高考试题汇编立体几何

立体几何大题真题汇编1.（2017•新课标Ⅱ,19）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．（Ⅰ）证明：直线CE∥平面PAB；（Ⅱ）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．2.（2017•江苏,15）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（Ⅰ）EF∥平面ABC；（Ⅱ）AD⊥AC．3.(2016·山东,17)在如图所示的圆台中,AC 是下底面圆O 的直径,EF 是上底面圆O ′的直径,FB 是圆台的一条母线.(1)已知G ,H 分别为EC ,FB 的中点,求证：GH ∥平面ABC ；(2)已知EF ＝FB ＝12AC ＝23,AB ＝BC ,求二面角F －BC －A 的余弦值.4.(2016·全国Ⅲ,19)如图,四棱锥P －ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,AD ∥BC ,AB ＝AD ＝AC ＝3,P A ＝BC ＝4,M 为线段AD 上一点,AM ＝2MD ,N 为PC 的中点.(1)证明MN ∥平面P AB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.5.(2015·江苏,16)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,已知AC ⊥BC ,BC ＝CC 1.设AB 1的中点为D ,B 1C ∩BC 1＝E .求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.6.(2014·江苏,16)如图,在三棱锥P ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知P A⊥AC,P A ＝6,BC＝8,DF＝5.求证：(1)直线P A∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.7.(2014·新课标全国Ⅱ,18)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,P A⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角DAEC为60°,AP＝1,AD＝3,求三棱锥EACD的体积.8.(2014·湖北,19)如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP＝BQ＝λ(0<λ<2).(1)当λ＝1时,证明：直线BC1∥平面EFPQ；(2)是否存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在,求出λ的值；若不存在,说明理由.9．（2018江苏，15）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AB,AB1⊥B1C1。

立体几何测试（咼考题汇编）、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的AA 1 2AB,则CD 与平面BDC 1所成角 的正弦值等于B.【答案】A3. （ 2013浙江（理））在空间中，过点A 作平面的垂线，垂足为B ,记B f （A ）.设，A.平面 与平面 垂直B.平面 与平面所成的（锐）二面角为45C.平面与平面平行D.平面与平面 所成的（锐）二面角为 60【答案】A设m ，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A .若 m5n 5，则m nB.若〃 mn5,则c.若mn m5n5，则D .若mm// nn 〃 ，则m//n 2. （2013年高考大纲卷 (文)已知正四棱锥ABCD AB ]C 1D 1 中,两个不同的平面，对空间任意一点 P,Qf [f (P)],Q 2 f [f (P)]，恒有 PQ 11 . （2013 广东（理）） 【答案】D【答案】C若两个球的表面积之比为1: 4,则这两个球的体积之比为A. 1:2 B. 1:4 C. 1:8 D. 1:165.（2013广东（理））某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是【答案】BAB 3, AC 4, AB AC，AA112,则球O的半径为( ) 人 3、、17 A . B . 2 C .匹 D . 3.102 2【答案】C8 ( 2013新课标n (理)) 已知m，n为异面直线，m 平面，n 平面•直线l满足l m，l n，l ，l ，则( ) 7 . （2013年高考辽宁卷（文）第5题图14 16【答案】B（2013山东数（理）B. 3C.已知三棱柱ABC ABQ1的侧棱与底面垂直，体积为4，底面是边长为、3的正三角形.若P为底面AB1。

的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为A. 12B.C. 4）已知三棱柱ABC ABG的6个顶点都在球O的球面上若俯视图A . // ，且1〃，且lC. 与相交,且交线垂直于I D . 与相交,且交线平行于I【答案】D9 . （2013辽宁（理））已知三棱柱ABC AB1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB 3, AC 4, AB AC, AA 12，则球O 的半径为（）A. —^7B. 2、10C. 13D. 3 102 2【答案】C10 . （2013江西（理））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且AB PCD ,C . 10【答案】A11 . （2013新课标n （理））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz^的坐标分别是（1,0,1）,（1,1,0）,（0,1,1）,画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到D . 11正视图可以为A.B. C. D.【答案】32 2(2013上海(理))在xOy 平面上，将两个半圆弧(x 1) y 1(x 1)和(x 3)2 寸1(x 3)、两条直线y 1和y 1围成的封闭图形记为 D ，如图中阴影部分.记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为 ，过(0, y)(| y | 1)作 的水平截面，所得截面面积为41 y2 8 ，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出 的体12 . 13 . 【答案】A(2013安徽(理))在下列命题中，不是公理的是A •平行于同一个平面的两个平面相互平行B. 过不在同一条直线上的三点 ，有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内 ，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D .如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.(2013北京(文))某四棱锥的三视图如图所示 ，该四棱锥的体积为14侧(左)视图A. B. C. D.积值为___________【答案】2 216 .15. （2013陕西（理））某几何体的三视图如图所示，则其体积为____________【答案】一316.（2013上海（文科））已知圆柱的母线长为I,底面半径为r ,0是上地面圆心，A、B是n下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图若直线0A与BC所成角的大小为一，则61r【答案】.3三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. （2013 江西（文））女口图，直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中，AB//CD，AD 丄AB，AB=2，AD= -，AA1=3，E 为 CD 上一点，DE=1，EC=3（1）证明:BE丄平面BB1C1C;⑵求点B1到平面EA1C1的距离(1)求PA 的长； ⑵求二面角B AF D 的正弦值.【答案】解•⑴证明：过 B 作 CD 的垂线交 CD 于 F,则BF AD 、2, EF AB DE 1,FC 2 在 Rt BFE 中，BE = .3 , Rt BFC 中，BC =、6 .222在 BCE 中，因为 BE BC =9= EC ,故 BE BC由BB 1 平面ABCD ，得BE ，所以BE 平面BB 1C 1C1⑵三棱锥 E AB1G 的体积v = 3AA^?S A 1B 1C 1=. 2在 Rt A 1D 1C 1 中，AC =._ A 1D 12 D 1C 12=3 2 ,同理,EC=JEC2CG 2=3V2 , EA=JAD 2ED 2AA2=2S /3因此S AC E 3 5 .设点B1到平面EAG 的距离为d,则三棱锥B 1 EAC 1的体积18 . （2013重庆（理））如图，四棱锥P ABCDV = 2?d ?S 3砖6= i 5d ，从而5d• 10中,PA 底面ABCD , BC CD 2, AC 4, ACB ACD - ,F 为PC 的中3 点,AF PB.(1)求PA的长；⑵求二面角B AF D的正弦值.B題伽圈【答案】【解析】（】）如答f⑼图.哇搂“心变』匸于仪闵为眈=3、即也8仞为辱黴二角形・7.AC平分ZBCA ttJC_L2D •以0为坐标原点.OB.dC t AP的方向分别为X抽.丿检z轴的疋方向.建立空间直角帑标系g—则OC= d+ = > iftr JC = 4.再AO= AC- OC=兔X OD=Sin兰二JF .业4（—玉仁垃屈刖）.口OJ F U）, D二卜五OS 一冈丹丄底\hlABCD，可设HQ—坯）■由F为PC边中点・F® -1二）,19 . （2013浙江（理））如图，在四面体A BCD中,AD 平面CD .cos ,sin BD CG CBCD BDCD 2 2 cos ,CG 2 2 cos sin , BC 2 2 sinBCD, BC CD, AD 2, BD 2.2.M是AD的中点,P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ 3QC.⑴证明：PQ〃平面BCD;(2)若二面角C BM D的大小为60°，求BDC的大小.【答案】解证明(I )方法一：如图6,取MD的中点F且M是AD中点，所以AF 3FD .因为P是BM中点，所以PF //BD ;又因为(I ) AQ 3QC且AF 3FD ,所以QF //BD，所以面PQF //面BDC，且PQ 面BDC 所以PQ / / 面BDC ;1方法二如图7所示，取BD中点O，且P是BM中点，所以PO/ /— MD ；取CD的三等分21 1点H ,使DH 3CH ,且AQ 3QC ,所以QH//-AD/^-MD ,所以=4 =2PO//QH PQ //OH，且OH BCD，所以PQ// 面BDC ;(n )如图8所示，由已知得到面ADB 面BDC ,过C作CG BD于G ,所以CG BMD ,过G作GH BM于H ,连接CH ,所以CHG就是C BM D的二面角由已知得到BM ri 3,设BDC 所以在 Rt BC 1C 中，BC CC 1 tan BC 1 C （2013上海春季高考）如图，在正三棱锥 ABC A 1B 1C 1中，AA| 6 ,异面直线B®与AA 所成角的大小为一,求该三棱柱的体积•【答案】［解］因为CC i AA i .所以BC i C 为异面直线BC 1与AA •所成的角，即 BC 1C = - •在 RT BCG 中,BCG sin BGBCBG 2 2sin 2 ，所以在 RT BHG 中, HG2、2si 1 HG 空匚，所以在RT CHG 中CG tan CHG tan60° 3 HG 2、2 cossin2、2S in 2tan .3(0,90°)60° BDC 60°; 3从而 S ABC BC 23'、3,4 因此该三棱柱的体积为 V S ABC AA 3.3 6 18、、3.21 . (2013 上海(理))如图，在长方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=2,AD=1,A i A=1,证明直线BC i 平行于平面 DA 1C ，并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.【答案】 因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体，故AB//C 1D 1, AB C 1D 1 ,故ABC 1D 1为平行四边形，故BC 1 //AD 1,显然B 不在平面D 1AC 上汙是直线BC 1平行于 平面DA 1C;直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点 B 到平面D 1AC 的距离设为h考虑三棱锥ABCD 1的体积，以 ABC 为底面，可得V - (- 1 2) 1- 3 23 h -，即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为-.3 3AC, AB 上的点,CD BE 2,O 为BC 的中点 将 ADE 沿DE 折起，得到如图2所示 的四棱锥A BCDE ,其中AO '-3.(I )证明：AO 平面BCDE ;( n )求二面角A CD B 的平面角的余弦值图1 图 2而 AD 1C 中，AC DC 1 3 1 所以,V h - ■■- 5, AD 1 -- 2，故 S ADC22 .( 2013 广东(理))如图1,在等腰直角三角形 ABC 中，A 90 ,BC 6,D,E 分别是 1【答案】(I )在图1中易得OC 3,AC 3'、2,AD 2、一2OD 、OC 2 CD 2 2OC CDcos45 、、5由翻折不变性可知 AD 2、2 ,所以 AO 2 OD 2 AD 2 所以 AO OD ,理可证AO OE ,又ODI OE O ,所以AO 平面BCDE . (n )传统法：过0作OH CD 交CD 的延长线于H ，连结A H , 因为AO 平面BCDE ,所以AH CD ,所以 AHO 为二面角 A CD B 的平面角设n x, y, z 为平面A CD 的法向量 则结合图1可知,H 为AC 中点，故OH 勺从而2 、0H 2 0A 2 ^02 所以cos A HO OH A H 15 ，所以二面角A向量法：以0点为原点，建立空间直角坐标系 O 则 A 0,0八 3 ,C 0, 3,0 ,D 1, 2,0uur l uum —所以 CA 0,3,、、3 , DA 1,2, 3连结OD,OE ，在 OCD 中，由余弦定理可得ruuir n CA r uuua n DA 0,即3y 3Z 0，解得0 x 2y \3z 0x-，令x3x1得nuuir由（I ）知，0A 0,0, '、3为平面CDB 的一个法向量值为卫5J LULT 所以 eosin,OA -umr n OA ，即二面角A CD B 的平面角的余弦 r n OA 3 、、3、。

《历年高考专题汇编》—>立体几何第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题（题型注释）91．如图，l A B A B αβαβαβ⊥=∈∈I ，，，，，到l 的距离分别是a 和b ，AB 与αβ，所成的角分别是θ和ϕ，AB 在αβ，内的射影分别是m 和n ，若a b >，则（ ）A ．m n θϕ>>，B ．m n θϕ><，C ．m n θϕ<<，D ．m n θϕ<>，2．设,m n 是平面α内的两条不同直线；12,l l 是平面β内的两条相交直线，则//αβ的一个充分而不必要条件是( )A.1////m l βα且B.12////m l l 且nC.////m n ββ且D.2////m n l β且3．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是A 、球B 、三棱柱C 、正方形D 、圆柱4．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c 2m ）为( )（A ）48+122 （B ）48+242 （C ）36+122 （D ）36+2425．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．8π3B．3πC ．10π3D．6π6．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a b的最大值为（）A．22 B．23 C．4 D．257．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△CHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为A、 B、 C、 D、8．正方体ABCD-1111A B C D中，B1B与平面AC1D所成角的余弦值为俯视图侧视图2正视图42 42（A ）23 （B ）3 （C ）23 （D ）6 9．已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为A 、2B 、3C 、2D 、110．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13B ．23C ．33D ．2311．已知正四棱锥S ABCD -中，23SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为A. 1B. 3C. 2D. 312．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ）A ．13B ．2C ．3D ．2313．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）A.2B.3C. 2D.214．半径为1的球面上的四点D C B A ,,,是正四面体的顶点，则A 与B 两点间的球面距离为（A ）)33arccos(- （B ）)36arccos(- （C ）)31arccos(-（D ）)41arccos(- 15．如图，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V 1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V 2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是A 、V 1=2VB 、 V 2=2VC 、V 1> V 2D 、V 1< V 216．如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径CD 作平面α成45o 角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B ，该交线上的一点P 满足60BOP ∠=o ，则A 、P 两点间的球面距离为（ ）A、R B 、4R π C、R 、3R π第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明评卷人得分 二、填空题（题型注释）17．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______________。

由（1）得 则 则
，所以 ，
设平面 的一个法向量
可取
，
设平面 的一个法向量
，
，所以
，
,所以 的中点
，
,
，则
，
，则
，
6 / 56
可取 则
， ，
所以二面角
的正弦值为
.
4．【2022 年新高考 2 卷 20】如图， 是三棱锥
的高，
，
，E
是 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若
，
，
，求二面角
【答案】(1)证明见解析
（1）证明：平面 （2）求二面角
平面
；
的平面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
（1）取 的中点为 ，连接
.
因为
，
，则
，
而
，故
.
在正方形
中，因为
，故
，故
，
因为
，故
，故
为直角三角形且
，
14 / 56
因为
，故 平面
，
因为 平面 ，故平面
平面
.
（2）在平面
内，过 作
，交 于 ，则
，
结合（1）中的 平面
(2)作 EF⊥BD 于 F, 作 FM⊥BC 于 M,连 FM
因为 AO⊥平面 BCD，所以 AO⊥BD, AO⊥CD
所以 EF⊥BD, EF⊥CD,
,因此 EF⊥平面 BCD，即 EF⊥BC
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因为 FM⊥BC，
,所以 BC⊥平面 EFM，即 BC⊥MF
则
为二面角 E-BC-D 的平面角,
，所以