2017年秋季学期新版新人教版七年级数学上学期3.3、解一元一次方程(二)----去括号与去分母学案41

3.3 解一元一次方程(二)-去括号与去分母同步习题精讲精练【高频考点精讲】1．一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．2．规律总结：（1）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．（2）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式。

将ax＝b系数化为1时，一是弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二是要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．【热点题型精练】一、选择题1．方程3x﹣2（x﹣3）＝5去括号变形正确的是（）A．3x﹣2x﹣3＝5 B．3x﹣2x﹣6＝5 C．3x﹣2x+3＝5 D．3x﹣2x+6＝52．把方程去分母，下列变形正确的是（）A．2x﹣x+1＝1 B．2x﹣（x+1）＝1 C．2x﹣x+1＝6 D．2x﹣（x+1）＝63．下列方程变形中，正确的是（）A．方程去分母，得5（x﹣1）＝2xB．方程3﹣x＝2﹣5（x﹣1）去括号，得3﹣x＝2﹣5x﹣1C．方程3x﹣2＝2x+1移项，得3x﹣2x＝﹣1+2D．方程系数化为1，得t＝14．一元一次方程的解为（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝﹣12 D．x＝125．解方程时，把分母化为整数，得（）A．B．C．D．6．解方程4（x﹣1）﹣x＝2（x+）步骤如下：①去括号，得4x﹣4﹣x＝2x+1；②移项，得4x+x﹣2x＝4+1；③合并同类项，得3x＝5；④化系数为1，x＝．从哪一步开始出现错误（）A．①B．②C．③D．④7．若关于x的方程kx﹣2x＝14的解是正整数，则k的整数值有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个8．某同学在解关于x的方程3a﹣x＝13时，误将“﹣x”看成“x”，从而得到方程的解为x＝﹣2，则原方程正确的解为（）A．x＝﹣2 B．x＝﹣C．x＝D．x＝29．若“△”是新规定的某种运算符号，设x△y＝xy+x+y，则2△m＝﹣16中，m的值为（）A．8 B．﹣8 C．6 D．﹣610．代数式2ax+5b的值会随x的取值不同而不同，如下表是当x取不同值时对应的代数式的值，则关于x的方程2ax+5b＝0的解是（）x﹣4﹣3﹣2﹣102ax+5b12840﹣4A．0 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣4二、填空题11．当x＝时，代数式2x﹣与代数式x﹣3的值相等．12．方程1﹣＝去分母后为．13．小明解方程＝﹣3去分母时，方程右边的﹣3忘记乘6，因而求出的解为x＝2，则原方程正确的解为．14．对于实数p、q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{，1}＝x，则x＝．三、解答题15．解方程：（1）2（x+8）＝3x﹣1（2）16．已知y＝3是方程6+（m﹣y）＝2y的解，那么关于x的方程2m（x﹣1）＝（m+1）（3x﹣4）的解是多少？17．定义一种新运算“⊕”：a⊕b＝a﹣2b，比如：2⊕（﹣3）＝2﹣2×（﹣3）＝2+6＝8．（1）求（﹣3）⊕2的值；（2）若（x﹣3）⊕（x+1）＝1，求x的值．18．（1）小玉在解方程去分母时，方程右边的“﹣1”项没有乘6，因而求得的解是x＝10，试求a 的值．（2）当m为何值时，关于x的方程5m+3x＝1+x的解比关于x的方程2x+m＝5m的解大2？3.3 解一元一次方程(二)--去括号与去分母同步习题精讲精练【高频考点精讲】1．一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．3．规律总结：（1）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．（2）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式。

如何求解一元一次方程方程有悠久的历史，它随着实践需要而产生，并具有极其广泛的应用．从数学学科本身来看，方程是代数学的核心内容，它的发展推动了整个代数学的发展．代数方程一般按照其中未知数的个数和未知数的最高次数分类，一元一次方程是最简单的方程，也是所有代数方程的基础．解任何一个代数方程或方程组时最终都要化归为一元一次方程求解．一元一次方程的理解和掌握对于后续学习其他方程、方程组、不等式、函数等都具有重要的影响．因此，学习中应注意打好基础．从算式到方程是数学的进步，算式与方程表现了算术与代数解决问题的两种不同方法．用算术方法解实际问题是前面学段中已经学习过的内容，它对于提高分析问题中数量关系的能力有着打基础的作用．算式表示一个计算过程，用算术方法解实际问题时，算式中只含已知数而不包含未知数；而代数中设未知数或列方程时首先需要用式子表示问题中有关的量，这些式子实际上也是算式，只是其中可能含有字母（未知数）．方程是根据问题中等量关系列出的等式，其中既含有已知数，又含有未知数，这是代数方程与算术算式的区别之一．由于方程中可以用未知数与已知数一起表示相关的量，所以方程的应用更为方便．这正是用字母表示数带来的好处．使用平衡模型是解方程的一个很古老的方法，而且它为处理方程提供了一个强有力的智力图像．方程类似于一组天平，方程中的“=”表示天平处于平衡状态．通常我们可以画一个模型图来作为思考工具，但是某些例子中我们用一组真实的天平来代表方程也是可以扩大眼界的．由于物体的重量不可能为负的，可以用其他颜色来表示负数．在处于平衡状态的天平两边同时添加、减少相同重量的物体，天平仍保持平衡，方程也具有这种特性．利用方程的“平衡”性（实质上是等式的性质）解下列方程：（1）852=+x ； （2）35623=+x 利用天平模型表示方程122=+x 如下：两边同时加上-2（用白色圆柱表示），即)2(1)2(22-+=-++x ．整理后得到为了简化操作过程，上述过程看作：将左侧的两个红色圆柱移到右侧，为保持天平平衡移过来的两个红色圆柱必须变成白色，一个白色和一个红色的圆柱重量和恰好是0，因此，右侧只剩下一个白色圆柱．方程也可以同样操作，即方程某一侧的一个项可以移到另一侧，并改变符号．因此，可以采用“移项”、“合并”求解方程，如122=+x 可变形212-=x ，解得21-=x ．“移项”时一定注意符号的改变． 随着学习的深入，方程的形式也越来越复杂，如含有括号、分母等．方程中的字母表示的是数，因此去括号法则于有理数运算中的去括号法则相同，去括号过程中一定要注意符号的变化规律．若方程中含有分母，首先通过“去分母”使方程的系数都化为整数，这样可以使解方程中减少分数运算，从而计算更为方便．解一元一次方程时，主要依据等式的性质和运算律等，通过去分母、去括号、移项、合并、系数化为1等步骤，使一元一次方程逐步向x=a 的形式转化．求解中应灵活运用这些步骤．利用以上方法求解下列方程：（1）)1(2)1()1(3-=--+x x x（2）22)5(54-=--+x x x（3）13.02.03.05.09.04.0=+-+y y （4）52221+-=--y y y 解答：（1）去括号，得22133-=+-+x x x移项，得13223+--=-+x x x合并，得42-=x系数化为1，得2-=x（2）去分母，得，)2(5)5(10)4(2-=--+x x x ，去括号，得，105501082-=+-+x x x ．移项合并后，6813=x ．两边同时除以13，得1368=x ． （3）原方程化为1323594=+-+y y ， 去分母，得15)23(5)94(3=+-+y y ，去括号，得1510152712=--+y y ，移项合并后32=y ．系数化为1，得23=y ． （4）去分母，得 )2(220)1(510+-=--y y y去括号，得42205510--=+-y y y移项，得54202510--=+-y y y合并，得117=y系数化为1，得711=y自己尝试做一做（1）某抗洪突击队有50名队员，承担着保护大堤的任务．已知在相同的时间内，每名队员可装土7袋或运土3袋．问应如何分配人数，才能使装好的土及时运到大堤上？（2） 一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成．现在先由甲单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合做．剩下的部分需要几小时完成？与下面的答案对比一下，看看你做得如何？（1）解：设分配工人装土，则运土有)50(x -人．根据装上的袋数与运土的袋数相等的关系，列得)50(37x x -=去括号，得x x 31507-=移项及合并，得15010=x所以运土的人数为3550=-x ．答：应分配15人装土，35人运土，才能使装好的土及时运到大堤上．说明：找准题目中的相等关系关键在于如何理解“装好的土及时运到大堤上”，即使得已装好土的袋数和运走的袋数是相同的，所以依靠总人数50人可没装土的人数为x 人，则可以用x 表示运土的人数．其实在题中还可以依靠其他的相等关系列方程，试试看．（2）解：设剩下的部分需要x 小时完成．根据两段工作量之和应是总工作量，得11220204=++x x 去分母，得605312=++x x移项及合并，得488=x6=x答：剩下的部分需要6小时完成．说明：此问题里的相等关系可以表示为：全部工作量＝甲独做工作量＋甲、乙合做的工作量．于是问题转化为如何表示工作量，我们知道，工作量＝工作效率×工作时间．这里的工作效率是用分数表示的：一件工作需要a 小时完成，那么1小时的工作效率为a 1．由此可知：m 小时的工作量＝工作效率am m =⨯，全部工作量＝工作效率1==⨯a a a ，即在工程问题中，可以把全部工作量看作是1． 前面涉及的方程系数都是具体的数，我们探索一下字母系数的方程如何求解． 请尝试解一元一次方程：b ax =． 同学甲说：太简单了，ab x =． 同学乙说：不对，0=a ，x 不存在．经过仔细研究发现：一元一次方程b ax =的解由a 、b 的值来确定：（1）若0≠a ，则方程有唯一解ab x =． （2）若0=a ，且0=b ，方程变为00=⋅x ，x 为任意数都满足，则方程有无数多个解．（3）若0=a ，且0≠b ，方程变为b x =⋅0，则方程无解．请考虑以下问题：问题1：解关于x 的方程0))((=+-n m n mx ．分析：这个方程中未知数是x ，而m 、n 是取不同实数的常数，因此需要讨论m 、n 取不同值时，方程解的情况．把原方程化为022=--+n mn mnx x m ，整理得)()(n m n x n m m +=+． 等式两边能不能同时除以（n m +）？应该怎样处理？（1）当0≠+n m ，且0≠m 时，原方程有唯一解mn x =； （2）当0≠+n m ，且0=m 时，方程无解；（3）当0=+n m 时，方程的解为一切实数．这个含有字母系数的方程的求解过程，提醒我们一定要注意字母的取值范围．解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论．问题2：解方程2222))(())((b a x b x a x b a b x a -+-=---+．分析：本题将方程中的括号去掉后产生2x 项．但整理化简后，可以消去2x 也就是说，原方程实际上仍是一个一元一次方程．将原方程整理化简得：222222222)(b a x x b x a b a x b a ---+=--，即222)()(b a x b a -=-． （1）当0)(22≠-b a 时，即b a ±≠时，方程有唯一解b a b a b a b a x +-=--=222)(； （2）当022=-b a 且 0≠-b a 且 b a ≠，即b a -=时，方程无解；（3）若0=-b a ，即b a =，方程有无数多个解．问题3：已知08)1()1(22=++--x m x m 是关于x 的一元一次方程，求代数式m m x x m +-+)2)((199的值．因为08)1()1(22=++--x m x m 是关于x 的一元一次方程，所以012=-m ，即1±=m ．（1）当1=m 时，方程变为082=+-x ，因此4=x ，代数式的值为19911)124)(41(199=+⨯-+；（2）当1-=m 时，原方无解．所以所求代数式的值为1991．问题4：已知关于x 的方程23)12(-=-x x a 无解，试求a 的值．将原方程变形为232-=-x a ax ，即2)32(-=-a x a ．由已知该方程无解，所以⎩⎨⎧≠-=-,02,032a a 所以23=a 为所求．。

25
巩固练习
解下列方程:
(1) x 1 2 x 1 1；
6
3
解:去分母(方程两边乘6),得
(x-1) -2(2x+1) = 6.
去括号,得 x-1-4x-2 = 6.
移项,得 x-4x = 6+2+1.
合并同类项,得 -3x = 9.
系数化为1,得 x = -3.
巩固练习
(2) 4x 9 0.3 0.2x x 5 .
解:去分母（方程两边同乘12）,得 3（x-1） - 4（2x＋5） ＝ - 3×12.
去括号,得 3x - 3 - 8x - 20＝ - 36. 移项,得 3x - 8x＝ - 36＋3＋20. 合并同类项,得 - 5x＝ - 13. 系数化为1,得 x 13 .
5
課堂检测
(2) x 4 x 5 x 3 x 1
你知道丢番图去世时年龄吗?请你列出方程来算一算.
課堂检测
解:设丢番图活了x岁,根据题意得
x x x 5 x 4 x. 6 12 7 2
解得 x=84. 答:丢番图活了84岁.
課堂小结
不要漏乘不 含分母项
乘以所有分母 最小公倍数
不要漏乘, 注意符号
等式性质2 去分母
等式性质2 系数化为1
5
0.3
2
解:整理方程,得
4x 9 3 2x x 5.
5
3
2
去分母(方程两边乘30),得
6 (4x+9) －10(3+2x) = 15(x－5).
去括号,得 24x+54－30－20x = 15x－75.
移项,得 24x－20x－15x =－75－54+30 .

求甲、乙码头两码头之间的距离。 求船在静水中的平均速度。
你能行：作业本：P99第7题， 第5题。
本节课学习了什么？
• 本节课学习了用去括号的方法解一元一次 方程。 • 需要注意的是： • （1）如果括号外的因数是负数时，去括号 后原括号内各项的符号要改变符号： • （2）乘数与括号内多项式相乘时，乘数应 遍乘括号内的各项，不要漏乘。
移项 合并同类项
系数化为1
〖探究点一〗 解含有括号的一元一次方程
【例1】解方程 3x 7( x 1) 3 2( x 3).
解：去括号，得
3x 7x 7
移项，得
32x 6
3x 7 x 2 x 3 6 7
合并同类项，得
同学们：去括 号时要注意符 号，不要漏乘 括号里的每一 项呵
合并同类项（分配律）
逐步向 着x=a的 形式转 化
2 x 10
系数化为1（等式性质2）
x5
【变式一】
1 解方程 4( x 1) 2( x ) 的步骤如下： 恭喜你答对了 2 1 （1）去括号，得 4 x 1 2 x 4x 4 2x 1 2 1 对不起你答错了 （2）移项，得 4 x 2 x 1 2 3 对不起你答错了 （3）合并同类项，得 2 x 2 3 对不起你答错了 （4）系数化为1，得 x 4 3 经检验知 x 不是原方程的解，证明在解题的四个步 4 骤中有错，其中出错的一步是（ A ）
系数化为1，得
5 x 4
2x 6x 4x 4 6 8 x 10
试一试： •3x-2[3(x-1)-2(x+2)]=3(18-x)
实际应用 ： 1、用电问题： 某工 厂加强节能措施，去年下半年与上半 年相比，月平均用电量减少2000度， 全年用电15万度，这个工厂去年上半 年每月平均用电多少度？