初三数学一模试题及答案

2024北京人大附中学初三模拟数学一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（2分）2022年5月18日是第46个国际博物馆日，今年国际博物馆日的宣传主题是“博物馆的力量”，在以下几幅古代纹样图案中，利用中心对称进行整体构图的是（）A．B．C．D．2．（2分）在第46个国际博物馆日来临之际．中国国家博物馆推出了丰富多彩的“云上观展”活动．观众有机会在屏幕上欣赏国博140万余件藏品的真容，将140万用科学记数法表示为（）A．1.4×105B．1.4×106C．14×105D．140×1043．（2分）下列各组角中，互为余角的是（）A．30°与150°B．35°与65°C．45°与45°D．25°与75°4．（2分）下列说法中错误的是（）A．成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴B．关于某条直线对称的两个图形全等CD．两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧5．（2分）有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上的点数记为x，则x＞3的概率是（）A．B．C．D．6．（2分）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（）A．a＞b B．|a|＜|b|C．a+b＞0D．＜07．（2分）李老师是一位运动达人，他通过佩戴智能手环来记录自己一个月（30天）每天所走的步数，并绘制成如图统计表，在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（）A．1.6，1.5B．1.7，1.6C．1.7，1.7D．1.7，1.558．（2分）某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的y与x的数据如表：A．B．C．D．二、填空题9．（2分）若有意义，则x的取值范围是．10．（2分）把多项式a3﹣2a2b+ab2分解因式的结果是．11．（2分）若n为整数，且n＜＜n+1，则n的值为．12．（2分）分式方程的解x＝．13．（2分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠CAD＝30°，∠ABD＝50°，则∠ADC＝．14．（2分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线AP交BC 于点D．若AB：AC＝2：3，△ABD的面积为4，则△ACD的面积为．15．（2分）如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，∠A＝40°，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则∠ABE＝°．16．（2分）以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表，有一个炒菜锅，一个电饭煲，一个煲汤锅，两个燃气灶可用，做好这顿晚餐一般情况下至少需要分钟．17．（5分）计算：（）0﹣2sin30°++（）﹣1．18．（5分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．19．（5分）下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．已知：⊙O和圆外一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：①连接OP；②以OP为直径作OM，交⊙O于点A，B；③作直线P A，PB；所以直线P A，PB为⊙O的切线．根据小文设计的作图过程，完成下面的证明．证明：连接OA，OB．∵OP为OM的直径，∴∠OAP＝∠＝°（）（填推理的依据）．∴OA⊥AP，⊥BP．∵OA，OB为⊙O的半径，∴直线P A，PB为⊙O的切线（）（填推理的依据）．20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）如果此方程有一个实数根为0，求m的值．21．（6分）已知双曲线y＝和直线y＝kx+2相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2），且+＝10，求k 的值．22．（6分）在△ABF中，C为AF AB＝AC．（1）尺规作图：作出以AB为直径的⊙O，⊙O分别交AC、BC于点D、E，在图上标出D、E，在图上标出D、E（保留作图痕迹，不写作法）．（2）若∠BAF＝2∠CBF，求证：直线BF是⊙O的切线；（3）在（2）中，若AB＝5，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．23．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x与函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，2）．（1）求m的值；（2）过点A作x轴的平行线l，直线y＝2x+b与直线l交于点B，与函数y＝（x＞0）的图象交于点C，与x轴交于点D．①当点C是线段BD的中点时，求b的值；②当BC＞BD时，直接写出b的取值范围．24．（6分）某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．（1）在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接．（2）请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为米（精确到0.1）；（3）公园增设了新的游玩项目，购置了宽度3米，顶棚到水面高度为4.5米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．25．（6分）如图1，长度为6千米的国道AB两侧有M，N两个城镇，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，连接点为C和D，其中A、C之间的距离为2千米，C、D之间的距离为1千米，N、C之间的乡镇公路长度为2.3千米，M、D之间的乡镇公路长度为3.2千米．为了发展乡镇经济，方便两个城镇的物资输送，现需要在国道AB上修建一个物流基地T．设A、T之间的距离为x千米，物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米．以下是对函数y随自变量x的变化规律进行的探究，请补充完整．（1）通过取点、画图、测量，得到x与y的几组值，如表：（3）结合画出的函数图象，解决问题：①若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？②如图3，有四个城镇M、N、P、Q分别位于国道A﹣C﹣D﹣E﹣B两侧，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，若要在国道上修建一个物流基地S，使得S沿公路到M、N、P、Q的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+1与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴．（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）．（2）将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G．点M（x1，y1），N （x2，y2）为图形G上任意两点．①当m＝0时，若x1＜x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由；②若对于x1＝m﹣2，x2＝m+2，都有y1＞y2，求m的取值范围．27．（6分）如图，△ABC是等边三角形，D，E两点分别在边AB，AC上，满足BD＝AE，BE与CD交于点F．（1）求∠BFD的度数；（2）以C为中心，将线段CA顺时针旋转60°得到线段CM，连接MF，点N为MF的中点，连接CN．①依题意补全图形；②若BF+CF＝k•CN，求k的值．28．（6分）在平面直角坐标系xOy中，对已知的点A，B，给出如下定义：若点A恰好在以BP为直径的圆上，则称点P为点A关于点B的“联络点”．（1）点A的坐标为（2，﹣1），则在点P1（1，2），，P3（﹣2，1）中，O关于点A的“联络点”是（填字母）；（2）直线与x轴，y轴分别交于点C，D，若点C关于点D的“联络点”P满足，求点P的坐标；（3）⊙T的圆心在y轴上，半径为，点M为y轴上的动点，点N的坐标为（4，0），在⊙T上存在点M关于点N的“联络点”P，且△PMN为等腰三角形，直接写出点T的纵坐标t的取值范围．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故选：D．【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成n时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：140万＝1400000＝1.4×106．故选：B．【点评】本题考查科学记数法表示绝对值较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．3．【分析】根据余角的定义判断即可．【解答】解：45°+45°＝90°，故选：C．【点评】本题主要考查了余角和补角的定义．余角：如果两个角的和是一个直角，那么称这两个角互为余角．补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．4．【分析】根据轴对称图形的定义和性质及直角三角形的性质逐一判断即可得．【解答】解：A．成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴，此选项正确；B．关于某条直线对称的两个图形全等，此选项正确；C．两个全等三角形的对应高相等，此选项正确；D．两个图形关于某直线对称，则这两个图形不一定分别位于这条直线的两侧，此选项错误；故选：D．【点评】本题主要考查轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的定义及其性质．5．【分析】由朝上的面的点数有6种等可能结果，其中x＞3的情况有4，5，6共3种情况，根据概率公式计算可得．【解答】解：任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数有6种等可能结果，其中x＞3的情况有4，5，6共3种情况，所以x＞3的概率是．故选：A．【点评】本题主要考查概率公式，掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数是解题的关键．6．【分析】先由数轴可得﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，且|a|＞|b|，再判定即可．【解答】解：由图可得：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，∴a＜b，故A错误；|a|＞|b|，故B错误；a+b＜0，故C错误；＜0，故D正确；故选：D．【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题的关键是利用数轴确定a，b的取值范围．利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．7．【分析】在这组数据中出现次数最多的是1.7万步，得到这组数据的众数；把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个数的平均数是中位数．【解答】解：在这组数据中出现次数最多的是1.7，即众数是1.7；把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个两个数的平均数是（1.6+1.6）÷2＝1.6，所以中位数是1.6．故选：B．【点评】本题考查一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．8．【分析】直接利用表格中数据分别得出函数解析式，进而得出答案．【解答】解：由表格中数据可得：0≤x＜8，数据成比例增长，是正比例函数关系，设解析式为：y＝kx，则将（2，1.5）代入得：1.5＝2k，解得：k＝，故函数解析式为：y＝x（0≤x＜8），由表格中数据可得：8≤x，数据成反比例递减，是反比例函数关系，设解析式为：y＝，则将（12，4）代入得：a＝48，故函数解析式为：y＝（x≥8）．故函数图象D正确．故选：D．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．二、填空题9．【分析】根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行判断即可．【解答】解：由题意得：x+1≠0，∴x≠﹣1；故答案为：x≠﹣1．【点评】本题考查分式有意义的条件．熟练掌握分式的分母不为0时，分式有意义，是解题的关键．10．【分析】直接提取公因式a，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．【解答】解：a3﹣2a2b+ab2＝a（a2﹣2ab+b2）＝a（a﹣b）2，故答案为：a（a﹣b）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练利用乘法公式是解题关键．11．【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可．【解答】解：∵＜＜，即4＜＜5，且n为整数，n＜＜n+1，∴n＝4，故答案为：4．【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是解决问题的前提．12．【分析】利用解分式方程的一般步骤解答即可．【解答】解：去分母得：2x＝3﹣2×2（x﹣1），去括号得：2x＝3﹣4x+4，移项，合并同类项得：6x＝7，∴x＝，经检验，x＝是原方程的解，∴x＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法的一般步骤是解题的关键．13．【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACD，进而得出答案．【解答】解：∵∠ABD＝50°，∴∠ACD＝50°，∵∠CAD＝30°，∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACD＝180°﹣30°﹣50°＝100°．故答案为：100°．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出∠ABD度数是解题关键．14．【分析】利用基本作图得到AD平分∠BAC，再根据角平分线的性质得到点D到AB、AC的距离相等，然后根据三角形面积公式得到S△ABD：S△ACD＝AB：AC，从而可求出S△ACD．【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，∴点D到AB、AC的距离相等，∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝2：3，∴S△ACD＝S△ABD＝×4＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．15．【分析】利用等腰三角形的性质先求出∠C、∠BEC，再利用三角形的外角与内角的关系得结论．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣∠A）＝70°．∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，∴BC＝BE，∴∠C＝∠BEC＝70°．∵∠BEC＝∠A+∠ABE，∴∠ABE＝∠BEC﹣∠A＝30°．故答案为：30．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，掌握“等边对等角”及“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”等知识点是解决本题的关键．16．【分析】由题意可知，煮饭准备时间需3分钟，煮饭需要30钟，妈妈可在等待饭熟的这30分钟内先完成煲汤和炒菜，所以妈妈做这顿饭至少需要3+30＝33分钟．【解答】解：3+30＝33（分钟），答：妈妈做晚饭最少要用33分钟，故答案为：33．【点评】本题考查了学生在生活中利用统筹方法解决实际问题的能力．三、解答题：本大题有12个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

九年级数学学科练习考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】1.下列实数中，无理数是（）A.B.C.()2π+ D.872.计算x 3•x 2的结果是（）A.xB.x 5C.x 6D.x 93.如果非零向量a 、b互为相反向量，那么下列结论中错误的是（）A.a b ∥B.a b =C.0a b += D.a b =-4.如图，已知ABC 与DEF ，下列条件一定能推得它们相似的是（）A.A D B E ∠=∠∠=∠，B.AB BCA D DF EF ∠=∠=且C.A B D E∠=∠∠=∠， D.AB ACA E DE DF∠=∠=且5.如果045A ︒<∠<︒，那么sin A 与cos A 的差（）A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定6.如图，在ABC 中，中线AD 与中线BE 相交于点G ，联结DE ．下列结论成立的是（）A.13DG AG =B.BG DEEG AB= C.ΔΔ14DEG AGB S S = D.ΔΔ12CDE AGB S S =二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.13的倒数是_____．8.计算：2422a a a +=++_________．9.已知23a b =，则a a b+的值是_____．10.抛物线()=+-2y x 12与y 轴的交点坐标是_________．11.请写出一个以直线3x =为对称轴，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线，这条抛物线的表达式可以是_________．（只要写出一个符合条件的抛物线表达式）12.有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水位时，桥下水面AB 宽20米，拱桥的最高点O 距离水面AB 为3米，如图建立直角坐标平面xOy ，那么此抛物线的表达式为_________．13.一水库的大坝横断面是梯形，坝顶、坝底分别记作BC 、AD ，且迎水坡AB 的坡度为12.5∶，背水坡CD 的坡度为13∶，则迎水坡AB 的坡角________背水坡CD 的坡角．（填“大于”或“小于”）14.已知111222ABCA B C A B C ，ABC 与111A B C △的相似比为15，ABC 与222A B C △的相似比为23，那么111A B C △与222A B C △的相似比为_________．15.在矩形ABCD 内作正方形AEFD （如图所示），矩形的对角线AC 交正方形的边EF 于点P ．如果点F 恰好是边CD 的黄金分割点()DF FC >，且2PE =，那么PF =_________．16.在ABC 中，6,5AB AC ==，点D 、E 分别在边,AB AC 上，当4,AD ADE C =∠=∠时，DEBC=_________．17.如图，ABC 绕点C 逆时针旋转90︒后得DEC ，如果点B 、D 、E 在一直线上，且60,3BDC BE ∠=︒=，那么A 、D 两点间的距离是_________．18.定义：把二次函数()2y a x m n =++与2()y a x m n =---（a ≠0，m 、n 是常数）称作互为“旋转函数”．如果二次函数2322y x bx =+-与214y x cx c =--+（b 、c 是常数）互为“旋转函数”，写出点(),P b c 的坐标_________．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.2cot 45sin 45tan 45-︒︒⎛⎫ ⎪︒⎝⎭．20.如图，已知在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且2BD AD =，12AE EC =．（1）求证：DE BC ∥；（2）设BE a = ，BC b =，试用向量a 、b 表示向量AC．21.如图，已知在ABC 中，B ∠为锐角，AD 是BC 边上的高，5cos 13B =，13,21AB BC ==．（1）求AC 的长；（2）求BAC ∠的正弦值．22.有一把长为6米的梯子AB ，将它的上端A 靠着墙面，下端B 放在地面上，梯子与地面所成的角记为α，地面与墙面互相垂直（如图1所示），一般满足5075α≤︒≤︒时，人才能安全地使用这架梯子．（1）当梯子底端B 距离墙面2.5米时，求α的度数（结果取整数），此时人是否能安全地使用这架梯子？（2）当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端A 离开地面最高时，梯子开始下滑，如果梯子顶端A 沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D 点处停止，梯子底端B 也随之向后平移到地面上的点E 处（如图2所示），此时人是否能安全使用这架梯子？请说明理由．23.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，DF 分别交对角线AC 、底边BC 于点E 、F ，且=AD AC AE BC ⋅⋅．（1）求证：AB FD ∥；（2）点G 在底边BC 上，=10BC ，=3CG ，连接AG ，如果AGC 与EFC 的面积相等，求FC 的长．24.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线26y ax bx =+-（0a ≠）与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，联结BC ，ABC ∠的余切值为13，8AB =，点P 在抛物线上，且PO PB =.（1）求上述抛物线的表达式；（2）平移上述抛物线，所得新抛物线过点O 和点P ，新抛物线的对称轴与x 轴交于点E ．①求新抛物线的对称轴；②点F 在新抛物线对称轴上，且EOF PCO ∠=∠，求点F 的坐标．25.在等腰直角ABC 中，90,4C AC ∠=︒=，点D 为射线CB 上一动点（点D 不与点B 、C 重合），以AD 为腰且在AD 的右侧作等腰直角ADF △，90ADF Ð=°，射线AB 与射线FD 交于点E ，联结BF ．（1）如图1所示，当点D 在线段CB 上时，①求证：~ACD ABF ；②设,tan CD x BFD y =∠=，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（2）当2AB BE =时，求CD 的长．九年级数学学科练习考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】1.下列实数中，无理数是（）A.B.C.()2π+ D.87【答案】B【分析】先根据二次根式的性质和零指数幂进行化简，再根据无理数的定义逐项进行判断即可．【详解】4=，是整数，是有理数，不是无理数，故不符合题意；C.()0π21+=，是整数，是有理数，不是无理数，故不符合题意；D.87，是分数，是有理数，不是无理数，故不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的性质，零指数幂及无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数为无理数是解题的关键．2.计算x 3•x 2的结果是（）A.x B.x 5C.x 6D.x 9【答案】B【分析】根据同底数的幂相乘的法则即可求解．【详解】解：x 3•x 2=x 5．故选：B ．【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘的计算法则，正确理解法则是关键．3.如果非零向量a 、b互为相反向量，那么下列结论中错误的是（）A.a b∥ B.a b = C.0a b += D.a b=-【答案】C【分析】非零向量a、b互为相反向量，则非零向量a、b大小相等，方向相反，据此分析即可．【详解】∵非零向量a 、b互为相反向量，∴a b ∥ ，a b =- ，a b = ，∴0a b +=，则C 选项错误，故选：C ．【点睛】本题考查相反向量的概念，属基础题，正确理解定义是解决问题的关键．4.如图，已知ABC 与DEF ，下列条件一定能推得它们相似的是（）A.A D B E ∠=∠∠=∠，B.AB BCA D DF EF ∠=∠=且C.A B D E∠=∠∠=∠， D.AB ACA E DE DF∠=∠=且【答案】A【分析】三角形相似的判定方法有（1）平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）如果两个三角形对应边的比相等且夹角相等，这2个三角形也可以说明相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.）；（3）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似（简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.）；（4）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似（简叙为两角对应相等，两个三角形相似）。

东城区2023—2024学年度第二学期初三年级统一测试（一）数学试卷考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID 号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．在下列几何体中，俯视图是矩形的几何体是（ ）A ．B ．C ．D ．2．2024年2月29日，在国家统计局发布的《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》中，2023年全年完成造林面积400万公顷，其中人工造林面积133万公顷．将数字1330000用科学记数法表示应为（）A ．71.3310⨯B ．513.310⨯C ．61.3310⨯D ．70.1310⨯3．在平面直角坐标系xOy 中，点()0,2A ，()1,0B -，()2,0C 为ABCD 的顶点，则顶点D 的坐标为（ ）A ．()3,2-B ．()2,2C ．()3,2D ．()2,34．若实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（）A ．a b <B ．11a b +<+C ．22a b <D ．a b>-5．在平面直角坐标系xOy 中，点()1,2P 在反比例函数k y x =（k 是常数，0k ≠）的图象上．下列各点中，在该反比例函数图象上的是（）A ．()2,0-B ．()1,2-C ．()1,2--D ．()1,2-6．如图，AB 是O 的弦，CD 是O 的直径，CD AB ⊥于点E ．在下列结论中，不一定成立的是（ ）A ．AE BE =B ．90CBD ∠=︒C ．2COB D∠=∠D ．COB C ∠=∠7．一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号相同的概率为（）A ．12B ．13C ．16D ．198．2024年1月23日，国内在建规模最大塔式光热项目——甘肃省阿克塞汇东新能源“光热＋光伏”试点项目，一万多面定日镜（如图1）全部安装完成．该项目建成后，年发电量将达17亿千瓦时．该项目采用塔式聚光热技术，使用国内首创的五边形巨蜥式定日镜，单块定日镜（如图2）的形状可近似看作正五边形，面积约为248m ，则该正五边形的边长大约是（ ）（结果保留一位小数，参考数据：tan 360.7︒≈，tan 54 1.4︒≈ 6.5≈ 4.6≈）A ．5.2mB ．4.8mC ．3.7mD ．2.6m二、填空题（本题共16分，每小题2分）9x 的取值范围是______．10．因式分解：2218xy x -=______．11．方程323x x =-的解为______．12．若关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是______．13．为了解某校初三年级500名学生每周在校的体育锻炼时间（单位：小时），随机抽取了50名学生进行调查，结果如下表所示：锻炼时间x56x ≤<67x ≤<78x ≤<8x ≥学生人数1016195以此估计该校初三年级500名学生一周在校的体育锻炼时间不低于7小时的约有______人．14．在Rt ABC △中，90A ∠=︒，点D 在AC 上，DE BC ⊥于点E ，且DE DA =，连接DB ．若20C ∠=︒，则DBE ∠的度数为______°．15．阅读材料：如图，已知直线l 及直线l 外一点P ．按如下步骤作图：①在直线l 上任取两点A ，B ，作射线AP ，以点P 为圆心，PA 长为半径画弧，交射线AP 于点C ；②连接BC ，分别以点B ，C 为圆心，大于12BC 的长为半径画弧，两弧分别交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点Q ；③作直线PQ ．回答问题：（1）由步骤②得到的直线MN 是线段BC 的______；（2）若CPQ △与CAB △的面积分别为1S ，2S ，则12:S S ______．16．简单多面体的顶点数（V ）、面数（F ）、棱数（E ）之间存在一定的数量关系，称为欧拉公式．（1）四种简单多面体的顶点数、面数、棱数如下表：名称图形顶点数（V ）面数（F ）棱数（E ）三棱锥446长方体8612五棱柱10715正八面体6812在简单多面体中，V ，F ，E 之间的数量关系是______；（2）数学节期间，老师布置了让同学们自制手工艺品进行展示的任务，小张同学计划做一个如图所示的简单多面体作品．该多面体满足以下两个条件：①每个面的形状是正三角形或正五边形；②每条棱都是正三角形和正五边形的公共边．小张同学需要准备正三角形和正五边形的材料共______个．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17()02cos30π12-︒+---．18．解不等式组：26516132x x x +<⎧⎪+-⎨-≥⎪⎩．19．已知290x y --=，求代数式226344x y x xy y--+的值．20．如图，四边形ABCD 是菱形．延长BA 到点E ，使得AE AB =，延长DA 到点F ，使得AF AD =，连接BD ，DE ，EF ，FB ．（1）求证：四边形BDEF 是矩形；（2）若120ADC ∠=︒，2EF =，求BF 的长．21．每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼AB 的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B 的位置，被遮挡部分的水平距离为BC 的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A 的影子D 到点C 的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设AB 的长为x 米，BC 的长为y米．测量数据（精确到0.1米）如表所示：直杆高度直杆影长CD 的长第一次1.00.615.8第二次 1.00.720.1（1）由第一次测量数据列出关于x ，y 的方程是______，由第二次测量数据列出关于x ，y 的方程是______；（2）该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得10y =，则钟楼的高度约为______米．22．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+（k 为常数，0k ≠）的图象由函数13y x =的图象平移得到，且经过点()3,2A ，与x 轴交于点B ．（1）求这个一次函数的解析式及点B 的坐标；（2）当3x >-时，对于x 的每一个值，函数y x m =+的值大于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围．23．某校初三年级两个班要举行韵律操比赛．两个班各选择8名选手，统计了他们的身高（单位：cm ），数据整理如下：a ．1班 168 171 172 174 174 176 177 1792班 168 170 171 174 176 176 178 183b ．每班8名选手身高的平均数、中位数、众数如下：班级平均数中位数众数1班173.8751741742班174.5m n 根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m ，n 的值；（2）如果某班选手的身高的方差越小，则认为该班选手的身高比较整齐．据此推断：在1班和2班的选手中，身高比较整齐的是______班（填“1”或“2”）；（3）1班的6位首发选手的身高分别为171，172，174，174，176，177．如果2班已经选出5位首发选手，身高分别为171，174，176，176，178，要使得2班6位首发选手的平均身高不低于1班6位首发选手的平均身高，且方差尽可能小，则第六位选手的身高是______cm ．24．如图，AB 为O 的直径，点C 在O 上，EAC CAB ∠=∠，直线CD AE ⊥于点D ，交AB 的延长线于点F ．（1）求证：直线CD 为O 的切线；（2）当1tan 2F =，4CD =时，求BF 的长．25．小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，击球点P 到球网AB 的水平距离 1.5m OB =．小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内．第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()20.2 2.5 2.35y x =--+．第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）的几组数据如下：水平距离x /m01234飞行高度y /m 1.1 1.6 1.92 1.9根据上述信息，回答下列问题：（1）直接写出击球点的高度；（2）求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度y 与水平距离x 满足的函数关系式；（3）设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为1d ，2d ，则1d ______2d （填“＞”，“＜”或“＝”）．26．在平面直角坐标系xOy 中，()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线()210y ax bx a =++>上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x t =．（1）若点()2,1在该抛物线上，求t 的值；（2）当0t ≤时，对于22x >，都有12y y <，求1x 的取值范围．27．在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D ，E 是BC 边上的点，12DE BC =，连接AD ．过点D 作AD 的垂线，过点E 作BC 的垂线，两垂线交于点F ．连接AF 交BC 于点G ．（1）如图1，当点D 与点B 重合时，直接写出DAF ∠与BAC ∠之间的数量关系；（2）如图2，当点D 与点B 不重合（点D 在点E 的左侧）时，①补全图形；②DAF ∠与BAC ∠在（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．（3）在（2）的条件下，直接用等式表示线段BD ，DG ，CG 之间的数量关系．28．在平面直角坐标系xOy 中，已知线段PQ 和直线1l ，2l ，线段PQ 关于直线1l ，2l 的“垂点距离”定义如下：过点P 作1PM l ⊥于点M ，过点Q 作2QN l ⊥于点N ，连接MN ，称MN 的长为线段PQ 关于直线1l 和2l 的“垂点距离”，记作d ．（1）已知点()2,1P ，()1,2Q ，则线段PQ 关于x 轴和y 轴的“垂点距离”d 为______；（2）如图1，线段PQ 在直线3y x =-+上运动（点P 的横坐标大于点Q 的横坐标），若PQ =段PQ 关于x 轴和y 轴的“垂点距离”d 的最小值为______；（3）如图2，已知点(0,A ，A 的半径为1，直线y x b =+与A 交于P ，Q 两点（点P 的横坐标大于点Q 的横坐标），直接写出线段PQ 关于x 轴和直线y =的“垂点距离”d 的取值范围．。

2023北京海淀初三一模数 学2023.04学校 姓名 准考证号一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有4个选项，符合题意的选项只有一个. 1. 下列几何体中，主视图为右图的是（A ） （B ） （C ） （D ）2. 北京植物园从上世纪五十年代开始建设种子库，目前库中已有种子83 000余份，总量位居世界第二位.将83 000用科学记数法表示应为 （A ）38310⨯（B ）48.310⨯ （C ）58.310⨯ （D ）50.8310⨯3. 在一条沿直线MN 铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在MN 上选取一点P ，向两个小区铺设电缆.下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是（A ） （B ） （C ）（D）4.不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是 （A ）23（B ）34 （C ）25（D ）355. 实数m ，n 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（A ）m n <（B ）0m n +> （C ）0m n −< （D ）0mn >6. 已知关于x 的一元二次方程220x x a −+=有两个相等的实数根，则实数a 的值是 （A ）1−（B ）0（C ）1（D ）27. 小明制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的90°刻度线与三角板的底边平行.将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点O 处，现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器上对应的刻度为27°，那么被测物体表面的倾斜角α为 （A ）63°（B ）36°（C ）27°（D ）18°8. 图1是变量y 与变量x 的函数关系的图象，图2是变量z 与变量y 的函数关系的图象，则z 与x 的函数关系的图象可能是图1 图2（A ） （B ） （C ） （D ）第二部分 非选择题二、填空题（共16题，每题2分） 9. x 的取值范围是．10. 分解因式：244a b ab b ++= ． 11.方程123x x =+的解为．12.13. 若AC ＝4，BD ＝8，则OM 的长为______.14. 在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数2y x=的图象与正比例函数y mx =的图象交于A ，B 两点，点A 的坐标为（1，a ），则点B 的坐标为______.15. 如图，点M 在正六边形的边EF 上运动. 若ABM x ∠=，写出一个符合条件的x 的值 ．16. 某陶艺工坊有A 和B 两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品. 两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如下表所示.烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品.某批次共生产了10个大尺寸陶艺品，50个中尺寸陶艺品，76个小尺寸陶艺品. （1）烧制这批陶艺品，A 款电热窑至少使用_______次；（2）若A 款电热窑每次烧制成本为55元，B 款电热窑烧每次烧制成本为25元，则烧制这批陶艺品成本最低为________元.三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17. 计算：()112023π82cos 452−⎛⎫−++− ⎪⎝⎭.18. 解不等式组：22135.2x x x x +<−⎧⎪⎨−<⎪⎩，19. 已知2210x x +−=，求代数式()()22123x x +−−的值.MDCBAO20. 下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.21．如图，在四边形ABCD =∠C =90°，过点B 作BE ∥AD 交CD于点E ，点F 为AD 边上一点，AF =BE ，连接EF . （1）求证：四边形ABEF 为矩形； （2）若AB =6，BC =3，CE =4，求ED 的长.22. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象过点（1，3），（2，2）． （1）求这个一次函数的解析式；（2）当2x >时，对于x 的每一个值，一次函数y mx =的值大于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围．FEDCBA23. 如图，AB 为☉O 的直径，C 为☉O 上一点，D 为BC 的中点，DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E .（1）求证：直线DE 为☉O 的切线；（2）延长AB ，ED 交于点F . 若BF =2，sin ∠AFE =13，求AC 的长.24. 某小组对当地2022年3月至10月西红柿与黄瓜市场价格进行调研，经过整理、描述和分析得到了部分信息.a . 西红柿与黄瓜市场价格的折线图：b . 西红柿与黄瓜价格的众数和中位数：（1）m= ，n = ；（2）在西红柿与黄瓜中， 的价格相对更稳定；（3）如果这两种蔬菜的价格随产量的增大而降低，结合题中信息推测这两种蔬菜在月的产量相对更高.25. “兔飞猛进”谐音成语“突飞猛进”.在自然界中，野兔善于奔跑跳跃，“兔飞猛进”名副其实. 野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分. （1）建立如图所示的平面直角坐标系.B A通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x （单位：m ）与竖直高度y （单位：m ）进行的测量，得到以下数据：① 野兔本次跳跃的最远水平距离为 m ，最大竖直高度为 m ； ② 求满足条件的抛物线的解析式；（2）已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃的最远水平距离为3m ，最大竖直高度为1m.若在野兔起跳点前方2m 处有高为0.8m 的篱笆，则野兔此次跳跃______（填“能”或“不能”） 跃过篱笆.26．在平面直角坐标系xOy 中，点0()A x m ,，0(4)B x n +,在抛物线221y x bx =−+上.（1）当5b =，03x =时，比较m 与n 的大小，并说明理由；（2）若对于034x ≤≤，都有m <n <1，求b 的取值范围.27. 如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，BE=CF ，AE ，BF 交于点G . （1）求∠AGF 的度数；（2）在线段AG 上截取MG=BG ，连接DM ，∠AGF 的角平分线交DM 于点N .① 依题意补全图形；② 用等式表示线段MN 与ND 的数量关系，并证明.备用图28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （m ，n ），我们称直线y ＝mx ＋n 为点P 的关联直线. 例如，点P（2，4）的关联直线为y ＝2x ＋4. （1）已知点A （1，2）① 点A 的关联直线为____________；② 若⊙O 与点A 的关联直线相切，则⊙O 的半径为_________； （2）已知点C （0，2），点D （d ，0）. 点M 为直线CD 上的动点.① 当d =2时，求点O 到点M 的关联直线的距离的最大值；② 以T （﹣1，1）为圆心，3为半径的⊙T . 在点M 运动过程中，当点M 的关联直线与⊙T 交于E ，F 两点时， EF 的最小值为4，请直接写出d 的值.FD CBA G FEDCBA参考答案第一部分 选择题一、选择题 （共16分，每题2分）二、填空题（共16分，每题2分） 9．5x ≥10．()22b a+11．3x =12．16.41314．(12−−，) 15．35（答案不唯一） 16．2，135三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．（本题满分5分）解：原式12=++………………………………………………………………4分3=+ ………………………………………………………………………5分18．（本题满分5分）解：原不等式组为221 35. 2x x x x +<−⎧⎪⎨−<⎪⎩，①② 解不等式①，得3x >． …………………………………………………………2分 解不等式②，得5x <． …………………………………………………………4分 ∴ 原不等式组的解集为35x <． ……………………………………………5分19．（本题满分5分）解：原式=244126x x x ++−+ ……………………………………………………2分 =2427x x ++． ………………………………………………………………3分∵ 2210x x +−=，∴ 221x x +=． …………………………………………………………………4分 ∴ 原式 =22(2)7x x ++=9． ……………………………………………………………………5分20．（本题满分5分）方法一证明：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∴ AC ⊥BD ． ∵ CD ＝BC ，∴ AB =AD ．……………………………………2分 ∵ ∠BAC ＝30°，∴ ∠B ＝90°−∠BAC ＝60°．………………3分 ∴ △ABD 是等边三角形．…………………4分 ∴ AB ＝BD ．D CBA∴ 1122BC BD AB ==．…………………………………………………………5分方法二证明：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，∴ ∠B ＝90°−∠BAC ＝60°. …………………1分 ∵ BD ＝BC ，∴ △BCD 是等边三角形. ……………………2分 ∴ ∠BDC ＝60°，BD ＝CD.∴ ∠DCA ＝∠BDC −∠A ＝30°＝∠A.∴ CD ＝AD. ………………………………………………………………………4分 ∴ AD ＝BD ＝BC.∴ 12BC AB =. …………………………………………………………………5分 21. （本题满分6分）（1）证明：∵ BE ∥AD 且AF =BE ，∴ 四边形ABEF 为平行四边形. …………………………………………2分 ∵ ∠A =90°，∴ 四边形ABEF 为矩形. …………………………………………………3分（2）解：∵ 四边形ABEF 为矩形，AB =6，∴ ∠AFE =90°，EF =AB =6.在△BCE 中，∠C =90°，BC =3，CE =4，∴ BE…………………………………………………4分 ∴ sin ∠BEC =BC BE =35. ∵ BE ∥AD ， ∴ ∠BEC =∠D . ∴ sin D =sin ∠BEC =35. 在△EFD 中，∠EFD =180°−∠AFE =90°， ∴ DE =sin EFD=10. ………………………………………………………6分 22．（本题满分5分）（1）解：∵ 一次函数y kx b =+的图象过点（1，3），（2，2），∴ 32 2.k b k b +=⎧⎨+=⎩，………………………………………………………………2分解得14.k b =−⎧⎨=⎩，∴ 这个一次函数的解析式为4y x =−+． …………………………………3分（2）1m ≥． ……………………………………………………………………………5分 23．（本题满分6分）（1）证明：连接OD ，AD.∵ 点D 是BC 的中点， ∴ BD CD =.DCBAFDC BAA∴ ∠BAD ＝∠CAD. ………………………………………………………1分 ∵ OA ＝OD ， ∴ ∠OAD ＝∠ODA. ∴ ∠CAD ＝∠ODA.∴ OD ∥AC. ………………………………………………………………2分 ∵ DE ⊥AC ， ∴ ∠E ＝90°，∴ ∠ODE ＝180°−∠E ＝90°. ∵ 点D 为⊙O 上一点，∴ 直线DE 是⊙O 的切线. ………………………………………………3分（2）解：连接BC.设OA ＝OB ＝OD ＝r. ∵ BF ＝2，∴ OF ＝OB ＋BF ＝r ＋2. 在△ODF 中，∠ODF ＝90°， ∴ sin 13AFE OD OF ==∠. 即123r r =+，解得r ＝1. …………………………………………………4分∴ AB ＝2r ＝2. ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠ACB ＝90°＝∠E. ∴ BC ∥EF . ∴ ∠ABC ＝∠AFE.∴ sin sin 13ABC ∠∠＝＝.∴ sin 23AC AB ABC ⋅∠＝＝. ………………………………………………6分24．（本题满分6分）（1）6.5，6； ……………………………………………………………………………2分 （2）西红柿； ……………………………………………………………………………4分 （3）6． ……………………………………………………………………………………6分 25．（本题满分5分）（1）① 2.8，0.98； ………………………………………………………………………2分② 由题意可知，抛物线的顶点为（1.4，0.98）.∴ 设抛物线解析式为2( 1.4)0.98y a x =−+. ………………………………3分 ∵ 当x ＝0时，y ＝0，∴ 20(0 1.4)0.98a =−+，解得 0.5a =−.∴ 抛物线的解析式为20.5( 1.4)0.98y x =−−+. ……………………………4分（2）能. ……………………………………………………………………………………5分 26.（本题满分6分）（1）m =n . …………………………………………………………………………………1分理由如下：FA∵ b =5，∴ 抛物线解析式为y =x 2−10x +1， ∴ 对称轴为x =5. ∵ x 0=3，∴ A （3，m ），B （7，n ）关于直线x =5对称.∴ m =n . ………………………………………………………………………………2分 （2）当03x =时，∵ ()0A x m ，，()04B x n +，在抛物线221y x bx =−+上， ∴ 106m b =−，5014n b =−. ∵ 1m n <<， ∴ 10650141b b −<−<.∴752b <<. 当04x =时，∵ ()0A x m ，，()04B x n +，在抛物线221y x bx =−+上， ∴ 178m b =−，6516n b =−. ∵ 1m n <<，∴ 17865161b b −<−<. ∴ 46b <<.∵ 对于034x ≤≤，都有1m n <<， ∴ 45b <<. 当45b <<时，设点()04x n +，关于抛物线的对称轴x b =的对称点为()1x n ，， ∵ 点()04x n +， ∴ 点()1x n ，在抛物线上.由014x b b x +−=−，得1024x b x =−−. ∵ 034x ≤≤，45b <<， ∴ 103x <<.∵ 抛物线221y x bx =−+， ∴ 抛物线与y 轴交于（0，1）. 当x b <时，y 随x 的增大而减小.∵ 点（0，1），()1x n ，，()0x m ，在抛物线上，且100x x b <<<， ∴ 1m n <<.综上所述，45b <<. ………………………………………………………………6分27.（本题满分7分）（1）∵ 四边形ABCD 是正方形， ∴ AB =BC ，∠ABE =∠BCF =90°. 又∵ BE =CF ，∴ △ABE ≌△BCF （SAS ）. ………………………………………………………1分∴ ∠BAE =∠FBC .∵ ∠FBC +∠ABG =90°，∴ ∠BAE +∠ABG =90°.∴ ∠AGF =90°. …………………………………………………………………2分 （2）① 依题意补全图形.…………………………………………………………………………………3分② 线段MN 与ND 的数量关系为MN =ND . …………………………………4分 证明：过点A 作AH ⊥AE 交GN 延长线于点H ，连接DH .∵ ∠AGF =90°，GN 平分∠AGF ，∴ ∠AGN =12∠AGF =45°. ∵ AH ⊥AE ， ∴ ∠GAH =90°. ∴ ∠AHG =∠AGH =45°. ∴ AG =AH . ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ ∠BAD =90°，AB =AD .∵ ∠GAH =90°，∴ ∠BAG =∠DAH .∴ △BAG ≌△DAH （SAS ）.∴ BG =DH ，∠AHD =∠AGB =90°.∵ BG =GM ，∠AHG =45°，∴ GM =DH ，∠DHN =∠NGM =45°.∵ ∠HND =∠GNM ，∴ △HND ≌△GNM （AAS ）. ∴ MN =ND . ……………………………………………………………7分28.（本题满分7分）（1）① y =x +2；……………………………………………………………………………1分② √2； ……………………………………………………………………………2分（2）① 当d =2时，直线CD 过点（0，2），（2，0），∴ 直线CD 解析式为y =−x +2.MNGF E D C B AH MNGF E D CB A∵ 点M 在直线CD 上，∴ 设M 点坐标为（m ，−m +2）.∴ 点M 的关联直线为l ：y =mx −m +2.∴ 直线l 过定点H （1，2），则OH =∵ 点O 到直线l 的距离h OH ≤，∴ h ≤，当OH ⊥l ，即12m =−时，h =∴ 点O 到点M …………………………5分 ② d =2或d =23−. …………………………………………………………………7分。