集合表示方法
课堂探究
探究一 用列举法表示集合
1．用列举法表示集合时，一般不必考虑元素间前后顺序，如{a，b}与{b，a}表示同一个集合．
2．元素与元素之间必须用“，〞隔开．
3．集合中元素不能重复．
4．列举法也可以表示无限集．
【典型例题1】 用列举法表示以下集合：
(1)36与60公约数构成集合；
(2)方程(x－4)2(x－2)＝0根构成集合；
(3)一次函数y＝x－1与y＝－23x＋43图象交点构成集合．
思路分析：(1)要明确公约数含义；(2)注意4是重根；(3)要写成点集形式．
解：(1)36与60公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合可表示为{1,2,3,4,6,12}；
(2)方程(x－4)2(x－2)＝0根是4,2，所求集合可表示为{2,4}；
(3)方程y＝x－1与y＝－23x＋43可分别化为x－y＝1与2x＋3y＝4，那么方程组解是所求集合可表示为.
探究二 用描述法表示集合
1．使用描述法表示集合时要注意以下几点：
(1)写清元素符号；
(2)说明该集合中元素性质；
(3)不能出现未被说明字母；
(4)多层描述时，应当准确使用“且〞“或〞；
(5)所有描述内容都要写在集合符号内；
(6)用于描述语句力求简明、准确．
2．集合A＝{x|y＝x2＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}与C＝{(x，y)|y＝x2＋1}不是一样集合．这是因为集合A代表元素是x，且x∈R；集合B代表元素是y，且y≥1；集合C代表元素是(x，y)，且(x，y)表示平面直角坐标系内抛物线y＝x2＋1上点，所以它们是互不一样集合．
3．{三角形}实际上是{x|x是三角形}简写，千万别理解成是由三个汉字组成集合，三角形构成集合不要写成{所有三角形}，因为{ }本身就有“所有〞含义．
【典型例题2】 用描述法表示以下集合：
(1)小于10所有非负整数构成集合； (2)数轴上与原点距离大于3点构成集合；
1 第一章章末检测
(时间：120分钟，满分150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．在空间直角坐标系中，点P
(－2，1，4)关于x
轴的对称点的坐标是( )
A．(－2，－1，－4) B．(－2，1，－4)
C．(2，－1，4) D．(2，1，－4)
【答案】A
【解析】关于x
轴对称的点横坐标相等，纵坐标和竖坐标相反．故选A．
2．已知a
＝(1，2，－y
)，b
＝(x
，1，2)，且(a
＋2b
)∥(2a
－b
)，则( )
A．x
＝1
3，y
＝1 B．x
＝1
2，y
＝－4
C．x
＝2，y
＝－1
4 D．x
＝1，y
＝－1
【答案】B
【解析】由题意可得，a
＋2b
＝(1＋2x
，4，4－y
)，2a
－b
＝(2－x
，3，－2y
－2)．∵(a
＋2b
)∥(2a
－b
)，∴∃λ
∈R，使a
＋2b
＝λ
(2a
－b
)，得
1＋2x
＝λ
（2－x
），
4＝3λ
，
4－y
＝λ
（－2y
－2），解得
λ
＝4
3，
x
＝1
2，
y
＝－4.故选B．
3．已知空间三点O
(0，0，0)，A
(－1，1，0)，B
(0，1，1)，在直线OA
上有一点H
满
足BH
⊥OA
，则点H
的坐标为( )
A．(－2，2，0) B．(2，－2，0)
C．
－1
2，1
2，0
D．
1
2，－1
2，0
【答案】C
【解析】由OA→
＝(－1，1，0)，且点H
在直线OA
上，可设H
(－λ
，λ
，0)，则BH→
＝(－
λ
，λ
－1，－1)．又因为BH
⊥OA
，所以BH→
·OA→
＝0，即(－λ
，λ
－1，－1)·(－1，1，0)
＝0，即λ
＋λ
－1＝0，解得λ
＝1
2，所以H
－1
2，1
2，0
．
4．在平行六面体ABCD
－A
1B
1C
1D
1中，向量AB
1→
，AD
1→
，BD→
是( )
2 A．有相同起点的向量 B．等长的向量
C．不共面向量 D．共面向量
【答案】D
【解析】因为AD
1→
－AB
1→
＝B
一、选择题
1．点P对应的复数为33i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为（ ）
A．332,4
B．532,4 C．53,4 D．33,4
2．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为2sin42a，曲线2C的参数方程为cossinxy（为参数，0）.若1C与2C有且只有一个公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．2 B．(2,2) C．[1,1) D．[1,1)或2
3．在极坐标系中，点,与,的位置关系为（ ）
A．关于极轴所在直线对称 B．关于极点对称
C．重合 D．关于直线2R对称
4．在极坐标系中，已知A（1，π3），B（2，2π3）两点，则|AB|＝（ ）
A．2 B．3 C．1 D．5
5．在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为22162xy，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()36，射线M的极坐标方程为(0).设射线m与曲线C、直线l分别交于A、B两点，则2211OAOB的最大值为（ ）
A．34 B．25 C．23 D．13
6．04表示的图形是( )
A．一条线段 B．一条直线 C．一条射线 D．圆
7．在极坐标系中，点到直线的距离是（ ）．
A． B． C． D．
8．已知点P的直角坐标(2,23)，则它的一个极坐标为（ ） A．(4，3)
B．(4，43)
C．(-4，6)
D．(4，76)
9．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，长度单位不变，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρcos(θ－3)＝1，M，N分别为曲线C与x轴、y轴的交点，则MN的中点的极坐标为（ ）
1 / 15【2019-2020年度】人教B版高中数学-选修4-4教学案-第一章球坐标系（Word）
[读教材·填要点]
1．球坐标系
设空间中一点M的直角坐标为(x，y，z)，点M在xOy坐标面上的投影点为M0，连接OM和OM0，设z轴的正向与向量的夹角为φ，x轴的正向与0的夹角为θ，M点到原点O的距离为r，则由三个数r，θ，φ构成的有序数组(r，θ，φ)称为空间中点M的球坐标．在球坐标中限定r≥0，0≤θ<2π，0≤φ≤π.OMOM
2．直角坐标与球坐标的转化
空间点M的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为 x＝rsin φ·cos θ，y＝rsin φ·sin θ，z＝rcos φ.
[小问题·大思维]
球坐标与平面上的极坐标之间有什么关系？
提示：空间某点的球坐标中的第二个坐标θ就是该点在xOy平面上投影点的极坐标中的第二个坐标θ.
将球坐标化为直角坐标
[例1] 已知点M的球坐标为，求它的直角坐标．
[思路点拨] 本题考查球坐标与直角坐标的变换关系．解答本题需要先搞清球坐标中各个坐标的意义，然后代入相应的公式求解即可．
[精解详析] ∵M的球坐标为，
2 / 15∴r＝5，φ＝，θ＝.
由变换公式 x＝rsin φcos θ，y＝rsin φsin θ，z＝rcos φ，
得 x＝5sin5π6cos 4π3＝－54，y＝5sin5π6sin4π3＝－534，z＝5cos 5π6＝－532.
故它的直角坐标为.
已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求解，但要分清哪个角是φ，哪个角是θ.
1．已知点P的球坐标为，求它的直角坐标．
解：由变换公式得
x＝rsin φcos θ＝4sin cos＝2，
y＝rsin φsin θ＝4sin sin ＝2，
z＝rcos φ＝4cos＝－2.
∴它的直角坐标为(2,2，－2).
将直角坐标化为球坐标
