2018－2019学年度上期期末检测九年级数学注意事项：1.全卷总分150分，A 卷100分，B 卷50分，考试时间120分钟.2.在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上.3.选择题部分必须使用2B 铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.4.请按照题号在答题卡上各题对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在 草稿纸上、试题卷上答题均无效.5.保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等.A 卷（100分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．如图摆放的圆锥、圆柱、三棱柱、球，其主视图是三角形的是A ．B ．C ．D ．2．一元二次方程23610x x -+=的二次项系数、一次项系数分别是A ．－6，1B ．3，1C ．3，－6D ．3，63．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，如果△ABC 的三个顶点A 均在格点上， 那么tan ∠ABC 的值为A ．35B ．43C 10D ．34 4．抛物线223(2)(1)y x m =+-+（m 为常数）的顶点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．若双曲线3k y x-= 在每一个象限内，y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是 A ．3k < B ．3k ≥ C ．3k > D ．3k ≠6．在一个不透明的袋子里装有若干个白球和15个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中白球有A ．5个B ．15个C ．20个D ．35个7．三角形的三条中位线构成的三角形与原三角形的面积之比等于A ．12B ．1：2C ．1：4D ．1：168．小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是A ．12B ．13C ．23D ． 16 9．如图，小明在A 时测得某树的影长为2m ，B 时又测得该树的影长为8m ，若两次日照的光线互相垂直，树的高度为A ．2mB ．4mC ．6mD ．8m10．抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）如图所示，下列结论：①240b ac ->；②2a b c ++=；③0abc <；④0a b c -+<，其中正确的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）11．若 23a b = ，则 a b b+ 的值为 ▲ ． 12．如图，AD :DB ＝ AE :EC ，若∠ADE ＝58︒，则∠B ＝ ▲ ．13．关于x 的一元二次方程2420x x k +-=有实数根，则k 的取值范围是 ▲ ．14．如图所示的抛物线形拱桥中，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ．如果以拱顶为原点建立直角坐标系，且横轴平行于水面，那么拱桥线的解析式为 ▲ ．三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）15．（本小题满分12分，每题6分）（1）计算：1282cos 452sin 30-+-︒+︒（2）解方程：26160x x --=16．（本小题满分6分）如图是由9个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数 字表示该位置小立方块的个数，请按要求画出该几何体的主视图与左视图．17．（本小题满分8分）如图，小明在地面A 处利用测角仪观测气球C 的仰角为37°，然后他沿正对气球方向前进了40m 到达地面B 处，此时观测气球的仰角为45°．求气球的高度是多少？18．（本小题满分8分）春节放假期间，小欢和小乐准备到三道堰镇的彩虹桥（记为A ）、香草湖（记为B ）、飞越丛林（记为C ）、惠里（记为D ）中的一个景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同．（1）小欢选择去飞越丛林的概率为 ▲ ；（2）用树状图或列表法求小欢和小乐都选择去香草湖游玩的概率．19．(本小题满分10分）如图，直线2y x =-（0k ≠）与y 轴交于点A ，与双曲线k y x =在第一象限内交于点B （3，b ），在第三象限内交于点C ．（1）求双曲线的解析式；（2）直接写出不等式2k x x->的解集； （3）若OD //AB ，在第一象限交双曲线于点D ，连接AD ，求AOD S ∆．20．（本小题满分10分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ， DE ⊥AD 交AB 于E ，EF //BC 交AC 于F ．（1）求证：△ACD ∽△ADE ；（2）求证：2AD AB AF =⋅；（3）作DG ⊥BC 交AB 于G ，连结FG ，若FG ＝5，BE ＝8，直接写出AD 的长．F E D B AB 卷（50分）一、填空题（本大题共5分，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）21．二次函数22y x =的图象向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的 图象的解析式为▲ ．22．如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，O为位似中心，相似比为1:2，若点 A 的坐标为（1，0），则正方形ODEF 的周长为 ▲ ．第22题图 第23题图 第25题图 23．如上图所示，在正方体的展开图形中，要将1-，2-，3-填入剩下的三个空白处（彼 此不同），则正方体三组相对的两个面中数字都互为相反数的概率是 ▲ ．24．已知抛物线2(13)21y m x x =---的开口向上，设1x 、2x 分别为关于x 的一元二次方 程2(13)210m x x ---=的两根，若110x -<<，22x >，则m 的取值范围为 ▲ ．25．如上图所示，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与原点重合，顶点A ，C 分别在x 轴、y 轴上，双曲线1y k x -= （0k ≠，0x >）与边AB 、BC 分别交于点N 、 F ，连接ON 、OF 、NF ．若∠NOF ＝45°，NF ＝2，则点C 的坐标为 ▲ ．二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）26．（本小题满分8分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）要使商场平均每天盈利1600元，可能吗？请说明理由．27．（本小题满分10分）如图，抛物线(2)(4)y a x x =+-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴 交于点C ，且 ∠ACO ＝∠CBO ．（1）求线段OC 的长度；（2）若点D 在第四象限的抛物线上，连接BD 、CD ，求△BCD 的面积的最大值；（3）若点P 在平面内，当以点A 、C 、B 、P为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点P 的坐标．28．（本小题满分12分）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，∠EDF ＝90°，点E 在边 AB 上且不与点A 重合，点F 在边BC 的延长线上，DE 交AC 于Q ，连接EF 交AC 于P ．（1）求证：△ADE ≌ △CDF ；（2）求证：PE ＝ PF ；（3）当AE ＝ 1时，求PQ 的长．。
山东省济南市天桥区19-20学年九年级(上)期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.下列几何体中，主视图是三角形的几何体的是()A. B. C. D.2.反比例函数y=kx(k<0)的图象如图，A(−2,y1)、B(−1,y2)、C(1,y3)三点都在该反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是()A. y1<y2<y3B. y2<y1<y3C. y3<y2<y1D. y3<y1<y23.一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为()A. 14B. 13C. 12D. 234.抛物线y=(x+1)2+2的顶点是()A. (1,2)B. (−1,2)C. (−1,−2)D. (1,−2)5.如图，已知直线a//b//c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若ABBC =12，则DEEF=()A. 13B. 12C. 23D. 16.如图是边长为1的小正方形组成的网格图，其中点A，B，C均为格点，则sin∠BAC为()A. √22B. √55C. √105D. √10107.如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠BCD=35°，则∠ABD的度数为()A. 25°B. 35°C. 55°D. 75°8.若关于x的一元二次方程4x2−4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是()A. −1B. 1C. −4D. 49.如图，有一块三角形余料ABC，BC=120mm，高线AD=80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ=3：2，则PM的长为()A. 60mmB. 16013mm C. 20mm D. 24013mm10.对于反比例函数y=2x，下列说法不正确的是()A. 点(−2,−1)在它的图象上B. 它的图象在第一、三象限C. 当x>0时，y随x的增大而增大D. 当x<0时，y随x的增大而减小11.某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示(栏杆宽度忽略不计)，其中AB⊥BC，EF//BC，∠AEF=143°，AB=AE=1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为()(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)A. B. C. D.12.如图，在平面直角坐标系中，A(1,2)，B(1,−1)，C(2,2)，抛物线y=ax2(a≠0)经过△ABC区域(包括边界)，则a的取值范围是()A. a≤−1或a≥2B. −1≤a<0或0<a≤2C. −1≤a<0或12<a≤1 D. 12≤a≤2二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.已知二次函数y=x2，当x>0时，y随x的增大而_____(填“增大”或“减小”)．14.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，如果EF=2，那么菱形的周长为______ ．15.一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球.每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30％，那么估计盒子中小球的个数n=________．16.如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，OEEA =43，则FGBC=____．17.如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为______．18.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO=4，S菱形ABCD=24，则AH=____．三、解答题（本大题共9小题，共78.0分）)−1−2sin60°．19.17.计算：(3.14−π)0+|1−√3|+(−1420.如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的一点，EF⊥DE交BC于点F．(1)求证：△ADE∽△BEF；(2)若AE：EB=1：2，求DE：EF的比值．21.如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，∠B=60°，求BC的长．22.在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，如图所示分别是小华与小芳的设计方案．同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请你依照小芳的方案设计小路的宽度．23.在一个不透明的布袋里装有4个标号为1、2、3、4的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小亮从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小刚从剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点P的坐标(x,y)．(1)若小亮摸出的小球上的数字是2，那么小刚摸出的小球上的数字是4的概率是多少？(2)利用画树状图或列表格的方法，求点P(x,y)在函数y=−x+6的图象上的概率．24.19.如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．(1)求证：∠CAD=∠BDC；AD，AC=3，求CD的长．(2)若BD=23(x>0)的图象25.如图1，一次函数y=kx−3(k≠0)的图象与y轴交于点A，与反比例函数y=4x 交于点B(4,b)．(1)b=______；k=______；(2)点C是线段AB上的动点(与点A、B不重合)，过点C且平行于y轴的直线l交这个反比例函数的图象于点D，求△OCD面积的最大值；(3)将(2)中面积取得最大值的△OCD沿射线AB方向平移一定的距离，得到△O′C′D′，若点O的对应点O′落在该反比例函数图象上(如图2)，则点D′的坐标是______．26.如图，△ABC中，D是边BC的中点，E是AB边上一点，且AD⊥CE于O，AD=AC=CE．(1)求证：∠B=45°；(2)求OE的值；OC(3)直接写出BE的值．EO27.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为D(−1,4)，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在一点P，使△PAB的面积是△ABC面积的2倍，若存在，请求出P点坐标；若不存在，说明理由．(3)点M是抛物线上一动点，且在直线BC上方，过点M作MN//y轴交直线BC于点N，MN的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A、三棱柱的主视图是长方形，中间还有一条竖线，故此选项错误；B、正方体的主视图是正方形，故此选项错误；C、圆锥的主视图是三角形，故此选项正确；D、圆柱的主视图是长方形，故此选项错误；故选：C．主视图是从找到从正面看所得到的图形，注意要把所看到的棱都表示到图中．此题主要考查了几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．2.答案：D解析：解：∵反比例函数y=kx(k<0)，∴在每个象限内，y随x的增大而增大，且当x>0时，y<0，当x<0时，y>0，∵A(−2,y1)、B(−1,y2)、C(1,y3)三点都在该反比例函数的图象上，∴y3<y1<y2，故选：D．根据反比例函数的性质，可以判断出y1、y2、y3的大小关系，本题得以解决．本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．3.答案：D解析：解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率=44+2=23．故选：D．根据概率公式计算．本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．4.答案：B解析：本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−ℎ)2+k中，对称轴为x=ℎ，顶点坐标为(ℎ,k)．由抛物线解析式可求得顶点坐标．解：∵y=(x+1)2+2，∴顶点坐标为(−1,2)，故选B．5.答案：B解析：解：∵a//b//c，∴DEEF =ABBC=12．故选：B．直接根据平行线分线段成比例定理求解．本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．6.答案：D解析：解：如图所示：连接BD，交AC于点E，由正方形的性质可得：BD⊥AC，由小正方形的边长为1，结合勾股定理得BD=√2，AB=√5，根据正方形的性质得BE=√22，则sin∠BAC=EBAB =√22√5=√1010．故选：D．直接利用网格结合正方形的性质构造直角三角形，再利用勾股定理得出答案．此题主要考查了解直角三角形，正确构造直角三角形是解题关键．7.答案：C解析：解：连接AD，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠A=∠BCD=35°，∴∠ABD=90°−35°=55°．故选：C．连接AD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，∠A=∠BCD=35°，然后利用互余计算∠ABD的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．8.答案：B解析：解：∵一元二次方程4x2−4x+c=0有两个相等实数根，∴△=42−4×4c=0，∴c=1，故选：B．根据判别式的意义得到△=42−4×4c=0，然后解一次方程即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．9.答案：A解析：本题主要考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，证明出△APM∽△ABC是解题的关键．解：设PM=3xmm，则PQ=2xmm，则AE=AD−2x=80−2x，∵PMNQ是矩形，∴PM//BC，∴△APM∽△ABC，∴PMBC =AEAD，即3x120=80−2x80，解得x=20mm，则PM=3x=60mm．故选A．10.答案：C解析：本题考查了反比例函数y=kx(k≠0)的性质：①当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限．②当k>0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．根据反比例函数的性质用排除法解答．解：对于A，当x=−2时，y=−1，故A正确;对于B，因为2>0，所以函数图象在第一、三象限，故B正确;因为2>0，所以在每个象限内，y随x的增大而减小，故C错误，D正确．故选C．11.答案：A解析：本题考查了解直角三角形在实际中的应用，难度适中．关键是通过作辅助线，构造直角三角形，把实际问题转化为数学问题加以计算．过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠EHG=∠HEF=90°，.先求出∠AEH=53°，则∠EAH=37°，然后在△EAH中，利用正弦函数的定义得出EH=AE⋅sin∠EAH，则栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH，代入数值计算即可．解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠EHG=∠HEF=90°，∵∠AEF=143°，∴∠AEH=∠AEF−∠HEF=53°，∠EAH=37°，在△EAH中，∠EHA=90°，∠EAH=37°，AE=1.2米，∴EH=AE⋅sin∠EAH≈1.2×0.60=0.72(米)，∵AB=1.2米，∴AB+EH≈1.2+0.72=1.92≈1.9米．故选：A．12.答案：B解析：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．讨论：当抛物线开口向上时，把A点坐标代入y=ax2得的最大值2，此时0<a≤2；当抛物线开口向下时，把B点坐标代入y=ax2得a的最小值−1，此时−1≤a<0．解：当抛物线开口向上时，即a>0时，抛物线y=ax2(a≠0)过A点时，a的值最大，把A(1,2)代入y=ax2得a=2，此时0<a≤2；当抛物线开口向下时，即a<0时，抛物线y=ax2(a≠0)过B点时，a的值最小，把B(1,−1)代入y=ax2得a=−1，此时−1≤a<0，综上所述，a的范围为−1≤a<0或−1≤a<0．故选：B．13.答案：增大解析：本题主要考查了二次了二次函数的性质.根据二次函数的二次项系数a以及对称轴即可判断出函数的增减性．解：∵二次函数y=x2开口向上，对称轴为y轴，∴当x>0时，y随x的增大而增大．故答案为增大．14.答案：16解析：解：∵菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，EF=2，∴BC=2EF=2×2=4.即AB=BC=CD=AD=4.故菱形的周长为4BC=4×4=16．故答案为：16．根据中位线定理先求边长BC，再求周长．此题很简单，考查的是菱形的性质及三角形中位线定理．菱形的性质：菱形的四条边相等．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于底边，且等于底边的一半．15.答案：30解析：本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键．利用概率公式即可得出结论．解：由题意得9n×100％=30%，解得n=30．故答案为30．16.答案：47解析：直接利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案．此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且OEEA =43，∴OEOA =47，则FGBC =OEOA=47．故答案为：47．17.答案：πa解析：解：如图．∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=a，∴AB⏜的长=BC⏜的长=CA⏜的长=60πa180=πa3，∴勒洛三角形的周长为πa3×3=πa．故答案为πa．首先根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=a，再利用弧长公式求出AB⏜的长=BC⏜的长=CA⏜的长=60πa180=πa3，那么勒洛三角形的周长为πa3×3=πa．本题考查了弧长公式：l=nπR180(弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R)，也考查了等边三角形的性质．18.答案：245解析：解：∵四边形ABCD是菱形，∴BO=DO=4，AO=CO，AC⊥BD，∴BD=8，∵S菱形ABCD =12AC×BD=24，∴AC=6，∴OC=12AC=3，∴BC=√OB2+OC2=5，∵S菱形ABCD=BC×AH=24，∴AH=245；故答案为：245．根据菱形面积=对角线积的一半可求AC，再根据勾股定理求出BC，然后由菱形的面积即可得出结果．本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出BC 是解题的关键．19.答案：−4解析：分别利用零指数幂法则、绝对值的代数意义、负整数指数幂法则以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】原式=1+√3−1−4−2×√32=1+√3−1−4−√3=−4．本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．20.答案：解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAE=∠EBF=90°，∴∠ADE+∠AED=90°，∵EF⊥DE，∴∠BEF+∠AED=90°，∴∠ADE=∠BEF，∴△ADE∽△BEF；(2)∵AE：EB=1：2，∴AB：EB=3：2，∵AD=AB，∴AD：EB=3：2，∵△ADE∽△BEF，∴DE：EF=AD：EB=3：2．解析：本题考查的是正方形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．(1)利用相似三角形的判定定理、正方形的性质证明；(2)根据相似三角形的对应边的比相等计算．21.答案：解：过A点作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，AD=AB⋅sin60°=5×√32=5√32．BD=AB⋅cos60°=5×12=52在Rt△ADC中，DC=√AC2−AD2=√72−(5√32)2=112所以，BC=DC+BD=112+52=8．解析：可通过构建直角三角形来求解，过点A作AD⊥BC于D，AD是公共直角边，因此先求出AD 是解题的关键，在Rt△ABD中，有AB的长，有∠B的度数，可以求出BD的长，AD的长，在Rt△ADC 中，求出了AD的长，有AC的长，因此根据勾股定理可求出CD的长，有了BD、CD的长，也就求出了BC的长．此题考查解直角三角形问题，在用解直角三角形的方法求线段长的时候，没有直角三角形的条件下，要根据已知条件构建直角三角形进行求解．22.答案：解：不符合．设小路的宽度均为x米，则花园的长为(16−2x)米，宽为(12−2x)米，根据题意得：(16−2x)(12−2x)=12×16×12，解得：x1=2，x2=12(舍去)．∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度应为2米．解析：设小路的宽度均为x米，则花园的长为(16−2x)米，宽为(12−2x)米，根据矩形的面积公式结合花园面积是荒地面积的一半，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23.答案：解：(1)∵小亮摸出的小球上的数字是2∴小刚摸出的小球上的数字是4的概率是13；(2)画树状图得：∴共有12种等可能的结果数，即点P所有可能的坐标为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)；点P(x,y)在函数y=−x+6的图象上的结果有(2,4)和(4,2)共2个，∴点P(x,y)在函数y=−x+6的图象上的概率为212=16．解析：本题考查概率公式，列表法与树状图法，一次函数图象上点的坐标特征，(1)根据小亮摸出的小球上的数字是2，而小刚从剩下的3个小球中抽取一个，数字是4的概率即为13，可得到结果；(2)首先用树状图(或表格)列出P点坐标的所有等可能情况，再找出其中在函数y=−x+6的图象上的坐标数量，进而可求出点P(x,y)在函数y=−x+6的图象上的概率．24.答案：(1)证明见解析；(2)CD=2．解析：本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定义以及切线的性质.(1)利用等角的余角相等证出∠CAD=∠BDC；连接OD，由OB=OD可得出∠OBD=∠ODB，根据切线的性质及直径所对的圆周角等于180°，利用等角的余角相等，即可证出∠CAD=∠BDC；(2)利用相似三角形的性质找出CDAC =23.由∠C=∠C、∠CAD=∠CDB可得出△CDB∽△CAD，根据相似三角形的性质结合BD=23AD、AC=3，即可求出CD的长．(1)证明：连接OD，如图所示．∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB．∵CD是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，∴∠ODB+∠BDC=90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠OBD+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠BDC．(2)∵∠C=∠C，∠CAD=∠CDB，∴△CDB∽△CAD，∴BDAD =CDAC．∵BD=23AD，∴BDAD =23，∴CDAC =23，又∵AC=3，∴CD=2．25.答案：(1)1；1；(2)设C(m,m−3)(0<m<4)，则D(m,4m)，∴S△OCD=12m(4m−m+3)=−12m2+32m+2=−12(m−32)2+258，∵0<m<4，−12<0，∴当m=32时，△OCD面积取最大值，最大值为258；(3)(72,143)解析：解：(1)把B(4,b)代入y=4x (x>0)中得：b=44=1，∴B(4,1)，把B(4,1)代入y=kx−3得：1=4k−3，解得：k=1，故答案为：1，1；(2)设C(m,m−3)(0<m<4)，则D(m,4m)，∴S△OCD=12m(4m−m+3)=−12m2+3 2m+2=−12(m−32)2+258，∵0<m<4，−12<0，∴当m=32时，△OCD面积取最大值，最大值为258；(3)由(1)知一次函数的解析式为y=x−3，由(2)知C(32,−32)、D(32,83).设C′(a,a−3)，则O′(a−32,a−32)，D′(a,a+76)，∵点O′在反比例函数y=4x(x>0)的图象上，∴a−32=4a−32，解得：a=72或a=−12(舍去)，经检验a=72是方程a−32=4a−32的解．∴点D′的坐标是(72,14 3).(1)由点B的横坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出b值，进而得出点B的坐标，再将点B的坐标代入一次函数解析式中即可求出k值；(2)设C(m,m−3)(0<m<4)，则D(m,4m)，根据三角形的面积即可得出S△OCD关于m的函数关系式，通过配方即可得出△OCD面积的最大值；(3)由(1)(2)可知一次函数的解析式以及点C、D的坐标，设点C′(a,a−3)，根据平移的性质找出点O′、D′的坐标，由点O′在反比例函数图象上即可得出关于a的方程，解方程求出a的值，将其代入点D′的坐标中即可得出结论．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及平移的性质，解题的关键是：(1)求出点B的坐标；(2)找出S△OCD关于m的函数关系式；(3)找出关于a的方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据平移的性质找出平移后点的坐标是关键．26.答案：(1)证明：作AF⊥BC于F，如图1所示：∵AD=AC=CE，∴DF=CF，∠ADC=∠ACD，∠CEA=∠EAC，∵∠1+∠ADC=90°，∠ACD+∠2=90°，∴∠1=∠2，∵∠B+∠1=∠CEA=∠EAC=∠EAF+∠2，∴∠B=∠EAF，∵∠B+∠EAF=90°，∴∠B=∠EAF=45°；(2)解：设DF=CF=m，则BC=4m，AF=BF=3m，由勾股定理得：CE=AD=√10m，∵△ACD的面积=12AD×OC=12CD×AF，∴AD×OC=CD×AF，即OC×√10m=2m×3m，∴OC=6√10m，∴OE=CE−OC=√10m−6√10m=4√10m，∴OEOC =23；(3)解：作EG⊥BC于G，如图2所示：则△BEG是等腰直角三角形，∴EG=BG，设EG=BG=x，则CG=4m−x，在Rt△CEG中，由勾股定理得：x2+(4m−x)2=(√10m)2，解得：x=m，或x=3m(舍去)，∴EG=m，∴BE=√2m，∴BEEO =√2m4√10m=√52．解析：(1)作AF⊥BC于F，由等腰三角形的性质得出DF=CF，∠ADC=∠ACD，∠CEA=∠EAC，证出∠1=∠2，∠B=∠EAF，即可得出结论；(2)设DF=CF=m，则BC=4m，AF=BF=3m，由勾股定理得：CE=AD=√10m，由三角形的面积先得出AD×OC=CD×AF，求出OC=√10m，得出OE=CE−OC=√10m，即可得出结果；(3)作EG⊥BC于G，则△BEG是等腰直角三角形，得出EG=BG，设EG=BG=x，则CG=4m−x，在Rt△CEG中，由勾股定理得出方程，解方程得出EG=m，BE=√2m，即可得出结果．本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．27.答案：解：(1)抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为D(−1,4)，且与y轴交于点C(0,3)，∴{−b2a=−14ac−b24a=4c=3，解得{a=−1b=−2c=3,∴抛物线解析式为y=−x2−2x+3；(2)存在，设P(x,−x2−2x+3)．令−x2−2x+3=0解得x1=−3，x2=1．∴A(1,0)，B(−3,0)，∴AB=4，又OC=3．∴S△ABC=12AB·OC=12×4×3=6．S△PAB=12AB·|y|=12×4×|−x2−2x+3|，∵2S△ABC=12．∴−x2−2x+3=6或−x2−2x+3=−6，x2+2x+3=0此方程无实数解．解x2+2x−9=0，得x=−1±√10，x1=−1+√10，x2=−1−√10，当x=−1+√10时，y=−6，x=−1−√10时，y=−6．∴P(−1+√10，−6)或P(−1−√10，−6)．(3)设直线BC 的解析式为y =kx +b′(k ≠0)∴直线BC 过B(−3,0)，C(0,3){−3k +b′=0b′=3解得 {k =1b′=3, ∴直线BC 的解析式为：y =x +3，设M 点坐标为(x,−x 2−2x +3)，又MN//y 轴交直线BC 于点N ，∴N(x,x +3)，∵M 点在BC 上方，∴MN =−x 2−2x +3−(x +3)=−x 2−3x=−(x 2+3x)=−(x +32)2+94，∴当x =−32时，MN 有最大值，最大值为 94．解析：此题是二次函数的综合运用问题.掌握二次函数的图象和性质，是解答此题的关键．(1)直接根据待定系数法求出即可．(2)根据三角形ABC 和三角形PAB 的面积关系，建立一元二次方程，并解方程，即可求得点P 的坐标；(3)先求出直线BC 的解析式，再设出M 、N 点坐标，根据MN//y 轴，表示出MN 的长度进行解答即可．。
2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共12小题）1.下列几何体中，主视图是三角形的是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】主视图是从正面看所得到的图形，据此判断即可．【详解】解：A 、正方体的主视图是正方形，故此选项错误；B 、圆柱的主视图是长方形，故此选项错误；C 、圆锥的主视图是三角形，故此选项正确；D 、六棱柱的主视图是长方形，中间还有两条竖线，故此选项错误；故选C ．【点睛】此题主要考查了几何体的三视图，解此题的关键是熟练掌握几何体的主视图．2.点()1,3M 在反比例函数k y x =的图像上，则k 的值为（ ） A. 1-B. 3C. 3-D. 13【答案】B【解析】【分析】 把点M 代入反比例函数k y x=中，即可解得K 的值. 【详解】解：∵点()1,3M 在反比例函数k y x=的图像上， ∴31k =，解得k=3. 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式，正确代入求解是解题的关键.3.在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出1个球，恰好是红球的概率为()A. 12B.34C.13D.23【答案】B【解析】【分析】直接利用概率公式求解；【详解】解：从袋中摸出一个球是红球的概率33 314 ==+；故选B．【点睛】考查了概率的公式，解题的关键是牢记概率的的求法．4.抛物线y=（x+1）2+2的顶点（）A. （﹣1，2）B. （2，1）C. （1，2）D. （﹣1，﹣2）【答案】A【解析】【分析】由抛物线顶点坐标公式[]y=a（x﹣h）2+k中顶点坐标为（h，k）]进行求解．【详解】解：∵y=（x+1）2+2，∴抛物线顶点坐标为（﹣1，2），故选A．【点睛】考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h．5.如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若AB1BC2=，则EFDF=（）A. 13B.12C.23D. 1【答案】C 【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得到DEEF=ABBC=12，根据比例性质得DFEF=32，于是得到EFDF=23．【详解】∵a∥b∥c，∴DEEF=ABBC=12，∴DFEF=32，∴EFDF=23．故选C.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键.6.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan A的值为（）A. 35B.45C.13D.43【答案】D【解析】【分析】由三角函数定义即可得出答案．【详解】如图所示：由图可得：AD =3，CD =4，∴tan A 43CD AD ==． 故选：D ．【点睛】本题考查了解直角三角形．构造直角三角形是解答本题的关键．7.如图，BC 是O e 的直径，A ，D 是O e 上的两点，连接AB ，AD ，BD ，若70ADB ︒∠=，则ABC ∠的度数是（ ）A. 20︒B. 70︒C. 30︒D. 90︒【答案】A【解析】【分析】 连接AC ，如图，根据圆周角定理得到90BAC ︒∠=，70ACB ADB ︒∠=∠=，然后利用互余计算ABC ∠的度数．【详解】连接AC ，如图，∵BC 是O e 直径，∴90BAC ︒∠=，∵70ACB ADB ︒∠=∠=，∴907020ABC ︒︒︒∠=-=．故答案为20︒．故选A ．【点睛】本题考查圆周角定理和推论，解题的关键是掌握圆周角定理和推论．8.若一元二次方程220x mx ++=有两个相等的实数根，则m 的值是（ ）A. 2B. 2±C. 8±D. ±【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式0∆=，即可得到答案【详解】解：∵一元二次方程220x mx ++=有两个相等的实数根，∴24120m ∆=-⨯⨯=，解得：m =±故选择：D.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握利用根的判别式求参数的值. 9.如图所示，某同学拿着一把有刻度的尺子，站在距电线杆30m 的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子遮住电线杆时尺子的刻度为12cm ，已知臂长60cm ，则电线杆的高度为（ ∥A. 2.4mB. 24mC. 0.6mD. 6m【答案】D【解析】 试题解析：作AN ⊥EF 于N ，交BC 于M∥∵BC∥EF∥∴AM⊥BC于M∥∴△ABC∽△AEF∥∴BC AM EF AN＝∥∵AM=0.6∥AN=30∥BC=0.12∥∴EF=•0.12300.6BC ANAM⨯==6m∥故选D∥10.关于反比例函数2yx=，下列说法不正确的是（）A. 函数图象分别位于第一、第三象限B. 当x＞0时，y随x的增大而减小C. 若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数图象上，且x1＜x2，则y1＞y2D. 函数图象经过点（1，2）【答案】C【解析】【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对D进行判断；根据反比例函数的性质对A、B、C进行判断．【详解】A．k=2＞0，则双曲线2yx=的两支分别位于第一、第三象限，所以A选项的说法正确；B．当x＞0时，y随着x的增大而减小，所以B选项的说法正确；C．若x1＜0，x2＞0，则y2＞y1，所以C选项的说法错误；D．把x=1代入2yx=得y=2，则点（1，2）在2yx=的图象上，所以D选项的说法正确．故选C．【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数kyx=（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．11.某车库出口安装的栏杆如图所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝1.18米，AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】延长BA、FE，交于点D，根据AB⊥BC，EF∥BC知∠ADE=90°，由∠AEF=143°知∠AED=37°，根据sin∠AEDADAE=，AE=1.2米求出AD的长，继而可得BD的值，从而得出答案．【详解】如图，延长BA、FE，交于点D．∵AB⊥BC，EF∥BC，∴BD⊥DF，即∠ADE=90°．∵∠AEF=143°，∴∠AED=37°．在Rt△ADE中，∵sin∠AEDADAE=，AE=1.2米，∴AD=AE•sin∠AED=1.2×sin37°≈0.72(米)，则BD=AB+AD=1.18+0.72=1.9(米)．故选：A ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建直角三角形，并熟练掌握正弦函数的概念．12.如图，在平面直角坐标系中，A （1，2），B （1，-1），C （2，2），抛物线y =ax 2（a ≠0）经过△ABC 区域（包括边界），则a 的取值范围是（ ）A 1a ≤- 或 2a ≥B. 10a -≤< 或 02a <≤C. 10a -≤< 或112a <≤ D. 122a ≤≤ 【答案】B【解析】试题解析：如图所示：分两种情况进行讨论：.当0a >时，抛物线2y ax =经过点()1,2A 时，2,a =抛物线的开口最小，a 取得最大值2.抛物线2y ax =经过△ABC 区域（包括边界），a 的取值范围是：0 2.a <≤当0a <时，抛物线2y ax =经过点()1,1B -时，1,a =-抛物线的开口最小，a 取得最小值 1.-抛物线2y ax =经过△ABC 区域（包括边界），a 的取值范围是：10.a -≤<故选B.点睛：二次函数()20,y ax bx c a =++≠ 二次项系数a 决定了抛物线开口的方向和开口的大小， 0,a >开口向上，0,a <开口向下.a 的绝对值越大，开口越小.二．填空题（共6小题）13.已知二次函数y ＝x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而_____（填“增大”或“减小”）． 【答案】增大．【解析】【分析】根据二次函数的增减性可求得答案【详解】∵二次函数y=x 2的对称轴是y 轴，开口方向向上，∴当y 随x 的增大而增大∥故答案为增大.【点睛】本题考查的知识点是二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质.14.如图，菱形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，若EF ＝2，则菱形ABCD 的周长是_____．【答案】16．【解析】【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解．【详解】∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴BC=2EF=2×2=4，∴菱形ABCD的周长=4BC=4×4=16．故答案为：16．【点睛】本题考查了菱形的四条边都相等，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出菱形的边长是解答本题的关键．15.一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球.每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30％，那么估计盒子中小球的个数是_______．【答案】30【解析】【分析】根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为30%，然后根据概率公式计算n的值．【详解】解：根据题意得9n∥30%∥解得n∥30∥所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．故答案为30∥【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．16.如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且43OEEA=，则FGBC=______∥【答案】4 7【解析】【分析】利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案．【详解】Q四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且OE4 EA3=∥OE4 OA7∴=∥则FG OE4 BC OA7==∥故答案为4 7∥【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键.17.如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形，若这个等边三角形的边长为3，那么勒洛三角形（曲边三角形）的周长为_____．【答案】3π．【解析】【分析】利用弧长公式计算．【详解】曲边三角形的周长=3603180π⨯⨯⨯=3π．故答案为：3π．【点睛】本题考查了弧长的计算：弧长公式：l 180n R π⋅⋅=(弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R )．也考查了等边三角形的性质． 18.已知：如图，在菱形ABCD 中，F 为边AB 的中点，DF 与对角线AC 交于点G ，过G 作GE ⊥AD 于点E ，若AB ＝2，且∠1＝∠2，则下列结论中一定成立的是_____（把所有正确结论的序号都填在横线上）．∥DF ⊥AB ；∥CG ＝2GA ；∥CG ＝DF +GE ；∥S 四边形BFGC ﹣1．【答案】∥∥∥【解析】【分析】①由四边形ABCD 是菱形，得出对角线平分对角，求得∠GAD =∠2，得出AG =GD ，AE =ED ，由SAS 证得△AFG ≌△AEG ，得出∠AFG =∠AEG =90°，即可得出①正确；②由DF ⊥AB ，F 为边AB 的中点，证得AD =BD ，证出△ABD 为等边三角形，得出∠BAC =∠1=∠2=30°，由AC =2AB •cos ∠BAC ，AG AF cos BAC =∠，求出AC ，AG ，即可得出②正确；③由勾股定理求出DF =GE =tan ∠2•ED 求出GE ，即可得出③正确；④由S 四边形BFGC =S △ABC ﹣S △AGF 求出数值，即可得出④不正确．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴∠F AG =∠EAG ，AB =AD ，BC ∥AD ，∴∠1=∠GAD ．∵∠1=∠2，∴∠GAD =∠2，∴AG =GD ．∵GE ⊥AD ，∴GE 垂直平分AD ，∴AE =ED ．∵F为边AB的中点，∴AF=AE，在△AFG和△AEG中，∵AF AEFAG EAG AG AG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFG≌△AEG(SAS)，∴∠AFG=∠AEG=90°，∴DF⊥AB，∴①正确；连接BD交AC于点O．∵DF⊥AB，F为边AB的中点，∴AF12=AB=1，AD=BD．∵AB=AD，∴AD=BD=AB，∴△ABD为等边三角形，∴∠BAD=∠BCD=60°，∴∠BAC=∠1=∠2=30°，∴AC=2AO=2AB•cos∠BAC=2×2=，AGAFcos BAC===∠，∴CG=AC﹣AG=，∴CG=2GA，∴②正确；∵GE垂直平分AD，∴ED12=AD=1，由勾股定理得：DF ===GE =tan ∠2•ED =tan30°×1=，∴DF +GE 33===CG ， ∴③正确； ∵∠BAC =∠1=30°，∴△ABC 的边AC 上的高等于AB 的一半，即为1，FG 12=AG =，S 四边形BFGC =S △ABC ﹣S △AGF 12=⨯112-⨯1== ∴④不正确．故答案为：①②③．【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．三．解答题（共9小题）19.计算：|﹣1|+2sin30°﹣（π﹣3.14）0+（12）﹣1 【答案】3【解析】【分析】原式利用绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．【详解】原式=1+212⨯-1+2=3． 【点睛】本题考查了实数运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．20.如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，EF⊥AE，交CD于点F，求证：AB：CE＝BE：CF．【答案】详见解析【解析】【分析】证明△AEB∽△EFC，根据相似三角形的对应边成比例即可得到结论．【详解】∵EF⊥AE，∠B=∠C=90°，∴∠AEB+∠FEC=∠FEC+∠EFC=90°，∴∠AEB=∠EFC，∴△AEB∽△EFC，∴AB BE CE CF=，即AB：CE=BE：CF【点睛】本题考查了正方形的性质及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．21.如图，在△ABC中，∠B=30°,∠C=45°,AC=2,求AB和BC.【答案】【解析】【分析】要求AB和BC，由已知∠B、∠C为特殊角，故可构造直角三角形来辅助求解.过点A作AD⊥BC于D，首先在Rt△ACD中求出CD和AD，然后在Rt△ABD中求出BD和AB，从而BC=BD+DC可求.【详解】解：作三角形的高AD.在Rt △ACD 中,∠ACD=45°,AC=2,∴在Rt △ABD 中,∠，∴BD= 30AD tan =︒AB= 30AD sin =︒∴.故答案为,【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理与特殊角的三角函数值.22.某居民小区要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为32m 的栅栏围成（如图所示）．如果墙长16m ，满足条件的花园面积能达到120m 2吗？若能，求出此时BC 的值；若不能，说明理由．【答案】花园的面积能达到120m 2，此时BC 的值为12m ．【解析】【分析】设AB =xm ，则BC =(32﹣2x )m ，根据矩形的面积公式结合花园面积为120m 2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出x 的值，结合墙的长度可确定x 的值，进而可得出BC 的长度．【详解】设AB =xm ，则BC =(32﹣2x )m ，依题意，得：x (32﹣2x )=120，整理，得：x 2﹣16x +60=0，解得：x 1=6，x 2=10．∵32﹣2x ≤16，∴x ≥8，∴x =10，32﹣2x =12．答：花园的面积能达到120m 2，此时BC 的值为12m ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 23.在一个不透明的布袋里装有4个标有1∥2∥3∥4的小球，它们的形状、大小完全相同，李强从布袋中随机取出一个小球，记下数字为x ，王芳在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y ，这样确定了点M 的坐标()x,y()1画树状图列表，写出点M 所有可能的坐标；()2求点()M x,y 在函数y x 1=+的图象上的概率．【答案】()1见解析；()124∥ 【解析】【分析】(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；(2)找出点(x∥y)在函数y=x+1的图象上的情况，利用概率公式即可求得答案．【详解】()1画树状图得：共有12种等可能的结果()1,2∥()1,3∥()1,4∥()2,1∥()2,3∥()2,4∥()3,1∥()3,2∥()3,4∥()4,1∥()4,2∥()4,3∥()2Q 在所有12种等可能结果中，在函数y x 1=+的图象上的有()1,2∥()2,3∥()3,4这3种结果， ∴点()M x,y 在函数y x 1=+的图象上的概率为31124=∥ 【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，一次函数图象上点的坐标特征.注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．24.如图，CD 是∥O 的切线，点C 在直径AB 的延长线上．（1）求证：∠A ＝∠BDC ；（2）若BD AD ＝23，AC ＝3，求CD 的长．【答案】（1）详见解析；（2）2．【解析】【分析】（1）要证明∠A =∠BDC ，只要求出∠ODC =∠BDA 即可，根据题目中条件，不难得到∠ODC =∠BDA =90°，∠ODB =∠OBD ，从而可以证明结论成立；（2）要求CD 的长，只要证明△CDB ∽△CAD 即可，然后根据23BD AD =，AC =3，即可求得CD 的长． 【详解】（1）连接OD ．∵CD 是⊙O 的切线，点C 在直径AB 的延长线上，∴∠ODC =90°，∠BDA =90°，OB =OD ，∴∠ODB +∠BDC =90°，∠OBD +∠A =90°，∠ODB =∠OBD ，∴∠A =∠BDC ；（2）∵∠DCB =∠ACD ，∠BDC =∠DAC ，∴△CDB ∽△CAD ， ∴BD CD DA CA=， ∵23BD AD =，AC =3， ∴233CD =， ∴CD =2，即CD 的长是2．的【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．25.如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y x b =-+的图像与函数k y x=(x ＜0)的图像相交于点A (﹣1，6)，并与x 轴交于点C ．点D 是线段AC 上一点，△ODC 与△OAC 的面积比为2：3．（1）k ＝ ，b ＝ ；（2）求点D 的坐标；（3）若将△ODC 绕点O 逆时针旋转，得到△OD′C′，其中点D ′落在x 轴负半轴上，判断点C′是否落在函数k y x=(x ＜0)的图像上，并说明理由．【答案】（1）65-，；（2）点D 的坐标为()14，；（3）点C '不在函数6y x=-的图像上.理由见解析. 【解析】【分析】 （1）将A （﹣1，6）代入y ＝﹣x+b 可求出b 的值；将A （﹣1，6）代入y ＝k x可求出k 的值； （2）过点D 作DM ⊥x 轴，垂足为M ，过点A 作AN ⊥x 轴，垂足为N ，由△ODC 与△OAC 的面积比为2：3，可推出23DM AN =，由点A 的坐标可知AN ＝6，进一步求出DM ＝4，即为点D 的纵坐标，把y ＝4代入y ＝﹣x+5中，可求出点D 坐标；（3）过点C'作C'G ⊥x 轴，垂足为G ，由题意可知，OD'＝OD =由旋转可知S △ODC＝S △OD'C'，可求出C'G ，在Rt △OC'G 中，通过勾股定理求出OG 的长度，即可写出点C'的坐标，将其坐标代入y ＝﹣6x 可知没有落在函数y ＝k x（x ＜0）的图象上． 【详解】（1）将A （﹣1，6）代入y ＝﹣x+b∥∥6=-(-1)+b,∥∥b=5；将A （﹣1，6）代入y ＝k x ,得6＝1k -，解得k=-6 故答案为65-，； （2）如图1，过点D 用DM x ⊥轴，垂足为M ，过点A 作AN x ⊥轴，垂足为N . 因为122132ODC OAC OC DM S S OC AN ∆∆⋅==⋅， 所以23DM AN =. 又因为点A 的坐标为()16-，，所以6AN =， 所以4DM =，即点D 的纵坐标为4.把4y =代入5y x =-+中得1x =.所以点D 的坐标为()14，.（3）由题意可知，OD OD '===如图2，经过点C '作C G x '⊥轴，垂足为G ，因为ODC ODC S S '=V V ，所以OC DM OD C G ''⋅=⋅，即54G '⨯=，所以C G '= 在Rt OC G 'V中，因为OG ===，所以点C '的坐标为⎛ ⎝.因为6⎛≠- ⎝，所以点C '不在函数6y x =-的图像上.【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，反比例函数的性质，勾股定理等，解题关键是能够熟练运用反比例函数的性质．26.如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝4，D 是BC 边上一点，且BD ＝CD ，G 是BC 边上的一动点，GE ∥AD 分别交直线AC ，AB 于F ，E 两点．（1）AD ＝ ；（2）如图1，当GF ＝1时，求GE AD的值； （3）如图2，随点G 位置的改变，FG +EG 是否为一个定值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由．【答案】（1）AD （2）105；（3）FG +EG 是一个定值，为． 【解析】【分析】 （1）先由勾股定理求出BC 的长，再由直角三角形斜边中线的性质可求出AD 的长；（2）先证FG =CG =1，通过BD =CD 12=BC =AD =BG 的长，再证△BGE ∽△BDA ，利用相似三角形的性质可求出GE AD的值；（3）由（2）知FG =CG ，再证EG =BG ，即可证FG +EG =BC【详解】（1）∵∠BAC =90°，且BD =CD ，∴AD 12=BC ．∵BC ==∴AD 12=⨯=（2）如图1．∵GF ∥AD ，∴∠CFG =∠CAD ．∵BD =CD 12=BC =AD = ∴∠CAD =∠C ，∴∠CFG =∠C ，∴CG =FG =1，∴BG 1．∵AD ∥GE ，∴△BGE ∽△BDA ，∴105EG BG AD BD ===； （3）如图2，随点G 位置的改变，FG +EG 是一个定值．理由如下：∵AD 12=BC =BD ， ∴∠B =∠BAD ．∵AD ∥EG ，∴∠BAD =∠E ，∴∠B =∠E ，∴EG=BG，由（2）知，GF=GC，∴EG+FG=BG+CG=BC，∴FG+EG是一个定值，为【点睛】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等，解题的关键是能够灵活运用相似三角形的判定与性质．27.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A(﹣5，0)，B(﹣4，﹣3)两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合)，设点P的横坐标为t．①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y＝x2+6x+5；(2)①S△PBC的最大值为278；②存在，点P的坐标为P(﹣32，﹣74)或(0，5)．【解析】【分析】(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求出二次函数解析式；(2)①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC 的表达式为：y＝x+1，设点G(t，t+1)，则点P(t，t2+6t+5)，利用三角形面积公式求出最大值即可；②设直线BP与CD交于点H，当点P在直线BC下方时，求出线段BC的中点坐标为(﹣52，﹣32)，过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，求出直线BC中垂线的表达式为：y＝﹣x﹣4…③，同理直线CD的表达式为：y＝2x+2…④，、联立③④并解得：x＝﹣2，即点H(﹣2，﹣2)，同理可得直线BH的表达式为：y＝1 2x﹣1…⑤，联立⑤和y＝x2+6x+5并解得：x＝﹣32，即可求出P点；当点P(P′)在直线BC上方时，根据∠PBC＝∠BCD求出BP′∥CD，求出直线BP′的表达式为：y＝2x+5，联立y＝x2+6x+5和y＝2x+5，求出x，即可求出P.【详解】解：(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式得：25550 16453a ba b-+=⎧⎨-+=-⎩，解得：16 ab=⎧⎨=⎩，故抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5…①，令y＝0，则x＝﹣1或﹣5，即点C(﹣1，0)；(2)①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝x+1…②，设点G(t，t+1)，则点P(t，t2+6t+5)，S△PBC＝12PG(x C﹣x B)＝32(t+1﹣t2﹣6t﹣5)＝﹣32t2﹣152t﹣6，∵-32＜0，∴S△PBC有最大值，当t＝﹣52时，其最大值为278；②设直线BP与CD交于点H，当点P在直线BC下方时，∵∠PBC＝∠BCD，∴点H在BC的中垂线上，线段BC的中点坐标为(﹣52，﹣32)，过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，设BC中垂线的表达式为：y＝﹣x+m，将点(﹣52，﹣32)代入上式并解得：直线BC中垂线的表达式为：y＝﹣x﹣4…③，同理直线CD的表达式为：y＝2x+2…④，联立③④并解得：x＝﹣2，即点H(﹣2，﹣2)，同理可得直线BH的表达式为：y＝12x﹣1…⑤，联立①⑤并解得：x＝﹣32或﹣4(舍去﹣4)，故点P(﹣32，﹣74)；当点P(P′)在直线BC上方时，∵∠PBC＝∠BCD，∴BP′∥CD，则直线BP′的表达式为：y＝2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s＝5，即直线BP′的表达式为：y＝2x+5…⑥，联立①⑥并解得：x＝0或﹣4(舍去﹣4)，故点P(0，5)；故点P的坐标为P(﹣32，﹣74)或(0，5)．【点睛】本题考查是二次函数，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键. 的。
2018-2019 学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共12 小题，每题 4 分，满分48 分，每题只有一个选项切合题意）1．（ 4分）以下是一元二次方程的是（）A ． 2x+1＝ 022D ．2B ． y +x＝1C．x ﹣ 1＝ 0+x ＝ 12．（ 4分）以下图的组合体，它的主视图是（）A．B．C．D．3．（ 4 分）已知＝，那么以下式子中必定成立的是（）A ． 4m＝ 3nB ． 3m＝ 4n C．m＝ 4n D ．mn＝124．（ 4 分）在正方形格中，△ABC的地点以下图，则tanB 的值为（）A ． 1B ．C． D ．5．（ 4 分）抛物线y＝﹣（x﹣ 2）2﹣ 1 的极点坐标是（）A ．（﹣ 2， 1）B ．（﹣ 2，﹣ 1）C．（2， 1） D ．（ 2，﹣ 1）6．（ 4分）如图显示了用计算机模拟随机扔掷一枚图钉的实验结果．跟着试验次数的增添，“钉尖向上” 的频次总在某个数字邻近，显示出必定的稳固性，能够估计“钉尖向上” 的概率是（）A ． 0.620B ． 0.618C．0.610 D ．10007．（ 4 分）已知点（ 3，﹣ 4）在反比率函数的是（）A ．（ 3，4）B ．（﹣ 3，﹣ 4）8．（ 4 分）如图，⊙ O 是△ ABC 的外接圆，∠y＝的图象上，则以下各点也在该反比率函数图象上C．（﹣ 2， 6） D ．（ 2， 6）BOC＝ 120°，则∠ BAC 的度数是（）A ． 120°B．80°C．60° D ．30°9．（ 4 分）在反比率函数y＝﹣图象上有三个点A（ x1，y1）、 B（x2， y2）、 C（ x3， y3），若x1＜0＜x2＜ x3，则以下结论正确的选项是（）A ． y3＜ y2＜y1B ． y1＜ y3＜y2C．y2＜ y3＜ y1 D ． y3＜ y1＜ y210．（4分）如图，矩形EFGO的两边在座标轴上，点O 为平面直角坐标系的原点，以y 轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD ，且点B， F的坐标分别为（﹣4， 4），（ 2， 1），则位似中心的坐标为（）A ．（ 0，3）B ．（ 0，2.5）C．（0， 2） D ．（ 0， 1.5）11．（ 4 分）若对于 x 的一元二次方程 kx 2﹣ 6x+9 ＝ 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围（）A ． k＜ 1 且 k≠ 0B ． k≠ 0C．k＜ 1 D ． k＞ 112．（ 4 分）如图，抛物线2y＝ a（ x﹣ 1） +k（ a＞ 0）经过点（﹣ 1，0），极点为 M，过点 P（0，a+4）作 x 轴的平行线 l ，l 与抛物线及其对称轴分别交于点A、 B、H．以下结论：①当 x＝ 3.1时， y＞0；②存在点 P，使 AP＝ PH；③（BP﹣ AP）是定值；④当 a＝ 2 时， y＝ |a（ x﹣ 1）2+k|的图象与直线 l 有四个交点，此中正确的选项是（）A．①②③B．①②④C．①③④ D ．②③④二、填空题（共 6 小题，每题 4 分：满分分24 分）13．（ 4 分）小明和小红在阳光下行走，小明身高 1.75 米，他的影长 2.0 米，小红比小明矮7 厘米，现在小红的影长是米．14．（ 4 分）某校昨年对实验器械的投资为 2 万元，估计今明两年的投资总数为8 万元，若设该校这两年在实验器械投资上的均匀增添率为x，则可列方程：．15．（4 分）在一个不透明的口袋中装有 5 个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完整相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频次稳固在0.25 邻近，则估计口袋中白球大概有个．16．（ 4 分）如图，一扇形纸扇完整翻开后，外侧两竹条AB 和 AC 的夹角为120°， AB 长为 25cm，贴纸部分的宽BD 为 15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为．（结果保存π）17．（ 4 分）如图，在Rt△ABC 中，∠ ACB ＝90°， D 是 AB 的中点，过 D 点作 AB 的垂线交AC 于点 E， BC＝ 6， sinA＝，则DE＝．18．（ 4 分）如图，在Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AC＝ 2，BC＝ 4， AC∥ x 轴， A、 B 两点在反比率函数 y＝（ x＞ 0）的图象上，延伸到△ EBP，使点 C 落在 x 轴上的点F CA 交 y 轴于点 D， AD＝ 1．将△ ABC 绕点处，点 A 的对应点为E，则点 E 的坐标是B 顺时针旋转得．三、解答题（本大题共9 个小题，共 78 分．）19．（6分）计算：（ 3﹣π）0+ ﹣ 8sin45°20．（6分）解方程： x 2﹣ 4x﹣ 5＝ 0．21．（ 6 分）某路口建立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆 AB 高度是 3m，从侧面 D 点测得显示牌顶端 C 点和底端 B 点的仰角分别是60°和 45°，求路况显示牌BC 的长度．（结果保存根）22．（8 分）如图， BE 是 O 的直径，点A 和点 D 是⊙ O 上的两点，过点 A 作⊙O 的切线交 BE 延伸线于点 C．（1）若∠ ADE ＝ 25°，求∠ C 的度数；（2）若 AC＝ 4，CE＝ 2，求⊙ O 半径的长．23．（8 分）小明家客堂里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、 B（客堂）、 C（走廊）三盏电灯，按下随意一个开关均可翻开对应的一盏电灯，因刚搬进新房不久，不熟习状况．（1）若小明随意按下一个开关，则以下说法正确的选项是．A．小明翻开的必定是楼梯灯B．小明翻开的可能是寝室灯C．小明翻开的不行能是客堂灯D．小明翻开走廊灯的概率是（2）若随意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，则正好客堂灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图法或列表法加以说明．24．（ 10 分）如图，在足够大的空地上有一段长为 a 米的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，此中 AD≤ MN ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100 米木栏．（1）若 a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450 平方米，求所利用旧墙AD 的长；（2）求矩形菜园ABCD 面积的最大值．25．（ 10 分）如图 1，在平面直角坐标系xOy 中，已知△ ABC ，∠ ABC＝ 90°，极点 A 在第一象限，B， C 在 x 轴的正半轴上（ C 在 B 的右边），BC＝ 2， AB＝ 2，△ ADC与△ ABC对于 AC 所在的直线对称．（1）当 OB＝ 2 时，求点 D 的坐标；（2）若点 A 和点 D 在同一个反比率函数的图象上，求OB 的长；（3）如图2，将（ 2）中的四边形ABCD 向右平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比率函数y＝（ k≠ 0）的图象与BA 的延伸线交于点P．问：在平移过程中，能否存在这样的 k，使得以点 P，A1，D 为极点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出全部切合题意的 k 的值；若不存在，请说明原因．26．（ 12 分）如图，在正方形ABCD 中，边长为 4，∠ MDN ＝ 90°，将∠ MDN 绕点 D 旋转，此中 DM 边分别与射线 BA、直线 AC 交于 E、Q 两点， DN 边与射线 BC 交于点 F；连结 EF，且 EF与直线 AC 交于点 P．（1）如图 1，点 E 在线段 AB 上时，①求证： AE＝ CF；②求证： DP 垂直均分 EF；（2）当 AE＝ 1 时，求 PQ 的长．227．（ 12 分）如图，已知抛物线y＝x +bx+c 经过△ ABC 的三个极点，此中点A（ 0，1），点 B（﹣9， 10）， AC∥ x 轴，点 P 是直线 AC 下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的分析式；（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E、F ，当四边形AECP的面积最大时，求点P 的坐标；（3）当点P 为抛物线的极点时，在直线AC上能否存在点Q，使得以C、 P、Q为极点的三角形与△ ABC相像，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明原因．2018-2019 学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷参照答案与试题分析一、选择题（共12 小题，每题 4 分，满分48 分，每题只有一个选项切合题意）1．（ 4 分）以下是一元二次方程的是（）A ． 2x+1＝ 022B ． y +x＝1C．x ﹣ 1＝ 0【剖析】依据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是解答即可．【解答】解： A、不是一元二次方程，故此选项错误；B、不是一元二次方程，故此选项错误；C、是一元二次方程，故此选项正确；D、不是一元二次方程，故此选项错误；应选： C．D ．+x2＝ 12的整式方程叫一元二次方程进行【评论】本题主要考察了一元二次方程定义，判断一个方程是不是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数” ；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．2．（ 4 分）以下图的组合体，它的主视图是（）A．B．C．D．【剖析】找到从正面看所获得的图形即可．【解答】解：这个组合体的主视图是应选： C．【评论】本题考察了三视图的知识，主视图是从物体的正面看获得的视图．3．（ 4 分）已知＝，那么以下式子中必定成立的是（）A ． 4m＝ 3nB ． 3m＝ 4n C．m＝ 4n D ．mn＝12【剖析】依据比率的性质：分子分母交错相乘，可得答案．【解答】解：由＝，得4m＝ 3n．A、 4m＝ 3n，故 A 正确；B、 4m＝ 3n，故 B 错误；C、 m＝，故C错误；D、 4m＝ 3n，故 D 错误；应选： A．【评论】本题考察了比率的性质，利用比率的性质：分子分母交错相乘是解题重点．4．（ 4 分）在正方形格中，△ABC 的地点以下图，则tanB 的值为（）A ． 1B ．C． D ．【剖析】依据图形，能够获得tanB 的值，本题得以解决．【解答】解：由图可知，tanB＝＝ 1，应选： A．【评论】本题考察锐角三角函数的定义，解答本题的重点是明确正切值的定义．5．（ 4 分）抛物线y＝﹣（ x﹣ 2）2﹣ 1 的极点坐标是（）A ．（﹣ 2， 1）B ．（﹣ 2，﹣ 1）C．（2， 1） D ．（ 2，﹣ 1）【剖析】二次函数表达式中的极点式是：y＝ a（ x﹣ h）2+k（a≠ 0，且 a，h，k 是常数），它的对称轴是x＝ h，极点坐标是（h， k）．【解答】解：抛物线y＝﹣（ x﹣2）2﹣ 1 的极点坐标是（2，﹣ 1）．应选： D．【评论】本题考察了二次函数的性质，要求掌握极点式中的对称轴及极点坐标．6．（ 4 分）如图显示了用计算机模拟随机扔掷一枚图钉的实验结果．跟着试验次数的增添，“钉尖向上” 的频次总在某个数字邻近，显示出必定的稳固性，能够估计“钉尖向上” 的概率是（）A ． 0.620B ． 0.618C．0.610 D ．1000【剖析】联合给出的图形以及在相同条件下，大批频频试验时，随机事件发生的频次渐渐稳固在概率邻近，解答即可．【解答】解：由图象可知跟实在验次数的增添，“钉尖向上”的频次总在0.618 邻近摇动，显示出必定的稳固性，能够估计“钉尖向上”的概率是0.618．应选： B．【评论】本题比较简单，考察利用频次估计概率．大批频频试验下频次稳固值即概率．用到的知识点为：概率＝所讨状况数与总状况数之比．7．（ 4 分）已知点（ 3，﹣ 4）在反比率函数y＝的图象上，则以下各点也在该反比率函数图象上的是（）A ．（ 3，4）B ．（﹣ 3，﹣ 4）C．（﹣ 2， 6） D ．（ 2， 6）【剖析】利用反比率函数图象上点的坐标特色进行判断．【解答】解：∵点（ 3，﹣ 4）在反比率函数y＝的图象上，∴k＝ 3×（﹣ 4）＝﹣ 12，而 3× 4＝﹣ 3×（﹣ 4）＝ 2×6＝ 12，﹣ 2× 6＝﹣ 12，∴点（﹣ 2， 6）在该反比率函数图象上．应选： C．【评论】本题考察了反比率函数图象上点的坐标特色：反比率函数y＝（k为常数，图象是双曲线，图象上的点（x， y）的横纵坐标的积是定值k，即 xy＝ k．8．（ 4 分）如图，⊙ O 是△ ABC 的外接圆，∠ BOC＝ 120°，则∠ BAC 的度数是（）k≠ 0）的A ． 120°B ． 80°C．60° D ．30°【剖析】由⊙ O 是△ ABC 的外接圆，∠ BOC＝120°，依据圆周角定理可求得∠BAC的度数．【解答】解：∵⊙ O 是△ ABC 的外接圆，∠BOC＝ 120°，∴∠ BAC＝∠ BOC＝× 120°＝60°．应选： C．【评论】本题考察了圆周角定理与三角形外接圆的知识．本题比较简单，注意掌握数形联合思想的应用．9．（ 4 分）在反比率函数y＝﹣图象上有三个点 A（ x1，y1）、 B（x2， y2）、 C（ x3， y3），若 x1＜0＜x2＜ x3，则以下结论正确的选项是（）A ． y3＜ y2＜y1B ． y1＜ y3＜y2C．y2＜ y3＜ y1 D ． y3＜ y1＜ y2【剖析】依据反比率函数图象上点的坐标特色解答．【解答】解：∵ A（x1， y1）在反比率函数y＝﹣图象上， x1＜ 0，∴y1＞ 0，对于反比率函数y＝﹣，在第二象限，y 随 x 的增大而增大，∵0＜ x2＜ x3，∴y2＜ y3＜ 0，∴y2＜ y3＜ y1应选： C．【评论】本题考察的是反比率函数图象上点的坐标特色，掌握反比率函数的性质、反比率函数的增减性是解题的重点．10．（4分）如图，矩形EFGO的两边在座标轴上，点O 为平面直角坐标系的原点，以y 轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD ，且点B， F的坐标分别为（﹣4， 4），（ 2， 1），则位似中心的坐标为（）A ．（ 0，3）B ．（ 0，2.5）C．（0， 2） D ．（ 0， 1.5）【剖析】连结 BF 交 y 轴于 P，依据题意求出的坐标．【解答】解：如图，连结BF 交 y 轴于 P，CG，依据相像三角形的性质求出GP，求出点P∵四边形ABCD 和四边形EFGO 是矩形，点B， F 的坐标分别为（﹣4， 4），（ 2， 1），∴点 C 的坐标为（ 0， 4），点 G 的坐标为（ 0， 1），∴CG＝ 3，∵BC ∥GF，∴＝＝，∴GP＝ 1， PC＝ 2，∴点 P 的坐标为（ 0， 2），应选： C．【评论】本题考察的是位似变换的观点、坐标与图形性质，掌握假如两个图形不单是相像图形，并且对应极点的连线订交于一点，对应边相互平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心是解题的重点．11．（ 4 分）若对于x 的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围（）A ． k＜ 1 且k≠ 0B ． k≠ 0C．k＜ 1 D ． k＞ 1【剖析】依据根的鉴别式和一元二次方程的定义，令△＞0 且二次项系数不为0 即可．【解答】解：∵对于x 的一元二次方程kx2﹣ 6x+9 ＝ 0 有两个不相等的实数根，∴△＞ 0，即（﹣ 6）2﹣4× 9k＞ 0，解得， k＜ 1，∵为一元二次方程，∴k≠ 0，∴k＜ 1 且 k≠0．应选： A．【评论】本题考察了根的鉴别式和一元二次方程的定义，要知道：（1）△＞等的实数根；（2）△＝ 0? 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．0?方程有两个不相212．（ 4 分）如图，抛物线y＝ a（ x﹣ 1） +k（ a＞ 0）经过点（﹣ 1，0），极点为 M，过点 P（0，a+4）作 x 轴的平行线l ，l与抛物线及其对称轴分别交于点A、 B、H．以下结论：①当x＝ 3.1 时， y ＞0；②存在点P，使AP＝ PH；③（BP﹣ AP）是定值；④当a＝ 2 时， y＝ |a（ x﹣ 1）2+k|的图象与直线l 有四个交点，此中正确的选项是（）A．①②③B．①②④【剖析】依据二次函数的对称性可得抛物线与口向上，可对①作判断；依据图形中与x 可对② 作判断；C．①③④ D ．②③④x 轴的另一个交点的坐标为（3，0），且抛物线开轴交点坐标（﹣1， 0）和对称轴与x 轴交点（ 1， 0）依据对称性得： AH ＝ BH，依据线段的和与差可对③作判断；依据二次函数图象的性质可对④ 作判断．【解答】解：①由题意得： a＞ 0，张口向上，∵抛物线对称轴是x＝1，且经过点（﹣1， 0），∴抛物线过x 轴另一个点为（3， 0），∴当 x＝ 3.1 时， y＞ 0；故① 正确；②当 P 在 O 点时， AP＝PH，∵a＞ 0，∴P 不行能与O 重合，故② 不正确；③BP﹣ AP＝（ BH+PH）﹣ AP＝ AH +PH ﹣ AP＝ 2PH ＝ 2，故③ 正确；④当 a＝ 2 时， a+4 ＝ 6，P（ 0， 6），以下图，故④ 正确．所以正确的有：①③④，应选： C．【评论】本题考察了二次函数的性质、与x 轴的交点、对于x 轴对称的点的特色，利用数形结合的思想解决问题是重点，并娴熟掌握二次函数的性质．二、填空题（共 6 小题，每题 4 分：满分分24 分）13．（ 4 分）小明和小红在阳光下行走，小明身高 1.75 米，他的影长 2.0 米，小红比小明矮7 厘米，现在小红的影长是 1.92米．【剖析】在同一时辰物高和影长成正比，即在同一时辰的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光芒三者组成的两个直角三角形相像．【解答】解：依据题意知，小红的身高为175﹣ 7＝ 168（厘米），设小红的影长为x 厘米则＝，解得： x＝ 192，∴小红的影长为 1.92 米，故答案为： 1.92．【评论】本题主要考察了平行投影，把实质问题抽象到相像三角形中，利用相像三角形的相像比，列出方程，经过解方程求出的影长，表现了方程的思想．14．（ 4 分）某校昨年对实验器械的投资为 2 万元，估计今明两年的投资总数为8 万元，若设该校这两年在实验器械投资上的均匀增添率为x ，则可列方程： 2（ 1+ x ）+2（ 1+x ）2＝ 8 ．【剖析】 重点描绘语是： “估计今明两年的投资总数为8 万元”，等量关系为：今年的投资的总额+明年的投资总数＝ 8，把有关数值代入即可．【解答】 解：∵昨年对实验器械的投资为2 万元，该校这两年在实验器械投资上的均匀增添率为 x ，∴今年的投资总数为 2（ 1+ x ）；明年的投资总数为 2（ 1+x ）2；∵估计今明两年的投资总数为8 万元，∴2（ 1+x ） +2（ 1+x ） 2＝ 8．【评论】 解决本题的重点是找到有关量的等量关系，注意估计明年的投资总数是在今年的投资总数的基础上增添的．15．（4 分）在一个不透明的口袋中装有5 个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完整相同，通过多次摸球实验后发现， 摸到红球的频次稳固在 0.25 邻近，则估计口袋中白球大概有 15 个．【剖析】 由摸到红球的频次稳固在 0.25 邻近得出口袋中获得红色球的概率，从而求出白球个数即可．【解答】 解：设白球个数为： x 个， ∵摸到红色球的频次稳固在 0.25 左右，∴口袋中获得红色球的概率为 0.25，∴＝ ，解得： x ＝ 15，即白球的个数为 15 个，故答案为： 15．【评论】 本题主要考察了利用频次估计概率，依据大批频频试验下频次稳固值即概率得出是解题重点．16．（ 4 分）如图，一扇形纸扇完整翻开后，外侧两竹条AB 和 AC 的夹角为 120°， AB 长为 25cm ，贴纸部分的宽 BD 为 15cm ，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为350πcm 2．（结果保存 π）【剖析】 求出 AD ，先分别求出两个扇形的面积，再求出答案即可．【解答】 解：∵ AB 长为 25cm ，贴纸部分的宽 BD 为 15cm ，∴AD ＝ 10cm，∴贴纸的面积为S＝2×（ S 扇形ABC﹣ S 扇形ADE＝﹣）＝ 350π（ cm2），故答案为： 350πcm2．【评论】本题考察了扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解本题的重点．17．（ 4 分）如图，在Rt△ABC 中，∠ ACB ＝90°， D 是 AB 的中点，过 D 点作 AB 的垂线交AC 于点 E， BC＝ 6， sinA＝，则DE＝．【剖析】在 Rt△ ABC 中，先求出 AB，AC 既而得出 AD，再由△ ADE∽△ ACB，利用对应边成比率可求出 DE．【解答】解：∵ BC＝ 6， sinA＝，∴AB ＝ 10，∴AC ＝＝8，∵D 是 AB 的中点，∴AD ＝AB＝ 5，∵△ ADE ∽△ ACB，∴＝，即＝，解得： DE＝．故答案为：．【评论】本题考察认识直角三角形的知识，解答本题的重点是娴熟掌握三角函数的定义及勾股定理的表达式．18．（ 4 分）如图，在Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AC＝ 2，BC＝ 4， AC∥ x 轴， A、 B 两点在反比率函数 y＝（x＞0）的图象上，延伸CA 交 y 轴于点 D， AD＝ 1．将△ ABC 绕点 B 顺时针旋转得到△ EBP，使点 C 落在 x 轴上的点 F 处，点 A 的对应点为E，则点 E 的坐标是（4+2，）．【剖析】作 BM ⊥ x 轴于 M，EN⊥ x 轴于 N，如图，依据旋转的性质得BF ＝BC＝ 4，EF ＝ AC＝ 2，∠BFE ＝∠ BCA＝90°，∠ CBF等于旋转角，再计算出BM＝ CM ﹣ BC＝2，则在Rt△BMF中，利用三角函数可求出∠MBF ＝ 60°， MF ＝BM＝2，于是获得旋转角为120°，而后证明E 点坐标．Rt△BMF ∽Rt△ FNE ，利用相像比求出FN 和 EN，从而可获得【解答】解：作 BM ⊥x 轴于 M， EN⊥ x 轴于 N，如图，∵△ ABC 绕点 B 顺时针旋转获得△EBF ，∴B F ＝BC＝ 4， EF＝ AC＝ 2，∠ BFE ＝∠ BCA＝ 90°，∠ CBF 等于旋转角，∵BC ⊥x 轴， A（ 1， 6），∴B M ＝ CM ﹣BC＝ 6﹣ 4＝2，在 Rt △ BMF 中，∵ cos∠MBF ＝＝＝，∴∠ MBF ＝ 60°， MF ＝BM＝ 2，∴∠ CBF ＝ 180°﹣∠ MBF ＝ 120°，∴旋转角为120°；∵∠ BFM +∠ MBF ＝90°，∠ BFM +∠ EFN ＝ 90°，∴∠ MBF ＝∠ EFN ，∴R t△ BMF ∽ Rt△ FNE ，∴＝＝，即＝＝，∴F N ＝1， EN＝，∴ON＝ OM +MF +FN＝ 3+2+1＝ 4+2，∴E 点坐标为（ 4+2，），故答案为：（4+2，）．【评论】考察了旋转的性质．解决本题的重点是作BM⊥ x 轴于 M，EN⊥ x 轴于 N，建立 Rt△ BMF ∽Rt△ FNE ．三、解答题（本大题共9 个小题，共78 分．）19．（6 分）计算：（ 3﹣π）0+﹣8sin45°【剖析】直接利用特别角的三角函数值以及零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝ 1+2﹣8×＝1+2 ﹣4＝1﹣2 ．【评论】本题主要考察了实数运算，正确化简各数是解题重点．20．（6 分）解方程：x【剖析】因式分解法求解可得．【解答】解：（ x+1）（ x﹣ 5）＝ 0，则 x+1＝ 0 或 x﹣ 5＝ 0，∴x＝﹣ 1 或 x＝ 5．【评论】本题主要考察解一元二次方程的能力，娴熟掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，联合方程的特色选择适合、简易的方法是解题的重点21．（ 6 分）某路口建立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB 高度是 3m，从侧面 D 点测得显示牌顶端 C 点和底端 B 点的仰角分别是60°和 45°，求路况显示牌BC 的长度．（结果保存根）【剖析】在 Rt△ ABD 中，知道了已知角的对边，可用正切函数求出邻边ABC 中，知道了已知角的邻边，用正切值即可求出对边AC 的长；从而由AD 的长；同理在Rt△BC＝AC ﹣AB 得解．【解答】解：∵在Rt△ ADB 中，∠ BDA ＝ 45°， AB＝ 3m，∴DA ＝ 3m，在 Rt △ ADC 中，∠ CDA＝ 60°，∴tan60°＝，2﹣ 4x﹣ 5＝ 0．∴CA ＝m∴BC ＝CA ﹣ BA ＝（ 3﹣ 3）米．【评论】 本题考察认识直角三角形的应用﹣仰角俯角，解决此类问题要认识角之间的关系，找到与已知和未知有关系的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要经过作高或垂线结构直角三角形，另当问题以一个实质问题的形式给出时，要擅长读懂题意，把实质问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．22．（8 分）如图， BE 是 O 的直径，点 A 和点 D 是⊙ O 上的两点，过点 A 作 ⊙O 的切线交 BE 延伸线于点 C ．（ 1）若∠ ADE ＝ 25°，求∠ C 的度数；（ 2）若 AC ＝ 4，CE ＝ 2，求 ⊙ O 半径的长．【剖析】（ 1）连结 OA ，依据圆周角定理求出∠ AOC ，依据切线的性质求出∠ OAC ，依据三角形内角和定理求出即可；（2）设 OA ＝OE ＝ r ，依据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【解答】 解：（ 1）连结 OA ，∵∠ ADE ＝ 25°，∴由圆周角定理得：∠ AOC ＝ 2∠ ADE ＝50°，∵AC 切⊙O 于 A ，∴∠ OAC ＝90°，∴∠ C ＝ 180°﹣∠ AOC ﹣∠ OAC ＝ 180°﹣ 50°﹣ 90°＝ 40°；（ 2）设 OA ＝OE ＝ r ，在 Rt △ OAC 中，由勾股定理得： OA 2+AC 2＝ OC 2，222即 r +4＝（ r +2），解得： r ＝ 3，答：⊙ O 半径的长是3．【评论】本题考察了圆周角定理、切线的性质和勾股定理等知识点，能求出∠OAC 和∠ AOC 的度数是解本题的重点．23．（8 分）小明家客堂里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、 B（客堂）、 C（走廊）三盏电灯，按下随意一个开关均可翻开对应的一盏电灯，因刚搬进新房不久，不熟习状况．（1）若小明随意按下一个开关，则以下说法正确的选项是D．A．小明翻开的必定是楼梯灯B．小明翻开的可能是寝室灯C．小明翻开的不行能是客堂灯D．小明翻开走廊灯的概率是（2）若随意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，则正好客堂灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图法或列表法加以说明．【剖析】（ 1）由小明家客堂里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客堂）、C（走廊）三盏电灯，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）第一依据题意画出树状图，而后由树状图求得全部等可能的结果与正好客堂灯和走廊灯同时亮的状况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（ 1）∵小明家客堂里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、 B（客堂）、C（走廊）三盏电灯，∴小明随意按下一个开关，翻开走廊灯的概率是，应选： D．（2）画树状图得：∵共有 6 种等可能的结果，正好客堂灯和走廊灯同时亮的有 2 种状况，∴正好客堂灯和走廊灯同时亮的概率是＝．【评论】本题考察的是用列表法或画树状图法求概率，用到的知识点为：概率＝所讨状况数与总状况数之比．熟记求随机事件的概率公式是解题的重点．24．（ 10 分）如图，在足够大的空地上有一段长为 a 米的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，此中 AD≤ MN ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100 米木栏．（1）若 a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450 平方米，求所利用旧墙AD 的长；（2）求矩形菜园ABCD 面积的最大值．【剖析】（1）设 AB＝ xm，则 BC＝（ 100﹣ 2x）m，利用矩形的面积公式获得x（ 100﹣ 2x）＝ 450，解方程得 x1＝5， x2＝ 45，而后计算 100﹣2x 后与 20 进行大小比较即可获得AD 的长；（2）设 AD ＝ xm，利用矩形面积获得S＝x（ 100﹣ x），配方获得 S＝﹣2（ x﹣ 50） +1250，议论：当 a≥ 50 时，依据二次函数的性质得S 的最大值为 1250m 2；当 0＜ a＜50 时，则当 0＜ x≤a 时，依据二次函数的性质得S 的最大值为 50a﹣ a 2．【解答】解：（ 1）设 AB＝xm，则 BC＝（100﹣2x） m，依据题意得 x（ 100﹣ 2x）＝ 450，解得 x1＝ 5， x2＝ 45，当x＝5 时，100﹣2x＝90＞20，不合题意舍去；当 x＝ 45 时， 100﹣ 2x＝10，答： AD 的长为 10m；（2）设 AD ＝ xm，∴S＝x（ 100﹣ x）＝﹣2，（ x﹣ 50） +1250当 a≥ 50 时，则 x＝ 50 时， S 的最大值为1250；当 0＜ a ＜ 50 时，则当0＜ x ≤ a 时， S 随 x 的增大而增大，当 x ＝ a 时， S 的最大值为 50a ﹣a 2， 综上所述，当 a ≥50 时， S 的最大值为1250m 2；当 0＜a ＜ 50 时， S 的最大值为（ 50a ﹣ a 2）2m ．【评论】 本题考察了二次函数的应用：解此类题的重点是经过几何性质确立出二次函数的分析式，而后确立其最大值，实质问题中自变量 x 的取值要使实质问题存心义，所以在求二次函数的最值时，必定要注意自变量x 的取值范围．25．（ 10 分）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，已知△ ABC ，∠ ABC ＝ 90°，极点 A 在第一象限， B ， C 在 x 轴的正半轴上（ C 在 B 的右边），BC ＝ 2， AB ＝ 2 ，△ ADC 与△ ABC 对于 AC 所在的直线对称．（1）当 OB ＝ 2 时，求点 D 的坐标；（2）若点 A 和点 D 在同一个反比率函数的图象上，求OB 的长；（3）如图 2，将（ 2）中的四边形ABCD 向右平移，记平移后的四边形为A 1B 1C 1D 1，过点 D 1的反比率函数 y ＝（ k ≠ 0）的图象与 BA 的延伸线交于点P ．问：在平移过程中，能否存在这样的 k ，使得以点 P ，A 1，D 为极点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出全部切合题意的 k 的值；若不存在，请说明原因．【剖析】（ 1）如图 1 中，作 DE ⊥x 轴于 E ，解直角三角形清楚DE ， CE 即可解决问题；（2）设 OB ＝ a ，则点 A 的坐标（ a ，2），由题意 CE ＝ 1．DE ＝ ，可得 D （ 3+a ，），点 A 、 D 在同一反比率函数图象上，可得2a ＝（ 3+a ），清楚 a 即可；（ 3）分两种情况： ① 如图 2 中，当点 A 1 在线段 CD 的延伸线上， 且 PA 1∥AD 时，∠PA 1D ＝ 90°． ② 如图 3 中，当∠ PDA 1＝90°时．分别求解；【解答】 解：（ 1）如图 1 中，作 DE ⊥ x 轴于 E ．∵∠ ABC＝ 90°，∴t an∠ACB＝＝，∴∠ ACB＝ 60°，依据对称性可知：DC ＝BC＝ 2，∠ ACD ＝∠ ACB＝ 60°，∴∠ DCE ＝60°，∴∠ CDE ＝90°﹣ 60°＝ 30°，∴CE ＝1， DE ＝，∴OE＝ OB+BC+CE＝ 5，∴点 D 坐标为（ 5，）．（2）设 OB＝ a，则点 A 的坐标（ a， 2 ），由），题意 CE＝ 1．DE ＝，可得 D（ 3+a，∵点 A、D 在同一反比率函数图象上，∴2 a＝（ 3+a），∴a＝ 3，∴OB＝ 3．（3）存在．原因以下：①如图 2 中，当点A1在线段 CD 的延伸线上，且PA1∥ AD 时，∠ PA1D＝ 90°．在 Rt △ ADA 1中，∵∠ DAA1＝ 30°， AD ＝ 2，∴AA 1＝＝4，在 Rt △ APA1中，∵∠ APA1＝60°，∴PA＝，∴PB＝，由（ 2）可知 P（ 3，），∴k＝ 10 ．②如图 3 中，当∠ PDA 1＝90°时．作DM ⊥AB 于 M， A1N⊥ MD 交 MD 的延伸线于N．∵∠ PAK＝∠ KDA 1＝ 90°，∠ AKP＝∠ DKA 1，∴△ AKP ∽△ DKA 1，∴＝．∴＝，∵∠ AKD＝∠ PKA1，∴△ KAD ∽△ KPA1，∴∠ KPA1＝∠ KAD ＝ 30°∴PD ＝A1D，∵四边形AMNA 1是矩形，∴AN 1＝AM ＝，∵△ PDM ∽△ DA 1N，∴PM ＝∴P（ 3，DN，设 DN＝m，则 PM ＝+m），D 1（ 9+m，），m，∵P， D1在同一反比率函数图象上，∴3（ +m）＝（ 9+m），解得 m＝ 3，∴P（ 3，4），∴k＝ 12 ．【评论】本题考察反比率函数综合题、相像三角形的判断和性质、锐角三角函数、解直角三角形、待定系数法等知识，解题的重点是学会用分类议论的思想思虑问题，学会了能够参数建立方程解决问题，属于中考压轴题．26．（ 12 分）如图，在正方形ABCD 中，边长为 4，∠ MDN ＝ 90°，将∠ MDN 绕点 D 旋转，此中 DM 边分别与射线 BA、直线 AC 交于 E、Q 两点， DN 边与射线 BC 交于点 F；连结 EF，且 EF与直线 AC 交于点 P．（1）如图 1，点 E 在线段 AB 上时，①求证： AE＝ CF；②求证： DP 垂直均分 EF；（2）当 AE＝ 1 时，求 PQ 的长．【剖析】（ 1）①只需证明△ ADE≌△ CDE（ ASA）即可解决问题；②利用相像三角形的性质证明∠PDQ ＝ 45°即可解决问题；（2）①当点 E 在线段 AB 上时，作 QH⊥ AD 于 H， QG⊥ AB 于 G．由△ AQD ∽△ EQP，可知AQ?PQ＝DQ?EQ，想方法求出 AQ， EQ，DQ 即可解决问题；②当点 E 在 BA 的延伸线上时，作 QH ⊥ AD 于 H ， QG⊥ AB 于 G，方法近似．【解答】（ 1）①证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴DA ＝ DC，∠ ADC＝∠ DAE ＝∠ DCF ＝ 90°，∴∠ ADC ＝∠ MDN ＝ 90°，∴∠ ADE ＝∠ CDF ，∴△ ADE ≌△ CDE （ ASA），∴AE ＝CF．② ∵△ ADE ≌△ CDE （ASA），∴DE ＝ DF ，∵∠ MDN＝ 90°，∴∠ DEF ＝ 45°，∵∠ DAC ＝45°，∴∠ DAQ ＝∠ PEQ，∵∠ AQD＝∠ EQP，∴△ AQD ∽△ EQP，∴＝，∴＝，∵∠ AQE＝∠ PQD，∴△ AQE ∽△ DQP ，∴∠ QDP ＝∠ QAE＝45°，∴∠ DPE ＝ 90°，∴DP ⊥ EF，∵ DE＝ DF ，∴PE ＝PF，∴DP 垂直均分线段EF ．于 H，QG⊥AB 于 G．（2）解：①当点 E 在线段 AB 上时，作 QH ⊥AD在 Rt △ ADE 中， DE ＝＝，∵∠ QAH ＝∠ QAG＝ 45°，∴HO ＝ QE＝ AH＝EQ，设 QH ＝x，∵× 4×x+×1× x＝×1× 4，∵x＝，∴AQ＝，DQ＝＝，EQ＝，∵△ AQD ∽△ EQP，∴AQ?PQ＝ DQ ?EQ，∴PQ＝＝．②当点 E 在 BA 的延伸线上时，作QH⊥AD 于 H，QG⊥AB 于 G．在 Rt △ ADE 中， DE ＝＝，∵∠ QAH ＝∠ QAG＝ 45°，∴HO ＝ QE＝ AH＝EQ，设 QH ＝x，∵ × 4×x﹣× 1× x＝× 1× 4，∵x＝，∴AQ＝，DQ＝＝， EQ＝，∵△ AQD ∽△ EQP，∴AQ?PQ＝ DQ ?EQ，∴PQ＝＝．综上所述， PQ 的长为或．【评论】 本题考察正方形的性质，全等三角形的判断和性质，相像三角形的判断和性质，勾股定理等知识，解题的重点是正确找寻全等三角形和相像三角形解决问题，属于中考常考题型．227．（ 12 分）如图，已知抛物线 y ＝ x +bx+c 经过△ ABC 的三个极点，此中点 A （ 0，1），点 B （﹣9， 10）， AC ∥ x 轴，点 P 是直线 AC 下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的分析式；（2）过点 P 且与 y 轴平行的直线 l 与直线 AB 、AC 分别交于点 E 、F ，当四边形 AECP 的面积最大时，求点 P 的坐标；（3）当点 P 为抛物线的极点时，在直线AC 上能否存在点 Q ，使得以C 、 P 、Q 为极点的三角形与△ ABC 相像，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明原因．【剖析】（ 1）用待定系数法求出抛物线分析式即可；（2）设点 P （ m ， m 2 2﹣ 3m ，再用 S 四边形 ＝S △ △＝ AC +2m+1），表示出 PE ＝﹣ m AECPAEC +S APC ×PE ，成立函数关系式，求出极值即可；（ 3）先判断出 PF ＝ CF ，再获得∠ PCA ＝∠ EAC ，以 C 、 P 、 Q 为极点的三角形与△ ABC 相像，分两种状况计算即可．【解答】 解：（ 1）∵点 A （ 0， 1）． B （﹣ 9，10）在抛物线上，∴，∴，2∴抛物线的分析式为y ＝ x +2 x+1，（2）∵ AC ∥ x 轴， A （ 0， 1）2∴ x +2x+1＝ 1，∴ x 1＝﹣ 6， x 2＝0，∴点 C 的坐标（﹣ 6， 1），。
