第四篇 第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切

第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切

A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1.sin 20°cos 20°cos 50°＝ ( )．

A．2 B.22 C.2 D.12

解析 原式＝sin 40°2cos 50°＝sin 40°2sin 40°＝12.

答案 D

2．(2013·汕头调研)若1＋cos 2αsin 2α＝12，则tan 2α等于 ( )．

A.54 B．－54 C.43 D．－43

解析 1＋cos 2αsin 2α＝2cos2α2sin αcos α＝cos αsin α＝12，

∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan2α＝41－4＝－43，故选D.

答案 D

3．若tanπ4－θ＝3，则cos 2θ1＋sin 2θ＝ ( )．

A．3 B．－3 C.34 D．－34

解析 ∵tanπ4－θ＝1－tan θ1＋tan θ＝3，∴tan θ＝－12.

∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos2θ－sin2θsin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ

＝1－tan2θtan2θ＋2tan θ＋1＝1－1414－1＋1＝3. 答案 A

4．(2013·东北三校)已知sin θ＋cos θ＝430

A.23 B．－23 C.13 D．－13

解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝169，∴sin 2θ＝79，又0

答案 B

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．设f(x)＝1＋cos 2x2sinπ2－x＋sin x＋a2sinx＋π4的最大值为2＋3，则常数a＝________.

解析 f(x)＝1＋2cos2x－12cos x＋sin x＋a2sinx＋π4

＝cos x＋sin x＋a2sinx＋π4

＝2sinx＋π4＋a2sinx＋π4＝(2＋a2)sinx＋π4.

依题意有2＋a2＝2＋3，∴a＝±3.

答案 ±3

6．(2012·江苏)设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则

sin2α＋π12的值为________．

解析 ∵α为锐角且cosα＋π6＝45，

∴α＋π6∈π6，2π3，∴sinα＋π6＝35.

∴sin2α＋π12＝sin2α＋π6－π4

＝sin 2α＋π6cos π4－cos 2α＋π6sin π4 ＝2sinα＋π6cosα＋π6－222cos2α＋π6－1

＝2×35×45－222×452－1＝12225－7250＝17250.

答案 17250

三、解答题(共25分)

7．(12分)已知函数f(x)＝cos2x2－sin x2cos x2－12.

(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；

(2)若f(α)＝3210，求sin 2α的值．

解 (1)由已知，f(x)＝cos2x2－sin x2cos x2－12

＝12(1＋cos x)－12sin x－12＝22cosx＋π4.

所以f(x)的最小正周期为2π，值域为－22，22.

(2)由(1)知，f(α)＝22cosα＋π4＝3210，

所以cosα＋π4＝35.

所以sin 2α＝－cosπ2＋2α＝－cos2α＋π4

＝1－2cos2α＋π4＝1－1825＝725.

8．(13分)(2012·天津)已知函数f(x)＝sin2x＋π3＋sin2x－π3＋2cos2x－1，x∈R.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求函数f(x)在区间－π4，π4上的最大值和最小值．

解 (1)f(x)＝sin 2x·cosπ3＋cos 2x·sinπ3＋sin 2x·cosπ3－cos 2x·sinπ3＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝2sin2x＋π4.

所以，f(x)的最小正周期T＝2π2＝π. (2)因为f(x)在区间－π4，π8上是增函数，在区间π8，π4上是减函数．又f－π4＝－1，fπ8＝2，fπ4＝1，故函数f(x)在区间－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1.

B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1．(2013·榆林模拟)若tan α＝lg(10a)，tan β＝lg1a，且α＋β＝π4，则实数a的值为 ( )．

A．1 B.110 C．1或110 D．1或10

解析 tan(α＋β)＝1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝lg10a＋lg1a1－lg10a·lg1a＝1⇒lg2a＋lg a＝0，所以lg a＝0或lg a＝－1，即a＝1或110.

答案 C

2．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈0，π2，则cos(α－β)的值等于 ( )．

A．－12 B.12 C．－13 D.2327

解析 ∵cos α＝13，α∈0，π2，

∴sin α＝223，∴sin 2α＝429，cos 2α＝－79.

又cos(α＋β)＝－13，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝223.

∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]

＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)

＝－79×－13＋429×223＝2327.

答案 D

二、填空题(每小题5分，共10分) 3．已知cosπ4－α＝1213，且α∈0，π4，则cos 2αsinπ4＋α＝________.

解析 ∵cosπ4－α＝22(cos α＋sin α)＝1213，

∴sin α＋cos α＝12213，

1＋2sin αcos α＝288169，2sin αcos α＝119169，

1－2sin αcos α＝50169，

又∵α∈0，π4，∴cos α>sin α，∴cos α－sin α＝5213，

cos 2αsinπ4＋α＝cos2α－sin2α22sin α＋22cos α＝2(cos α－sin α)＝1013.

答案 1013

4．(2013·九江模拟)方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>2)的两根为tan A，tan B，且A，B∈－π2，π2，则A＋B＝________.

解析 由题意知tan A＋tan B＝－3a<－6，tan A·tan B＝3a＋1>7，∴tan A<0，tan B<0，

tan(A＋B)＝tan

A＋tan B1－tan Atan B＝－3a1－3a＋1＝1.

∵A，B∈－π2，π2，∴A，B∈－π2，0，

∴A＋B∈(－π，0)，∴A＋B＝－3π4.

答案 －3π4

三、解答题(共25分)

5．(12分)已知sin α＋cos α＝355，α∈0，π4，sinβ－π4＝35，β∈π4，π2.

(1)求sin 2α和tan 2α的值；

(2)求cos(α＋2β)的值． 解 (1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，

即1＋sin 2α＝95，∴sin 2α＝45.

又2α∈0，π2，∴cos 2α＝1－sin22α＝35，

∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43.

(2)∵β∈π4，π2，β－π4∈0，π4，sinβ－π4＝35，

∴cosβ－π4＝45，

于是sin 2β－π4＝2sinβ－π4cosβ－π4＝2425.

又sin 2β－π4＝－cos 2β，∴cos 2β＝－2425，

又2β∈π2，π，∴sin 2β＝725，

又cos2α＝1＋cos 2α2＝45，α∈0，π4，

∴cos α＝255，sin α＝55.

∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β

＝255×－2425－55×725＝－11525.

6．(13分)(2012·四川)函数f(x)＝6cos2ωx2＋ 3sin ωx－3(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．

(1)求ω的值及函数f(x)的值域；

(2)若f(x0)＝8 35，且x0∈－103，23，求f(x0＋1)的值．

解 (1)由已知可得，f(x)＝3cos ωx＋

3sin ωx

＝23sinωx＋π3，

又正三角形ABC的高为23，从而BC＝4， 所以函数f(x)的周期T＝4×2＝8，即2πω＝8，ω＝π4.

函数f(x)的值域为[－23，23]．

(2)因为f(x0)＝835，

由(1)有f(x0)＝23sinπx04＋π3＝835，

即sinπx04＋π3＝45.

由x0∈－103，23，知πx04＋π3∈－π2，π2，

所以cosπx04＋π3＝ 1－452＝35.

故f(x0＋1)＝23sinπx04＋π4＋π3

＝23sinπx04＋π3＋π4

＝23sinπx04＋π3cosπ4＋cosπx04＋π3sinπ4

＝23×45×22＋35×22＝765.

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