2014年湖南高考文科数学试卷

2014年湖南省长沙市一中高考数学一模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知集合A={y|y=，x＞}，B={y|y=2x，x＜0}，则A∩B=（）A.{y=|1＜y＜2}B.{y|0＜y＜}C.{y|0＜y＜1}D.∅【答案】C【解析】【分析】本题考查交集运算，分别求解分式函数和指数函数的值域求出集合A，B，然后直接利用交集运算得答案．【解答】解：由y=，x＞，得0＜y＜2，∴A={y|y=，x＞}={y|0＜y＜2}；又B={y|y=2x，x＜0}={y|0＜y＜1}．∴A∩B={y|0＜y＜1}．故选C．2.复数1-i与1+bi的积是实数，则实数b的值是（）A.0B.1C.-1D.±1【答案】B【解析】解：复数（1-i）（1+bi）=1+b+（b-1）i是实数，∴b-1=0，解得b=1．故选：B．利用复数的运算法则、复数为实数的充要条件即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．3.表提供了某厂节能降低技术改造后产生甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据．根据表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程的值为（）A.0.35B.0.3C.0.4D.0.5【答案】A【解析】解：设x，y的样本平均值分别为：，，则==4.5，==3.5．∴样本中心点为（4.5，3.5），代人线性回归直线方程，得3.5=0.7×4.5+a，∴a=0.35，故选：A．首先，设x，y的样本平均值分别为：，，求解得到==4.5，==3.5．得到样本中心点为（4.5，3.5），然后，将此代人方程，求解即可．本题重点考查了平均值的计算、线性回归直线方程及其求解等知识，属于中档题．4.如图，改程序框图的作用是输入x的值，输出相应的y值．若输入的x的值与输出的y值相等，则这样的x的值有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】解：这是一个用条件分支结构设计的算法，＜该程序框图所表示的算法的作用是求分段函数y=的函数值，当x＜0时，令-x2=x，得x=-1；当0≤x时，令=x，得x=0或者1；故只有3个值符合题意．故选：C．根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是求分段函数的函数值．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．5.已知向量a=（1，1），b=（-2，2），则向量a与a-b的夹角余弦值为（）A. B.- C.- D.【答案】D【解析】解：∵=（1，1），=（-2，2）∴=（3，-1）∴=1×3+1×（-1）=2=，||=设向量与的夹角为θ由向量的夹角公式可得，cosθ===故选D由已知向量的坐标可求出的坐标，结合向量数量积的定义及性质可求，，||，然后结合向量的夹角公式可得，cosθ=可求本题主要考查了向量的夹角公式的坐标表示，解题的关键是熟练应用基本公式6.双曲线C的离心率为，且与椭圆+=1有公共焦点，则双曲线C的方程为（）A.x2-=1B.-y2=1C.y2-=1D.-x2=1【答案】B【解析】解：∵椭圆+=1的焦点是F1（-，0），，，双曲线C的离心率为，且与椭圆+=1有公共焦点，∴设双曲线方程为，且，解得a=2，c=，b==1，∴双曲线方程为．故选：B．由已知条件，先求出椭圆的焦点，于是得到双曲线的焦点，再由双曲线的离心率，能求出双曲线方程．本题考查双曲线方程的求法，解题时要认真审题，要熟练掌握椭圆和双曲线简单性质．7.下列命题正确的是（）A.若a＞b＞1，c＜0，则a e＞b eB.若|a|＞b，则a2＞b2C.∃x0∈R，x0+=1D.若a＞0，b＞0且a+b=1，则+的最小值为4【答案】D【解析】解：若a＞b＞1，c＜0，由幂函数在幂指数小于0时在第一象限为减函数得a c＜b c，A 错误；若|a|＞b，则a2＞b2错误，如a=0，b=-2满足|0|＞-2，但02＜（-2）2，B错误；∵（x＞0）或（x＜0），∴∃x0∈R，x0+=1错误；若a＞0，b＞0且a+b=1，则+=（a+b）（+）=2+（）≥4，当且仅当a=b时等号成立，D正确．故选：D．利用不等式的性质逐一核对四个选项得答案．本题考查了命题的真假判断与应用，考查了不等式的性质，是基础题．8.函数f（x）=x3-2cx2+c2x在x=2处有极大值，则常数c的值为（）A.2B.-2C.6D.2或6【答案】C【解析】解：f′（x）=3x2-4cx+c2，∵函数f（x）=x3-2cx2+c2x在x=2处有极大值，∴f′（2）=3×22-4c×2+c2=0，解得c=2或6．当c=2时，f′（x）=3x2-8x+4=（3x-2）（x-2），在x=2处取得极小值，不符合题意，应舍去；当c=6时，f′（x）=3x2-24x+36=3（x-2）（x-6），在x=2处取得极大值，符合题意，因此c=6．故选C．由题意可得f′（2）=0，解出c的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件．熟练掌握函数在某一点取得极大值的充分条件是解题的关键．9.设α为锐角，且cos（α+）=，则sin（α-）的值为（）A.-B.-C.D.【答案】D【解析】解：由已知，sin（α-）=sin[-（α+）]=cos（α+）=．故选D．利用（α-）=-（α+），则sin（α-）=sin[-（α+）]=cos（α+）=．本题考查了三角函数诱导公式的运用求三角函数值，关键是角的等价变换．10.已知f（x）=，若a，b，c，d是互不相同的四个正数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是（）A.（21，25）B.（21，24）C.（20，24）D.（20，25）【答案】B【解析】解：先画出f（x）=的图象，如图：∵a，b，c，d互不相同，不妨设a＜b＜c＜d．且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），3＜c＜4，d＞6．∴-log3a=log3b，c+d=10，即ab=1，c+d=10，故abcd=c（10-c）=-c2+10c，由图象可知：3＜c＜4，由二次函数的知识可知：-32+10×3＜-c2+10c＜-42+10×4，即21＜-c2+12c＜24，∴abcd的范围为（21，24）．故选：B．图象法：画出函数y=f（x）的图象，根据图象分析a，b，c，d的关系及取值范围，从而求出abcd的取值范围．本题考查了利用函数图象分析解决问题的能力，以及对数函数图象的特点，注意体会数形结合思想在本题中的运用．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．已知直线l的参数方程为：（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ，则直线l被圆C所截得的弦长为______ ．【答案】2【解析】解：根据直线l的参数方程：（t为参数），得x+y-4=0，根据圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ，得x2+y2-4y=0，∴x2+（y-2）2=4，∴圆心为（0，2），半径为2，圆心到直线的距离为d==，弦长为2=2．故答案为：2．首先，将给定的直线参数方程化为普通方程，将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，然后，根据直线被圆截得的弦长公式进行求解．本题重点考查了直线参数方程，圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系、弦长公式等知识，属于中档题．12.从{1，2，3，4}中随机选一个数a，从{1，2，3}中随机选取一个数b，则b＞a的概率是______ ．【答案】【解析】解：从{1，2，3，4}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，共有4×3=12种方法，若b＞a，则b=3时，a=1或2，b=2时，a=1，共有3种，则则b＞a的概率是，故答案为：．根据古典概型的概率公式进行计算即可得到结论．本题主要考查古典概型的概率的计算，求出满足条件的个数是解决本题的关键．13.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是______ ．【答案】16【解析】解：如图所示，该几何体为四棱锥P-ABCD，平面PAD⊥侧面ABCD，侧面ABCD是边长为4正方形，PA=PD，OA=OD，PO=3．∴该几何体的体积V===16．故答案为：16．如图所示，该几何体为四棱锥P-ABCD，平面PAD⊥侧面ABCD，侧面ABCD是边长为4正方形，PA=PD，OA=OD，PO=3．利用四棱锥的体积计算公式即可得出．本题考查了四棱锥的三视图、四棱锥的体积计算公式，属于基础题．14.已知数列{a n}满足a n=n•sin（），（n∈N*），则a1+a2+…+a250= ______ ．【答案】125【解析】解：由a n=n•sin（），得，，，，∴a1+a2+a3+a4=-2，则a1+a2+…+a250=62（a1+a2+a3+a4）+a249+a250=62×（-2）+249=125．故答案为：125．由数列的通项公式求得数列的前4项的和为-2，且每一个4项的和均为-2，由此求得答案．本题考查了数列的求和，关键是对数列规律的发现，是中档题．15.定义函数f（k）表示k的最大奇因数，例如：f（1）=1，f（2）=1，f（3）=3，f （4）=1．（1）f（1）+f（3）+f（5）+…+f（2n-1）= ______ ．（2）f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2n）= ______ ．【答案】n2；4n+【解析】解（1）由题意，f（1）+f（3）+f（5）+…+f（2n-1）=1+3+5+…+2n-1=n2，（2）记S n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2n），则S n-1=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2n-1）；S n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2n）=f（1）+f（3）+…+f（2n-1）+[f（2）+f（4）+…+f（2n）]=1+3+5+…+2n-1+[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2n-1）]=4n-1+S n-1，故S n-S n-1=4n-1；则S n=（S n-S n-1）+（S n-1-S n-2）+…+（S2-S1）+S1=4n-1+4n-2+4n-3+…+4+2=4n+．故答案为：n2，4n+．（1）由题意，f（1）+f（3）+f（5）+…+f（2n-1）=1+3+5+…+2n-1=n2，（2）记S n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2n），从而可推出S n=4n-1+S n-1，从而求出S n-S n-1=4n-1；从而可得S n=（S n-S n-1）+（S n-1-S n-2）+…+（S2-S1）+S1=4n-1+4n-2+4n-3+…+4+2=4n+．本题考查了合情推理的应用及等差、等比数列的应用，属于中档题．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.为了解某班学生喜欢打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如表的列联表：（1）用分层抽样的方法在喜欢打篮球的学生中抽6人，其中应抽取女生多少人？（2）根据以上列联表，问：有多大把握认为是否喜欢打篮球与性别有关．附：k2=临界值表：【答案】解：（1）由题意得，用分层抽样的方法在喜欢打篮球的学生中抽6人，其中应抽取女生×6=2；故应抽取女生2人；（2）k=≈8.333；P（K2≥7.879）=0.005；故有99.5%的把握认为喜欢打篮球与性别有关．【解析】（1）由题意得，用分层抽样的方法在喜欢打篮球的学生中抽6人，其中应抽取女生×6=2；（2）利用公式k2=求k，查表可得．本题考查了分层抽样的应用及独立性检验的应用，属于基础题．17.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c•sin A+a•cos C=0．（1）求角C的大小；（2）若a=8，b=5，D为AB的中点，求CD的长度．【答案】解：（1）已知等式利用正弦定理化简得：sin C sin A+sin A cos C=0，∵sin A≠0，∴sin C+cos C=0，即tan C=-，∵C为三角形内角，∴C=120°；（2）延长CD到E，使DE=CD，则CE=2CD，连接AE，∵CD为△ABC的中线，∴AD=BD，∵∠ADE=∠BDC，∴△BCD≌△AED，∴AE=BC=a=8，∠AED=∠BCD，CD=ED，∴∠AED+∠ACD=∠BCD+∠ACD=∠ACB=120°，∴∠CAE=180°-（∠AED+∠ACD）=180°-120°=60°，在△ACE中，由余弦定理得：CE2=AC2+BC2-2AC•BC•cos∠CAE=25+64-40=49，解得：CE=7，则CD=CE=3.5．【解析】（1）已知等式利用正弦定理化简，由sin A不为0，求出tan C的值，即可确定出C的度数；（2）延长CD到E，使DE=CD，则CE=2CD，连接AE，再由CD为中线，得到AD=BD，以及对顶角相等，利用SAS得到三角形CBD与三角形EAD全等，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到AE=BC=a=8，∠AED=∠BCD，进而求出∠CAE的度数，在三角形ACE中，利用余弦定理求出CE的长，即可求出CD的长．此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．18.如图，E是以AB为直径的半圆O上异于点A，B的点，边长为4的正方形ABCD所在的平面垂直于该半圆所在的平面．（1）求证：EB⊥ED；（2）若平面ECD与半圆弧的另一个交点为F．（Ⅰ）证明：EF∥AB；（Ⅱ）若EF=2，求三棱锥E-BFC的体积．【答案】（1）证明：∵E是半圆上异于A，B的点，∴AE⊥BE，又∵平面ABCD⊥平面ABE，且AD⊥AB，由面面垂直性质定理得AD⊥平面ABE，又BE⊂平面ABE，∴AD⊥BE，∵AD∩AE=A，∴BE⊥平面ADE，又DE⊂平面ADE，∴EB⊥ED．（4分）（2）（Ⅰ）证明：∵CD∥AB，且CD⊄平面ABE，AB⊂平面ABE，∴CD∥平面ABE，又∵平面CDE∩平面ABE=EF，∴根据线面平行的性质定理得CD∥EF，又CD∥AB，∴EF∥AB．（8分）（Ⅱ）解：∵EF=2，取AB中点O，EF的中点O′，∴在R t△OO′F中，OF=2，O′F=1，∴OO′=，∵BC⊥面ABE，AD∥BC∴AD⊥平面ABE∴V E-ADF=V D-AEF=S△AEF•AD=וEFEF•OO′•AD==．∴三棱锥E-BEC的体积为．（12分）【解析】（1）由圆的性质得AE⊥BE，由面面垂直性质定理得AD⊥平面ABE，从而AD⊥BE，进而BE⊥平面ADE，由此能证明EB⊥ED．（2）（Ⅰ）由CD∥AB，得CD∥平面ABE，根据线面平行的性质定理得CD∥EF，又CD∥AB，由此能证明EF∥AB．（Ⅱ）取AB中点O，EF的中点O′，由V E-ADF=V D-AEF，利用等积法能求出三棱锥E-BEC 的体积．本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与直线平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19.已知等差数列{a n}的前9项和为153．（1）数列{a n}中是否存在确定的项？若存在，求出该确定的项，若不存在，请说明理由．（2）若a2=8，从数列{a n}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，按原来的顺序构成新数列{b n}，求数列{b n}的前n项和T n，并求使m•（a n-2）＜T n+6恒成立的最大正整数m．【答案】解：（1）∵等差数列{a n}的前9项和为153，∴=9a5=153，解得a5=17．∴数列{a n}中存在确定的项a5=17．（2）∵a2=8，a5=17，∴=3，a n=8+（n-2）×3=3n+2，∴=3×2n+2，T n=a2+a4+a8+…+a=3（2+4+8+…+2n）+2n=3×+2n=3•2n+1+2n-6．∵m•（a n-2）＜T n+6，∴m＜-．∴当n=1或n=2时，m＜4-=，∴使m•（a n-2）＜T n+6恒成立的最大正整数m=3．【解析】（1）=9a5=153，由此能求出数列{a n}中存在确定的项．（2）由a2=8，a5=17，得a n=3n+2，利用分组求和法能求出T n=3•2n+1+2n-6，由此能求出使m•（a n-2）＜T n+6恒成立的最大正整数m．本题考查数列中是否存在确定的项的判断与求法，考查使m•（a n-2）＜T n+6恒成立的最大正整数m的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．20.已知函数f（x）=ax-e x，（a＞0）（1）若a=1，求函数f（x）在x=1处的切线方程；（2）求证：对任意的a∈[1，e+1]，f（x）≤x恒成立．【答案】解：（1）当a=1，则f（x）=x-e x，则f′（x）=x-e x，f′（1）=1-e，f（1）=1-e，故函数x=1处的切线方程为y-（1-e）=（1-e）（x-1），即y=（1-e）x．（2）若f（x）≤x恒成立，即ax-e x≤x恒成立，即证ax-x-e x≤0即可，设g（a）=ax-x-e x，若x=0，则g（a）=-1≤0成立，若x≥0，则当a∈[1，e+1]时，函数g（a）单调递增，此时函数的最大值g（e+1）=（e+1）x-x-e x=ex-e x，设h（x）=ex-e x，则h′（x）=e-e x，由h′（x）＜0，解得x＞1，由h′（x）＞0，解得0≤x＜1，即当x=1时，函数h（x）取得极大值，h（1）=e-e=0，故当x≥0时，h（x）≤h（1）=e-e=0，g（e+1）=ex-e x≤0成立，若x＜0，则a∈[1，e+1]时，函数g（a）单调d递减，此时函数的最大值g（1）=x-x-e x=-e x ＜0，综上（a）=ax-x-e x≤0成立，即任意的a∈[1，e+1]，f（x）≤x恒成立．【解析】（1）若a=1，求函数的导数利用导数的几何意义即可求函数f（x）在x=1处的切线方程；（2）对任意的a∈[1，e+1]，f（x）≤x恒成立．转化为以a为参数的函数，利用函数的单调性进行求解即可．本题主要考查函数的切线求解，综合考查导数是几何意义的应用，利用参数转化法是解决本题的关键．21.已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）过点（1，）且离心率为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 上一点P 向圆O ：x 2+y 2=r 2，（r ＞0）引两条切线，切点分别为A ，B （Ⅰ）若存在点P 使∠APB=60°，求r 的最大值；（Ⅱ）在Ⅰ的条件下，过x 轴上一点（m ，0）做圆O 的切线l ，交椭圆C 于M ，N 两点，求|MN|的最小值．【答案】解：（1）∵椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）过点（1，）且离心率为．∴，解得a =2，b =1，c = ． ∴椭圆C 的标准方程为=1．（2）（I ）设P （2cos θ，sin θ）． 如图所示，连接OA ，OB ，OP ．∵OA ⊥AP ，OB ⊥BP ．∠APB=60°， ∴∠AOP=60°，∠APO=30°．∴r =|OP|===1， ∴r 的最大值是1．（II ）当直线l 的斜率不存在时，切线l 的方程为：x =±1．代入椭圆方程可得，此时|MN|= ．当直线l 的斜率存在时，设切线l 的方程为：y =k （x -m ），（k ≠0，|m |＞1），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）． 则r = =1．可得1+k 2=k 2m 2． 联立，化为（1+4k 2）x 2-8k 2mx +4k 2m 2-4=0． △=64k 4m 2-4（1+4k 2）（4k 2m 2-4）=16（1+4k 2-k 2m 2）＞0． ∴x 1+x 2=，．∴|MN|=====．设k2=t＞0，令f（t）=，f′（t）==，可知：当t=时，f（t）取得最大值4，∴|MN|取得最大值2．当t→+∞时，f（t）→0，|MN|→．综上可得：|MN|的最小值为．【解析】（1）由于椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（1，）且离心率为．可得，解得即可．（2）（I）设P（2cosθ，sinθ）．如图所示，连接OA，OB，OP．由于OA⊥AP，OB⊥BP．∠APB=60°，可得r=|OP|==，即可得出．（II）当直线l的斜率不存在时，切线l的方程为：x=±1．代入椭圆方程可得|MN|=．当直线l的斜率存在时，设切线l的方程为：y=k（x-m），（k≠0，|m|＞1），M（x1，y1），N（x2，y2）．利用直线与圆的相切性质可得r==1.1+k2=k2m2．直线方程与椭圆方程联立可得（1+4k2）x2-8k2mx+4k2m2-4=0．△=16（1+4k2-k2m2）＞0．利用根与系数的关系可得|MN|==．设k2=t＞0，令f（t）=，利用导数研究其单调性可得：当t=时，f（t）取得最大值4，|MN|取得最大值2．当t→+∞时，f（t）→0，|MN|→．即可得出．本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交相切转化为方程联立可得△≥0及根与系数的关系、弦长公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2014 年全国一般高等学校招生一致考试文科数学（新课标 1 ）? 1．已知会合M x | 1 x 3 , N x | 2 x 1，则M I N（）A.( 2,1)B.( 1,1)C.(1,3)D.(2,3)2．若tan0 ，则A.sin0B.cos0C.sin 20D.cos20 3．设z1i ，则 | z |1iA. 1B.2C.3D. 2 2224．已知双曲线x2y21(a 0) 的离心率为2，则 a a23A. 2B.6C.5D. 1225．设函数f ( x), g( x)的定义域为R，且f ( x)是奇函数，g( x)是偶函数，则以下结论中正确的选项是A. f (x)g ( x)是偶函数B.| f ( x) | g( x)是奇函数C. f ( x) | g (x) |是奇函数D.| f ( x) g( x) | 是奇函数6．设D , E, F分别为ABC 的三边BC ,CA, AB的中点，则EB FCA. ADB.1 AD C.1BC D.BC227．在函数①y cos | 2x |，② y | cos x |，③ y cos(2x) ,④ y tan(2 x) 中，最小正64周期为的所有函数为A. ①②③B.①③④C.②④D.①③8．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A. 三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱9．履行右边的程序框图，若输入的a,b,k 分别为1,2,3，则输出的 M( )A. 20B.7C.16D.15 325810．已知抛物线 C：y 2x的焦点为F,Ax0, y0是 C上一点，AF5，则x04 x0（）11．已知函数 f ( x)ax33x21，若 f ( x) 存在独一的零点x0，且 x00 ，则 a 的取值范围是（A）2,（B）1,（C）, 2（D）, 112．设x，y知足拘束条件x y a,且 z x ay 的最小值为7，则ax y1,（A）-5（B）3（C）-5或3（D）5或-313．将 2 本不一样的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为 ________.14．甲、乙、丙三位同学被问到能否去过 A 、 B 、 C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________.e x 1 , x1,15．设函数f x1则使得 f x 2 建立的x的取值范围是________.x3 , x1,16．如图，为丈量山高MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为丈量观察点.从A 点测得M 点的仰角MAN60 ， C 点的仰角CAB45 以及MAC75 ；从 C 点测得MCA60 .已知山高BC100m，则山高MN________m .17．已知a n是递加的等差数列，a2， a4是方程 x25x 60 的根。

2014年湖南省某校高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A={x|x2−3x<0}，B={x|log3(x−1)<1}，则下列结论中正确的是（）A 2∈A∩B且1∈A∪B B 2∈A∩B且1∉A∪BC 2∉A∩B且1∈A∪BD 2∉A∩B且1∉A∪B2. 某同学为了研究学生的性别与是否支持某项活动的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，已知样本的观测值K2=7.28，临界值如下表所示：则有多大把握认为“学生的性别与支持这项活动有关系”（）A 99.9%B 99.5%C 99.3%D 99%”是“点M在第四象3. 设复数z=(1−2i)(a+i)(a∈R)在复平面内对应的点为M，则“a>25限”的什么条件（）A 充分不必要B 必要不充分C 充分且必要D 既不充分也不必要4. 执行如图所示的程序框图，若输入a1=2，a2=0，a3=1，a4=4，则计算机输出的结果是（）A 2B 0C 1D 4)的图象是由函数y=sinx的图象经过，下列哪两次变换而得到的5. 函数y=sin(2x+π3（）A 先将y=sinx图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，再将所得图象向左平移π个单3位 B 先将y=sinx的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再将所得图象向左平衡π3个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短到个单位 C 先将y=sinx的图象向左平移π3原来的一半 D 先将y=sinx的图象向左平移π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩3短到原来的2倍6. 某个几何体的三视图如图所示，其中侧视图是由一个边长为a 的正三角形和底边上的高组成，俯视图是正三角形，则该几何体的体积为（ ）A a 38B a 34C a 32D a 3 7. 已知等比数列{a n }的各项都为正数，且以a 1+a 2>2a 3，则公比q 的取值范围是（ ）A (0, 12)B (12, 1)C (0, 1)D (1, +∞) 8. 已知两直线l 1:3x −4y +7=0和l 2:x =−1，点P 在抛物线y 2=4x 上运动，则点P 到直线l ，和l 2的距离之和的最小值是（ ）A 2B 115C 125D 3 9. 已知函数f(x)={sinπx(0≤x ≤1)log 2014x(x >1)，若a 、b 、c 互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则a +b +c 的取值范围是（ ）A (1, 2014)B (1, 2015)C (2, 2015)D [2, 2015]10. 在△ABC 中，∠BAC =120∘，|AB →|=2，|AC →|=1，点P 满足BP →=λBC →(0≤λ≤1)，则BP →2−AP →⋅BC →的取值范围是（ ）A [14, 3]B [12, 5]C [−2, 154]D [134, 5]二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把备题答案的最简形式写在题中的横线上， 11. 将某组样本数据按[7.5, 8.5),[8.5, 9.5),[9.5, 10.5]分成3组，其频率分布直方图如图所示，由此估计这组样本数据的中位数是________．12. 已知某圆锥曲线C 的极坐标方程为ρ2=121+2cos2θ，则曲线C 的离心率为________．13. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3+a 5=4，a 6=10，且S n =80，则n =________．14. 对满足不等式组{x ≥1x +y −4≤0x −y ≤0的任意实数x ，y ，若存在实数k ，使得y −kx =1，则k的取值范围是________．15. 对于函数f(x)，若存在常数T 和S(T >0, S ≠0)，使当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x +T)=f(x)+S 成立，则函数f(x)称为“类周期函数”，T 叫做“类周期”．设g(x)是定义在R 上以1为周期的周期函数ℎ(x)=2x +g(x)，则（1）ℎ(x)是类周期函数，当类周期T =1时，S =________；（2）若当x ∈[3, 4]时，ℎ(x)的值域为[2, 8]，则当x ∈[0, 1]时，ℎ(x)的值域为________．三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16. 已知函数f(x)=2sinωx(√3cosωx −sinωx)+1(ω>0)的最小正周期为3π（1）求不等式f(x)>1的解集；（2）在△ABC 中，若f(C)=2，且3sin 2A =cosB −sin(B −C)，求sinA 的值．17. 已知二次函数f(x)=ax 2−4bx +2．（1）任取以a ∈{1, 2, 3}，b ∈{−1, 1, 2, 3, 4}，记“f(x)在区间[1, +∞)上是增函数”为事件A ，求A 发生的概率；（2）任取(a, b)∈{(a, b)|a +4b +2≤0, b >0}，记“关于x 的方程f(x)=0有一个大于1的根和一个小于1的根”为事件B ，求B 发生的概率．18. 如图，在平行四边形ABCD 中，AB =2AD ，∠BAD =60∘，E 为AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 折起到△PDE 的位置，使平面PDE ⊥平面BCDE ．（1）证明：平面PCE ⊥平面PDE ；（2）设F 、M 分别为PC 、DE 的中点，求直线MF 与平面PDE 所成的角．19. 如图，某园林公司计划在一块半径为定值R （单位：优）的半圆形土地上种植花木、草皮，其中弓形CMD 区域用于种植花草样品供人观赏，△OCD （O 为圆心）区域用于种植花木出售，扇形OAĈ和OBD ̂区域用于种植草皮出售．已知在一个种植周期内，种植花木的利润是48元/m 2，种植草皮的利A 润是18元/m 2，样品观赏地的维护费用是12元/m 2．（1）若∠COD =π6，求样品观赏地的维护费用；（2）园林公司应如何设计∠COD 的大小，才能在这块土地上获取最大收益？20. 设M 为曲线C 上任意一点，F(l, 0)为定点，已知点M 到直线x =4的距离等于2|MF|．（1）求曲线C 的方程；（2）设直线l 是圆x 2+y 2=2的任意一条切线，且与曲线C 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点．试推断是否存在直线l ，使OA →⋅OB →=1？若存在，求出直线z 的方程；若不存在，请说明理由．21. 已知函数f(x)={−x 3+x 2，x <1alnx,x ≥1，其中a 为实常数，且a ≠0． （1）若a ≤−1，证明：当x ≥1时，f(x)≥(a +2)x −x 2；（2）设0为坐标原点，若在函数y =f(x)的图象上总存在不同两点A ，B ，使OA ⊥OB ，且线段AB的中点在y轴上，求a的取值范围．2014年湖南省某校高考数学二模试卷（文科）答案1. A2. D3. D4. D5. C6. A7. C8. A9. C10. D11. 9.112. 213. 1014. [0, 2]15. （1）2；（2）[−4, 2]．16. 解：（1）∵ f(x)=2sinωx(√3cosωx−sinωx)+1=2√3sinωxcosωx−2sin2ωx+1=√3sin2ωx+cos2ωx=2sin(2ωx+π6 )∴ f(x)=2sin(2ωx+π6)∵ T=2π2ω=3π，∴ ω=13，∴ f(x)=2sin(23x+π6)，∵ f(x)>1，∴ 2sin(23x+π6)>1，∴ 2sin(23x+π6)>12，∴ 2kπ+π6<23x+π6<2kπ+5π6，k∈Z，∴ 3kπ<x<3kπ+π，k∈Z，∴ 不等式f(x)>1的解集{x|3kπ<x<3kπ+π, k∈Z }；（2）∵ f(C)=2，∴ f(C)=2sin(23C +π6)=2， ∴ sin(23C +π6)=1， ∵ C ∈(0, π)，∴ (23C +π6)∈(π6, 5π6)， ∴ 23C +π6=π2，∴ C =π2， ∴ A +B =π2，∴ B =π2−A ，B −C =−A ， ∵ 3sin 2A =cosB −sin(B −C)，∴ 3sin 2A =cos(π2−A)−sin(−A)，∴ 3sin 2A =2sinA ，∵ sinA ≠0，∴ sinA =23． ∴ sinA 的值23．17. 解：（1）∵ a 有三种取法，b 有5种取法，则对应的函数有3×5=15个， ∵ 二次函数f(x)=ax 2−4b +2的图象关于直线x =−b 2a 对称，若事件发生，则a >0，且2b a ≤1，此时(a, b)的取值为(1, −1)，(2, −1)，(2, 1)，(3, −1)，(3, 1)共5种， 故A 发生的概率P(A)=515=13； （2）集合{(a, b)|a +4b +2≤0, b >0}对应的平面区域为Rt △AOB ，如图， 其中A(6, 0)，B(0, 32)，则Rt △AOB 的面积为12×32×6=92， 若事件B 发生，则f(1)<0，即a −4b +2<0，所以事件B 对应的平面区域为△BCD ，由{x +4y −6=0x −4y +2=0，得交点坐标为D(2, 1) 又C(0, 12)，则△BCD 的面积为12×(32−12)×2=1，所以P(B)=2918. （1）证明：∵ AB=2AD，E为AB的中点，∴ AE=AD，∴ ∠BAD=60∘，∴ △ADE为正三角形，∴ ∠AED=60∘，∵ BE=BC，∠CBE=120∘，∴ ∠CEB=30∘，∴ CE⊥DE，∵ 平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE=DE，∴ CE⊥平面PDE，∴ 平面PCE⊥平面PDE；（2）解：取PE中点G，连接FG，则∵ F为PC的中点，∴ FG // CE，∴ FG⊥平面PDE，连接MG，则∠FMG为直线MF与平面PDE所成的角．设AD=2，则GM=12PD=1，在△BCE中，BE=BC=2，∠CBE=120∘，则CE2=4+4−2⋅2⋅2cos120∘=12，∴ CE=2√3，∴ FG=√3．在直角△FGM中，tan∠FMG=FGGM=√3，∴ ∠FMG=60∘，∴ 直线MF与平面PDE所成的角为60∘．19. 解：（1）∵ ∠COD=π6，CO=DO=R，则△OCD的面积为12R2sinπ6=R24，扇形OCMD̂的面积为12⋅π6R2=πR212，∴ 弓形CMD的面积为πR212−R24=π−312R2，∴ 样品观赏地的维护费用为π−312R2×12=(π−3)R2．（2）．设∠COD =θ，单位：弧度，S 扇形=12Rθ，S △OCD =12R 2sinθ，S 弓形=f(θ)=12R 2(θ−sinθ)设总利润为y 元，草皮利润为y 1元，花木地利润为y 2，观赏样板地成本为y 3， ∴ y =y 1+y 2−y 3=18×(12πR 2−12R 2θ)+48×12R 2sinθ−12×12R 2(θ−sinθ)=3R 2[3π−(5θ−10sinθ)]，设g(θ)=5θ−10sinθ，θ∈(0, π)∴ g′(θ)=5−10cosθ，当g′(θ)<0，cosθ>12，g(θ)在(θ,π3)上为减函数； 当g′(θ)>0，cosθ<12，g(θ)在(π3,π)上为增函数． 当θ=π3时，g(θ)取到最小值，此时总利润最大． 所以当园林公司把扇形的圆心角设计成π3时，总利润最大20. 解：（1）设点M(x, y)，由已知|x −4|=2√(x −1)2+y 2， 则(x −4)2=4[(x −1)2+y 2]，整理，得3x 2+4y 2=12，∴ 曲线C 的方程为x 24+y 23=1．（2）①当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y =kx +b ， ∵ 直线l 与圆x 2+y 2=2相切，则√1+k 2=√2，∴ b 2=2(k 2+1)，把y =kx +b 代入3x 2+4y 2=12，得3x 2+4(kx +b)2=12， 即(4k 2+3)x 2+8kbx +4b 2−12=0，设点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−8kb 4k 2+3，x 1x 2=−4b 2−124k 2+3， ∴ OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+b)(kx 2+b) =kb(x 1+x 2)+(k 2+1)x 1x 2+b 2=−8k 2b 24k 2+3+(k 2+1)(4b 2−12)4k 2+3+b 2 =7b 2−12(k 2+1)4k 2+3=2(k 2+1)4k 2+3， 令2(k 2+1)4k 2+3=1，则4k 2+3=2k 2+2，即2k 2+1=0，无解．②当直线l 的斜率不存在时，其方程为x =±√2， 代入x 24+y 23=1，解得y =±√62，此时OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=2−64=12， 综上所述，不存在直线l 满足条件．21. 证明：（1）设g(x)=f(x)−(a +2)x +x 2； 当x ≥1时，g(x)=alnx +x 2−(a +2)x ， ∴ g′(x)=a x +2x −(a +2)=2x 2−(a+2)x+a x =(2x−a)(x−1)x ，∵ a ≤−1，x ≥1，故g′(x)≥0恒成立， 故g(x)在[1, +∞)上是增函数，故当x ≥1时，g(x)≥g(1)=−(a +1)≥0， 即当x ≥1时，f(x)≥(a +2)x −x 2； 解：（2）∵ 线段AB 的中点在y 轴上，∴ A ，B 两点的横坐标互为相反数， 设A(x, y 1)，B(−x, y 2)，(x >0)①若x =1，则y 1=alnx =0，y 2=1+1=2， 此时点A(1, 0)，B(−1, 2)，此时OA ⊥OB 不成立，②若0<x <1，则y 1=−x 3+x 2，y 2=x 3+x 2， 由方程x ⋅(−x)+(−x 3+x 2)(x 3+x 2)=0无正解， 故此时OA ⊥OB 不成立，③若x >1，则y 1=alnx ，y 2=x 3+x 2， 若OA ⊥OB ，则x ⋅(−x)+(alnx)(x 3+x 2)=0， 即1a =(x +1)lnx ，设ℎ(x)=(x +1)lnx ，(x >1)则ℎ′(x)=lnx +x+1x >0，即ℎ(x)在(1, +∞)上是增函数，则当x >1时，ℎ(x)>ℎ(1)=0，即ℎ(x)的值域是(0, +∞)，即1a ∈(0, +∞)，即a ∈(0, +∞)，。

2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）（课标I ）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合M=｛x|-1＜x ＜3｝，N=｛x|-2＜x ＜1｝则M ∩N=（ ）A. )1,2(-B. )1,1(-C. )3,1(D. )3,2(-（2）若0tan >α，则A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α（3）设i i z ++=11，则=||z A. 21 B. 22 C. 23 D. 2 （4）已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B. 26 C. 25 D. 1 (5)设函数)(),(x g x f 的定义域都为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是A. )()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数（6）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EBA. ADB.AD 21 C. BC D. BC 21 (7)在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③（8）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱（9）执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A.203 B.72 C.165 D.158（10）已知抛物线C ：x y =2的焦点为F,A(x 0,y 0)是C 上一点，x F A 045=，则x 0=（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8（11）设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =A ．-5 B. 3C ．-5或3 D. 5或-3（12）已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是A.()2,+∞B.()1,+∞C.(),2-∞-D.(),1-∞-第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_ _. （14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为____ ____.（15）设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是__ _____.（16）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =_ ___m .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。