一、基础知识 1 定义在自变量域我们对同一个点从两个方向趋近，这两个趋近方向的夹角与在因变量上趋近的方向夹角一致，称为保角变换 2泊松方程与拉普拉斯方程对于泊松方程：20ρϕε∇=（在静电场中，可以表示电势与电荷的分布关系） 同时在没有电荷分布的地方满足拉普拉斯方程：20ϕ∇=3将在原来复杂的区域上的表达式通过一个变换，折射到宁一个区域上，使得某一分布函数得到简化变换的条件是泊松方程与拉普拉斯方程仍然成立22222x y∂∂∇=+∂∂，同时，我们定义x 、y 为ξ、η的函数：(,)x ξη、(,)y ξη 则x x x ξηξη∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂2222222()x x x x x x x x x x ξηξξηηξηξξηη∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+++ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 其中：222x x x x x ξηξηξξξηξξηξ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+=+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 同理：222x x x x x ηξηξηηηξηηξη∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+=+⋅ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 所以：222222222222x x x x x x x ξηξηξηξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ =++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 同理：222222222222y y y y y y y ξηξηξηξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++++ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 所以拉普拉斯方程变换为：22222222222222222222222x y x y x y xy xy x y y x ξξηηξξηηξηξηξηξηξη ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ ∇=+=+++++++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂要满足保角变换，其实部与虚部都需要满足拉普拉斯方程：20ξ∇=、20η∇= 将实部与虚部要满足的拉普拉斯方程代入上式：2222222222222x y x y x y ξξηηξη∂∂∂∂∂∂∂∂ ∇=+=+++∂∂∂∂∂∂∂∂ ()'f z ix xξη∂∂=+∂∂（对于趋近方向为：0,0x y ∆→∆=） 222222"()f z x x x y y x ξηξξηη ∂∂∂∂∂∂=+=+=+ ∂∂∂∂∂∂将其代入：22222222'()'()'f z f z ξη ∂∂∇=+=∇∂∂也就是说，原坐标下的拉普拉斯方程与泊松方程变换为：220'0ϕϕ∇=⇒∇=222001''()f z ρρϕϕεε∇=⇒∇= 那么对于一个线段，在原坐标系下长度为1，其在新的坐标系下长度为'()f z 二、常用的保角变换1. 线性变换f az b =+，显然'f a =，其几何效果如下：线性变换一般不单独使用：仅对原来的二位分布做了位似2.幂和根式n xn f z = i n in z Ae f A e ϕϕ=⇒=用来处理过原点的射线，原来的射线的长度ρ的取值范围为（0，+∞），求幂或根还是（0，+∞）将原来的自变量求幂次积，几何效果如下：假设有变换3f z =，其效果为：将原来的60°夹角变为180°，并且其中的点的分布也随之扩大角度，假设原来的函数为电势分布函数，求p 点的电势，则通过变换之后，在新的复平面得到了一个平行分布的电势图，设新的电势分布图中，边界上的电势为V 0，则空间中的电势分布为0u V C η=+⋅，其中，C 为常数，C 与介质表面的面密度σ相关，其正负与σ的正负相反我们在新的复平面中求出电势的表达式之后，再求逆变换得到在原来的复平面上的电势表达式：0u V C η=+⋅中，由原来的变换：()()()32332322333(3)(3)i x iy x x iy x iy iy x xy i x y y ξη+=+=+⋅++=−+−由实部对实部，虚部对虚部，得：233x y y η=− 将η代入电势表达式中：()2303u V C x y y =+⋅−得到电势关于x 、y 的表达式同理可以得到将原来的复平面上的表达式开根得到将原来的夹角缩小相应的倍数的变换方法3. 指对数变换（一）、对于指数函数：()z x iy x iy f e e e e +===⋅此处需要注意，这里使用了复变函数的幅角表示法，即：i z Ae ϕ=，所以此处的x e 为幅值，iy e 为幅角其几何空间意义如下： （1），复平面中平行于实轴的直线，其变换后的图像为过原点的射线对于原空间有一条平行于实轴的直线（(,)y const x ∈−∞+∞，），原来的x 的值为幅角，y 的值为幅值。
