韩崇昭《应用泛函分析--自动控制的数学基础》课件第1章
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自动控制1_ppt课件
◣有利面：相角特性 -1 -1 ( ) tg ( T ) tg ( T ) m m m 1 1 1 sin ,( ) m 1 T ◢不利面：幅值特性
L ( ) 10 lg ( dB ) m
1 Ts C ( s ) K , ( 1 ) 1 Ts
U ( s ) R C R C R C 1 o 2 1 R 1 1 2 1 2 2 G ( s ) ( R C s ) c 2 2 2 U ( s ) R R R C R C s i 2 0 2 1 1 1 1 K ( 1 1 / sT sT ) I D
滞后超前校正环节
Magnitude (dB)
Bode Diagram 10 0 -10 -20 -30 0
Phase (deg)
20 lg ( dB )
20lgβ
◢不利面：相角特性 -1 -1 ( ) tg ( T ) tg ( T ) c c c
5 ~ 12
φ(ωc)=-5°~-12°
（5）选阻尼比为0.5， 得根轨迹增益为9.49， 此时系统的主导极点为 s*=-0.314+j0.543 （6）主导极点几乎不 变，且速度误差系数为 Kv=0.53*9.49=5.03
1
System: Gs Gain: 9.49 Root Locus Pole: -0.314 + 0.543i Damping: 0.501 Overshoot (%): 16.2 Frequency (rad/sec): 0.627
◆滞后超前校正环节的传递函数、零极点和 频率响应示意图分别为
s
j
1 T s1 T s 1 2 C ( s ) K , ( , 1 ) 1 T s1 T s 1 2
自动控制理论课件第1讲
收缩对象→以经典控制为主！
01
课程目标：
02
以简单的线性时不变（定常）系统为对象，学习控制系统的分析、设计与实现，切身体会实施控制的全过程，牢固建立反馈控制的理念，培养实施控制的能力。
03
本课程的目标
本课程的目标
对于给定的控制系统，能够（定性或定量）分析其性能； 针对给定的控制对象，设计控制器，使系统达到要求的性能指标要求。
在二十世纪40年代，N.B.尼可尔斯发明了PID的整定法。
当时美国麻省理工学院有唯一一台模拟计算机，当时的模拟计算机叫微分分析仪。尼可尔斯就在这个模拟计算机上做了大量的仿真实验，最后列出来这个PID的整定表，
有一样工作50年不变的就是这个PID整定表。
2 自动控制简史
这一新的学科当时在美国称为伺服机构理论﹐在苏联称为自动调整理论﹐主要是解决单变量的控制问题。
基本概念
第一章 控制系统导论
控制系统：为了达到预期的目标（响应）而设计出来的系统，它由相互关联的部件组合而成，它一般由控制装置和被控对象组成。
01
被控对象（部件或系统）：是指要求实现自动控制的机器、设备或生产过程，如宇宙飞船，飞机驾驶系统以及工业生产的某种过程等。
02
关于自动控制的概念定义
反馈：把输出量送回到输入端并与输入信号比较的过程。负反馈是从参考输入信号中减去反馈输出信号，并以其差值作为控制器的输入信号的一种系统结构形式；正反馈是将输出信号反馈回来，叠加在参考输入信号上。
05
都体现了反馈的理念！
06
导论----开环控制与闭环控制
全自动洗衣机、汽车驾驶传动机构、人骑自行车、指南车、空调温度控制 都属于何种控制方式？
开环控制系统的特点 顺向作用，没有反向的联系，没有修正偏差能力，抗扰动性较差。结构简单、调整方便、成本低。
01
课程目标：
02
以简单的线性时不变（定常）系统为对象，学习控制系统的分析、设计与实现，切身体会实施控制的全过程，牢固建立反馈控制的理念，培养实施控制的能力。
03
本课程的目标
本课程的目标
对于给定的控制系统，能够（定性或定量）分析其性能； 针对给定的控制对象，设计控制器，使系统达到要求的性能指标要求。
在二十世纪40年代，N.B.尼可尔斯发明了PID的整定法。
当时美国麻省理工学院有唯一一台模拟计算机，当时的模拟计算机叫微分分析仪。尼可尔斯就在这个模拟计算机上做了大量的仿真实验，最后列出来这个PID的整定表，
有一样工作50年不变的就是这个PID整定表。
2 自动控制简史
这一新的学科当时在美国称为伺服机构理论﹐在苏联称为自动调整理论﹐主要是解决单变量的控制问题。
基本概念
第一章 控制系统导论
控制系统：为了达到预期的目标（响应）而设计出来的系统，它由相互关联的部件组合而成，它一般由控制装置和被控对象组成。
01
被控对象（部件或系统）：是指要求实现自动控制的机器、设备或生产过程，如宇宙飞船，飞机驾驶系统以及工业生产的某种过程等。
02
关于自动控制的概念定义
反馈：把输出量送回到输入端并与输入信号比较的过程。负反馈是从参考输入信号中减去反馈输出信号，并以其差值作为控制器的输入信号的一种系统结构形式；正反馈是将输出信号反馈回来，叠加在参考输入信号上。
05
都体现了反馈的理念！
06
导论----开环控制与闭环控制
全自动洗衣机、汽车驾驶传动机构、人骑自行车、指南车、空调温度控制 都属于何种控制方式？
开环控制系统的特点 顺向作用，没有反向的联系，没有修正偏差能力，抗扰动性较差。结构简单、调整方便、成本低。
自动控制原理【课件】第1章
(3) 反馈环节的存在可以较好地改善系统的动态性能。 虽然在实际系统中, 反馈控制系统的形式是多样的, 但一般 均可化为图1 - 4的形式。
第一章自动控制的一般概念
1.2.2 线性控制系统和非线性控制系统
按照系统是否满足叠加原理, 系统可分为线性系统和非线性
系统两类。
在线性控制系统中, 组成控制系统的元件都具有线性特性。
式中：u(t) —系统的输入量；y(t) —系统的输出量。 线性系统的主要特点是具有叠加性和齐次性，即当系 统的输入分别为r1(t)和r2(t)时，对应的输出分别为c1(t) 和c2(t)，则当输入为r(t)=a1r1(t)+a2r2(t)时，输出量为 c(t)=a1c1(t)+a2c2(t), 其中为a1、a2为常系数。
第一章自动控制的一般概念
1、线性系统 由线性元件构成的系统叫线性系统。其运动方程为线 性微分方程。若各项系数为常数，则称为线性定常系 统。其运动方程一般形式为:
y a1 y
( n)
( n1)
an y bou(n) bu(n1) bn1u bnu an1 y 1
在控制系统中, 反馈的概念非常重要。在图1-4中, 如果将反
馈环节取得的实际输出信号加以处理, 并在输入信号中减去这 个反馈量, 再将结果输入到控制器中去控制被控对象, 这样的反 馈称为负反馈; 反之, 若由输入量与反馈量相加作为控制器的输 入, 则称为正反馈。在一个实际的控制系统中, 具有正反馈形式 的系统一般是不能改进系统性能的, 而且容易使系统性能变坏, 因此不被采用; 而具有负反馈形式的系统, 它通过自动修正偏离
值。一旦室内温度达到设定值后, 放大器输出电压e使空调断电
而停止运行。于是室内温度就被控制在设定值的附近。
第一章自动控制的一般概念
1.2.2 线性控制系统和非线性控制系统
按照系统是否满足叠加原理, 系统可分为线性系统和非线性
系统两类。
在线性控制系统中, 组成控制系统的元件都具有线性特性。
式中：u(t) —系统的输入量；y(t) —系统的输出量。 线性系统的主要特点是具有叠加性和齐次性，即当系 统的输入分别为r1(t)和r2(t)时，对应的输出分别为c1(t) 和c2(t)，则当输入为r(t)=a1r1(t)+a2r2(t)时，输出量为 c(t)=a1c1(t)+a2c2(t), 其中为a1、a2为常系数。
第一章自动控制的一般概念
1、线性系统 由线性元件构成的系统叫线性系统。其运动方程为线 性微分方程。若各项系数为常数，则称为线性定常系 统。其运动方程一般形式为:
y a1 y
( n)
( n1)
an y bou(n) bu(n1) bn1u bnu an1 y 1
在控制系统中, 反馈的概念非常重要。在图1-4中, 如果将反
馈环节取得的实际输出信号加以处理, 并在输入信号中减去这 个反馈量, 再将结果输入到控制器中去控制被控对象, 这样的反 馈称为负反馈; 反之, 若由输入量与反馈量相加作为控制器的输 入, 则称为正反馈。在一个实际的控制系统中, 具有正反馈形式 的系统一般是不能改进系统性能的, 而且容易使系统性能变坏, 因此不被采用; 而具有负反馈形式的系统, 它通过自动修正偏离
值。一旦室内温度达到设定值后, 放大器输出电压e使空调断电
而停止运行。于是室内温度就被控制在设定值的附近。
第1章--自动控制原理课件
45
下面从系统特性角度分类。 一、按系统构成元件是否线性分类 1 线性控制系统 由线性元件构成的系统是线性控制系统。或者 说，如果系统满足叠加原理，则称其为线性系统。 2 非线性控制系统 在控制系统中，如果有一个以上的元件具有非 线性，则称这个系统为非线性控制系统。或者说， 如果不能应用叠加原理，则系统是非线性的。 严格地说，绝对的线性控制系统是不存在的。 为了简化，在一定条件下，可以对某些非线性特性 作线性化处理。这样，非线性控制系统就可以近似 为线性控制系统。
22
指出：被控对象、测量元件、比较机构、放大机构 和执行机构 该系统方框图：
23
三、方框图的画法： 用方框表示系统中的各个组成部件，在每个 方框中填入它所表示部件的名称或其功能函数的 表达式，而不必画出它们的具体结构。 根据信号在系统中的传递方向，用有向线段 依次把它们连接起来，就得到整个系统的框图。
3
经典控制理论（20世纪60年代以前）：主 要解决单输入单输出问题，所研究的系统多半 是线性定常系统。 现代控制理论：20世纪60年代， 随着高精 度数字计算机的诞生，为解决复杂控制系统提 供了实现上的可能性。现代控制理论涉及多变 量控制系统、最优控制理论、系统辨识与模式 识别、最优估计、自适应控制、自学习控制、 模糊控制、专家系统、神经元及其网络控制等 等。
4
第二节 自动控制系统的一般概念
一、自动控制技术及其应用
1 自动控制： 在没有人直接参与的条件下，通过 控制器使被控对象或过程自动地按 要求的规律运行。 2 自动控制系统： 能够完成自动控制功能的基本体 系，称为自动控制系统。 3 自动控制理论： 分析与综合自动控制系统的理论称 为自动控制理论。 4 应用： 自动控制技术已经应用在工程、军事和科 学技术等各个领域，包括：航空、航天、 航海、冶金、机械、能源、电子、生物、 医疗、化工、石油、建筑等。 5
下面从系统特性角度分类。 一、按系统构成元件是否线性分类 1 线性控制系统 由线性元件构成的系统是线性控制系统。或者 说，如果系统满足叠加原理，则称其为线性系统。 2 非线性控制系统 在控制系统中，如果有一个以上的元件具有非 线性，则称这个系统为非线性控制系统。或者说， 如果不能应用叠加原理，则系统是非线性的。 严格地说，绝对的线性控制系统是不存在的。 为了简化，在一定条件下，可以对某些非线性特性 作线性化处理。这样，非线性控制系统就可以近似 为线性控制系统。
22
指出：被控对象、测量元件、比较机构、放大机构 和执行机构 该系统方框图：
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三、方框图的画法： 用方框表示系统中的各个组成部件，在每个 方框中填入它所表示部件的名称或其功能函数的 表达式，而不必画出它们的具体结构。 根据信号在系统中的传递方向，用有向线段 依次把它们连接起来，就得到整个系统的框图。
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经典控制理论（20世纪60年代以前）：主 要解决单输入单输出问题，所研究的系统多半 是线性定常系统。 现代控制理论：20世纪60年代， 随着高精 度数字计算机的诞生，为解决复杂控制系统提 供了实现上的可能性。现代控制理论涉及多变 量控制系统、最优控制理论、系统辨识与模式 识别、最优估计、自适应控制、自学习控制、 模糊控制、专家系统、神经元及其网络控制等 等。
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第二节 自动控制系统的一般概念
一、自动控制技术及其应用
1 自动控制： 在没有人直接参与的条件下，通过 控制器使被控对象或过程自动地按 要求的规律运行。 2 自动控制系统： 能够完成自动控制功能的基本体 系，称为自动控制系统。 3 自动控制理论： 分析与综合自动控制系统的理论称 为自动控制理论。 4 应用： 自动控制技术已经应用在工程、军事和科 学技术等各个领域，包括：航空、航天、 航海、冶金、机械、能源、电子、生物、 医疗、化工、石油、建筑等。 5
韩崇昭《应用泛函分析--自动控制的数学基础》第4章2
一般线性算子方程的能解性
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应用泛函分析
一般线性算子方程的能解性
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应用泛函分析
一般线性算子方程的能解性
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应用泛函分析
一般线性算子方程的能解性
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应用泛函分析
一般线性算子方程的能解性
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应用泛函分析
一般线性算子方程的能解性
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线性算子谱的概念
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应用泛函分析
线性算子谱的概念
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应用泛函分析
线性算子谱的概念
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应用泛函分析
线性算子谱的概念
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应用泛函分析
线性算子谱的概念
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应用泛函分析
线性算子谱的概念
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应用泛函分析
线性算子谱的概念
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应用泛函分析
赋范环与 L ( X , X )中有界线性算子的逆算子
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应用泛函分析
赋范环与 L ( X , X )中有界线性算子的逆算子
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应用泛函分析
赋范环与 L ( X , X )中有界线性算子的逆算子
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应用泛函分析
赋范环与 L ( X , X )中有界线性算子的逆算子
∗
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应用泛函分析
第四章
线性算子
可逆线性算子 赋范环与L ( X , X ) 中有界线性算子的逆算子 线性算子的有界逆 线性算子方程的能解性 紧算子与含紧算子的线性算子方程 一般线性算子方程的能解性 Fredholm抉择与 抉择与Fredholm算子 抉择与 算子 线性算子谱的概念 有界线性算子的谱特性
《自动控制理论》课件
1.1 自动控制理论的定义1.2 自动控制系统的分类1.3 自动控制理论的应用领域二、数学基础2.1 线性代数基础2.2 微积分基础2.3 常微分方程2.4 拉普拉斯变换三、经典控制理论3.1 概述3.2 传递函数3.3 系统稳定性分析3.4 系统响应分析3.5 系统校正设计四、现代控制理论4.1 状态空间描述4.2 状态空间分析4.3 控制器设计4.4 观测器设计4.5 系统李雅普诺夫稳定性分析五、线性二次调节器5.2 性能指标5.3 调节器设计5.4 数字实现六、非线性控制系统6.1 非线性系统的特点6.2 非线性方程和方程组的求解6.3 非线性系统的分析和设计方法6.4 非线性控制系统的应用实例七、模糊控制系统7.1 模糊控制理论的基本概念7.2 模糊控制规则和推理方法7.3 模糊控制器的设计7.4 模糊控制系统的仿真和应用八、自适应控制系统8.1 自适应控制的基本概念8.2 自适应控制算法8.3 自适应控制系统的性能分析8.4 自适应控制的应用实例九、智能控制系统9.1 智能控制的基本概念9.2 人工神经网络在自动控制中的应用9.3 遗传算法在自动控制中的应用9.4 模糊神经网络在自动控制中的应用十、自动控制技术的应用10.1 工业自动化10.2 交通运输自动化10.3 生物医学工程自动化10.4 家居自动化六、非线性控制系统6.1 非线性系统的特点6.2 非线性方程和方程组的求解求解非线性方程和方程组通常需要使用数值方法，如牛顿法、弦截法和迭代法等。
6.3 非线性系统的分析和设计方法对于非线性系统，常用的分析方法有相平面分析、李雅普诺夫方法和描述函数法等。
设计方法包括反馈线性化和滑模控制等。
6.4 非线性控制系统的应用实例例如，臂的控制、电动汽车的稳定控制等。
七、模糊控制系统7.1 模糊控制理论的基本概念模糊控制是一种基于的控制方法，它通过模糊逻辑对系统的输入和输出进行处理，从而实现控制目的。
自控原理课件 第1章-自动控制系统概
2
第1章 自动控制系统概述
第1章 自动控制系统概述
1.1自动控制系统基础知识
3
第1章 自动控制系统概述
4
第1章 自动控制系统概述
开环控制系统是一种最简单的控制系统。下面举例 说明其结构特点和工作原理。 图1.1所示是一个电阻炉温度控制系统，希望电阻炉 的温度T c保持在允许范围内。在该系统中，可以通过调 整自耦变压器滑动端的位置来改变电阻炉的温度，并使 其保持在允许范围内。因而被控对象就是电阻炉，被控 量就是电阻炉的温度。自耦变压器滑动端的位置对应了 一个电压值uc，也就对应了一个电阻炉的温度Tc，改变 M c也就改变了T”在这个控制系统中，没有对电阻炉的实 际温度进行测量，就是说，实际温度Tc是多少不得而知 。当系统中出现外部扰动(如炉门开关频繁变化)或内部 扰动(如电源电压波动)时，了c将偏离“c所对应的数值， 5 结果温度可能比希望值偏高或偏低。
25
第1章 自动控制系统概述
而放大器的输入电压为给定电压与反馈电压比 较后的偏差电压ΔU=Ug-Ufn, 其中Ug是由给定电 位器给定的，Ufn是由测速发电机TG输出电压 经电位器分压获得的。 Ufn的大小取决于转速 的高低。因此,测速发电机和电位器构成检测元 件和反馈单元；由于Ug和Ufn极性相反，所以构 成负反馈。
第1章 自动控制系统概述
6．检测元件 该装置用来检测被控制量，并将其转换成与 给定量相同的物理量。检测元件的精度和特性逐 渐影响控制系统的控制品质，它是构成自动控制 系统的关键部件。在此系统中是热电耦。
20
第1章 自动控制系统概述
由图1.6可见．系统中作用量的被控制量如
下： 给定量：又称为控制量或参考输入量。它通 常由给定信号电压构成，或通过检测元件将非电 量转换成电压信号。如图1.6中的给定电压UsT。 输出量：又称为被控制量。它是控制对象的 输出，是自动控制的目标。如图1.6中的炉温T 。 反馈量：是通过检测元件将输出量转换成与 给定量性质相同且数量级相同的信号。图1.6中 的反馈量是由热电偶将炉温转换来的信号电压 UfT。
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应用泛函分析
泛函分析的研究对象
经典的数学分析是与经典力学的成就密切相关的，主要 用来描述和分析物质作有限自由度连续运动的各种特性。在 此，主要研究一元函数或多元函数的性态，诸如单调性、连 续性、可微性和可积性等，对连续函数建立了各种微积分运 算。 数学的抽象把三维立体空间中向量的概念，推广到任意 有限维线性空间；同时把力学中简单的坐标变换，推广到一 般的线性变换，并且由此引出矩阵对线性变换的表示，以及 矩阵的运算等，这些都是线性代数的研究内容。
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应用泛函分析
本课程的特点与学习方法
系统的综合，包括控制器和补偿器的设计等，使系统得以镇 定或获得某种性能，这是分析的逆问题。传统的综合方法不仅 费时费事，而且解决问题的范围比较狭窄。现代的综合方法倾 向于构造能用计算机实现的某些算法。迭代算法或递推算法的 收敛性分析，以及闭环控制的稳定性分析等，只有借助于泛函 分析所提供的工具，才有可能使问题得以解决。系统建模和系 统的最优控制，一般是在某些约束条件下，对某个泛函指标进 行优化的问题，这更是泛函分析研究范围内的问题。 所以，学习本课程还要求掌握构造各种算法的技能，并能对 其数值稳定性等进行分析。
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应用泛函分析
泛函分析的研究内容
线性泛函分析是本书讨论的重点，同时还涉及非线性泛函 分析的基本知识，特别是有关凸集和凸泛函的凸分析理论，这 对比较广泛的一类泛函求极值问题有着重要意义。非线性泛函 分析还要把有限线性空间上函数微积分的概念，推广到无限维 线性空间上算子的微积分。 最后,还要研究泛函分析在工程技术,特别是自动控制中的 应用,包括抽象系统的描述与分析、系统稳定性与鲁棒性分析、 泛函优化与最优控制，以及控制问题的数值计算等。
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应用泛函分析
泛函分析的研究对象
连续介质力学、电磁场理论等的研究对象，一般是分布 参数系统，需要用偏微分方程来描述，而完全描述系统行为 的一组无关量有无限多个，即系统具无限多自由度。 现代控制理论和系统科学，已经由研究单个特定函数作 用于系统时所产生的行为，扩展到研究一类函数作用于系统 时可能产生的行为限多自由度。而定义于其上的泛函数或算子，则可 用来描述系统的行为或其中的各种关系。
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应用泛函分析
泛函分析的研究内容
泛函分析的基本概念形成于19世纪末到20世纪初，而作 为一门独立的数学分支则出现于上世纪30年代。经过上世纪 40至50年代的发展，使其成为一门足够成熟的学科。它不断 地渗透到各种应用领域，包括连续介质力学、电磁场理论、 控制理论和系统科学等。 在某种意义上说，泛函分析提供了一种知识框架，它把 数学分析中有关函数性态分析的结论，线性代数中有关向量 与向量空间、线性变换的概念，古典变分法中关于泛函变分 的概念，微分方程中定性分析与求解的概念等，纳入统一的 框架中；同时按泛函分析的理论体系，给出统一的分析和处 理。
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应用泛函分析
泛函分析的研究对象
常微分方程理论讨论集中参数对象连续运动过程的数学 描述，以及运动轨线即微分方程解的存在性与唯一性问题， 而且讨论连续运动过程的稳定性问题，并给出自由运动或受 迫运动中运动轨线的求解方法。这种运动也只具有限多自由 度，因为我们只考虑特定的系统，以及单个特定函数作用于 系统所产生的行为。 在电学理论和经典调节原理中，一种广泛适用的频域分 析方法要求把函数的定义域由实数扩展到复数，而复变函数 论则是专门讨论复变函数性态的数学分支，它给包括 Fourier变换和Laplace变换在内的各种频域分析方法，提供 了坚实的理论基础。同样，电学理论和经典调节原理的对象， 一般也只具有限多自由度。
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应用泛函分析
泛函分析的研究内容
首先要把有限维向量空间的概念，推广到一般线性空间， 包括由函数类形成的无限维线性空间，接着要讨论一类在元素 间定义了距离的集合，称为“度量空间”。在度量空间中，才 有可能定义点序列的收敛，并由此引出点集的某此拓扑概念， 同时还讨论定义于其上的泛函数与算子的某些性质。 一类特殊的度量空间称为“赋范线性空间”，它兼有线性 空间的代数结构和赋范数的拓扑结构，是用以描述具无限多自 由度运动过程的一般数学工具。而在赋范线性空间中，又有一 类更接近有限维空间（欧氏空间）特性的无限维线性空间，称 为“内积空间”，其上定义了内积，类似欧氏空间上向量间的 标量积，从而可以引入向量间的夹角、向量直交等概念。对各 种抽象空间的研究，是泛函分析的研究内容之一。
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应用泛函分析
本课程的特点与学习方法
控制理论所研究的问题，可以概括为系统分析、系统综合、 建模和优化。系统分析，包括系统的稳定性分析、能控能观性 分析、鲁棒性分析等，主要是分析用以描述系统行为的算子的 特性。传统的分析方法是实用的，但只限于某些特定的系统类 型。例如传统的频域分析法只限于讨论单输入单输出的线性定 常系统。而泛函分析所提供的分析方法，有可能对包括多输入 多输出的线性时变系统、分布参数系统，以及某些类型的非线 性系统进行统一的处理，从而获得更加一般的结论。 所以，学习本课程要求理论联系实际，既要认真听课，同时 完成大量的作业联系，掌握坚实的理论基础；又要结合专业体 会理论对专业的指导作用，尽可能地把理论应用于解决实际问 题。
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应用泛函分析
本课程的特点与学习方法
因为控制理论中几乎所有的问题，都可以用泛函分析中有关 空间和算子的术语来描述，而泛函分析严谨广博的理论体系， 对所研究问题的归属有明确的规定，同时可以向研究者提供解 决问题的途径。例如，利用对偶空间和伴随算子的理论，可以 解释控制理论中几乎所有的对偶定理，而这些定理的发现，大 多也是数学结论直接演绎的结果。 所以，本课程是针对工科研究生的一门理论基础课程，既要体 现泛函分析理论体系的严谨性，又要体现工程的可应用性。
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应用泛函分析
第一章
绪
论
泛函分析的研究对象 泛函分析的研究内容 本课程的特点与学习方法
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泛函分析的研究对象
何谓“泛函分析”？根据关肇直先生给出的定义，“泛 函分析是研究无穷维线性空间上的泛函数与算子理论的一门 分析数学。无穷维线性空间是描述具无限多自由度的物理系 统的数学工具。因此，泛函分析是定量地研究诸如连续介质 力学、电磁场理论等一类具有无穷多自由度的物理系统的有 力工具” 所谓物理系统（包括社会经济系统）的自由度，是指用 于完全描述系统行为的一组无关量的个数。要澄清泛函分析 研究对象的特征，需要考察数学诸分支与自然科学之间的联 系。
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应用泛函分析
泛函分析的研究内容
其次要把有限维空间上的线性变换推广到一般度量空间上 的算子理论，特别是赋范线性空间上的线性算子理论。事实上， 相当广泛的一类实际系统，都可以用某些抽象空间，以及存在 于这些空间上的算子描述。算子理论，特别是线性算子理论， 这是泛函分析的主要研究内容。算子的性态，诸如连续性、有 界性、紧性和闭性等，又是算子理论研究的重点。 算子方程求解及线性算子的能解性研究，给各种代数方程 和微分方程求解，以及控制系统综合等，提供了理论基础。对 偶空间和伴随模型算子的研究，是算子理论的一个主要组成部 分。在算子理论中，还要把矩阵特征值的概念，推广到一般线 性算子的谱特性。