华北电力大学
科技学院
实
验
报
告
课程名称：数值计算方法上机实验报告
姓名：牛玺童
班级：电气11k6
学号：111904010415
k k
*
k
*
1.题目
实验一 造倒数表
造倒数表，并例求 18 的倒数。（精度为 0.0005)
2.算法原理
2.1 牛顿迭代法 牛顿迭代法是通过非线性方程线性化得到迭代序列的一种方法。
对于非线性方程 f (x ) = 0 ，若已知根 x * 的一个近似值 x ，将 f (x ) 在 x 处展 成一阶泰勒公式后忽略高次项可得：
f (x ) ≈ f (x k ) + f '(x k )(x - x k )
右端是直线方程，用这个直线方程来近似非线性方程 f (x ) 。将非线性方程
f (x ) = 0 的根 x * 代入 f (x * ) = 0 ，即
f (x k ) + f '(x k )(x - x k ) ≈ 0
解出
x * ≈ x - f (x k ) f '(x k )
将右端取为 x k +1 ，则 x k +1 是比 x k 更接近于 x
的近似值，即
x k +1 ≈ x k -
f (x k ) f '(x k ) 这就是牛顿迭代公式，相应的迭代函数是
ϕ(x ) = x -
f (x )
f '(x )
2.2 牛顿迭代法的应用
计算 1 是求 cx -1 = 0 的解，解出 x ，即得到 1
。取 f (x ) = cx -1 ， f '(x ) = c ，
c 有牛顿迭代公式
x k +1
= x k c
- cx k -1 = 1
c c
这样就失去了迭代的意义，达不到迭代的效果。
故重新构造方程： cx 2 - x = 0 ， 1
也是该式的解。 故取 f (x ) = cx 2 - x ，
c f '(x ) = 2cx -1 ，则有牛顿迭代公式
k k k
cx 2 -x cx 2
x
k +1
=x
k
- 2cx=,
-1 2c -1 k = 0,1,...
1
的值在
1
k k
~
1
之间，取初值x = 0.1。
18
3.流程图
20 10 0
1 ⇒k
k +1 ⇒k
x
1
⇒x
x
-
f (x0 )
f '(x0 ) ⇒x1
读入
x
,ε,N
f '(x)= ?0 =
≠
x -x <ε? <
1 0
≥
≠
=
输出
3
4.输出结果
5.结果分析
当 k = 3 时，得 5 位有效数字 0.05 564。此时， x 3 - x 4 = 0.00 000 < 0.0 005 ，
故取 x * = x = 0.05 564 ≈ 0.056 。
此种迭代格式仍存在一定的缺陷，经实验后发现当初值 x 0 > x * 时必收敛，但
是当 x 0 < x * - ς (ς > 0) 时迭代结果发散，ς 较小尚不确定。
6.心得体会
起初对题目的理解并不是很透彻，另外对构建牛顿迭代公式理论依据不是特 别充分，比如说为什么在原有直接得到的式子两边各乘一个 x ，只是试出来的。 在编程方面不够成熟。当然也加深了对牛顿迭代法的理解和应用的具体实现。
kk
a 11 22 33
1.题目
实验二 例 3-4
用列主元消去法求解方程组
♣ 12x 1 - 3x 2 + 3x 3 =
15↔
♠ ♠
♦-18x 1 - 3x 2 - x 3 = -15← ♠ ♠
♥ x 1 + x 2 + x 3 = 6↑
并求出系数矩阵 A 的行列式的值 det A 。
2.算法原理
2.1 顺序高斯消去法
顺序高斯消去法是利用线性方程组初等变换中的一种变换，即用一个不为零 的数乘一个方程后加至另一个方程，使方程组变成同解的上三角方程组，然后再 自下而上对上三角方程组求解。这样，顺序高斯消去法可分成“消去”和“回代” 两个过程。
在用顺序高斯消去法时，在消元之前检查方程组的系数矩阵的顺序主子式， 当阶数较高时是很难做到的。若线性方程组的系数具有某种性质时，如常遇到的 对角占优方程组，自然能够用高斯消去法求解。
2.2 列选主元消去法
线性方程组只要系数矩阵非奇异，就存在惟一解，但是按顺序消元过程中可
能出现主元素 a (k )
= 0 ，这时尽管系数矩阵非奇异，消元过程无法再进行，或者 即使 (k )
a kk ≠ ，但如果其绝对值很小，用它作除数也会导致其他元素的数量级急剧
增大和使舍入误差扩大，将严重影响计算的精度。 为避免在校园过程确定乘数
时的所用除数是零或绝对值小的数，即零主元或
小主元，在每一次消元之前，要增加一个选主元的过程，将绝对值大的元素交换 到主对角线的位置上来。
列选主元是当高斯消元到第
k 步时，从 k 列的 a kk 以下（包括 a kk ）的各元素中 选出绝对值最大的，然后通过行交换将其交换到
a kk 的位置上。交换系数矩阵中的 两行（包括常数项），只相当于两个方程的位置交换了，因此，列选主元不影响 求解的结果。
列选主元消去法常用来求行列式。设有矩阵
a 11 L a 1n A = M M n 1 L a nn
用列主元消去法将其化为上三角形矩阵，对角线上元素为 a (1) , a (2) ,L , a (3)
, 于是行
