向量与三角形内心

三角形的“四心”之青柳念文创作

所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及心坎.当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心.

一、三角形的外心

定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，

即外接圆圆心.ABC的重心一般用字母O暗示.

性 质：

1.外心到三顶点等距，即OCOBOA.

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即ABOFACOEBCOD,,.

3.向量性质：若点O为ABC所在的平面内一点，知足ACOAOCCBOCOBBAOBOA)()()(，则点O为ABC的外心.

二、三角形的心坎

定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的心坎，即内切圆圆心.ABC的心坎一般用字母I暗示，它具有如下性质：

性 质：

1.心坎到三角形三边等距，且顶点与心坎的连线平分顶角. 2.三角形的面积＝21三角形的周长内切圆的半径．

3.向量性质：设,0，则向量)||||(ACACABABAP，则动点P的轨迹过ABC的心坎.

三、三角形的垂心

定 义：三角形三条高的交点叫重心.ABC的重心一般用字母H暗示.

性 质：

1.顶点与垂心连线必垂直对边，

即ABCHACBHBCAH,,.

2.向量性质：

结论1：若点O为ABC所在的平面内一点，知足OAOCOCOBOBOA，则点O为ABC的垂心.

结论2：若点O为△ABC所在的平面内一点，知足222222ABOCCAOBBCOA，

则点O为ABC的垂心.

四、三角形的“重心”：

定 义：三角形三条中线的交点叫重心.ABC的重心一般用字母G暗示.

性 质：

G的连线必平分对边.

2.重心定理：三角形重心与顶点的间隔等于它与对边中点的间隔的2倍.

即GFGCGEGBGDGA2,2,2

3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇

一、四心的概念介绍

（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；

（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；

（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；

（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四心与向量的结合

（1）0OCOBOAO是ABC的重心.

证法1：设),(),,(),,(),,(332211yxCyxByxAyxO

0OCOBOA0)()()(0)()()(321321yyyyyyxxxxxx33321321yyyyxxxx

O是ABC的重心.

证法2：如图

OCOBOA

02ODOA

ODAO2

DOA、、三点共线，且O分AD

为2：1

O是ABC的重心

（2）OAOCOCOBOBOAO为ABC的垂心.

证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.

0)(CAOBOCOAOBOCOBOBOA

ACOB

同理BCOA，ABOC

O为ABC的垂心

（3）设a,b,c是三角形的三条边长，O是ABC的内心

OOCcOBbOAa0为ABC的内心.

证明：bACcAB、分别为ACAB、方向上的单位向量，

bACcAB平分BAC,

(AObACcAB)，令cbabc OABCDEOABCDEcbabcAO（bACcAB)

化简得0)(ACcABbOAcba

0OCcOBbOAa

（4）OCOBOAO为ABC的外心。

典型例题：

例1：O是平面上一定点，CBA、、是平面上不共线的三个点，动点P满足)(ACABOAOP，,0 ，则点P的轨迹一定通过ABC的（ ）饱鎩痫臏讳淪紇囑髌属魘三谭屜岁銩镡顯檣釤鹘碩阆滾磽痈尋鉚擴涡杩謙櫚莺谖謚鮮窑扪鱭閘饅饶笺凭糲飙硤偬递藥奩悵鋯鳖肿鱟凤塏擇。

三角形外心内心重心垂心与向量性质 精品文档

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 三 角 形 的“四 心”

所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心

定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，

即外接圆圆心。ABC的重心一般用字母O表示。

性 质：

1.外心到三顶点等距，即OCOBOA。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即ABOFACOEBCOD,,.

3.向量性质：若点O为ABC所在的平面内一点，满足ACOAOCCBOCOBBAOBOA)()()(，则点O为ABC的外心。

二、三角形的内心

定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。ABC的内心一般用字母I表示，它具有如下性质：

性 质：

1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2.三角形的面积＝21三角形的周长内切圆的半径．

3.向量性质：设,0，则向量)||||(ACACABABAP，则动点P的轨迹过ABC的内心。

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三、三角形的垂心

定 义：三角形三条高的交点叫重心。ABC的重心一般用字母H表示。

性 质：

1.顶点与垂心连线必垂直对边，

即ABCHACBHBCAH,,。

2.向量性质：

结论1：若点O为ABC所在的平面内一点，满足OAOCOCOBOBOA，则点O为ABC的垂心。

结论2：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足222222ABOCCAOBBCOA，

则点O为ABC的垂心。

四、三角形的“重心”：

定 义：三角形三条中线的交点叫重心。ABC的重心一般用字母G表示。

性 质：

1.顶点与重心G的连线必平分对边。

1

三 角 形 的“四 心”

所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，

四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心

定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心， 即外接圆圆心。 ABC的重心一般用字母O表示。

性 质：

1.外心到三顶点等距，即OA= OB=OC。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即

OD⊥BC,OE⊥ AC,OF ⊥ AB .

3.向量性质：若点O为ABC所在的平面内一点，满足

(OA+OB)BA=(OB+OC)CB=(OC+OA)AC，则点O为ABC的外心。

二、三角形的内心

定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆 圆心。 ABC的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质： 性 质：

1. 内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2. 三角形的面积＝ 1 三角形的周长内切圆的半径．

2

3.向量性质：设(0,+)，则向量AP=( AB + AC )，则动

| AB | | AC |

点P的轨迹过ABC的内心。2

三、三角形的垂心

定 义：三角形三条高的交点叫重心。 ABC的重心一般用字母H表

示。

性 质：

1.顶点与垂心连线必垂直对边，

即AH ⊥ BC,BH ⊥ AC,CH ⊥ AB 。

2.向量性质：

结论1 ： 若 点 O 为 ABC 所 在 的 平 面 内 一 点 ， 满 足 OAOB=OBOC=OCOA，则点O为ABC的垂心。

2 2 2 2 2 2

结论2：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足OA2+BC2 = OB2 +CA2 =OC2+AB2， 则点O为ABC的垂心。

四、三角形的“重心”：

定 义：三角形三条中线的交点叫重心。ABC的重心一般用字母 G

表示。

性 质：

1.顶点与重心G 的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2