如 图所示，则一次函数y=ax+b 与反比例函数y=_在同一平面直角坐标系中的图象可能是考点： 二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象.分析： 根据二次函数图象开口向下得到 a v 0，再根据对称轴确定出 b ,根据与y 轴的交点 确定出 解答： c > 0,然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解. 解：••二次函数图象开口方向向下，••• a v 0,-••对称轴为直线 x=-丄〉0,2a• b > 0,••与y 轴的正半轴相交， • c > 0,• y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限, 反比例函数y=>图象在第一三象限，x 只有C 选项图象符合. 故选C.点评： 本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次 函数的有关性质：开口方向、对称轴、与 y 轴的交点坐标等确定出a、b、c 的情况是解题的关键.3. （2015?湘潭，第8题3分）如图，观察二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，下列结论:2① a+b+c > 0,② 2a+b > 0,③ b - 4ac > 0,④ ac > 0.其中正确的是（考点：二次函数图象与系数的关系. 飞分析：令x=1代入可判断①；由对称轴x= - b的范围可判断②；由图象与x轴有两个交点2a可判断③；由开口方向及与x轴的交点可分别得出a、c的符号，可判断④.解：由图象可知当x=1时，y v 0,••• a+b+c v 0,故①不正确；••丄> -1,2-3又•••开口向上，•a> 0,•b>- 2a,•2a+b> 0,故②正确；由图象可知二次函数与x轴有两个交点，•方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，•△> 0,即卩b - 4ac>0,故③正确；由图象可知抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴的下方,•a> 0, c v 0,•ac v 0,故④不正确；综上可知正确的为②③，故选C.点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、与交点等知识是解题的关键.4. （2015江苏常州第7题2分）已知二次函数y= x2+（m- 1）x + 1,当x > 1时，y随x 的增大而增大，而m的取值范围是A.①②B.①④C.②③D.③④由图象可知O v-—v 1,2ax轴的解答:T.【巻案门【命思厅意】土匠考盍f二汝爾数的車减愕以民对称轴公式网】・严5怦祢墳斯卄.严轴在竝心诃即徭幻_ ________________ 25、（2015年陕西省，10,3分）下列关于二次函数y=ax - 2ax+1 （a> 1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（）A. 没有交点B. 只有一个交点，且它位于y轴右侧C.有两个交点，且它们均位于y轴左侧D.有两个交点，且它们均位于y轴右侧考点：抛物线与x轴的交点..分析：根据函数值为零，可得相应的方程，根据根的判别式，公式法求方程的根,解答：解：当y=0 时，ax2- 2ax+1=0,•/ a> 12•••△= (- 2a) - 4a=4a (a - 1) > 0,ax2- 2ax+1=0有两个根，函数与有两个交点,点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，利用了函数与方程的关系，方程的求根公式.6、（2015年四川省达州市中考，9,3分）若二次函数y=ax2+bx+c （a丰0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（X1, 0）、（X2, 0），且X1V X2,图象上有一点M（x o, y o），在x轴下方,则下列判断正确的是（）A. a (X0- X1) (X0 - X2)v 0B.a> 02C. b - 4ac > 0D.X1 V X0 V X2考点：抛物线与x轴的交点.分析：由于a的符号不能确定，故应分a> 0与a v 0进行分类讨论. 解答：解：A、当a > 0时，•••点M（ X。

江苏省常州市中考数学试卷 试题解析 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。

在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）﹣3的相反数是（ ）A ．31B ．31-C ．3D ．﹣3【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可．【解答】解：（﹣3）+3＝0．故选：C ．【点评】本题主要考查了相反数的定义，根据相反数的定义做出判断，属于基础题，比较简单．2．（2分）若代数式31-+x x 有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x ＝﹣1 B ．x ＝3 C ．x ≠﹣1 D ．x ≠3【分析】分式有意义的条件是分母不为0．【解答】解：∵代数式31-+x x 有意义， ∴x ﹣3≠0，∴x ≠3．故选：D ．【点评】本题运用了分式有意义的条件知识点，关键要知道分母不为0是分式有意义的条件．3．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A ．圆柱B ．正方体C ．圆锥D ．球【分析】通过俯视图为圆得到几何体为圆柱或球，然后通过主视图和左视图可判断几何体为圆锥．【解答】解：该几何体是圆柱．故选：A ．【点评】本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助．4．（2分）如图，在线段PA 、PB 、PC 、PD 中，长度最小的是（ ）A ．线段PAB ．线段PBC ．线段PCD ．线段PD【分析】由垂线段最短可解．【解答】解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B ．故选：B ．【点评】本题考查的是直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，这属于基本的性质定理，属于简单题．5．（2分）若△ABC ～△A ′B 'C ′，相似比为1：2，则△ABC 与△A 'B ′C '的周长的比为（ ）A ．2：1B ．1：2C ．4：1D ．1：4【分析】直接利用相似三角形的性质求解．【解答】解：∵△ABC ～△A ′B 'C ′，相似比为1：2，∴△ABC 与△A 'B ′C '的周长的比为1：2．故选：B ．【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．相似三角形的面积的比等于相似比的平方．6．（2分）下列各数中与2+3的积是有理数的是（ ）A ．2+3B ．2C ．3D ．2﹣3【分析】利用平方差公式可知与2+3的积是有理数的为2-3；【解答】解：∵（2+3）（2﹣3）＝4﹣3＝1；故选：D ．【点评】本题考查分母有理化；熟练掌握利用平方差公式求无理数的无理化因子是解题的关键．7．（2分）判断命题“如果n ＜1，那么n 2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n 可以为（ ）A ．﹣2B ．﹣21 C ．0 D ．21 【分析】反例中的n 满足n ＜1，使n 2﹣1≥0，从而对各选项进行判断．【解答】解：当n ＝﹣2时，满足n ＜1，但n 2﹣1＝3＞0，所以判断命题“如果n ＜1，那么n 2﹣1＜0”是假命题，举出n ＝﹣2．故选：A ．【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．8．（2分）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（）A．B．C．D．【分析】根据极差的定义，分别从t＝0、0＜t≤10、10＜t≤20及20＜t≤24时，极差y2随t的变化而变化的情况，从而得出答案．【解答】解：当t＝0时，极差y2＝85﹣85＝0，当0＜t≤10时，极差y2随t的增大而增大，最大值为43；当10＜t≤20时，极差y2随t的增大保持43不变；当20＜t≤24时，极差y2随t的增大而增大，最大值为98；故选：B．【点评】本题主要考查极差，解题的关键是掌握极差的定义及函数图象定义与画法．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。

一．选择题（共8小题，每小题2分，共16分）1．下列交通标志图案是轴对称图形的是-------------------------------------- 【 】A ．B ．C ．D ．【答案】B考点：轴对称图形2．下列条件中，不能判断△ABC 为直角三角形的是 ---------------------------- 【】A ．a 2＝1 ，b 2＝2 ，c 2＝3B ．a ∶b ∶c ＝3∶4∶5C ．∠A ＋∠B ＝∠CD ．∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5【答案】D【解析】试题分析：根据勾股定理的逆定理可知222a b c +=，是直角三角形，故不正确；根据比值，设a=3x ，b=4x ，c=5x ，因此可得222a b c +=，是直角三角形，故不正确；根据已知可知2∠C=180°，解得∠C=90°，是直角三角形，故不正确；根据三角形的内角和可知，不是直角三角形，故正确.故选D考点：1.直角三角形的判定，2.勾股定理的逆定理3．如图，给出下列四组条件：① AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；② AB＝DE，∠B＝∠E．BC＝EF；③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；④ AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有------------------------------------- 【】AB CDE FA．1组B．2组C．3组D．4组【答案】C【解析】试题分析：本题主要考查全等三角形的判定方法：①AB=DE，BC=EF，AC=DF用的判定方法是“边边边”；②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF用的判定方法是“边角边”；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F用的判定方法是“角边角”；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等，因此能使△ABC≌△DEF的条件共有3组.故选C.考点：三角形全等的判定4．如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论：①AC＝AF，②∠FAB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是 ------------------------------------- 【】AB FEA．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】试题分析：由△ABC≌△AEF，根据全等三角形的性质可得AC= AF，EF=BC，∠EAF=∠BAC.进而得到∠EAF-∠BAF=∠BAC-∠BAF，即∠EAB=∠FAC. 因此①AC=AF，③EF=BC，④∠EAB=∠FAC正确.故选C考点：全等三角形的性质5．如图，点D 在△ABC 的边AC 上，将△ABC 沿BD 翻折后，点A 恰好与点C 重合，若BC ＝5，CD ＝3，则BD 的长为 --------------------------------------------------------------- 【 】A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 考点：1.翻折变换，2.勾股定理6．如图，点P 是∠AOB 外的一点，点M ，N 分别是∠AOB 两边上的点，点P 关于OA 的对称点Q 恰好落在线段MN 上，点P 关于OB 的对称点R 落在MN 的延长线上．若PM ＝2.5cm ，PN ＝3cm ，MN ＝4cm ，则线段QR 的长为 --------------------------------------------------------------- 【 】A ．4.5cmB ．5.5cmC ．6.5cmD ．7cm 【答案】A【解析】试题分析：利用轴对称图形的性质得出PM=MQ ，PN=NR ，进而利用PM=2.5cm ，PN=3cm ，MN=4cm ，得出NQ=MN-MQ=4-2.5=1.5（cm ），即可得出QR 的长RN+NQ=3+1.5=4.5（cm ）．故选：A ．考点：轴对称图形的性质7．如图，△ABC 是等边三角形，P 是BC 上任意一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，连接DE ．记△ADE 的周长 A O BN R Q P MA BC D为L 1，四边形BDEC 的周长为L 2，则L 1与L 2的大小关系是 -------------------- 【 】 AB C P E DA ．L l ＝L 2B ．L 1＞L 2C ．L 2＞L 1D ．无法确定【答案】A【解析】 试题分析：等边三角形各内角为60°，故∠B=∠C=60°，即可求得BP=2BD ，CP=2CE ，∴BD+CE=12BC ，即可求得L 1=L 2．故选 A ．考点：等边三角形的性质 8．△ABC 中，AB ＝AC ，中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为 --------------------------------------------------------------------- 【 】A ．7B ．7或11C ．11D ．7或10【答案】B【解析】试题分析：根据题意：①当15是腰长与腰长一半时，即AC+12AC=15，解得AC=10，所以底边长=12-12×10=7；②当12是腰长与腰长一半时，AC+12AC=12，解得AC=8，所以底边长=15-12×8=11． 故选B ．考点：等腰三角形二．填空题（共8小题，每小题2分，共16分）9．如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点．若AD ＝6，DE ＝5，则CD 的长等于 ．【答案】8考点：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理10．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，边AC 的垂直平分线分别交边AB 、AC 于点E 、F ．如果∠B ＝75°，那么∠BCE＝ 度．【答案】45【解析】试题分析：由边AC 的垂直平分线分别交边AB 、AC 于点E 、F ，根据线段垂直平分线的性质可得EA=EC ，然后由△ABC 中，AB=AC ，可得∠B=∠BCA=75°，因此可求得∠A=∠ACE=30°，进而可求得∠BCE=45°． 考点：线段垂直平分线的性质11．如图，△ABC 中，∠ABC ＝45°，AC ＝4，H 是高AD 和BE 的交点，则线段BH 的长度为 ．【答案】4【解析】AB C D EAB C D H EAB C E F试题分析：由∠ABC=45°，AD 是高，得出BD=AD 后，证△ADC ≌△BDH 后求解．BH=AC=4． 考点：全等三角形的判定与性质．12．如图，△ABC 中，∠BAC ＝110°，E 、G 分别为AB 、AC 中点，DE ⊥AB ，FG ⊥AC ，则∠DAF ＝ °．【答案】40【解析】试题分析：根据线段垂直平分线性质得出BD=AD ，CF=AF ，推出∠B=∠BAD ，∠C=∠FAC ，求出∠B+∠C=180°-∠A=70°，即可求出∠BAD+∠FAC=70°，即可求出∠DAF=∠BAC-（∠BAD+∠FAC ）=110°-70°=40°．考点：线段垂直平分线性质13．如图，等边△ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的大小是 度．【答案】60考点：全等三角形，三角形外角和定理14．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AD 是△ABC 的一条角平分线．若CD ＝3，则△ABD 的面积为 ． AD C【答案】15 AC D F E GAB C D PE【解析】试题分析：作DE ⊥AB 于E ．由AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，根据角平分线的性质可得DE=CD=3．因此可求得△ABD 的面积为12×3×10=15．考点：角平分线的性质15．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿着直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为 cm ．【答案】3【解析】试题分析：由勾股定理得，AB=10．由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD ，∠AED=∠C=90°．因此可求BE=AB-AE=10-6=4，然后再由Rt △BDE 中，由勾股定理得，DE 2+BE 2=BD 2，即CD 2+42=（8-CD ）2，解得：CD=3.考点：折叠的性质和勾股定理16．如图，将矩形ABCD 沿AE 向上折叠，使点B 落在DC 边上的F 处，若△AFD 的周长为9，△ECF 的周长为3，则矩形ABCD 的周长为 ．【答案】12【解析】A B CD FE AD E试题分析：根据图形折叠的性质可知AB=AF，BE=EF，再由△AFD的周长为9，△ECF的周长为3即可得出矩形的周长等于△AFD和△CFE的周长的和为9+3=12．考点：折叠的性质三．解答题（共68分）17．（8分）如图所示，要在公园（四边形ABCD）中建造一座音乐喷泉，喷泉位置应符合如下要求：⑴到公园两个出入口A、C的距离相等；⑵到公园两边围墙AB、AD的距离相等．请你用尺规作图的方法确定喷泉的位置P．（不必写作法，但要保留作图痕迹）ADB【答案】见解析【解析】试题分析：首先作出AC的垂直平分线，再作出∠BAD的角平分线两线的交点P为所求作的点．试题解析：如图所示，点P即为所求．考点：1.垂直平分线，2.角平分线18．（8分）如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：△ABC≌△BAD．C D1 2A B【答案】见解析【解析】试题分析：根据已知条件，利用AAS 即可判定∴△ABC ≌△BAD ．试题解析： ∵()(1)()2C D AB BA ∠=∠∠⎧==⎨∠⎪⎪⎩已知已知公共边，∴△ABC ≌△BAD （AAS ）．考点：三角形全等的判定19．（8分）如图，点C 、F 在BE 上，BF ＝CE ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E ．求证：∠ACB ＝∠DFE ．【答案】见解析【解析】试题分析：若要证明∠ACE=∠DFE ，则可转化为证明两个角所在的三角形全等即可△ABC≌△DEF 即可．试题解析：∵BF ＝CE ，∴BF+FC ＝CE+FC.∴BC ＝EF.在△ABC 和△DEF 中，AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，∴△ABC ≌△DEF （SAS ）.∴∠ACE ＝∠DFE ．考点：三角形全等的性质与判定20．（8分）在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，⑴ 求AB 的长；⑵ 求CD 的长．【答案】（1）25（2）12【解析】 A D CA C F E D考点：勾股定理，三角形的面积21．（8分）如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DE ＝DF ．求证：⑴ △BDE ≌△CDF ；⑵ AB ＝AC ．【答案】见解析【解析】试题分析：（1）求出BD=CD ，∠DEB=∠DFC=90°，根据HL 证出Rt △BDE ≌Rt △CDF 即可；（2）根据全等三角形的性质得出∠B=∠C ，根据等腰三角形的判定推出即可．试题解析：⑴ ∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠DEB ＝∠DFC ＝90°，在Rt △BDE 与Rt △CDF 中BD DC DE DF =⎧⎨=⎩ AB C E FD∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ），⑵ ∵Rt △BDE ≌Rt △CDF ，∴∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC ．考点：1.三角形全等的性质与判定，2.等腰三角形的判定22．（8分）一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，⑴ 这个梯子的顶端距地面有多高？⑵ 如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【答案】（1）24（2）8【解析】试题分析：（1）利用勾股定理直接得出AB 的长即可；（2）利用勾股定理直接得出BC′的长，进而得出答案．试题解析：⑴ 由题意得：AC ＝25米，BC ＝7米，AB ＝22725－＝24（米），答：这个梯子的顶端距地面有24米．⑵ 由题意得：BA′＝20米，BC′＝222025－＝15（米），则：CC′＝15－7＝8（米），答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．考点：勾股定理23．（10分）如图，在△ABC 、△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB ＝AC ，AD ＝AE ，点C 、D 、E 三点在同一直线上，连接BD ．求证：⑴ △BAD ≌△CAE ；⑵ 试猜想BD 、CE 有何特殊位置关系，并证明．AA'B C C'EADB C【答案】（2）BD⊥CE【解析】试题分析：要证（1）△BAD≌△CAE，现有AB=AC，AD=AE，需它们的夹角∠BAD=∠CAE，而由∠BAC=∠DAE=90°很易证得．（2）BD、CE有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证BD⊥CE，需证∠BDE=90°，需证∠ADB+∠ADE=90°可由直角三角形提供．试题解析：⑴∵∠BAC＝∠DAE＝90°∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+CAD即∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）．⑵ BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．证明如下：由（1）知△BAD≌△CAE，∴∠ADB＝∠E．∵∠DAE＝90°，∴∠E+∠ADE＝90°．∴∠ADB+∠ADE＝90°．即∠BDE＝90°．∴BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．考点：三角形全等的性质与判定24．（10分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点Q为斜边AB的中点．动点P在直线AB上（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F．⑴如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系式；⑵ 如图2，当点P 在线段AB 上不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明；⑶ 如图3，当点P 在线段BA （或AB ）的延长线上时，此时⑵中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．【答案】见解析试题解析：⑴ AE∥BF，QE ＝QF ，⑵ QE ＝QF ，如图2，延长FQ 交AE 于D ，∵Q 为AB 中点， ∴AQ＝BQ ，∵BF⊥CP，AE⊥CP， ∴BF∥AE，∴∠QAD＝∠FBQ， A BCQFE 图2 PA BCQ FEP( ) 图1 A B C Q F E图2 P A BC Q FE P( ) 图1在△FBQ 和△DAQ 中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠AQD BQF AQBQ DAQ FBQ ＝＝＝ ∴△FBQ≌△DAQ（ASA ），∴QF＝QD ，∵AE⊥CP，∴EQ 是直角三角形DEF 斜边上的中线， ∴QE＝QF ＝QD ，即QE ＝QF ．⑶ ⑵中的结论仍然成立，证明：如图3，延长EQ 、FB 交于D ，∵Q 为AB 中点，∴AQ＝BQ ，∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴BF∥AE，∴∠1＝∠D，在△AQE 和△BQD 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠BQ AQ D ＝＝＝321∴△AQE≌△BQD（AAS ），∴QE＝QD ，∵BF⊥CP，∴FQ 是斜边DE 上的中线，∴QE＝QF ．考点：1.全等三角形的性质和判定，2.直角三角形斜边上中线性质的应用高考一轮复习：。