伊敏河镇第一学校第一次月考

7、一个比的比值是1.6，这个比化成最简整数比是________。
8、四个数的平均数是18，若每个整数增加x:，这四个数的和为______。
9、用4个边长3厘米的小正方形拼成一个大的正方形,这个正方形的周长是（_____）,面积是（_____）。
10、两个高相等，底面半径之比是1：2的圆柱与圆锥，它们的体积之比是________。
一
二
三
四
五
总分
得分
一、填空题。（20分）
1、一个长方体的棱长总和是120厘米，长、宽、高的比是5 ：3 ：2，这个长方体长（_________）厘米，宽（________）厘米，高（________）厘米。
2、两个自然数的和是286,其中一个数的末位数是0，如果把这个零去掉，所得的数与另一个数相同，那么原来两个数的积是（________）。
6、在一幅比例尺是8∶1的精密零件图纸上,量得图纸上零件长40mm,这个零件实际长（____）cm。
7、王师傅的月工资为2000元。按照国家的新税法规定，超过1600元的部分应缴5%个人所得税。王师傅每月实际工资收入是（______）元。
8、一个圆的周长是25.12厘米，它的直径是_____厘米．
9、一个立方体的棱长总和是48cm，表面积是（__________）平方厘米，体积是（_________）立方厘米。
2、3.406，2.17，3.6
3、x=3.1；x=6；
x=49；x=12；
五
4.4分
5075元
125元
8小时
25;75
苏教版六年级数学下册第一次月考试卷及答案必考题三
班级： 姓名： 满分：100分 考试时间：90分钟
题序
一
二

第一次月考总结（精选5篇）总结是对某一阶段的工作、学习或思想中的经验或情况进行分析研究的书面材料，它在我们的学习、工作中起到呈上启下的作用，因此好好准备一份总结吧。

那么你知道总结如何写吗？以下是小编为大家整理的第一次月考总结（精选5篇），希望对大家有所帮助。

第一次月考总结1月考大军来也匆匆，去也匆匆。

四中的第一次月考终于结束了，结束就代表着这一个月来的成果就要被检验了，担心，紧张，各种各样的情绪都掺杂在一起，我不知道自己交的怎么样，马上就能知道了，可是我却迟疑了，我盼着成绩能晚点出来，这样我就能晚一点伤心了。

几天的批卷，终于成绩在放假之前出来了，看着自己所教的两个班的成绩，压在心上的石头终于落地了，还好，他们很争气，还好。

我没有让他们的成绩太差。

名次是好的，但我还是发现试卷上最基础的他们还是不会写，我明白自己不能太高兴，这只是第一次而已，再说他们本来就不差。

第一次月考我知道：1）抓好基础对于学生来说会背诗或者文言文是不够的，只会背不会默写，考试了，字还是不会写，那样，即使你的句子写上了，可有错字你依旧的不上任何的分数，所以在日常的学习过程中，要加强学生的积累，让他们把该背的都背了，其次发挥组长的作用，让他们保证自己的每个组员不仅会背，而且还会写。

组长的背诵侧有老师来监督，一个个过关，总之，在平常生活中让他们养成良好的习惯。

2）字的规范程度语文卷子，除了看你写的对与否，还有你写的字体，因为卷子上的一部分都是自己自由发挥的，若果你的字写的不好，特别的乱，那你就得不到分，也不会给改卷老师留下好的印象。

所以对于这个问题，我让他们天天写字贴，并一个个过关，把写字的好与坏，分成三个等级，再根据写的好坏，让他们写不同的张数，进而去改进他们的字，尽量让他们把字写好。

3）海量阅读纵观整张考试卷，他们做的最差的是阅读题，得的分数很低，因为平时都没有太多的时间去做阅读，加上他们一天的课很紧凑，所以，再者他们不知道怎么去理解文意，也没有任何的切入点，只是看完文章，再看看题目，就直接答题，从来都不是带着问题去找答案，所以他们总是找不到答案，所以针对这个问题，我想让他们多做做阅读，试着去找做题的技巧和切入点，让他们更好地去加强提高自己。

新疆高一下学期数学第一次月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019高二下·鹤岗月考) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高三上·武汉月考) 已知集合，，则A∪B=（）A .B .C .D .3. （2分）在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点．下列结论正确的是（）A . ＝，＝B . ＋＝C . ＋＝＋D . ＋＋＝4. （2分）一个由实数组成的等比数列，它的前6项和是前3项和的9倍，则此数列的公比为（）A . 2B . 3C .D .5. （2分） (2015高一下·广安期中) 若1和a的等差中项是2，则a的值为（）A . 4B . 3C . 1D . ﹣46. （2分）已知函数，若a,b,c互不相等，且，则abc的取值范围是（）A . （1，10）B . （5，6）C . （10，12）D . （20，24）7. （2分）(2018·自贡模拟) 将函数向右平移个单位后得到函数，则具有性质（）A . 在上单调递增，为偶函数B . 最大值为1，图象关于直线对称C . 在上单调递增，为奇函数D . 周期为，图象关于点对称8. （2分） (2017高二下·深圳月考) 已知实数，满足，则下列关系式恒成立的是（）A .B .C .D .9. （2分）在中，角的对边分别为，若，则的值为（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高一下·肇庆期末) 对实数a与b，定义新运算“⊗”：．设函数f （x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A .B .C .D .二、双空题 (共4题；共4分)11. （1分）(2016·枣庄模拟) 已知奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+3成立，且f（1）=1，则f（2015）+f（2016）=________．12. （1分）对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23， 33， 43，…仿此，若m3的“分裂”数中有一个是73，则m的值为________13. （1分） (2016高一下·赣榆期中) 在平面直角坐标系xOy中，直线y=1与函数y=3sin x（0≤x≤10）的图象所有交点的横坐标之和为________．14. （1分）(2018·成都模拟) 已知函数，则满足的实数的取值范围是________.三、填空题 (共3题；共3分)15. （1分） (2019高三上·茂名月考) 已知两个向量，满足，，且与的夹角为，则 ________．16. （1分）数列{an}的前n项和，数列{bn}的通项公式为bn=n﹣8，则bnSn的最小值为________．17. （1分） (2018高二上·杭州期中) 在中，，当的面积等于时，________， ________.四、解答题 (共5题；共45分)18. （10分）(2016·绵阳模拟) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，向量 =（Sn ， 1）， =（2n﹣1，），满足条件∥ ，（1）求数列{an}的通项公式，（2）设函数f（x）=（）x ，数列{bn}满足条件b1=1，f（bn+1）= ．①求数列{bn}的通项公式，②设cn= ，求数列{cn}的前n项和Tn ．19. （10分） (2019高一下·长春月考) 已知向量，的夹角为60°，且| |=2，| |=1，（1）求• ；（2）求| + |．20. （5分）已知函数f（x）= cos2x﹣2sinxcosx﹣ sin2x．（I）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（II）求函数f（x）在区间[0， ]的最大值及所对应的x值．21. （10分） (2019高一下·宁波期中) 己知数列是各项均不为0的等差数列，为其前n项和，且满足，，数列的前n项和为 .（1）求数列的通项公式及数列的前n项和 .（2）是否存在正整数，使得，，成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由.22. （10分） (2019高一上·吉安月考) 已知二次函数（，为常数，且）满足条件：，且方程有两等根.（1）求的解析式；（2）求在上的最大值.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、双空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、填空题 (共3题；共3分)15-1、16-1、17-1、四、解答题 (共5题；共45分) 18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。

2023-2024学年新疆乌鲁木齐市高一下册第一次月考数学试题一、单选题1．已知复数z 满足1i z =-，则z 的虚部是（）A ．1-B ．1C ．i -D ．i【正确答案】A【分析】由虚部定义可得结果.【详解】由虚部定义可知：z 的虚部为1-.故选：A.2．已知,a b →→为非零不共线向量，向量8a k b →→-与k a b →→-+共线，则k =（）A ．B ．-C ．±D ．8【正确答案】C利用向量共线的充要条件是存在实数λ，使得8()a k b k a b λ→→→→-=-+，及向量相等列方程解得.【详解】解： 向量8a k b →→-与k a b →→-+共线，∴存在实数λ，使得8()a k b k a b λ→→→→-=-+，即8a k b k a b λλ→→→→-=-+，又 ,a b →→为非零不共线向量，∴8kk λλ=-⎧⎨-=⎩，解得.k =±故选：C.本题考查向量共线的条件，向量相等的条件，属于基础题.3．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若sin :sin :sin 2:4:5A B C =，则cos B =（）A ．1320B ．3740C ．516-D ．18【正确答案】A【分析】由正弦定理可得::sin :sin :sin 2:4:5a b c A B C ==，利用余弦定理可求得cos B 的值.【详解】因为::sin :sin :sin 2:4:5a b c A B C ==，令2a t =，4b t =，()50c t t =>，则2222224251613cos 222520a cb t t t B ac t t +-+-===⨯⨯.故选：A.4．如图，在△ABC 中，AB a = ，AC b = ，DC ＝3BD ，A E＝2EC ，则DE ＝（）A ．1334a b+ B ．53124a b-C ．3143a b+ D ．35412a b-+ 【正确答案】D【分析】直接按照平面向量的三角形法则及题目中比例关系进行化简即可.【详解】由平面向量的三角形法则，可知()313135354343412412DE DC CE BC ACAC AB AC AB AC a b ⎛⎫=+=+-=--=-+=-+ ⎪⎝⎭.故选：D.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ；若()sin sin sin a A b B A c C +=，则C =（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【正确答案】D【分析】利用正弦定理将已知式转化为边的形式，然后再利用余弦定理可求得结果【详解】因为sin (sin )sin a A b B A c C +=，所以由正弦定理得22()ab b c+=，化简得222a b c +-=，所以由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==因为(0,)C π∈，所以56C π=，即150C =︒故选：D6．已知4a = ，()1,0b =- 且()2a b b +⊥ ，则a 与b的夹角为（）A ．30B ．60C ．120D ．150【正确答案】C【分析】根据向量垂直和向量数量积运算律可构造方程求得a b ⋅，由向量夹角公式可求得结果.【详解】()2a b b +⊥ ，()22220a b b a b b a b ∴+⋅=⋅+=⋅+= ，解得：2a b ⋅=- ，21cos ,412a b a b a b⋅-∴<>===-⨯⋅ ，,120a b ∴<>=o r r .故选：C.7．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()2cos cos cos +=B a C c A b，sin 2C =，则ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【正确答案】C【分析】利用正弦定理边化角可求得cos B ，得到π3B =；结合特殊角三角函数值和三角形内角和为π可求得结果.【详解】由正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin +=B A C C A B ，()2cos sin 2cos sin sin B A C B B B ∴+==，又()0,πB ∈，sin 0B ∴≠，1cos 2B ∴=，则π3B =；sin 2C =，()0,πC ∈，π3C ∴=或2π3，又πB C +<，π3C ∴=，()ππ3A B C ∴=-+=，ABC ∴ 为等边三角形.故选：C.8．在△ABC 中，24CA CB ==，F 为△ABC 的外心，则CF AB ⋅=（）A ．-6B ．-8C ．-9D ．-12【正确答案】A【分析】设△ABC 的外接圆半径为r ，,CFA CFB βα∠=∠=.由余弦定理得到22cos 2r r α=-，和22cos 8r r β=-.把CF AB ⋅ 整理为CF AB ⋅22cos cos r r βα=-，整体代入即可.【详解】设△ABC 的外接圆半径为r ，,CFA CFB βα∠=∠=.由余弦定理得：2222cos BC BF CF BF CF α=+- ，即222cos r r α=-,所以22cos 2r r α=-2222cos AC AF CF AF CF β=+- ，即228cos r r β=-.所以22cos 8r r β=-.所以()CF AB CF AF FB+⋅=⋅ CF AF CF FB =+⋅⋅ 22cos cos cos cos r FC FA FC FB FC FA FC F r B βαβα=⋅⋅⋅⋅-=-=-因为22cos 2r r α=-，22cos 8r r β=-，所以()2222cos cos 826CF AB r r r r βα⋅=-=---=- .故选：A向量的基本运算处理的常用方法：(1)向量几何化：画出合适的图形，利用向量的运算法则处理；(2)向量坐标化：建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算处理．二、多选题9．下列说法错误的是（）A ．若//,//a b b c，则// a cB ．若a b =，则23a b<C ．对任意非零向量a，a a是和它共线的一个单位向量D ．零向量没有方向【正确答案】ABD【分析】对于A ，举例判断即可，对于B ，向量不能比较大小，对于C ，由单位向量的定义判断，对于D ，由向量的定义判断【详解】对于A ，当0b = 时，满足//,//a b b c，而a 与c 不一定共线，所以A 错误，对于B ，因为向量是有方向和大小的量，所以向量不能比较大小，所以B 错误，对于C ，因为a是非零向量，所以a a是和它共线的一个单位向量，所以C 正确，对于D ，因为向量是有方向和大小的量，所以零向量是有方向的，它的方向是任意的，所以D 错误，故选：ABD10．在△ABC 中，下列说法正确的是（）A ．若2sin a b A =，则6B π=B ．若A B >，则sin sin A B>C．45AB B ∠︒==，若AC =D ．若222b c a +>，则△ABG 为锐角三角形【正确答案】BC【分析】由正弦定理对选项ABC 进行变形求解，由余弦定理判断D ．【详解】选项A ，2sin a b A =由正弦定理得sin 2sin sin A B A =，三角形中sin 0A ≠，所以1sin 2B =，而(0,)B π∈，所以6B π=或56B π=，A 错；选项B ，△ABC 中，sin sin a bA B=，所以sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，B 正确；选项C ，由于sin sin AB ACC B=，4sin 3C π==，又AC AB <，所以C B >，C 角可能为锐角也可能为钝角，三角形有两解，C 正确；选项D ，222b c a +>，由余弦定理得cos 0A >，A 为锐角，但,B C 两个角大小不确定，不能得出其为锐角三角形，D 错．故选：BC ．11．下列说法正确的是（）A ．在ABC 中，12BD DC =，E 为AC 的中点，则1263DE AC AB=-B ．已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭，则ABC 是等腰三角形C ．已知()3,4a = ，()0,1b =- ，则a 在b上的投影向量是()0,4D ．在边长为4的正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，且3BE EC =，点F 是CD 中点，则8AE BF ⋅= 【正确答案】ABC【分析】利用向量线性运算直接推导可得A 正确；设ABAC AP ABAC=+ ，可知直线AP 为BAC ∠的角平分线，结合⊥AP BC 可知B 正确；利用投影向量的求法可求得C 正确；以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算可知D 错误.【详解】对于A，如图所示，()2211233263DE DC CE BC EC AC AB AC AC AB =+=-=--=-，A 正确；对于B ，设AB ACAP AB AC=+，AB AB 表示与AB 同向的单位向量，AC ACuuu r uuu r 表示与AC 同向的单位向量，∴直线AP 为BAC ∠的角平分线，又0AP BC ⋅=，即⊥AP BC ，AB AC ∴=，ABC ∴ 为等腰三角形，B 正确；对于C ，cos ,4a ba ab b⋅<>==-，()0,1b b b==-，a ∴r 在b上的投影向量为()cos ,0,4b a a b b<>⋅=，C 正确；对于D ，以A 为坐标原点，,AB AD正方向为,x y 轴，可建立如图所示平面直角坐标系，则()0,0A ，()4,0B ，()4,3E ，()2,4F ，()4,3AE ∴= ，()2,4BF =-，()42344AE BF ∴⋅=⨯-+⨯=，D 错误.故选：ABC.12．已知两个不相等的非零向量,a b，两组向量12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 均由3个a 和2个b排列而成，记1122334455min ,S x y x y x y x y x y S =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 表示S 所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是（）A ．S 有3个不同的值B ．22min22S a a b b=+⋅+ C ．若//a b ，则min S 与b 无关D ．若2min ||2||,4||a b S b == ，则a b⊥【正确答案】AD【分析】求出S 的三种结果，得出min S ，对选项进行分析得出答案.【详解】,(1234.5i i x y i = ，，，）均由3个a和2个b 排列而成，所以1122334455S x y x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 可能情况有三种︰22132S a b =+；2222S a a b b =+⋅+ ；234S a b a =⋅+ ，故A 选项正确；()222221223220S S S S a b a b a b a b a b-=-=+-⋅≥+-=-≥.则S 中最小为234S a b a =⋅+ ，即2min 4S a b a =⋅+，B 选项错误；若//a b 则2min 4S a b a =⋅+ 与b 有关，故C 选项错误；若2a b = ，222min 4444S a b a a b b b =⋅+=⋅+= ，有0a b ⋅= ，则a b ⊥ ，D 选项正确.故选：AD ．三、填空题13．已知点(1,2)A ，点(4,5)B ，若2AP PB =，则点P 的坐标是________．【正确答案】P （3,4）【详解】试题分析：设(),P x y ，代入2AP PB =得()()1,224,53,3x y x y x y --=--∴==()3,3P ∴向量的坐标运算14．设23i 4i a b +=+，其中,a b 是实数，则i a b +=__________．【分析】由23i 4i a b +=+可得23a b =⎧⎨=⎩，从而得i 23i a b +=+，再根据复数的模定义即可求得i a b +.【详解】解：因为23i 4i a b +=+，所以243a b =⎧⎨=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩，所以i 23i a b +=+，所以|a b +15．李子坝站的“单轨穿楼”是重庆轨道交通的一大特色，吸引众多A 游客打卡拍照.阿伟为了测量李子坝站站台距离地面的高度AB ，采取了以下方法：在观最台的D 点处测得站台A 点处的仰角为45 ；后退15米后，在F 点处测很站台A 点处的仰角为30 ，已知阿伟的眼睛距离地面高度为 1.5CD EF ==米，则季子坝站站台F 的高度AB 为___________米.153182+【分析】假设AG 长度，AGC 使用勾股定理，AEC △使用正弦定理，解出AG 高度，进而求出AB 高度.【详解】假设AG 高度为x 米，则AC 2米，对AEC △使用正弦定理得：sin sin AC CEAEC CAE=行，所以sin 30sin(4530)AC CE=-o o，所以215sin 30sin 45cos30cos 45sin 30=-o o oo o，所以216224-x =解得15(31)2x =，所以1531315318222（）==AB +，故153182+16．在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，它的面积等于)22234b c a +-且2222b c a a +=+，则ABC 的面积的取值范围是_________.【正确答案】333,2⎭【分析】根据三角形面积公式化简已知等式可求得A ，结合余弦定理可求得2a bc =，利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换知识可求得31π1sin 2264bc B =⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由正弦型函数值域求法可求得bc 取值范围，代入三角形面积公式即可.【详解】)2221sin 24ABCb c a S A +-==，2221sin 24b c a A A bc +-==，即tan A =π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π3A ∴=；由2222b c a a +=+得：22221cos 222b c a a a A bc bc bc +-====，2a bc ∴=；由正弦定理得：πsin sin sin 2sin 3a b c bcA B C ===，b ∴=sin c B =，()33sin sin sin sin bc B C B A B ∴===+⎝⎭31π1sin 2264B =⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；ABC 为锐角三角形，π022ππ032B C B ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<=-<⎪⎩，解得：ππ62B <<，ππ5π2666B ∴<-<，1πsin 2126B ⎛⎫∴<-≤ ⎪⎝⎭，则[)4,6bc ∈，1sin 242ABC S bc A bc ⎫∴==∈⎪⎪⎭.故答案为.⎭四、解答题17．已知复数()222159i z m m m =--+-，其中R m ∈.(1)若z 为实数，求m 的值；(2)若z 为纯虚数，求1iz+的值.【正确答案】(1)3m =±(2)88i+【分析】（1）由题意得290m -=，求解即可；（2）先由题意求得16i z =，再根据复数的除法法则化简复数1iz +，由此可求得答案.【详解】（1）若z 为实数，则290m -=，解得3m =±．（2）若z 为纯虚数，则22215090m m m ⎧--=⎨-≠⎩，解得5m =，∴16i z =，故()()()16i 1i 16i 88i 1i 1i 1i 1i z -===++++-，18．已知向量,a b 满足()()26a b a b +⋅-=- ，且1a = ，2b = .(1)求a b ⋅ ；(2)求a 与b 的夹角θ(3)求a b + .【正确答案】(1)1-(2)2π3【分析】（1）根据向量数量积的运算律可直接构造方程求得结果；（2）利用向量夹角公式直接求解即可；（3）由a b + .【详解】（1）()()222276a b a b a a b b a b +⋅-=-⋅-=--⋅=- ，1a b ∴⋅=- .（2）11cos 122a b a b θ⋅-===-⨯⋅ ，又[]0,πθ∈，2π3θ∴=.（3）a b += 19．已知平面向量()1,a x = ，()23,b x x =+- ，x ∈R .(1)若a b ⊥ ，求a b - ；(2)若a 与b 的夹角为锐角，求x 的取值范围.【正确答案】(1)2或10(2)()()1,00,3-【分析】（1）根据垂直关系可构造方程求得x ，由向量模长的坐标运算可求得结果；（2）根据向量共线的坐标表示可求得x 的值，根据夹角为锐角可构造不等式组求得结果.【详解】（1）a b ⊥ ，2230a b x x ∴⋅=+-= ，解得：=1x -或3x =，当=1x -时，()0,2a b -=- ，2a b ∴-= ；当3x =时，()8,6a b -=-，10a b ∴-=；综上所述：2a b -= 或10（2）若,a b 共线，则()23x x x -=+，解得：0x =或2x =-，当0x =时，()1,0a = ，()3,0b = ，此时,a b 同向；当2x =-时，()1,2a =- ，()1,2b =- ，此时,a b 反向；∴若a 与b 的夹角为锐角，则22300a b x x x ⎧⋅=+->⎪⎨≠⎪⎩，解得：13x -<<且0x ≠，x ∴的取值范围为()()1,00,3- .20．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin sin sin A C a b B a c--=+.（1）求角C 的大小；（2）若c =AB 边上的中线长为5，求ABC 的面积.【正确答案】（1）3π；（2）2.【分析】（1）利用正弦定理将角化边，反凑余弦定理，即可求得C ；（2）倍长中线至CD ，在DAC △中由余弦定理，结合（1）中所求，即可求得ab ，由面积公式即可求得结果.【详解】（1）由正弦定理得a c a b b a c--=+，化简得222a b c ab +-=.由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，由()0,πC ∈可得π3C =.（2）倍长AB 边上的中线至CD ，连接DA ，在DAC △中，由CAD ∠的余弦定理可得22221001cos 10022a b CAD a b ab ab +-∠==-⇒++=，又由（1）知222a b c ab +-=即2248a b ab +-=，所以26ab =，所以113133sin 262222S ab C ==⨯=.本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，属综合基础题.21．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin sin 1sin sin sin sin A b B B C b A c B +=++(1)求角C ；(2)CD 是ACB ∠的角平分线，若33CD =，ABC 的面积为23c 的值.【正确答案】(1)3C π=；(2)23c =【分析】（1）先由正弦定理得21a b b c ba cb+=++，化简整理得222a b c ab +-=，再由余弦定理求得cos C ，即可求解；（2）先由面积求得8ab =，再由角平分线得AD b BD a =，结合平面向量得a b CD CA CB a b a b=+++ ，平方整理求得6a b +=，再由（1）中222a b c ab +-=即可求出c 的值.【详解】（1）由正弦定理得21a b b c ba cb+=++，即1a b b c a c +=++，整理得()()()()a a c b b c a c b c +++=++，化简得222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，又()0,C π∈，则3C π=；（2）由面积公式得11sin 222ab C ab ==8ab =，又CD 是ACB ∠的角平分线，则1sin 261sin 26ACD BCD CA CD S CA AD S CB BD CB CD ππ⋅⋅⋅===⋅⋅⋅ ，即AD b BD a =，则()b b a b CD CA AD CA AB CA CB CA CA CB a b a b a b a b =+=+=+-=+++++ ，所以()()()2222222222a b a ab b CD CA CB CA CA CB CB a b a b a b a b a b ⎛⎫=+=+⋅+ ⎪++⎝⎭+++ ，即()()()2222222162132a b ab a b ab a b a b a b =+⋅⋅++++，整理得()2221633a b a b =+，又8ab =，解得6a b +=，则()222220a b a b ab +=+-=，由（1）知22220812c a b ab =+-=-=，则c =.22．如图，某巡逻艇在A 处发现北偏东30°B 处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以/小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C 处，走私船到达D 处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以/小时的速度沿着直线追击(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船【正确答案】(1).(2)巡逻艇应该北偏东75︒方向去追，才能最快追上走私船.【分析】（1）在ABC 中，解三角形得BC =45ABC ︒∠=，在BCD △中，由余弦定理求得CD .（2）在BCD △中，解三角形得60BCD ︒∠=，90BDC ︒∠=，得到135CDE ︒∠=，在CDE 中，由正弦定理求得30∠= DCE ，结合图形知巡逻艇的追赶方向.【详解】（1）由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D 处，巡逻艇在C 处，此时313,1BD AC =⨯===由题意知903060BAC ︒︒︒∠=-=在ABC 中，AB AC =+=由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC BAC=+-⋅⋅∠221122=++-+⋅=所以BC =在ABC 中，由正弦定理得sin sin AC BC ABC BAC =∠∠，即sin sin 60ABC ︒=∠所以sin 45,ABC ABC ︒∠=∴∠=（135 舍去）所在180604575ACB ︒︒︒︒∠=--=又180********CBD ︒︒︒︒︒∠=---=在BCD △中，30,3,CBD BD BC ︒∠===由余弦定理得2222cos 30CD BC BD BC BD ︒=+-⋅⋅(22323cos33︒=+-⋅=⨯CD ∴=.（2）当巡逻艇经过t 小时经CE 方向在E 处追上走私船，则,3,3CE DE t CD ===在BCD △中，由正弦定理得：sin sin sin CD BD BC CBD BCD BDC ==∠∠∠3sin BCD ==∠所以sin 60BCD BCD ︒∠=∴∠=，90,135BDC CDE ︒︒∠=∠=在CDE 中，由正弦定理得：sin sin CE DE CDE DCE =∠∠则1sin2DCE ︒∠==，故30∠= DCE （150 舍）ACE ACB BCD DCE ∠=∠+∠+∠7560309075︒︒︒=+++ ＝故巡逻艇应该北偏东75︒方向去追，才能最快追上走私船.。