浙教版八年级数学上第二章特殊三角形单元测试题含答案解析

第2章特殊三角形单元测试卷（A卷基础篇）【浙教版】学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________满分：120分考试时间：100分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2019春•商河县期末）下列图形中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）（2014•盐城）若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°3. （3分）（2019春•甘井子区期末）已知直角三角形的两条直角边长分别为1和4，则斜边长为（）A．3 B．C．D．54．（3分）（2019春•长沙县期末）如图，Rt△ABC的直角边AB在数轴上，点A表示的实数为0，以A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴的负半轴于点D，若CB＝1，AB＝2，则点D表示的实数为（）A．B．﹣C．D．﹣5．（3分）（2019春•即墨区期末）等腰三角形的周长为11m，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的腰长为（）A．4.5cm B．2cm C．2cm或4.5cm D．5.5cm6．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝（）A．B．2 C．3 D．+27. （3分）已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm28．（3分）（2019春•南岸区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝BD，∠DAC＝∠DCA，则∠DAC＝（）A．30°B．36°C．40°D．45°9．（3分）（2019春•兰山区期中）如图，其中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若S1，S2，S3，S4和S分别代表相应的正方形的面积，且S1＝4，S2＝9，S3＝8，S4＝10，则S等于（）A．25 B．31 C．32 D．4010．（3分）如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，CP＝2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2 B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）（2019春•郁南县期末）如图的直角三角形中未知边的长x＝________．12．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD=BD=BC，那么∠A= 度．13．（4分）如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则∠B＝∠，∠C＝∠．14．（4分）（2019春•萧山区月考）已知△ABC为等腰三角形，它的一个外角为100°，则∠B的度数是．15．（4分）（2019春•南岗区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝CD＝1，AD＝，则四边形的面积为．16.（4分）（2018秋•抚宁区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．三．解答题（共7小题，共66分）17.（6分）（2018秋•北仑区期末）如图是由5个边长为单位1的小正方形拼成，请你在图上添加一个小正方形，使添加后的图形是一个轴对称图形，要求画出三种．18．（8分）已知AB=AC，BD=DC，AE平分∠FAB，问：AE与AD是否垂直？为什么？19．（8分）（2019春•铜仁市期末）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC．20．（10分）（2019春•海淀区校级月考）在△ABC中，AB＝AC，M是边BC的中点，BD平分∠ABC，交AM于E，交AC于D，若∠AED＝64°，求∠BAC的度数的大小21．（10分）（2019•南岸区校级模拟）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．（1）证明：△ADF是等腰三角形；（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长，22．（12分）如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ=3，PE=1．（1）求证：AD=BE；（2）求AD的长．23．（12分）如图，等腰直角△ACB，∠ACB＝90°，CA＝CB．操作：如图1，过点A任作一条直线（不经过点C和点B）交BC所在直线于点D，过点B作BF⊥AD交AD 于点F，交AC所在直线于点E，连接DE．（1）猜想△CDE的形状；（2）请你利用图2、图3作与上述位置不同的直线，然后按上述方法操作．画出相应的图形；（3）在经历（2）之后，若你认为（1）中的结论是成立的，请你利用图2加以证明；若你认为不成立，请你利用其中一图说明理由．第2章特殊三角形单元测试卷（A卷基础篇）【浙教版】参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2019春•商河县期末）下列图形中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【思路点拨】根据轴对称图形的定义判断即可．【答案】解：A、不是轴对称图形，符合题意；B、是轴对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查轴对称图形的定义，解题的关键是理解轴对称图形的性质，属于中考常考题型．2．（3分）（2014•盐城）若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【思路点拨】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可直接求出其底角的度数．【答案】解：因为等腰三角形的两个底角相等，又因为顶角是40°，所以其底角为＝70°．故选：D．【点睛】此题考查学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，解答此题的关键是知道等腰三角形的两个底角相等．3. （3分）（2019春•甘井子区期末）已知直角三角形的两条直角边长分别为1和4，则斜边长为（）A．3 B．C．D．5【思路点拨】根据在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方进行计算即可．【答案】解：斜边长为：＝，故选：C．【点睛】此题主要考查了勾股定理，关键是掌握勾股定理内容．4．（3分）（2019春•长沙县期末）如图，Rt△ABC的直角边AB在数轴上，点A表示的实数为0，以A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴的负半轴于点D，若CB＝1，AB＝2，则点D表示的实数为（）A．B．﹣C．D．﹣【思路点拨】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AD的长，再根据A点表示0，可得D点表示的数．【答案】解：AC＝＝＝，则AD＝，∵A点表示0，∴D点表示的数为：﹣，故选：B．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．同时考查了实数与数轴．5．（3分）（2019春•即墨区期末）等腰三角形的周长为11m，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的腰长为（）A．4.5cm B．2cm C．2cm或4.5cm D．5.5cm【思路点拨】根据等腰三角形的性质分为两种情况解答：当边长2cm为腰或者2cm底边时．【答案】解：分情况考虑：当2cm是腰时，则底边长是11﹣2×2＝7cm，此时2cm，2cm，7cm不能组成三角形，应舍去；当2cm是底边时，腰长是（11﹣2）×＝4.5cm，2cm，4.5cm，4.5cm能够组成三角形．此时腰长是4.5cm．故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．6．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝（）A．B．2 C．3 D．+2【思路点拨】根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角△BDE中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得．【答案】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE＝1，又∵直角△BDE中，∠B＝30°，∴BD＝2DE＝2，∴BC＝CD+BD＝1+2＝3．故选：C．【点睛】本题考查了角的平分线的性质以及直角三角形的性质，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，理解性质定理是关键．7. （3分）已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm2【思路点拨】要求Rt△ABC的面积，只需求出两条直角边的乘积．根据勾股定理，得a2+b2=c2=100．根据勾股定理就可以求出ab的值，进而得到三角形的面积．【答案】解：∵a+b=14∴（a+b）2=196∴2ab=196﹣（a2+b2）=96∴ab=24．故选：A．【点睛】这里不要去分别求a，b的值，熟练运用完全平方公式的变形和勾股定理．8．（3分）（2019春•南岸区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝BD，∠DAC＝∠DCA，则∠DAC＝（）A．30°B．36°C．40°D．45°【思路点拨】设∠DAC＝x°，根据∠DAC＝∠DCA得到∠DAC＝∠DCA＝x°，然后利用等腰三角形的性质表示出相关的角的度数，利用三角形内角和定理求得x即可求得答案．【答案】解：设∠DAC＝x°，∵∠DAC＝∠DCA，∴∠DAC＝∠DCA＝x°，∴∠ADB＝2x°，∵AB＝AC＝BD，∴∠B＝∠C＝x°，∠BAD＝∠BDA＝2x°，∴x+2x+2x＝180，∴x＝36°，故选：B．【点睛】考查了等腰三角形的性质，了解等腰三角形中等边对等角是解答本题的关键，难度不大．9．（3分）（2019春•兰山区期中）如图，其中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若S1，S2，S3，S4和S分别代表相应的正方形的面积，且S1＝4，S2＝9，S3＝8，S4＝10，则S等于（）A．25 B．31 C．32 D．40【思路点拨】如图，根据勾股定理分别求出AB2、AC2，进而得到BC2，即可解决问题．【答案】解：如图，由题意得：AB2＝S1+S2＝13，AC2＝S3+S4＝18，∴BC2＝AB2+AC2＝31，∴S＝BC2＝31．故选：B．【点睛】主要考查了正方形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握勾股定理等几何知识点．10．（3分）如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，CP＝2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2 B．C．D．【思路点拨】由OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，CP＝2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP＝30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM的长．【答案】解：∵OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，∴∠AOP＝∠COP＝30°，∵CP∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠COP＝∠CPO，∴OC＝CP＝2，∵∠PCE＝∠AOB＝60°，PE⊥OB，∴∠CPE＝30°，∴CE＝CP＝1，∴PE＝＝，∴OP＝2PE＝2，∵PD⊥OA，点M是OP的中点，∴DM＝OP＝．故选：C．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与判定、含30°直角三角形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）（2019春•郁南县期末）如图的直角三角形中未知边的长x＝．【思路点拨】根据勾股定理计算即可．【答案】解：由勾股定理得，x＝＝，故答案为：．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．12．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD=BD=BC，那么∠A= 36 度．【思路点拨】设∠A=x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解．【答案】解：设∠A=x．∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=x；∵BD=BC，∴∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠A=2x；∵AB=AC，∴∠ABC=∠BCD=2x，∴∠DBC=x；∵x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠A=36°．故答案为：36．【点睛】本题考查等腰三角形的性质；利用了三角形的内角和定理得到相等关系，通过列方程求解是正确解答本题的关键．13．（4分）如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则∠B＝∠DAC，∠C＝∠BAD．【思路点拨】先根据直角三角形两锐角互余得出∠B+∠C＝90°，再由三角形的高的定义得出∠ADB＝∠ADC＝90°，那么根据直角三角形两锐角互余得出∠DAC+∠C＝90°，∠B+∠BAD＝90°，然后根据同角的余角相等即可得到∠B＝∠DAC，∠C＝∠BAD．【答案】解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠C＝90°，∠B+∠BAD＝90°，∴∠B＝∠DAC，∠C＝∠BAD．故答案为DAC，BAD．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，余角的性质，三角形的高，掌握直角三角形中，两个锐角互余是解题的关键．14．（4分）（2019春•萧山区月考）已知△ABC为等腰三角形，它的一个外角为100°，则∠B的度数是20°或50°或80°．【思路点拨】没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．【答案】解：∵一个外角为100°，∴与其相邻的内角为80°，如果80°为顶角，当∠B为顶角，∴∠B＝80°，当∠B为底角，∴∠B＝50°，如果80°为底角，当∠B为顶角，∴∠B＝20°，当∠B为底角，∴∠B＝80°，综上所述，∠B的度数是20°或50°或80°，故答案为：20°或50°或80°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．15．（4分）（2019春•南岗区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝CD＝1，AD＝，则四边形的面积为1+．【思路点拨】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理得到△ACD为直角三角形，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【答案】解：连接AC，在Rt△ABC中，AC＝＝，AC2+CD2＝5+1＝6，AD2＝6，则AC2+CD2＝AD2，∴△ACD为直角三角形，∴四边形ABCD的面积＝×1×2+×1×＝1+，故答案为：1+．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．16.（4分）（2018秋•抚宁区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为4或6 厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．【思路点拨】首先求出BD的长，要使△BPD与△CQP全等，必须BD＝CP或BP＝CP，得出方程12＝16﹣4x或4x＝16﹣4x，求出方程的解即可．【答案】解：设经过x秒后，使△BPD与△CQP全等，∵AB＝AC＝24厘米，点D为AB的中点，∴BD＝12厘米，∵∠ABC＝∠ACB，∴要使△BPD与△CQP全等，必须BD＝CP或BP＝CP，即12＝16﹣4x或4x＝16﹣4x，解得：x＝1或x＝2，x＝1时，BP＝CQ＝4，4÷1＝4；x＝2时，BD＝CQ＝12，12÷2＝6；即点Q的运动速度是4或6，故答案为：4或6【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定的应用；熟练掌握等腰三角形的性质，根据题意得出方程是解决问题的关键．三．解答题（共7小题，共66分）17.（6分）（2018秋•北仑区期末）如图是由5个边长为单位1的小正方形拼成，请你在图上添加一个小正方形，使添加后的图形是一个轴对称图形，要求画出三种．【思路点拨】根据轴对称图形的概念求解可得．【答案】解：如图所示：【点睛】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称图形的概念．18．（8分）已知AB=AC，BD=DC，AE平分∠FAB，问：AE与AD是否垂直？为什么？【思路点拨】根据等腰三角形的性质可知，∠1=∠2，∠B=∠C，由三角形外角平分线的性质可知∠3=∠C，AE∥BC，由平行线的性质可知AE⊥AD．【答案】证明：∵AB=AC，CD=BD，∴∠1=∠2，∠B=∠C，AD⊥BC，又∵AE是△ABC的外角平分线，∴∠3=∠4=（∠B+∠C）=∠C，∴AE∥BC，∠DAE+∠ADB=180°，又∵AD⊥BC，∴∠DAE=∠ADC=90°．∴AE⊥AD．【点睛】本题考查的是角平分线、等腰三角形及平行线的性质；由已知证得AE∥BC，AD⊥BC是解答本题的关键．19．（8分）（2019春•铜仁市期末）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC．【思路点拨】根据已知条件，利用直角三角形的特殊判定方法可以证明题目结论．【答案】证明：∵∠1＝∠2，∴DE＝CE．∵AD∥BC，∠A＝90°，∴∠B＝90°．∴△ADE和△EBC是直角三角形，而AD＝BE．∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定及性质；主要利用了直角三角形全等的判定方法HL，也利用了等腰三角形的性质：等角对等边，做题时要综合利用这些知识．20．（10分）（2019春•海淀区校级月考）在△ABC中，AB＝AC，M是边BC的中点，BD平分∠ABC，交AM于E，交AC于D，若∠AED＝64°，求∠BAC的度数的大小【思路点拨】根据等腰三角形的性质得到∠ABM＝90°，∠BAM＝∠CAM，根据角平分线的定义得到∠ABC ＝2∠EBM＝52°，于是得到结论．【答案】解：∵AB＝AC，M是边BC的中点，∴∠AMB＝90°，∠BAM＝∠CAM，∵∠BEM＝∠AED＝64°，∴∠EBM＝26°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBM＝52°，∴∠BAM＝90°﹣∠ABM＝38°，∴∠BAC＝2∠BAM＝76°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线定义，正确的识别图形是解题的关键．21．（10分）（2019•南岸区校级模拟）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．（1）证明：△ADF是等腰三角形；（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长，【思路点拨】（1）由AB＝AC，可知∠B＝∠C，再由DE⊥BC，可知∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90，然后余角的性质可推出∠F＝∠BDE，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出∠F＝∠FDA，于是得到结论；（2）根据解直角三角形和等边三角形的性质即可得到结论．【答案】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵FE⊥BC，∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，∴∠F＝∠BDE，而∠BDE＝∠FDA，∴∠F＝∠FDA，∴AF＝AD，∴△ADF是等腰三角形；（2）∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵∠B＝60°，BD＝4，∴BE＝BD＝2，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝AD+BD＝6，∴EC＝BC﹣BE＝4．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、余角的性质、对顶角的性质等知识点，关键根据相关的性质定理，通过等量代换推出∠F＝∠FDA，即可推出结论．22．（12分）如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ=3，PE=1．（1）求证：AD=BE；（2）求AD的长．【思路点拨】（1）根据等边三角形的三条边都相等可得AB=CA，每一个角都是60°可得，∠BAE=∠ACD=60°，然后利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CAD=∠ABE，然后求出∠BPQ=60°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠PBQ=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BP=2PQ，再根据AD=BE=BP+PE代入数据进行计算即可得解．【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=CA=BC，∠BAE=∠ACD=60°；在△ABE和△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴AD=BE；（2）解：∵△ABE≌△CAD，∴∠CAD=∠ABE，∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；∵BQ⊥AD，∴∠AQB=90°，∴∠PBQ=90°﹣60°=30°，∵PQ=3，∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6，又∵PE=1，∴AD=BE=BP+PE=6+1=7．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记性质并求出BP=2PQ是解题的关键．23．（12分）如图，等腰直角△ACB，∠ACB＝90°，CA＝CB．操作：如图1，过点A任作一条直线（不经过点C和点B）交BC所在直线于点D，过点B作BF⊥AD交AD 于点F，交AC所在直线于点E，连接DE．（1）猜想△CDE的形状；（2）请你利用图2、图3作与上述位置不同的直线，然后按上述方法操作．画出相应的图形；（3）在经历（2）之后，若你认为（1）中的结论是成立的，请你利用图2加以证明；若你认为不成立，请你利用其中一图说明理由．【思路点拨】（1）猜想△CDE是等腰直角三角形；（2）据要求画出图形；（3）只要证得△ACD≌△BEC，可得到CD＝CE，即可得到结论；【答案】解：（1）由AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，容易猜想到△ACD≌△BEC，那么CD＝CE，则△CDE是等腰直角三角形；（2）据要求画出图形如下：（3）结论成立；证明：∵∠ACB＝90°，AF⊥BE，∴∠FDB+∠FBD＝90°，∠EBC+∠CEB＝90°，∴∠FDB＝∠CEB；又∵∠FDB＝∠ADC，∴∠ADC＝∠CEB；∵在三角形ACD和三角形BCE中，∴△ACD≌△BEC；∴CD＝CE，∴△CDE是等腰直角三角形．即猜想△CDE是等腰直角三角形结论成立．【点睛】此题主要考查直角三角形全等的判定，要利用已知条件寻找缺少的条件判定三角形全等，解题关键在于证明两腰相等．。

第二章特殊三角形单元检测题（时间:90分钟，满分:100分）一、选择题（每小题3分,共30分）1.下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）A. 30°B. 36°C. 45°D. 70°3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A =36°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E．下列结论：①BD平分∠ABC；②AD=BD=BC；③△BCD的周长等于AB+BC；④D是AC的中点．其中正确的是（）A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④4.等腰三角形有两条边长为4 cm和9 cm，则该三角形的周长是( )A.17 cmB.22 cmC.17 cm或22 cmD.18 cm5.如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在BC上，∠BAD=50°，AD=AE，则∠EDC的度数为（）A.15°B.25°C.30°D.50°6.等边△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（）A．60°B．90°C．120°D．150°7.如图，在等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（）A.45°B.55°C.60°D.75°8.下列说法中正确的是（ ）A.已知c b a ,,是三角形的三边，则222c b a =+B.在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方C.在Rt △ABC 中，∠C =90°，所以222c b a =+（a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边）D.在Rt △ABC 中，∠B =90°，所以222c b a =+（a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边） 9.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =40，CB =9，点M 、N 在AB 上，且AM =AC ，BN =BC ，则MN 的长为（ ）A.6B.7C.8D.910.已知一个直角三角形的周长是4+26，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积为（ ）A.5B.2C. 45D.1 二、填空题（每小题3分,共24分）11. 在△ABC 中，AB =AC ，∠A +∠B =115°，则∠A = ，∠B = .12.若点D 为△ABC 的边BC 上一点，且AD =BD ，AB =AC =CD ，则∠BAC =____________． 13.已知△ABC 中，DE 垂直平分AC ，与AC 边交于点E ，与BC 边交于点D ，∠C =15°， ∠BAD =60°，则△ABC 是________三角形．14.等腰三角形的底边长为，顶角是底角的4倍，则腰上的高是_________.15.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个等腰三角形的底角为 . 16.已知等边三角形的高为23，则它的边长为________.17.如图，已知∠BAC =130°，AB =AC ，AC 的垂直平分线交BC 于点D ，则∠ADB =______度.18.如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，E 是BC 上一点，∠BAE =∠DEC =60°，AB =CE =3，则AD =_________. 三、解答题（共46分）19.（6分）如图，请思考怎样把每个三角形纸片只剪一次，将它分成两个等腰三角形，试一试，在图中画出剪裁的痕迹.20.（6分）如图，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，AD ⊥AC 交BC •于点D ，求证：•BC =3AD .21.（6分）如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠C =90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E .（1）若CD =1 cm ，求AC 的长；（2）求证：AB =AC +CD .22.（7分）如图，在四边形ABCD 中，BC >BA ，AD =DC ，BD 平分∠ABC . 求证：∠BAD +∠C =180°.第21题图 第20题图第22题图CB23.（7分）如图，等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，B，P，Q三点在一条直线上，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．第23题图24.（7分）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE，点B、E在C、D的同侧，若AB=2，求BE的长.第24题图25.（7分）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图（1），当点D在线段BC上时，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度．（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图（2），当点D在线段BC上移动时，则α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由.②当点D在直线BC上移动时，则α、β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．第25题图参考答案一、选择题1、B;2、B3.A解析：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°．∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠ABD=∠A=36°．∴∠DBC=36°，∠BDC=72°，∴BD平分∠ABC，AD=BD=BC，①②正确;△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+AD+CD=BC+AC=BC+AB，③正确.∵BD>CD，∴AD>CD，故④错误．4.B解析：4+9+9=22（cm）.5.B 解析：∠AED =∠EDC +∠C ，∠ADC =∠B +∠BAD ，∵ AD =AE ，∴ ∠AED =∠ADE .∵ AB =AC ，∴ ∠B =∠C ，∴ ∠B +∠BAD =∠EDC +∠C +∠EDC ，即∠BAD =2∠EDC . ∵ ∠BAD =50°，∴ ∠EDC =25°，故选B ．6.C 解析：∠IBC =∠ICB =30°，所以∠BIC =180°-30°-30°=120°.7.C 解析：∵ △ABC 是等边三角形，∴ ∠ABD =∠C ，AB =BC .又∵ BD =CE ，∴ △ABD ≌△BCE .∴ ∠BAD =∠CBE .∵ ∠ABE +∠EBC =60°， ∴ ∠ABE +∠BAD =60°，∴ ∠APE =∠ABE +∠BAD =60°，故选C .8.C 解析：A .不确定三角形是否为直角三角形，且c 是否为斜边，故A 选项错误；B .不确定第三边是否为斜边，故B 选项错误；C .∠C =90°，所以其对边为斜边，故C 选项正确； D .∠B =90°，所以，故D 选项错误.9.C 解析：因为Rt △ABC 中，AC =40，BC =9，所以由勾股定理得AB =41.因为BN =BC =9，AM =AC =40，所以MN =AM +BN AB =40+941=8.10.B 解析：设此直角三角形为△ABC ，其中∠C ＝90°，BC =a ，AC =b ，因为直角三角形斜边的长等于斜边上中线长的2倍，所以AB =4.又因为△ABC 的周长是624+， 所以62=+b a .平方得24)(2=+b a ，即24222=++ab b a . 由勾股定理知16222==+c b a ，所以221,4==ab ab . 二、填空题11、005065，； 12、108013.直角 解析：如图，∵ DE 垂直平分AC ，∴ AD =CD . 又∠C =15°，∴ ∠C =∠DAC =15°，∠ADB =∠C +∠DAC =30°.又∠BAD =60°，∴ ∠BAD +∠ADB =90°，∴ ∠B =90°，即△ABC 是直角三角形. 14.21a 解析：因为等腰三角形的顶角是底角的4倍，所以顶角是120°，底角是30°.如图，在△ABC 中，AC =BC ，BD ⊥AD ，∠A =∠ABC = 30°，AB =a ，则BD =21.15.22.5°或67.5°解析：当等腰三角形为锐角三角形时，底角为67.5°，当等腰三角形为钝角三角形时，底角为22.5°.16.417.5018.6解析：因为∠BAE=60°，所以∠AEB=30°.所以∠AEB+∠DEC=30°+60°=90°，所以∠AED=90°.又因为AB=CE=3，所以AE=DE=6，所以AD =6.三、解答题19.解：如图所示.20.证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∴在Rt△ADC中CD=•2AD.•∵∠BAC=120°，∴∠BAD=120°-90°=30°，∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，∴BC=3AD.21.（1）解：因为AD是∠CAB的平分线，CD⊥AC，DE⊥AB，所以CD=DE=1 cm.因为AC=BC，所以∠CAB=∠B =.又因为DE⊥AB，所以∠EDB=∠B =.所以ED=EB.所以DB =（cm）.所以AC=BC=CD+DB =cm.（2）证明：在△ACD和△AED中，∠CAD=∠EAD，∠C=∠AED，AD=AD，所以△ACD≌△AED，即得AC=AE.由（1）得CD=DE=BE，又AB=AE+EB，所以AB=AC+CD.22.分析：从条件BD平分∠ABC，可联想到角平分线定理的基本图形，故要作垂线段.证明：如图，过点D作DE⊥AB交BA的延长线于点E，过点D作DF⊥BC于点F.因为BD平分∠ABC，所以DE=DF.在Rt△EAD和Rt△FCD中，AD=DC，DE=DF，所以Rt△EAD≌Rt△FCD（HL）.所以∠C=∠EAD.F B第22题答图因为∠EAD+∠BAD=180°，所以∠C+∠BAD=180°.23.解：△APQ为等边三角形．证明如下：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC．∵∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，∴△ABP≌△ACQ（SAS）．∴AP=AQ，∠BAP=∠CAQ．∵∠BAC=∠BAP+∠P AC=60°，∴∠P AQ=∠CAQ+∠P AC=∠BAP+∠P AC=∠BAC=60°．∴△APQ是等边三角形．24. 解：因为△ABD和△CDE是等边三角形，所以AD=BD，CD=DE，∠ADB=∠CDE=60°.所以∠ADB－∠CDB=∠CDE－∠CDB，即∠ADC=∠BDE.在△ADC和△BDE中，因为AD=BD，CD=DE，∠ADC=∠BDE，所以△ADC≌△BDE，所以AC=BE.在等腰直角△ABC中，AB=2，所以AC=BC=1，故BE=1.25.解：（1）90．（2）①α+β=180°．理由：因为∠BAC=∠DAE，所以∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC，即∠BAD=∠CAE．又AB=AC，AD=AE，所以△ABD≌△ACE．所以∠B=∠ACE．所以∠B+∠ACB =∠ACE+∠ACB，所以∠B+∠ACB =β．因为α+∠B+∠ACB =180°，所以α+β=180°．②当点D在射线BC上时，α+β=180°．当点D在射线CB上时，α=β．。

浙教版数学八年级上册第二章特殊三角形单元测试一、选择题(每小题3分，共30分)1．等腰三角形的一个外角是100°，则它的顶角的度数为（）A．80°B．80°或20°C．20°D．80°或50°2．等腰三角形两边长分别为4，8，则它的周长为( )A． 20 B． 16 C． 20或16 D．不能确定3．下列说法错误的是( )A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等C．等腰三角形的两个底角相等D．等腰三角形顶角的外角是底角的二倍4．Rt△ABC中，斜边BC=2，则AB2+AC2+BC2的值为（）A．4 B．6 C．8 D．无法计算5．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为() A．90°B．60°C．45°D．30°6．如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC 于点E，则下列结论一定正确的是（）A．∠EBC=∠BAC B．∠EBC=∠ABE C．AE=EC D．AE=BE 第5题图第6题图第7题图第8题图7. 如图，在等边△ABC 中，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，且CE =1．5，则AB 的长为（ ）8. A ．3 B ．4．5 C ．6 D ．7．58．直线l 1∥l 2∥l 3，且l 1与l 2的距离为1，l 2与l 3的距离为3．把一块含有45°角的直角三角板如图放置，顶点A ，B ，C 恰好分别落在三条直线上，则∥ABC 的面积为( )A ．254B ．252C ．12D ．25 9．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∥A ＝90°，BD ＝4，CF ＝6，则正方形ADOF 的边长是（ ）A ．2B ．2C ．3D ．410．已知：如图，在长方形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6．延长BC 到点E ，使CE ＝2，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC －CD －DA 向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒．当∥ABP 和∥DCE 全等时，所用的时间为( )A ．1B ．1或3C ．1或7D ．3或7二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）11. 命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题是___________________________________12. 直角三角形的两条边长分别为3，4，则它另一边的长为_____________________13．在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=100°，点D 在BC 边上，连接AD ，若△ABD 为直角三角形，则∠ADC 的度数为14．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6．若点P 在边AC 上移动，则BP 的最小值是_______15.如图所示，△ABC是等边三角形，D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若BC＝2，则DE＋DF＝________16．如图，把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE、FG，得到∠2，则△ABC的边BC的长为_____________AGE=30°，若AE=EG=3三．解答题（共5小题，满分66分）17．（12分）（1）如图，已知△ABC，请你作出AB边上的高CD，AC边上的中线BE，角平分线AF（不写作法，保留痕迹）（2）如图，直线l表示一条公路，点A，点B表示两个村庄．现要在公路上造一个车站，并使车站到两个村庄A，B的距离之和最短，问车站建在何处？请在图上标明地点，并说明理由．（要求尺规作图，不写作法）18．（14分）在等边△ABC中，点D、E（不与点A、B、C重合）分别是边AC、AB上的点，点P是平面内一动点，设∠PDC=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠a．（1）若点P在边BC上运动（不与点B和点C重合），如图（1）所示．则∠1+∠2的值．（可用含∠α的代数式表示）（2）若点P在△ABC的外部，如图2所示．则∠1、∠2、∠α之间有何关系？写出你的结论，并说明理由．（3）若点P在边BC的延长线上运动时，请在图3、图4中分别画出相应的图形，并直接写出∠1、∠2、∠α之间的关系式，但不要求证明．19．（12分）在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠BAD=40°，AD=AE，求∠CDE 的度数．20．（14分）如图，OM⊥ON．线段AB=12，其端点A在射线OM上滑动，端点B相应在射线ON上滑动，且A，B都不与点O重合，点C是点O关于AB的对称点，连接CA，CB．（1）求OA=6时，求BC的长；（2）在AB的滑动过程中，点C与点O的距离是否存在最大值？若存在，直接写出结果．若不存在，简要说明理由．21．（14分）如图，在△ABC中，∠ABC=∠C，D是BA延长线上一点，E是AC的中点．（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．①作∠DAC的平分线AM；②连接BE并延长，交AM于点F．（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并证明你的结论．答案：一、选择题：1-5BAACC6-10ACBBC二．填空题：11.答案:两直线平行，内错角相等解析:“内错角相等，两直线平行”的条件是：内错角相等，结论是：两直线平行。

八年级数学上第2章特殊三角形检测题附答案（浙教版）在中国现代，数学叫作算术，又称算学，最后才改为数学。

查字典数学网小编为大家预备了这篇八年级数学上第2章特殊三角形检测题。

八年级数学上第2章特殊三角形检测题附答案〔浙教版〕一、选择题(每题3分,共30分)1.有以下命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合;②等腰三角形两腰上的高相等;③等腰三角形的最短边是底边;④等边三角形的高、中线、角平分线都相等;⑤等腰三角形都是锐角三角形.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.(2021?江苏苏州中考)如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC 中点，∠BAD=35°,那么∠C的度数为()A.35°B.45°C.55°D.60°第2题图3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A =36°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E.有以下结论：①BD平分∠ABC;②AD=BD=BC;③△BCD的周长等于AB+BC;④D是AC的中点.其中正确的选项是( )A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④4.一个等腰三角形有两条边长为4 cm和9 cm，那么该三角形的周长是( )A.17 cmB.22 cmC.17 cm或22 cmD.18 cm5.如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在BC上，∠BAD=50°，AD=AE，那么∠EDC的度数为( )A.15°B.25°C.30°D.50°6.(2021?陕西中考) 如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，假定在边AB上截取BE=BC，衔接DE，那么图中等腰三角形共有( )A.2个B. 3个C.4个D.5个7.如图，在等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，那么∠APE的度数是( )A.45°B.55°C.60°D.75°8.以下说法中正确的选项是( )A. 是三角形的三边，那么B.在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°，所以 (a,b,c区分为∠A, ∠B, ∠C的对边)D.在Rt△ABC中，∠B=90°，所以 (a,b,c区分为∠A, ∠B, ∠C的对边)9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=40，CB=9，点M，N 在AB上，且AM=AC，BN=BC，那么MN的长为( )A.6B.7C.8D.910.一个直角三角形的周长是4+2 ，斜边上的中线长为2，那么这个三角形的面积为( )A.5B.2C.D.1二、填空题(每题3分,共24分)11. 在△ABC中，AB=AC，∠A+∠B=115°，那么∠A= ，∠B= .12.假定点D为△ABC的边BC上一点，且AD=BD，AB=AC=CD，那么∠BAC=____________.13.在△ABC中，DE垂直平分AC，与AC边交于点E，与BC边交于点D，∠C=15°，∠BAD=60°，那么△ABC是________三角形.14.等腰三角形的底边长为a，顶角是底角的4倍，那么腰上的高是_________.15.假定等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，那么这个等腰三角形的底角为 .16.等边三角形的高为2 ，那么它的边长为________.17.如图，∠BAC=130°，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADB=______°.18.如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=CE=3，那么AD=_________.三、解答题(共46分)19.(6分)如图，请思索怎样把每个三角形纸片只剪一次，将它分红两个等腰三角形，试一试，在图中画出裁剪的痕迹.20.(6分)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC 交BC•于点D，求证：•BC=3AD.21.(6分)如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.(1)假定CD=1 cm，求AC的长;(2)求证：AB=AC+CD.22.(7分)(2021?浙江丽水中考)如图，△ABC，∠C=90°，AC (1)用直尺和圆规，作出点D的位置(不写作法，保管作图痕迹);(2)衔接AD，假定∠B=37°，求∠CAD的度数.第22题图23.(7分)如图，在等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，B，P，Q三点在一条直线上，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么外形的三角形?试证明你的结论.24.(7分)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，衔接DC，以DC为边作等边△DCE，点B，E在C，D的同侧，假定AB= ，求BE的长.25.(7分)在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与B，C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，衔接CE.(1)如图(1)，当点D在线段BC上时，假设∠BAC=90°，那么∠BCE= °.(2)设∠BAC=α，∠BCE=β.①如图(2)，当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系?请说明理由.②当点D在直线BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论.第2章特殊三角形检测题参考答案一、选择题1.B 解析：只要②④是正确的.2. C 解析：∵ AB=AC，D为BC中点，∴ AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC.∵ ∠BAD=35°，∴ ∠DAC=35°，∴ 在Rt△DAC中，∠C=90°-∠DAC=90°-35°=55°.3.A 解析：∵ AB=AC，∠A=36°，∴ ∠ABC=∠C=72°.∵ DE垂直平分AB，∴ DA=DB，∴ ∠ABD=∠A=36°.∴ ∠DBC=36°，∠BDC=72°，∴ BD平分∠ABC，AD=BD=BC，①②正确;△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+AD+CD=BC+AC=BC+AB，③正确. ∵ BD>CD，∴ AD>CD，故④错误.4.B 解析：4+9+9=22(cm).5.B 解析：∠AED=∠EDC+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，∵ AD=AE，∴ ∠AED=∠ADE.∵ AB=AC，∴ ∠B=∠C，∴ ∠B+∠BAD=∠EDC+∠C+∠EDC，即∠BAD=2∠EDC.∵ ∠BAD=50°，∴ ∠EDC=25°，应选B.6. D 解析：在中，∵ ∠A=36°，AB=AC,∴ ∠ABC=∠C=72°.∵ BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠CBD=36°,∴ ∠A=∠ABD,∠C=∠CDB=72°,∴ , 都是等腰三角形，∴ BC=BD.∵ BE=BC, ∴ BD=BE,∴ 是等腰三角形，易得∠BED=72°.在中,∵∠A=36°,∴ ∠ADE=∠A =36°,∴ 是等腰三角形.又∵ 在中，AB=AC,∴ 是等腰三角形.故共有5个等腰三角形.7.C 解析：∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠ABD=∠C，AB=BC.又∵ BD=CE，∴ △ABD≌△BCE.∴ ∠BAD=∠CBE.∵ ∠ABE+∠EBC=60°，∴ ∠ABE+∠BAD=60°，∴ ∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，应选C.8.C 解析：A.不确定三角形能否为直角三角形，且c能否为斜边，故A选项错误;B.不确定第三边能否为斜边，故B选项错误;C.由于∠C=90°，所以其对边为斜边，故C选项正确;D.由于∠B=90°，所以，故D选项错误.9.C 解析：由于在Rt△ABC中，AC=40，BC=9，所以由勾股定理得AB=41.由于BN=BC=9，AM=AC=40，所以MN=AM+BN AB=40+9 41=8.10.B 解析：设此直角三角形为△ABC，其中∠C=90°，BC=a，AC=b，由于直角三角形斜边的长等于斜边上中线长的2倍，所以AB=4.又由于△ABC的周长是，所以 .平方得，即 .由勾股定理知，所以 .二、填空题11. 50° 65° 解析：∠C=180°-115°=65°，∠B=∠C=65°，∠A=180°-65°×2=50°.12.108° 解析：如图，∵在△ABC中，AB=AC，∴ ∠B=∠C.∵ AD=BD，∴ ∠B=∠C=∠1.∵ ∠4是△ABD的外角，∴ ∠4=∠1+∠B=2∠C.∵ AC=CD，∴ ∠2=∠4=2∠C.在△ADC中，∵ ∠4+∠2+∠C=180°，即5∠C=180°，∴ ∠C=36°，∴ ∠1+∠2=∠C+2∠C=3×36°=108°，即∠BAC=108°. 13.直角解析：如图，∵ DE垂直平分AC，∴ AD=CD.又∠C=15°，∴ ∠C=∠DAC=15°，∠ADB=∠C+∠DAC=30°.又∵ ∠BAD=60°，∴ ∠BAD+∠ADB=90°，∴ ∠B=90°，即△ABC是直角三角形.14. a 解析：由于等腰三角形的顶角是底角的4倍，所以顶角是120°，底角是30°.如图，在△ABC中，AC=BC，BD⊥AD，∠A=∠ABC= 30°，AB=a，那么BD= .15.22.5°或67.5° 解析：当等腰三角形为锐角三角形时，底角为67.5°;当等腰三角形为钝角三角形时，底角为22.5°.16.417.5018.6 解析：由于∠BAE=60°，所以∠AEB=30°.所以∠AEB+∠DEC=30°+60°=90°，所以∠AED=90°.又由于AB=CE=3，所以AE=DE=6，所以AD=6 .三、解答题19.解：如下图.20.证明：∵ AB=AC，∠BAC=120°，∴ ∠B=∠C=30°，∴ 在Rt△AD C中CD=2AD.•∵ ∠BAC=120°，∴ ∠BAD=120°-90°=30°，∴ ∠B=∠BAD，∴ AD=BD，∴ BC=3AD.21.(1)解：由于AD是∠CAB的平分线，CD⊥AC，DE⊥AB，所以CD=DE=1 cm.由于AC=BC，所以∠CAB=∠B= .又由于DE⊥AB，所以∠EDB=∠B= .所以ED=EB.所以DB= (cm).所以AC=BC=CD+DB= cm.(2)证明：在△ACD和△AED中，∠CAD=∠EAD，∠C=∠AED，AD=AD，所以△ACD≌△AE D，所以AC=AE.由(1)得CD=DE=BE，又AB=AE+EB，所以AB=AC+CD.22. 解：(1)点D的位置如下图(D为AB中垂线与BC的交点).(2)∵ 在Rt△ABC中，∠B=37°，∴ ∠CAB=53°.又∵ AD=BD，∴ ∠BAD=∠B=37°.∴ ∠CAD=53°-37°=16°.第22题答图23.解：△APQ为等边三角形.证明如下：∵ △ABC为等边三角形，∴ AB=AC.∵ ∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，∴ △ABP≌△ACQ(SAS).∴ AP=AQ，∠BAP=∠CAQ.∵ ∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°，∴ ∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=∠BAP+∠PAC=∠BAC=60°.∴ △APQ是等边三角形.24. 解：由于△ABD和△CDE都是等边三角形，所以AD=BD，CD=DE，∠ADB=∠CDE=60°.所以∠ADB-∠CDB=∠CDE-∠CDB，即∠ADC=∠BDE.在△ADC和△BDE中，由于AD=BD，CD=DE，∠ADC=∠BDE，所以△ADC≌△BDE，所以AC=BE.在等腰Rt△ABC中，由于AB= ，所以AC=BC=1，故BE=1.25.解：(1)90.(2)①α+β=180°.理由：由于∠BAC=∠DAE，所以∠BAC-∠DAC =∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE.又AB=AC，AD=AE，所以△ABD≌△ACE.所以∠B=∠ACE.所以∠B+∠ACB =∠ACE+∠ACB，所以∠B+∠ACB =β.由于α+∠B+∠ACB =180°，所以α+β=180°.②当点D在射线BC上时，α+β=180°.当点D在射线CB上时，α=β.八年级数学上第2章特殊三角形检测题到这里就完毕了，希望同窗们的效果可以更上一层楼。

《第2章特殊三角形》一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每小题四个答案中，只有一个是正确的请将正确的答案选出来．1．△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列说法中，正确的有（）①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；④等腰三角形是轴对称图形．A．1个B．2个C．3个D．4个3．在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，﹣2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．在△ABC中，∠A的相邻外角是110°，要使△ABC为等腰三角形，则底角∠B的度数是（）A．70 B．55° C．70°或55°D．60°5．已知三角形的周长为15cm，且其中两边都等于第三边的2倍，那么最短边的长是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm6．如图所示，△ABC中，AB=AC，过AC上一点作DE⊥AC，EF⊥BC，若∠BDE=140°，则∠DEF=（）A．55° B．60° C．65° D．70°7．若三角形中的一条边是另一条边的2倍，且有一个角为30°，则这个三角形是（）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对8．如图所示，在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：5：10，又△A′B′C′≌△ABC，则∠BCA′：∠BCB′等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：49．如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，若AB=3，BC=5，则DC的长度是（）A．B．C．D．10．一个三角形两边中点的连线叫做这个三角形的中位线．只要顺次连结三角形三条中位线，则可将原三角形分割为四个全等的小三角形（如图（1））；把三条边分成三等份，再按照图（2）将分点连起来，可以看作将整个三角形分成9个全等的小三角形；把三条边分成四等份，…，按照这种方式分下去，第n个图形中应该得到（）个全等的小三角形．A．B．C．D．（n+1）2二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）温馨提示：填空题应当是填最简洁，最正确的答案！11．如图，△ABC是Rt△，BC是斜边，P是三角形内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3，那么PP′的长等于．12．在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥AC，交BC于D，若AB=a，则CD= ．13．如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是．14．如图所示，在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，CE是高．已知AB=10cm，DE=2.5cm，则∠BDC= 度，S△BCD= cm2．15．若直角三角形两条直角边上的中线分别是5厘米和厘米，则斜边长为厘米．16．已知：如图，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，BE=1，BC= ．三、解答题（共8题，共66分）温馨提示：解答题应把必要的解答过程表述出来！17．如图所示，已知：AB=BC=AC，CD=DE=EC，求证：AD=BE．18．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，添加一个条件，使DE=DF，并说明理由．解：需添加条件是．19．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，且BC=6，AB=10，求AC和CD．20．已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形．求证：（1）△AEF≌△CDE；（2）△ABC为等边三角形．21．已知，如图△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F．求证：（1）BF=AC；（2）CE=BF．22．如图，已知OA=a，P是射线ON上一动点（即P可以在射线ON上运动），∠AON=60°，填空：（1）当OP= 时，△AOP为等边三角形；（2）当OP= 时，△AOP为直角三角形；（3）当OP满足时，△AOP为钝角三角形．23．已知，如图，AD∥BC，∠A=90°，AD=BE，∠EDC=∠ECD，请你说明下列结论成立的理由：（1）△AED≌△BCE，（2）AB=AD+BC．24．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？《第2章特殊三角形》参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每小题四个答案中，只有一个是正确的请将正确的答案选出来．1．△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理．【分析】由已知条件，利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角形的定义及等角对等边得出答案．【解答】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．BD平分∠ABC交AC于D，∴∠ABD=∠DBC=36°，∵∠A=∠ABD=36°，∴△ABD是等腰三角形．∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，∴△BDC是等腰三角形．∴共有3个等腰三角形．故选C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键．2．下列说法中，正确的有（）①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；④等腰三角形是轴对称图形．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】等腰三角形的性质．【分析】认真阅读每一问题给出的已知条件，根据等腰三角形的概念、性质判断正误．【解答】解：①等腰三角形的两腰相等，正确；②等腰三角形的两底角相等，正确；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等，正确；④等腰三角形是轴对称图形，对称轴就是底边上的高所在的直线，正确．故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质；熟练掌握并灵活应用这些知识是解答本题的关键．3．在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，﹣2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质．【分析】如果OA为等腰三角形的腰，有两种可能，以O为圆心OA为半径的圆弧与y 轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；如果OA为等腰三角形的底，只有一种可能，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点；符合条件的点一共4个．【解答】解：分二种情况进行讨论：当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A 为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点．∴符合条件的点一共4个．故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；针对线段OA在等腰三角形中的地位，分类讨论用画圆弧的方式，找与y轴的交点，比较形象易懂．4．在△ABC中，∠A的相邻外角是110°，要使△ABC为等腰三角形，则底角∠B的度数是（）A．70 B．55° C．70°或55°D．60°【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．【专题】计算题；分类讨论．【分析】根据已知可求得∠A的度数，题中没有指明∠A是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而不难求解．【解答】解：①当∵∠A是顶角时，∵∠A的相邻外角是110°，∴∠A=180°﹣110°=70°，∵只有当∠B=∠C时，△ABC为等腰三角形，∴∠B=（180°﹣70°）÷2=55°，②当∠A=∠B是底角时，∵∠A的相邻外角是110°，∴∠A=180°﹣110°=70°，∴∠B=70°，故选C．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，注意分类讨论思想的运用．5．已知三角形的周长为15cm，且其中两边都等于第三边的2倍，那么最短边的长是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【考点】三角形三边关系．【分析】可设这个三角形的最短边为x厘米，根据三角形的周长为15厘米可列出方程求解即可．【解答】解：设这个三角形的最短边为x厘米，依题意有x+2x+2x=15，5x=15，x=3．故这个三角形的最短边为3厘米．故选C．【点评】考查了等腰三角形的性质，本题关键是根据三角形的周长列出方程求解．6．如图所示，△ABC中，AB=AC，过AC上一点作DE⊥AC，EF⊥BC，若∠BDE=140°，则∠DEF=（）A．55° B．60° C．65° D．70°【考点】三角形的外角性质．【分析】由DE⊥AC，∠BDE=140°，可计算出∠A，再利用等腰三角形的性质求出∠C，最后利用EF⊥BC及同角的余角相等得到∠DEF的度数．【解答】解：∵DE⊥AC，∠BDE=140°，∴∠A=50°，又∵AB=AC，∴∠C==65°，∵EF⊥BC，∴∠DEF=∠C=65°．所以A错，B错，C对，D错．故选C．【点评】考查了垂直的性质，等腰三角形的性质和三角形的外角性质．7．若三角形中的一条边是另一条边的2倍，且有一个角为30°，则这个三角形是（）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对【考点】三角形．【分析】如图，分AB是30°角所对的边AC的2倍和AB是30°角相邻的边AC的2倍两种情况求解．【解答】解：如图：（1）当AB是30°角所对的边AC的2倍时，△ABC是直角三角形；（2）当AB是30°角相邻的边AC的2倍时，△ABC是钝角三角形．所以三角形的形状不能确定．故选D．【点评】解答本题关键在于已知30°的角与边的关系不明确，需要讨论求解，所以三角形的形状不能确定．8．如图所示，在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：5：10，又△A′B′C′≌△ABC，则∠BCA′：∠BCB′等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4【考点】全等三角形的性质．【分析】设∠A=3k，∠B=5k，∠C=10k，根据全等三角形对应角相等可得∠A′CB′=∠ACB=10k，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BCB′=8k，然后求出∠A′CB=2k，求出比值即可．【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=3：5：10，∴设∠A=3k，∠B=5k，∠C=10k，∵△A′B′C′≌△ABC，∴∠A′CB′=∠ACB=10k，在△ABC中，∠B′CB=∠A+∠B=3k+5k=8k，∴∠A′CB=∠A′CB′﹣∠B′CB′=10k﹣8k=2k，∴∠BCA′：∠BCB′=2k：8k=1：4．故选D．【点评】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，利用“设k法”表示出各角更简便．9．如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，若AB=3，BC=5，则DC的长度是（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】计算题．【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理计算AC===4，易证得Rt △CAD∽Rt△CBA，根据相似三角形的性质得到CD：AC=AC：BC，即CD：4=4：5，即可求出CD．【解答】解：∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，∴AC===4，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，而∠C公共，∴Rt△CAD∽Rt△CBA，∴CD：AC=AC：BC，即CD：4=4：5，∴CD=．故选C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比相等．也考查了勾股定理．10．一个三角形两边中点的连线叫做这个三角形的中位线．只要顺次连结三角形三条中位线，则可将原三角形分割为四个全等的小三角形（如图（1））；把三条边分成三等份，再按照图（2）将分点连起来，可以看作将整个三角形分成9个全等的小三角形；把三条边分成四等份，…，按照这种方式分下去，第n个图形中应该得到（）个全等的小三角形．A．B．C．D．（n+1）2【考点】三角形中位线定理；规律型：图形的变化类．【分析】第一图形中三角形的个数为4，第二个图形中三角形的个数为9，这两个数均为完全平方数，那么就可得到第n个图形中全等的三角形个数．【解答】解：由图（1）可知：顺次连接各中点所得全等的小三角形为1+3=（1+1）2；图（2）中顺次连接各中点所得全等的小三角形为1+3+5=（2+1）2；同理如果把三条边分成3等分可得到1+3+5+7=（3+1）2个全等的小三角形，按照这种方式分下去，第n个图形中应该得到（n+1）2个全等的小三角形．故选：D．【点评】本题考查了三角形中位线定理，用加法表示出全等三角形的个数，进而找到相应规律是解决本题的关键．二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）温馨提示：填空题应当是填最简洁，最正确的答案！11．如图，△ABC是Rt△，BC是斜边，P是三角形内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3，那么PP′的长等于．【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】根据旋转的性质得到AP′=AP=3，∠P′AP=∠CAB=90°，然后根据等腰直角三角形的性质可得到出PP′的长．【解答】解：∵△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，∴AP′=AP=3，∠P′AP=∠CAB=90°，∴△P′AP为等腰直角三角形，∴P′P=AP=3．故答案为3．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．12．在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥AC，交BC于D，若AB=a，则CD= 2a ．【考点】等腰三角形的判定与性质．【分析】如图：作CD的中点E，连接AE，由直角三角形的性质可以得出AE=CD，可以得出∠AEB=2∠C，得出∠AEB=∠B，就有AB=AE=a，就可以得出结论．【解答】解：如图，作CD的中点E，连接AE，∴DE=CE=CD．∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，∴AE=CD，∴AE=CE，∴∠C=∠EAC，∵∠AED=∠C+CAE，∴∠AED=2∠C．∵∠B=2∠C，∴∠AEB=∠B，∴AB=AE=CD，∴CD=2AB．∵AB=a，∴CD=2a．故答案为：2a．【点评】本题考查了作辅助线的运用及直角三角形的斜边上的中线的性质的运用等腰三角形的性质的运用，解答本题作斜边上的中线是关健．13．如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是16 ．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】由四边形ABCD为正方形可以得到∠D=∠B=90°，AD=AB，又∠ABE=∠D=90°，而∠EAF=90°由此可以推出∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，进一步得到∠DAF=∠BAE，所以可以证明△AEB≌△AFD，所以S△AEB=S△AFD，那么它们都加上四边形ABCF 的面积，即可四边形AECF的面积=正方形的面积，从而求出其面积．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠D=∠ABC=90°，AD=AB，∴∠ABE=∠D=90°，∵∠EAF=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，∴∠DAF=∠BAE，在△AEB和△AFD中，∵，∴△AEB≌△AFD（ASA），∴S△AEB=S△AFD，∴它们都加上四边形ABCF的面积，可得到四边形AECF的面积=正方形的面积=16．故答案为：16．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质、正方形的面积公式，正方形的性质，关键在于求证△AEB≌△AFD．14．如图所示，在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，CE是高．已知AB=10cm，DE=2.5cm，则∠BDC= 120 度，S△BCD= cm2．【考点】直角三角形斜边上的中线；等边三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=5cm，再根据三角函数值算出∠ECD的度数，然后根据三角形的内角与外角的关系可得∠CDB=∠CED+∠ECD，进而得到∠CDB的度数；再根据勾股定理可计算出CE的长，然后再利用三角形的面积公式进行计算即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，∴CD=AB，∵AB=10cm，∴CD=5cm，∵CE是高，∴△CED是直角三角形，∵DE=2.5cm，∴sin∠ECD==，∴∠ECD=30°，∴∠CDB=∠CED+∠ECD=90°+30°=120°；在Rt△CED中：CE===（cm），∴S△BCD=DB•CE=×5×=（cm2）．故答案为：120；．【点评】此题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理，以及三角函数的应用，解决问题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．15．若直角三角形两条直角边上的中线分别是5厘米和厘米，则斜边长为厘米．【考点】勾股定理．【分析】如图，在Rt△ABE与Rt△CBD中，利用勾股定理列出关于a、b的方程组，通过解方程组求得a、b的值；然后在Rt△ABC中根据勾股定理来求斜边AC的长度．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AE、CD分别是直角边BC、AB上的中线，且AE=5厘米，CD=厘米，则由勾股定理知，解得，则AB=2a=4，BC=2b=6．则在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC===2（厘米）．故答案是：2．【点评】本题考查了勾股定理．注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．16．已知：如图，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，BE=1，BC= 8 ．【考点】含30度角的直角三角形．【分析】根据已知条件易求得∠BDE=30°，∠BAD=30°，则”30度角所对的直角边是斜边的一半“，所以BD=2BE=2，AB=2BD=4，BC=2AB=8．【解答】解：如图，∵∠BAC=90°即AC⊥B，DE⊥AB，∴ED∥AC，∴∠BDE=∠C=30°，∴BD=2BE．又∵AD⊥BC，∴∠BAD=30°，∴AB=2BD=4BE，∴BC=2AB=8BE=8．故填：8．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形．在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．三、解答题（共8题，共66分）温馨提示：解答题应把必要的解答过程表述出来！17．如图所示，已知：AB=BC=AC，CD=DE=EC，求证：AD=BE．【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】先根据等边三角形的内角等于60°推出∠ACD=∠BCE，然后利用边角边证明△ACD与△BCE全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明．【解答】证明：∵AB=BC=AC，CD=DE=EC，∴△ABC与△CDE是等边三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB﹣∠BCD=∠DCE﹣∠BCD，即∠ACD=∠BCE，在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，判定出△ABC与△CDE是等边三角形并求出∠ACD=∠BCE是解题的关键．18．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，添加一个条件，使DE=DF，并说明理由．解：需添加条件是BD=CD，或BE=CF ．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题；开放型．【分析】本题是开放题，应先确定选择哪对三角形，再对应三角形全等条件求解．【解答】解：需添加的条件是：BD=CD，或BE=CF．添加BD=CD的理由：如图，∵AB=AC，∴∠B=∠C．又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°．∴△BDE≌△CDF（AAS）．∴DE=DF．添加BE=CF的理由：如图，∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD．又∵BE=CF，∴△BDE≌△CDF（ASA）．∴DE=DF．【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．19．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，且BC=6，AB=10，求AC和CD．【考点】勾股定理．【分析】首先利用勾股定理求得直角边AC=8；然后利用面积法来求CD的长度．【解答】解：∵如图，在Rt△ABC中，BC=6，AB=10，∴由勾股定理，得AC===8∴，∴．【点评】本题考查了勾股定理．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．20．已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形．求证：（1）△AEF≌△CDE；（2）△ABC为等边三角形．【考点】全等三角形的判定；等边三角形的判定．【专题】证明题；压轴题．【分析】（1）关键是证出CE=AF，可由AE=AB，AC=BF，两两相加可得．再结合已知条件可证出△AEF≌△CDE．（2）有（1）中的全等关系，可得出∠AFE=∠CED，再结合△DEF是等边三角形，可知∠DEF=60°，从而得出∠BAC=60°，同理可得∠ACB=60°，那么∠ABC=60°．因而△ABC 是等边三角形．【解答】证明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）∴FA=EC（等量加等量和相等）．∵△DEF是等边三角形（已知），∴EF=DE（等边三角形的性质）．又∵AE=CD（已知），∴△AEF≌△CDE（SSS）．（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等），∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代换），△DEF是等边三角形（已知），∴∠DEF=60°（等边三角形的性质），∴∠BCA=60°（等量代换），由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，∵∠DEC+∠FEC=60°，∴∠EFA+∠FEC=60°，又∠BAC是△AEF的外角，∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，∴△ABC中，AB=BC（等角对等边）．∴△ABC是等边三角形（等边三角形的判定）．【点评】本题利用了等量加等量和相等，全等三角形的判定和性质，还有三角形的外角等不相邻的两个内角之和，等边三角形的判定（三个角都是60°，那么就是等边三角形）．21．已知，如图△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F．求证：（1）BF=AC；（2）CE=BF．【考点】全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠A=∠DFB，推出BD=DC，根据AAS证出△BDF≌△CDA即可；（2）推出∠AEB=∠CEB，∠ABE=∠CBE，根据ASA证出△AEB≌△CEB，推出AE=CE即可．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，∴∠A+∠ABE=90°，∠ABE+∠DFB=90°，∴∠A=∠DFB，∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，∴∠DCB=90°﹣45°=45°=∠DBC，∴BD=DC，在△BDF和△CDA中∵，∴△BDF≌△CDA（AAS），∴BF=AC；（2）证明：∵BE⊥AC，∴∠AEB=∠CEB，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，在△AEB和△CEB中∵，∴△AEB≌△CEB（ASA），∴AE=CE，即CE=AC，∵由（1）知AC=BF，∴CE=BF．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出△BDF≌△CDA和△AEB≌△CEB，题目综合性比较强．22．如图，已知OA=a，P是射线ON上一动点（即P可以在射线ON上运动），∠AON=60°，填空：（1）当OP= a 时，△AOP为等边三角形；（2）当OP= 时，△AOP为直角三角形；（3）当OP满足时，△AOP为钝角三角形．【考点】等边三角形的判定；含30度角的直角三角形．【分析】（1）由∠AON=60°，可得当OP=OA=a时，△AOP为等边三角形；（2）分别从若AP⊥ON与若PA⊥OA去分析求解，根据三角函数的性质，即可求得OP的长；（3）结合（2）的结论，即可求得答案．【解答】解：（1）∵∠AON=60°，∴当OP=OA=a时，△AOP为等边三角形；（2）若AP⊥ON，∵∠AON=60°，∴OP=OA•cos60°=a；若PA⊥OA，则OP==2a，∴当OP=时，△AOP为直角三角形；（3）由（2）可得：当OP满足时，△AOP为钝角三角形．故答案为：（1）a，（2）a或2a，（3）OP＞2a或OP＜a．【点评】此题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．23．（2008秋•广安校级期中）已知，如图，AD∥BC，∠A=90°，AD=BE，∠EDC=∠ECD，请你说明下列结论成立的理由：（1）△AED≌△BCE，（2）AB=AD+BC．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）由AD∥BC，∠A=90°，根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠B=90°，根据直角三角形的HL定理，即可证得；（2）由（1）△AED≌△BCE，根据全等三角形的性质，可得AE=BC，又AB=AE+BE，等量代换，即可得出；【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∠A=90°，∴∠B=90°，∵∠EDC=∠ECD，∴ED=EC，在直角△AED和直角△BCE中，，∴△AED≌△BCE；（2）∵△AED≌△BCE，∴AE=BC，AD=BE，又∵AB=AE+BE，∴AB=AD+BC．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．24．（12分）（2013秋•高邮市校级期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】分类讨论．【分析】（1）根据旋转的性质可得OC=CD，∠OCD=60°，然后根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形判定即可；（2）根据旋转的性质可得∠ADC=α，然后求出∠ADO=90°，即可得解；（3）分AO=AD时，表示出∠AOC=∠ADC=α，然后根据周角等于360°列式求解即可；DA=DO时，先表示出∠ADO，再根据等腰三角形的性质表示出∠AOD，然后根据周角列出方程求解即可；AO=DO时，先表示出∠ADO，再根据等腰三角形的性质表示出∠AOD，然后根据周角列出方程求解即可．【解答】（1）证明：∵OC=CD，∠OCD=60°，∴∠OCD是等边三角形（有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形）；（2）当∠α=150°时，由旋转的性质，∠ADC=α=150°，∵∠ODC=60°，∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=150°﹣60°=90°，∴△AOD直角三角形；（3）当AO=AD时，∠AOD=∠ADO=α﹣60°，∴∠AOC=∠ADC=α，∴2α+110°=360°，∴α=125°，当DA=DO时，∠ADO=α﹣60°，∴∠AOD=（180°﹣∠ADO）=（180°﹣α+60°）=120°﹣α，∴120°﹣α+60°+α+110°=360°，∴α=140°，当AO=OD时，∠ADO=α﹣60°，∴∠AOD=180°﹣2（α﹣60°）=300°﹣2α，∴300°﹣2α+110°+α+60°=360°，∴α=110°．【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的两底角相等的性质，难点在于（3）要分情况讨论．。

第2章特殊三角形检测卷一、选择题(每题2分，共20分)1．下列图形不是．．轴对称图形的是( )A．线段B．等腰三角形C．角D．有一个内角为60°的直角三角形2．下列命题的逆命题正确的是( )A．全等三角形的面积相等B．全等三角形的周长相等C．等腰三角形的两个底角相等D．直角都相等3．等腰三角形的两条边长是3和6，则它的周长是( )A．12 B．15 C．12或15 D．15或184．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，点E、F、M、N 是AD上的四点，则图中阴影部分的总面积是(A)A．6 B．8 C．4 D．12第4题图第6题图第8题图第9题图5．有一个角是36°的等腰三角形，其他两个角的度数是( )A．36°，108°B．36°，72°C．72°，72°D．36°，108°或72°，72°6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D.若BC＝4cm，BD＝5cm，则点D到AB的距离是( )A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm7．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是(D)A．1，2，3 B．1，1， 2 C．1，1， 3 D．1，2， 38．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，若小方格的边长为1，则△ABC的形状是(B)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形9．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为(C)A．6 B．12 C．32 D．64第10题图10．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连结CE交AD于点F，连结BD交CE于点G，连结BE.下列结论中，正确的结论有( )①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB＝∠AEB；④S四边形BCDE＝12BD·CE；⑤BC2＋DE2＝BE2＋CD2.A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(每题3分，共30分)11．命题“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题是________________________________________________________________________．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于D，则BD＝________．第12题图第13题图第14题图13．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝20°，则∠BDC＝____．14．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和12，则b的面积为____．15．如图，在等边△ABC中，AB＝6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为________．第15题图第16题图第17题图第18题图16．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于_____.17．如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，则EC的长为___cm.18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是经过A点的一条直线，且B，C在AE的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，CE＝2，BD＝6，则DE的长为_____.第19题图19．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，将其绕点A 逆时针旋转15°得到Rt △AB ′C ′，B ′C ′交AB 于E ，若图中阴影部分面积为23，则B ′E 的长为__________．20．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8cm ，AC ＝4cm ，在射线．．BC 上一动点D ，从点B 出发，以5厘米每秒的速度匀速运动，若点D 运动t 秒时，以A 、D 、B 为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t 为______________________秒(结果可含根号)．三、解答题(共50分)21．(7分)如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，分别以点A 、C 为圆心，大于12AC 长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，连结MN ，与AC 、BC 分别交于点D 、E ，连结AE .(1)求∠ADE ；(直接写出结果)(2)当AB ＝3，AC ＝5时，求△ABE 的周长．第21题图22．(8分)如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.第22题图(1)求∠F 的度数； (2)若CD ＝2，求DF 的长．23．(8分)给出两个三角形(如图)，请你把图1分割成两个等腰三角形，把图2分割成三个等腰三角形，并在图上标出分割后等腰三角形的顶角的度数．第23题图24．(8分)如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，且BA ＝BD ，∠DAC ＝12∠B ，∠C ＝50°.求∠BAC 的度数．第24题图25．(9分)已知：如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，作∠DCE＝∠ACD，交AD的延长线于点E，点F是点C关于直线AE的对称点，连结AF.(1)求证：CE＝AF；(2)若CD＝1，AD＝3，且∠B＝20°，求∠BAF的度数．第25题图26．(10分) 在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点(不与B，C重合)，以AD为一边在AD的右侧．．作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连结CE.(1)如图1，当点D在线段BC上时，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝__90__°.(2)设∠BAC＝α，∠BCE＝β.①如图2，当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由．②当点D在直线BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．第26题图参考答案 第2章 特殊三角形检测卷一、选择题1．D 2.C 3.B 4.A 5.D 6.C 7.D 8．B 9.C 10.C 二、填空题11．角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上 12．3 13．40° 14．17 15．3 3 16．8 17．3 18．4 19．23－2 20.5，4，165 5三、解答题21．(1)∵由题意可知MN 是线段AC 的垂直平分线，∴∠ADE ＝90°； (2)∵在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，AC ＝5，∴BC ＝52－32＝4， ∵MN 是线段AC 的垂直平分线，∴AE ＝CE ，∴△ABE 的周长＝AB ＋(AE ＋BE)＝AB ＋BC ＝3＋4＝7.22．(1)∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝60°，∵DE ∥AB ，∴∠EDC ＝∠B ＝60°，∵EF ⊥DE ，∴∠DEF ＝90°，∴∠F ＝90°－∠EDC ＝30°；(2)∵∠ACB ＝60°，∠EDC ＝60°，∴△EDC 是等边三角形．∴ED ＝DC ＝2，∵∠DEF ＝90°，∠F ＝30°，∴DF ＝2DE ＝4.23．略24．设∠DAC ＝x °，则∠B ＝2x °，∠BDA ＝∠C ＋∠DAC ＝50°＋x °.∵BD ＝BA ， ∴∠BAD ＝∠BDA ＝50°＋x °(等边对等角)．∵∠B ＋∠BAD ＋∠BDA ＝180°， 2x ＋50＋x ＋50＋x ＝180.解得x ＝20.∴∠BAD ＝∠BDA ＝50°＋20°＝70°，∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ＝70°＋20°＝90°.25．(1)证明：∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADC ＝∠ADF ＝90°.又∵点F 是点C 关于直线AE 的对称点，∴FD ＝CD.∴AF ＝AC.又∵∠1＝∠2，∴∠CAD ＝∠CED.∴EC ＝AC.∴CE ＝AF.第25题图(2)在Rt △ACD 中，CD ＝1，AD ＝3，∴AC ＝2，∴∠DAC ＝30°.同理可得∠DAF ＝30°，在Rt △ABD 中，∠B ＝20°，∴∠BAF ＝40°.26．(1)90 ∵∠DAE ＝∠BAC ，∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ＝∠EAC ＋∠DAC ；∴∠CAE ＝∠BAD ；在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE(SAS)； ∴∠B ＝∠ACE ；∴∠BCE ＝∠BCA ＋∠ACE ＝∠BCA ＋∠B ＝180°－∠BAC ＝90°； (2)①由(1)中可知β＝180°－α，∴α、β存在的数量关系为α＋β＝180°；②当点D 在射线BC 上时，如图1，α＋β＝180°；当点D 在射线BC 的反向延长线上时，如图2，α＝β.第26题图。

2020年浙教新版八年级上册数学《第2章特殊三角形》单元测试卷一．选择题（共10小题）1．下列判定直角三角形全等的方法，错误的是（）A．两条直角边对应相等B．斜边和一锐角对应相等C．斜边和一直角边对应相等D．两锐角相等2．若等腰△ABC中有一个内角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为（）A．40°B．100°C．40°或100°D．40°或70°3．具备下列条件的三角形为等腰三角形的是（）A．有两个角分别为20°，120°B．有两个角分别为40°，80°C．有两个角分别为30°，60°D．有两个角分别为50°，80°4．反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60°B．每个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每个内角都大于60°5．下面算式中，每个汉字代表0，l，2，…，9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字．算式中的乘数应是（）A．2B．3C．4D．≥56．如图所示，∠MON＝45°，点P为∠MON内一点，点P关于OM、ON对称的对称点分别为点P1、P2，连接OP、OP1、OP2、PP1、PP2、P1P2，P1P2分别与OM、ON交于点A、B，连接AP，BP，则∠APB的度数为（）A．45°B．90°C．135°D．150°7．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若∠BAD ＝α，则∠ACB的度数为（）A．45°B．α﹣45°C．αD．90°﹣α8．以下是几种垃圾分类的图标，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．9．下列图形中轴对称图形是（）A．B．C．D．10．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140°B．100°C．50°D．40°二．填空题（共8小题）11．如果两个直角三角形的分别对应相等，那么这两个直角三角形全等．12．已知，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P为直线BC上一点，BP＝AB，则∠APB的度数为．13．用反证法证明“两条直线相交，只能有一个交点”，应假设．14．用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”，应当先假设这个三角形中．15．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，点C关于BD的对称点E恰好落在AD上，若∠BDC ＝α，则∠ABC的度数为（用含a的代数式表示）．16．已知∠AOB＝45°，点P在∠AOB内部，点P1与点P关于OA对称，点P2与点P关于OB对称，连接P1P2交OA、OB于E、F，若P1E＝，OP＝，则EF的长度是．17．写出一个成轴对称图形的大写英文字母：．18．下列说法中，正确的有（把所有正确的答案都写上）①圆、线段、角、梯形、平行四边形都是轴对称图形；②若两图形成轴对称，则对称轴两侧的对应点所连成的线段被对称轴垂直平分；③如果三角形中有两边上的高相等，则这个三角形一定是等腰三角形；④等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行；⑤等腰三角形的一个内角为80°，则另外两个内角必然都是50°．三．解答题（共8小题）19．如图：AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，EF过点C，BE⊥EF于E，DF⊥EF于F，BE＝DF．求证：Rt△BCE≌Rt△DCF．20．综合与实践：问题情境：已知在△ABC中，∠BAC＝100°，∠ABC＝∠ACB，点D为直线BC上的动点（不与点B，C重合），点E在直线AC上，且AE＝AD，设∠DAC＝n．（1）如图1，若点D在BC边上，当n＝36°时，求∠BAD和∠CDE的度数；拓广探索：（2）如图2，当点D运动到点B的左侧时，其他条件不变，试猜想∠BAD和∠CDE的数量关系，并说明理由；（3）当点D运动点C的右侧时，其他条件不变，请直接写出∠BAD和∠CDE的数量关系．21．如图，已知AB∥CD，CD⊥EF，垂足为N，AB与EF交于点M，求证：AB⊥EF．（用反证法证明）22．用反证法证明：如果x＞，那么x2+2x﹣1≠0．23．等边三角形有条对称轴．24．图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称？整个图形是轴对称图形吗？它共有几条对称轴？25．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在BC边上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE．（1）在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称，点F与点B是对称点，并求出BF的长；（2）△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积为．26．如图，一个牧童在距小河边1千米的点A处牧马，而牧童家在河边同侧且距河边7千米的点B处，已知点A与点B的直线距离是10千米．他想先把马牵到河边去饮水，然后再回家，求他要完成这件事情所走的最短路程是多少千米．（精确到0.1千米，参考数据：≈1.41，≈1.73）2020年浙教新版八年级上册数学《第2章特殊三角形》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列判定直角三角形全等的方法，错误的是（）A．两条直角边对应相等B．斜边和一锐角对应相等C．斜边和一直角边对应相等D．两锐角相等【分析】根据全等三角形的判定方法对A、B、C、D选项逐个分析是否可求证两三角形全等，然后即可得出正确选项．【解答】解：如果在两个直角三角形中，两条直角边对应相等，那么根据SAS即可判断两三角形全等，故选项A正确．如果如果在两个直角三角形中，斜边和一锐角对应相等，那么根据AAS也可判断两三角形全等，故选项B正确．如果如果在两个直角三角形中，斜边和一直角边对应相等，那么根据HL也可判断两三角形全等，故选项C正确．故选：D．【点评】此题主要考查学生对直角三角形全等得判定的理解和掌握，解得此题的关键是根据A、B、C选项给出的已知条件都可判断出三角形全等，所以答案就很明显了．2．若等腰△ABC中有一个内角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为（）A．40°B．100°C．40°或100°D．40°或70°【分析】由于不明确40°的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分40°的角是顶角和底角两种情况讨论．【解答】解：当40°的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数＝＝70°；当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，故它的底角的度数是70°或40°．故选：D．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，由于不明确40°的角是等腰三角形的底角还是顶角，所以要采用分类讨论的思想．3．具备下列条件的三角形为等腰三角形的是（）A．有两个角分别为20°，120°B．有两个角分别为40°，80°C．有两个角分别为30°，60°D．有两个角分别为50°，80°【分析】分别求出第三个内角的度数，即可得出结论．【解答】解：A、有两个角分别为20°，120°的三角形，第三个内角为180°﹣120°﹣20°＝40°，∴有两个角分别为20°，120°的三角形不是等腰三角形，选项A不符合题意；B、有两个角分别为40°，80°的三角形，第三个内角为180°﹣40°﹣80°＝60°，∴有两个角分别为40°，80°的三角形不是等腰三角形，选项B不符合题意；C、有两个角分别为30°，60°的三角形，第三个内角为180°﹣30°﹣60°＝90°，∴有两个角分别为30°，60°的三角形不是等腰三角形，选项C不符合题意；D、有两个角分别为50°，80°的三角形，第三个内角为180°﹣50°﹣80°＝50°，有两个角相等，是等腰三角形；∴有两个角分别为50°，80°的三角形是等腰三角形，选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的判定以及三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和等腰三角形的判定是解题的关键．4．反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60°B．每个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每个内角都大于60°【分析】此题要运用反证法，由题意先假设三角形的三个角都小于60°成立．然后推出不成立．得出选项．【解答】解：设三角形的三个角分别为：a，b，c．假设，a＜60°，b＜60°，c＜60°，则a+b+c＜60°+60°+60°，即，a+b+c＜180°与三角形内角和定理a+b+c＝180°矛盾．所以假设不成立，即三角形中至少有一个角不小于60°．故选：B．【点评】此题考查的知识点是反证法，解答此题的关键是由已知三角形中至少有一个角不小于60°假设都小于60°进行论证．5．下面算式中，每个汉字代表0，l，2，…，9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字．算式中的乘数应是（）A．2B．3C．4D．≥5【分析】对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．【解答】解：假设：“好”≥5，则“客”＝1，故“好“＝7或9．若“好”＝7，则“居“＝3，引出矛盾；假设：“好“＝9，则“居’’＝9，引出矛盾．故“好’’≤4．显然“好“≠1；假设：“好”＝2，则“客”≤4，只有“客“＝4，从而“居”＝7，引出矛盾；假设：“好”＝3，则“客“≤2，但若“客”＝1，则“居”＝7，引出矛盾；假设：“客“＝2，则“居“＝4，引出矛盾．故只有“好”＝4．故选：C．【点评】本题考查了用反证法证明命题的正确性，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．6．如图所示，∠MON＝45°，点P为∠MON内一点，点P关于OM、ON对称的对称点分别为点P1、P2，连接OP、OP1、OP2、PP1、PP2、P1P2，P1P2分别与OM、ON交于点A、B，连接AP，BP，则∠APB的度数为（）A．45°B．90°C．135°D．150°【分析】依据轴对称的性质，即可得到∠APO＝∠AP1O，∠AOP＝∠AOP1，∠BPO＝∠BP2O，∠BOP＝∠BOP2，进而得出∠OP1P2+∠OP2P1＝90°，再根据∠APB＝∠APO+∠BPO＝∠AP1O+∠BP2O，即可得出结论．【解答】解：由轴对称可得，OP＝OP1、AP＝AP1，而AO＝AO，∴△AOP≌△AOP1（SSS），∴∠APO＝∠AP1O，∠AOP＝∠AOP1，同理可得，∠BPO＝∠BP2O，∠BOP＝∠BOP2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝90°，∴∠OP1P2+∠OP2P1＝90°，∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝∠AP1O+∠BP2O＝90°，故选：B．【点评】本题主要考查了轴对称的性质，轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．7．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若∠BAD ＝α，则∠ACB的度数为（）A．45°B．α﹣45°C．αD．90°﹣α【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC＝∠B'AC，∠DAE＝∠B'AE，即可得出∠CAE＝∠BAD＝，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣．【解答】解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，∴AC垂直平分BB'，∴AB＝AB'，∴∠BAC＝∠B'AC，∵AB＝AD，∴AD＝AB'，又∵AE⊥CD，∴∠DAE＝∠B'AE，∴∠CAE＝∠BAD＝，又∵∠AEB'＝∠AOB'＝90°，∴四边形AOB'E中，∠EB'O＝180°﹣，∴∠ACB'＝∠EB'O﹣∠COB'＝180°﹣﹣90°＝90°﹣，∴∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣，故选：D．【点评】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形AOB'E，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．8．以下是几种垃圾分类的图标，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念判断．【解答】解：A、不是轴对称图形；B、是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、不是轴对称图形；故选：B．【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．9．下列图形中轴对称图形是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．【解答】解：A、不是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、是轴对称图形；D、不是轴对称图形；故选：C．【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．10．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140°B．100°C．50°D．40°【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长＝P1P2，然后得到等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，即可得出∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°．【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则△PMN的周长的最小值＝P1P2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，故选：B．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正确正确作出辅助线，得到等腰△OP1P2中∠OP1P2+∠OP2P1＝100°是关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．二．填空题（共8小题）11．如果两个直角三角形的两条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等．【分析】直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，添加条件AC＝DE，BC＝EF，根据SAS推出两三角形全等即可．【解答】解：如图所示∵在Rt△ACB和Rt△DEF中，∴Rt△ACB≌Rt△DEF（SAS）．故答案为：两条直角边．【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，注意：直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，此题是一道开放性的题目，答案不唯一．12．已知，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P为直线BC上一点，BP＝AB，则∠APB的度数为75°或15°．【分析】首先根据题意画出图形，然后利用等腰三角形的性质求解即可求得答案，注意分为点P在边BC上或在CB的延长线上．【解答】解：如图1，∵在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵BP＝AB，∴∠APB＝＝75°；如图2，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠C＝30°，∵BP＝AB，∴∠APB＝∠ABC＝15°．综上所述：∠APB的度数为75°或15°．故答案为：75°或15°．【点评】此题考查了等腰三角形的性质．注意结合题意画出图形，利用图形求解是关键．13．用反证法证明“两条直线相交，只能有一个交点”，应假设两条直线相交，有两个或两个以上交点．【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答．【解答】解：用反证法证明“两条直线相交，只能有一个交点”，应假设两条直线相交，有两个或两个以上交点，故答案为：两条直线相交，有两个或两个以上交点．【点评】本题结合直线的位置关系考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．14．用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”，应当先假设这个三角形中三角形中每一个内角都小于60°．【分析】反证法的第一步是假设命题的结论不成立，据此可以得到答案．【解答】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都小于60°．故答案为：三角形中每一个内角都小于60°．【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．15．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，点C关于BD的对称点E恰好落在AD上，若∠BDC ＝α，则∠ABC的度数为180°﹣2α（用含a的代数式表示）．【分析】依据轴对称的性质，即可得出△BCD≌△BED，∠A＝∠AEB，再根据四边形ABCD 中，∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC＝2∠BDC＝2α，即可得到∠ABC＝180°﹣2α．【解答】解：如图所示，连接BE，∵点C关于BD的对称点E恰好落在AD上，∴BC＝BE＝AB，DE＝DC，∴△BCD≌△BED，∠A＝∠AEB，∴∠BCD＝∠BED，又∵∠BED+∠AEB＝180°，∴∠A+∠BCD＝180°，∴四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，又∵∠ADC＝2∠BDC＝2α，∴∠ABC＝180°﹣2α，故答案为：180°﹣2α．【点评】本题主要考查了轴对称的性质以及四边形内角和的运用，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．16．已知∠AOB＝45°，点P在∠AOB内部，点P1与点P关于OA对称，点P2与点P关于OB对称，连接P1P2交OA、OB于E、F，若P1E＝，OP＝，则EF的长度是．【分析】由P，P1关于直线OA对称，P、P2关于直线OB对称，推出OP＝OP1＝OP2，∠AOP＝∠AOP1，∠BOP＝∠BOP2，推出∠P1OP2＝90°，由此即可判断△P1OP2是等腰直角三角形，由轴对称可得，∠OPE＝∠OP1E＝45°，∠OPF＝∠OP2F＝45°，进而得出∠EPF＝90°，最后依据勾股定理列方程，即可得到EF的长度．【解答】解：∵P，P1关于直线OA对称，P、P2关于直线OB对称，∴OP＝OP1＝OP2＝，∠AOP＝∠AOP1，∠BOP＝∠BOP2，∵∠AOB＝45°，∴∠P1OP2＝2∠AOP+2∠BOP＝2（∠AOP+∠BOP）＝90°，∴△P1OP2是等腰直角三角形，∴P1P2＝＝2，设EF＝x，∵P1E＝＝PE，∴PF＝P2F＝﹣x，由轴对称可得，∠OPE＝∠OP1E＝45°，∠OPF＝∠OP2F＝45°，∴∠EPF＝90°，∴PE2+PF2＝EF2，即（）2+（﹣x）2＝x2，解得x＝．故答案为：．【点评】本题考查轴对称的性质、等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用对称的性质解决问题，依据勾股定理列方程求解．17．写出一个成轴对称图形的大写英文字母：A、B、D、E中的任一个均可．【分析】根据轴对称图形的概念，分析得出可以看成轴对称图形的字母．【解答】解：大写字母是轴对称的有：A、B、D、E等．故答案可为：A、B、D、E中的任一个均可．【点评】此题考查了轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，难度一般．18．下列说法中，正确的有②③④（把所有正确的答案都写上）①圆、线段、角、梯形、平行四边形都是轴对称图形；②若两图形成轴对称，则对称轴两侧的对应点所连成的线段被对称轴垂直平分；③如果三角形中有两边上的高相等，则这个三角形一定是等腰三角形；④等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行；⑤等腰三角形的一个内角为80°，则另外两个内角必然都是50°．【分析】根据轴对称图形的定义判断①②；根据等腰三角形的判定判断③；根据平行线的判定判断④；根据等腰三角形线段的性质判断⑤．【解答】解：①梯形、平行四边形不是轴对称图形，故本项错误；②若两图形成轴对称，则对称轴两侧的对应点所连成的线段被对称轴垂直平分，本项正确；③如果三角形中有两边上的高相等，则这个三角形一定是等腰三角形，本项正确；④等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行，本项正确；⑤等腰三角形的一个内角为80°，则另外两个内角为50°，50°或80°，20°，故本项错误，故答案为：②③④．【点评】本题主要考查了轴对称图形的定义、等腰三角形的判定、平行线的判定、等腰三角形线段的性质．熟练掌握定理及性质是解题的关键．三．解答题（共8小题）19．如图：AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，EF过点C，BE⊥EF于E，DF⊥EF于F，BE＝DF．求证：Rt△BCE≌Rt△DCF．【分析】连接BD，根据等腰三角形的性质和判定，求出BC＝DC，根据直角三角形全等的判定定理HL推出两三角形全等即可．【解答】证明：连接BD，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝DC，∵BE⊥EF，DF⊥EF，∴∠E＝∠F＝90°，在Rt△BCE和Rt△DCF中，∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，直角三角形全等的判定的应用，主要培养学生运用定理进行推理的能力，题型较好，难度适中．20．综合与实践：问题情境：已知在△ABC中，∠BAC＝100°，∠ABC＝∠ACB，点D为直线BC上的动点（不与点B，C重合），点E在直线AC上，且AE＝AD，设∠DAC＝n．（1）如图1，若点D在BC边上，当n＝36°时，求∠BAD和∠CDE的度数；拓广探索：（2）如图2，当点D运动到点B的左侧时，其他条件不变，试猜想∠BAD和∠CDE的数量关系，并说明理由；（3）当点D运动点C的右侧时，其他条件不变，请直接写出∠BAD和∠CDE的数量关系．【分析】（1）如图1，将∠BAC＝100°，∠DAC＝36°代入∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC，求出∠BAD．在△ABC中利用三角形内角和定理求出∠ABC＝∠ACB＝40°，根据三角形外角的性质得出∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝104°，在△ADE中利用三角形内角和定理求出∠ADE＝∠AED＝72°，那么∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝32°；（2）如图2，在△ABC和△ADE中利用三角形内角和定理求出∠ABC＝∠ACB＝40°，∠ADE＝∠AED＝．根据三角形外角的性质得出∠CDE＝∠ACB﹣∠AED＝，再由∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC得到∠BAD＝n﹣100°，从而得出结论∠BAD ＝2∠CDE；（3）如图3，在△ABC和△ADE中利用三角形内角和定理求出∠ABC＝∠ACB＝40°，∠ADE＝∠AED＝．根据三角形外角的性质得出∠CDE＝∠ACD﹣∠AED＝，再由∠BAD＝∠BAC+∠DAC得到∠BAD＝100°+n，从而得出结论∠BAD＝2∠CDE．【解答】解：（1）∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝100°﹣36°＝64°．∵在△ABC中，∠BAC＝100°，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝40°+64°＝104°．∵AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED．∵∠DAC＝36°，∴∠ADE＝∠AED＝72°．∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝104°﹣72°＝32°．（2）∠BAD＝2∠CDE．理由如下：在△ABC中，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠ACB＝40°．在△ADE中，∠DAC＝n，∴．∵∠ACB＝∠CDE+∠E，∴＝．∵∠BAC＝100°，∠DAC＝n，∴∠BAD＝n﹣100°．∴∠BAD＝2∠CDE．（3）∠BAD＝2∠CDE，理由如下：如图③，在△ABC中，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，∴∠ACD＝140°．在△ADE中，∠DAC＝n，∴∠ADE＝∠AED＝．∵∠ACD＝∠CDE+∠AED，∴∠CDE＝∠ACD﹣∠AED＝140°﹣＝，∵∠BAC＝100°，∠DAC＝n，∴∠BAD＝100°+n，∴∠BAD＝2∠CDE．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，从图形中得出相关角度之间的关系是解题的关键．21．如图，已知AB∥CD，CD⊥EF，垂足为N，AB与EF交于点M，求证：AB⊥EF．（用反证法证明）【分析】根据反证法的一般步骤，假设AB与EF不垂直，根据平行线的性质证明∠CNE ≠90°，与已知相矛盾，从而肯定原命题的结论正确．【解答】证明：假设AB与EF不垂直，则∠AME≠90°，∵AB∥CD，∴∠AME＝∠CNE，∴∠CNE≠90°，这与CD⊥EF相矛盾，∴AB⊥EF．【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．22．用反证法证明：如果x＞，那么x2+2x﹣1≠0．【分析】假设x2+2x﹣1＝0，根据一元二次方程的解法解出方程，证明方程的两个根小于即可．【解答】解：假设x2+2x﹣1＝0，x＝，x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，∵2，∴，∴﹣1+，∴x1＜，易得x2＜，这与已知相矛盾，∴假设不成立，∴如果x＞，那么x2+2x﹣1≠0．【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的步骤是：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立．23．等边三角形有3条对称轴．【分析】轴对称就是一个图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义即可求解．【解答】解：等边三角形有3条对称轴．故答案为：3【点评】本题考查了轴对称的性质，正确理解轴对称图形的定义是解决本题的关键，是一个基础题．24．图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称？整个图形是轴对称图形吗？它共有几条对称轴？【分析】根据轴对称、轴对称图形的概念以及对称轴的概念进行解答即可．【解答】解：图中有阴影的三角形与三角形1、3成轴对称，整个图形是轴对称图形，它共有2条对称轴．【点评】本题考查的是轴对称和轴对称图形的概念，掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．25．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在BC边上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE．（1）在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称，点F与点B是对称点，并求出BF的长；（2）△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积为6．【分析】（1）根据轴对称的性质确定出点B关于AE的对称点F即可；（2）即DC与EF的交点为G，由四边形ADGE的面积＝平行四边形ADCE的面积﹣△ECG的面积求解即可．【解答】解：（1）如图1所示：在Rt△BEF中，由勾股定理得：BF＝＝＝6．（2）如图2所示：重叠部分的面积＝S ADEC﹣S△GEC＝×（2+2）×4﹣＝8﹣2＝6．故答案为：6．是解题的【点评】本题主要考查的是轴对称变换，重叠部分的面积转化为S ADEC﹣S△GEC 关键．26．如图，一个牧童在距小河边1千米的点A处牧马，而牧童家在河边同侧且距河边7千米的点B处，已知点A与点B的直线距离是10千米．他想先把马牵到河边去饮水，然后再回家，求他要完成这件事情所走的最短路程是多少千米．（精确到0.1千米，参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】根据对称性，作点A关于小河l的对称点A′，连接A′B，则A′B的长度就是牧童完成这件事情所走的最短路线．【解答】解：过点A作点A关于小河l的对称点A′，连接A′B，与小河l交于点P，点P就是马饮水的地方．则A′B的长度就是牧童完成这件事情所走的最短路线．过点A、A′分别作l的平行线与过点B作的l的垂线分别相交于M、N两点，如图所示：在Rt△ABM中，AB＝10，BM＝6，∴AM＝8，在Rt△BNA′中，A′N＝AM＝8，BN＝BM+MN＝6+2＝8，∴A′B＝＝8≈11.3．答：他要完成这件事情所走的最短路程是11.3千米．【点评】本题考查了最短路线问题、近似数和有效数字，解决本题的关键是掌握轴对称性质．。

浙教版八年级数学上册第2章特殊三角形单元测试题第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)1．下列图案是轴对称图形的是( )2．若等腰三角形的顶角为70°，则它的底角度数为( )A．45°B．55°C．65°D．70°3．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，则图中与CD相等的线段有( )A．AD与BD B．BD与BCC．AD与BC D．AD，BD与BC4．把一个边长为1的正方形如图所示放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A对应的数是( )A．1 B. 2 C. 3 D．25．若等腰三角形中两条边的长度分别为3和1，则此等腰三角形的周长为( )A．5 B．7 C．5或7 D．66．如图所示，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是( )A．CB＝CDB．∠BAC＝∠DACC．∠BCA＝∠DCAD．∠B＝∠D＝90°7．如图所示，OD⊥AB于点D，OP⊥AC于点P，且OD＝OP，则△AOD与△AOP全等的理由是( )A．SSS B．ASA C．SSA D．HL8．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°，则∠BDC等于( )A．44°B．60°C．67°D．77°9.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝45°，P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( )A．3.5 B．3.7 C．4 D．4.510．如图所示，已知O是△ABC中∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于点D，OE∥AC交BC于点E.若BC＝10 cm，则△ODE的周长为( )A．10 cm B．8 cmC．12 cm D．20 cm请将选择题答案填入下表：二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)11．命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题是____________________．12．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD⊥AC于点D，则∠DBC＝________°.13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，判定△ABD≌△ACD最简单的方法是________．14．直角三角形的两条边长分别为3，4，则它另一边的长为________．15．如图所示，有两个长度相等的滑梯(即BC＝EF)，左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平方向的长度DF相等，已知左边滑梯与地面的夹角∠ABC＝27°，则右边滑梯与地面的夹角∠DFE＝________°.16．如图所示，△ABC是等边三角形，D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若BC＝2，则DE＋DF＝________.三、解答题(本题共8小题，共66分)17．(6分)如图所示，已知AB＝AC，D是AB上的一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA 的延长线于点F.试说明：△ADF是等腰三角形．18．(6分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF.19．(6分)如图所示，在四边形ABCD中，∠A为直角，AB＝16，BC＝25，CD＝15，AD＝12，求四边形ABCD的面积．20．(8分)如图所示，延长△ABC的各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，连结DE，EF，FD，得到△DEF为等边三角形．求证：(1)△AEF≌△CDE；(2)△ABC为等边三角形．21．(8分)如图所示，请将下列两个三角形分别分成两个等腰三角形．(要求标出每个等腰三角形的内角度数)22．(10分)在直角三角形中，两条直角边的长度分别为a和b，斜边长度为c，则a2＋b2＝c2，即两条直角边的平方和等于斜边的平方，此结论称为勾股定理．在一张纸上画两个同样大小的直角三角形ABC和A′B′C′，并把它们拼成如图所示的形状 (点C和A′重合，且两直角三角形的斜边互相垂直)．请利用拼得的图形证明勾股定理．23．(10分)如图所示，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC边上的一点，且AD⊥AB，E是BD 的中点，连结AE.求证：(1)∠AEC＝∠C；(2)BD＝2AC.24．(12分)如图所示，O是直线l上一点，在点O的正上方有一点A，满足OA＝3，点A，B位于直线l的同侧，且点B到直线l的距离为5，线段AB＝40，一动点C在直线l上移动．(1)当点C位于点O左侧时，且OC＝4，直线l上是否存在一点P，使得△ACP为等腰三角形？若存在，请求出OP的长；若不存在，请说明理由．(2)连结BC，在点C移动的过程中，是否存在一点C，使得AC＋BC的值最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．答案1．A2．B3．A4．B5．B6．C7．D 8．C 9．D 10．A11．两直线平行，内错角相等 12．20 13．HL 14．5或7 15．63 16． 317．解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C (等边对等角)． ∵DE ⊥BC 于点E ，∴∠DEB ＝∠FEC ＝90°， ∴∠B ＋∠EDB ＝∠C ＋∠F ＝90°， ∴∠EDB ＝∠F (等角的余角相等)． 又∵∠EDB ＝∠ADF (对顶角相等)， ∴∠F ＝∠ADF ，∴AD ＝AF ， ∴△ADF 是等腰三角形． 18．证明：如图，连结AD .∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点， ∴∠EAD ＝∠FAD .在△AED 和△AFD 中，∵⎩⎨⎧AE ＝AF ，∠EAD ＝∠FAD ，AD ＝AD ，∴△AED ≌△AFD (SAS )， ∴DE ＝DF .19．解：∵∠A 为直角，∴在Rt △ABD 中， 由勾股定理，得BD 2＝AD 2＋AB 2. ∵AD ＝12，AB ＝16，∴BD ＝20.∵BD 2＋CD 2＝202＋152＝252，且BC 2＝252， ∴BD 2＋CD 2＝BC 2， ∴∠CDB 为直角，∴△ABD 的面积为12×16×12＝96，△BDC 的面积为12×20×15＝150，∴四边形ABCD 的面积为96＋150＝246. 20．证明：(1)∵BF ＝AC ，AB ＝AE ， ∴BF ＋AB ＝AC ＋AE ，即FA ＝EC . ∵△DEF 是等边三角形，∴EF ＝DE . 又∵AE ＝CD ，∴△AEF ≌△CDE . (2)由△AEF ≌△CDE ，得∠FEA ＝∠EDC . ∵△DEF 是等边三角形，∴∠DEF ＝60°.∵∠BCA ＝∠EDC ＋∠DEC ＝∠FEA ＋∠DEC ＝∠DEF ， ∴∠BCA ＝60°.同理可得∠BAC ＝60°， ∴∠ABC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形． 21．解：如图所示．22．证明：如图所示，在Rt △ABC 中，∵∠1＋∠2＝90°，∠1＝∠3，∴∠2＋∠3＝90°. 又∵∠ACC ′＝90°，∴∠2＋∠3＋∠ACC ′＝180°， ∴B ，C (A ′)，B ′在同一条直线上． 又∵∠B ＝90°，∠B ′＝90°， ∴∠B ＋∠B ′＝180°，∴AB ∥C ′B ′.由面积相等得12(a ＋b )(a ＋b )＝12ab ＋12ab ＋12c 2，即a2＋b2＝c2.23．证明：(1)∵AD⊥AB，∴△ABD为直角三角形．∵E是BD的中点，∴AE＝BE＝DE，∴∠B＝∠BAE.∵∠AEC＝∠B＋∠BAE，∴∠AEC＝2∠B. 又∵∠C＝2∠B，∴∠AEC＝∠C.(2)由(1)的结论可得AE＝AC.∵AE＝12BD，∴AC＝12BD，即BD＝2AC.24．解：(1)存在．由勾股定理可求得AC＝5.当点P使得△ACP为等腰三角形时，如图①所示，OP1＝4，OP2＝5－4＝1，OP3＝CP3＋OC＝AC＋OC＝5＋4＝9.在Rt△AP4O中，AP42＝OP42＋OA2，设OP4＝x，则(4－x)2＝x2＋32，解得x＝78，∴OP4＝78.综上所述，OP的长为4或1或9或78 .(2)存在．如图②所示，作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B与直线l相交于点C，则A′B为AC＋BC的最小值．过点A′作A′E∥l，过点B作BE⊥A′E于点E，过点A作AD⊥BE于点D.在Rt△ABD中，AB＝40，BD＝5－3＝2，∴AD＝AB2－BD2＝6.在Rt△A′BE中，A′E＝AD＝6，BE＝5＋3＝8，∴A′B＝BE2＋A′E2＝82＋62＝10，∴AC＋BC的最小值为10.。

第2章特殊三角形一、选择题1．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（）A．40°B．50° C．60° D．70°2．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（）A．35°B．45° C．55° D．60°3．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（）A．35°B．40° C．45° D．50°4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15°B．17.5°C．20° D．22.5°5．若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（）A．12 B．9 C．12或9 D．9或76．若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（）A．9 B．12 C．7或9 D．9或127．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）A．8或10 B．8 C．10 D．6或128．如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（）A．80°B．90° C．100°D．105°9．如图，△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC与DE相交于F点．若BD=CD=CE，∠ADC+∠ACD=114°，则∠DFC的度数为何？（）A．114 B．123 C．132 D．14710．已知等腰△ABC的两边长分别为2和3，则等腰△ABC的周长为（）A．7 B．8 C．6或8 D．7或811．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A．17 B．15 C．13 D．13或1712．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为（）A．30°B．40° C．45° D．60°13．已知等腰三角形△ABC中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长为（）A．21 B．20 C．19 D．1814．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=（）A．30°B．45° C．60° D．90°15．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（）A．40°B．45° C．60° D．70°16．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．11 B．16 C．17 D．16或1717．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（）A．36°B．54° C．18° D．64°18．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（）A．36°B．60° C．72° D．108°19．如图，在五边形ABCDE中，AB=AC=AD=AE，且AB∥ED，∠EAB=120°，则∠DCB=（）A．150°B．160°C．130°D．60°20．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题21．等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度数是______．22．如图，△ABC 中，D 是BC 上一点，AC=AD=DB ，∠BAC=102°，则∠ADC=______度．23．如图，a ∥b ，∠ABC=50°，若△ABC 是等腰三角形，则∠α=______°（填一个即可）24．一个等腰三角形的两边长分别是2cm 、5cm ，则它的周长为______cm ．25．若等腰三角形的两条边长分别为7cm 和14cm ，则它的周长为______cm ．26．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是______．27．如图，∠BOC=9°，点A 在OB 上，且OA=1，按下列要求画图：以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 1，得第1条线段AA 1；再以A 1为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点A 2，得第2条线段A 1A 2；再以A 2为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 3，得第3条线段A 2A 3；…这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=______．第2章 特殊三角形参考答案一、选择题1．D ；2．C ；3．A ；4．A ；5．A ；6．B ；7．C ；8．B ；9．B ；10．D ；11．A ；12．B ；13．A ；14．B ；15．A ；16．D ；17．B ；18．C ；19．A ；20．A ；二、填空题21．120°；22．52；23．130；24．12；25．35；26．110°或70°；27．9；。

浙教版数学八上《特殊三角形》单元测试及答案一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）()1.等腰三角形两边长为3和6，则周长为 A. 12B. 15C. 12或15D. 无法确定△ABC AB=AC=5BC=62.如图，在中，，，AD是BC边上的中线，点E、F、M、N是AD上的四点，则()图中阴影部分的总面积是 A. 6B. 8C. 4D. 1236∘()3.有一个角是的等腰三角形，其它两个角的度数是 36∘108∘36∘72∘A. ，B. ，72∘72∘36∘108∘72∘72∘C. ，D. ，或，Rt△ABC∠C=90∘∠ABC4.如图，在中，，的平分线BD交ACD.BC=4cm BD=5cm()于点若，，则点D到AB的距离是 A. 5cmB. 4cmC. 3cmD. 2cm5.如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角.()形”下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是 233A. 1，2，3B. 1，1，C. 1，1，D. 1，2，△ABC6.如图，的顶点都在正方形网格的格点上，若小方格的△ABC()边长为1，则的形状是 A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形7.如图，已知：，点、、在射线ON 上，点、、在射∠MON =30∘A 1A 2A 3…B 1B 2B 3…线OM 上，、、均为等边三角形，若，则△A 1B 1A 2△A 2B 2A 3△A 3B 3A 4…OA 1=1的边长为 △A 6B 6A 7()A. 6B. 12C. 32D. 648.如图，和都是等腰直角三角形，△ABC △ADE ，连结CE 交AD 于点F ，连结BD∠BAC =∠DAE =90∘交CE 于点G ，连结下列结论中，正确的结论有 BE.()；①CE =BD 是等腰直角三角形；②△ADC ；③∠ADB =∠AEB ；④S 四边形BCDE =12BD ⋅CE ．⑤BC 2+DE 2=BE 2+CD 2A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）9.如图，在中，，，于D ，则△ABC AB =AC BC =6AD ⊥BC ______ ．BD =10.如图，在中，CD 是斜边AB 上的中线，若Rt △ABC ，则 ______ ．∠A =20∘∠BDC =11.如图，在等边中，，D 是BC 的中点，△ABC AB =6将绕点A 旋转后得到，那么线段DE△ABD △ACE 的长度为______．12.如图，中，于D ，E 是AC 的中点若，△ABC CD ⊥AB .AD =6，则CD 的长等于______．DE =513.如图，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边上的F点处，若，，则EC 长为______ ．AB =8cm BC =10cm14.如图，在中，，，AE△ABC ∠BAC =90∘AB =AC 是经过A 点的一条直线，且B 、C 在AE 的两侧，于D ，于E ，，，则BD ⊥AE CE ⊥AE CE =2BD =6DE 的长为______ ．15.如图，在中，，，将其Rt △ABC ∠C =90∘AC =BC 绕点A 逆时针旋转得到，交AB15∘Rt △AB'C'B'C'于E ，若图中阴影部分面积为，则的长为23B'E ______．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16.如图，在中，，分别以点A 、C为圆心，大于长为半径画Rt △ABC ∠B =90∘12AC 弧，两弧相交于点M 、N ，连接MN ，与AC 、BC 分别交于点D 、E ，连接AE ．求；直接写出结果(1)∠ADE ()当，时，求的周长．(2)AB =3AC =5△ABEDE//AB17.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且，过点EF⊥DEE作，交BC的延长线于点F．(1)∠F求的度数；(2)CD=2若，求DF的长．(1)(2)18.现在给出两个三角形，请你把图分割成两个等腰三角形，把图分割成三个.(1)(2)等腰三角形要求：在图、上分割：标出分割后的三角形的各内角的度数．19.如图，在中，D 是BC 边上一点，且，△ABC BA =BD ，求的度数．∠DAC =12∠B ∠C =50∘.∠BAC 20.已知：如图，在中，AD 是的高，作，交AD 的延长△ABC △ABC ∠DCE =∠ACD 线于点E ，点F 是点C 关于直线AE 的对称点，连接AF ．求证：；(1)CE =AF 若，，且，求的度数．(2)CD =1AD =3∠B =20∘∠BAF答案1. B2. A3. D4. C5. D6. B7. C8. C9. 310. 40∘11. 3312. 813. 3cm14. 415. 23‒2(1)∵16. 解：由题意可知MN是线段AC的垂直平分线，∴∠ADE=90∘；(2)∵Rt△ABC∠B=90∘AB=3AC=5在中，，，，∴BC=52‒32=4，∵MN是线段AC的垂直平分线，∴AE=CE，∴△ABE=AB+(AE+BE)=AB+BC=3+4=7的周长．(1)∵△ABC17. 解：是等边三角形，∴∠B=60∘，∵DE//AB，∴∠EDC=∠B=60∘，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90∘，∴∠F=90∘‒∠EDC=30∘；(2)∵∠ACB=60∘∠EDC=60∘，，∴△EDC是等边三角形．∴ED=DC=2，∵∠DEF=90∘∠F=30∘，，∴DF=2DE=4．18. 解：如图所示：19. 解：设，则，．∠DAC =x ∘∠B =2x ∘∠BDA =∠C +∠DAC =50∘+x ∘，∵BD =BA ，∴∠BAD =∠BDA =50∘+x ∘，∵∠B +∠BAD +∠BDA =180∘即，2x +50+x +50+x =180解得．x =20，∴∠BAD =∠BDA =50∘+20∘=70∘．∴∠BAC =∠BAD +∠DAC =70∘+20∘=90∘20. 证明：是的高，(1)∵AD △ABC ，，∴∠ADC =∠EDC =90∘∠DCE =∠ACD 为等腰三角形，∴△ACE ，∴AC =CE 又点F 是点C 关于AE 的对称点，∵，∴AF =AC ；∴CE =AF 解：在中，，，根据勾股定理得到：(2)Rt △ACD CD =1AD =3，AC =AD 2+CD 2=2，∴CD =12AC ．∴∠DAC =30∘同理可得，∠DAF =30∘在中，，Rt △ABD ∠B =20∘． ∴∠BAF =90∘‒∠B ‒∠DAF =40∘。

浙教版2020八年级数学上册第二章特殊三角形单元综合能力测试题（附答案详解）1．下列条件中，不能判断△ABC 为直角三角形的是（ ）A ．1.5b=2, c=2.5a =，B ．345a =：b ：c ：：C ．∠A ＋∠B=∠CD ．∠A ：∠B ：∠C=3：4：52．如图，在ABC 中，AD AC BD ==，25B ∠=︒，则DAC ∠的度数是（ ）A ．50︒B ．60︒C ．80︒D ．90︒3．ABC ∆的三边长分别为a ，b ，c .下列条件，其中不能判断ABC ∆是直角三角形的是（ ）A ．::3:4:5ABC ∠∠∠=B ．2()()a b c b c =+-C ．A B C ∠=∠-∠D ．::5:12:13a b c =4．如图，圆柱的底面周长为6cm ，AC 是底面圆的直径，高BC=6cm ，点P 是母线BC 上一点且PC=23BC ．一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是（ ）A ．（4+6π）cmB ．5cmC ．213cmD ．7cm5．如图，在ABC 中，2B C ∠=∠，以点A 为圆心，AB 长为半径作弧，交BC 于点D ，交AC 于点G ； 再分别以点B 和点D 为圆心，大于12BD 的长为半径作弧，两弧相交于点E ，作射线AE 交BC 于点F ．若以点G 为圆心，GC 长为半径作两段弧，一段弧过点C ，而另一段弧恰好经过点D ，则此时FAC ∠的度数为（ ）6．以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是（ ）A ．3，5，3B ．6，8，10C ．7，20，25D ．6，12，137．用反证法证明“若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b”，第一步应假设（ ）A ．a ∥bB ．a 与b 垂直C ．a 与b 不一定平行D ．a 与b 相交8．点A(2，-5)关于x 轴对称的点的坐标是（ ）A ．(-2，-5)B ．(-2，5)C ．(2，5)D ．(-5，2)9．如图，△ABC 的周长为32，点D ，E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC ＝12，则PQ 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．下列说法中，正确说法的个数有 （ ）①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线； ②等腰三角形至少有1条对称轴，至多3条对称轴；③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；④两图形关于某直线对称，对应点的连线被对称轴垂直平分.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．已知点A 的坐标是()a b,a b +-，那么点A 关于x 轴对称的点的坐标为________，点A 关于y 轴对称的点的坐标为________，点A 关于原点对称的点为________．12．已知，如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC ，过点E 作DE ∥BC 交AB 于点D ，若AE =3cm ，△ADE 的周长为10cm ，则AB =______cm ．13．如图所示，是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中标出的尺寸（单位：mm ）则两圆孔中心A 和B 的距离是__________mm ．14．等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是_____．15．如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAD ＝24o ，AD ＝AE ，则∠EDC ＝_____.16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,2)P ，点Q 在y 轴上，PQO 是等腰三角形，则满足条件的点Q 共有______个．17．已知等边三角形的高为23，则它的边长为__________________.18．如图，课间小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两条凳子之间（凳子与地面垂直）．已知DC=a ，CE=b ．则两条凳子的高度之和为___19．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形a ，b ，c ，d ，e ，f 的面积和为32，则最大的正方形ABCD 的边长为 ．20．已知，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB=5，BC=3，则cos A ＝______．21．已知：如图所示，在中，BA=BC，，AD是BC边上的高，E是AD上一点，ED=CD，连结EC．求证：EA=EC．22．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90 点P在线段BC上，延长BC至点Q，使得CQ=CP，连接AP，AQ．过点B作BD⊥AQ于点D，交AP于点E，交AC于点F．K 是线段AD上的一个动点(与点A，D不重合)，过点K作GN⊥AP于点H，交AB于点G，交AC于点M，交FD的延长线于点N．(1)依题意补全图1；(2)求证：NM=NF；(3)若AM=CP，用等式表示线段AE，GN与BN之间的数量关系，并证明．23．如图1，D是等边△ABC外一点，且AD＝AC，连接BD，∠CAD的角平分交BD 于E．（1）求证：∠ABD＝∠D；（2）求∠AEB的度数；（3）△ABC 的中线AF交BD于G（如图2），若BG＝DE，求AFDE的值．24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，且DE⊥AB于E，AC＝AE.求证：AD平分∠BAC.25．按要求分别写出各对应点的坐标：26．如图，，，，求证：.27．如图，画∠AOB=90°，并画∠AOB的平分线OC．（1）将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB 的两边分别垂直，垂足为E、F（如图1）．则PE_____PF（填“＞”、“＜”、“=”）（2）把三角尺绕着点P旋转（如图2），PE与PF相等吗？试猜想PE、PF的大小关系，并说明理由．（3）在（2）的条件下，过点P作直线GH⊥OC，分别交OA、OB于点G、H，如图3 .①图中全等三角形有___________对（不添加辅助线）②猜想GE2、FH2、EF2之间的关系，并证明你的猜想．28．如图，、为相交成度角的两条公路，在上距点米有一所小学，拖拉机沿方向以每小时千米的速度行驶，在小学周围米范围内会受到拖拉机噪音的影响．试问小学是否会受到拖拉机噪音的影响？若受到影响，影响时间有多长？参考答案1．D【解析】试题分析：根据勾股定理的逆定理判定: 2221.52 2.5+=,符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；根据比值并结合勾股定理的逆定理，因为a ：b ：c=3：4：5，所以设a=3x ，b=4x ，c=5x ，则()()()222345x x x +=，故为直角三角形； 根据三角形的内角和为180°，因为∠A+∠B=∠C ，∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，故为直角三角形；根据角的比值求出各角的度数，因为∠A ：∠B ：∠C=3：4：5，所以设∠A=3x ，则∠B=4x ，∠C=5x ，故3x+4x+5x=180°，解得x=15°，3x=15×3=45°，4x=15×4=60°，5x=15×5=75°，故此三角形是锐角三角形．故选D ．考点：1．勾股定理的逆定理，2．直角三角形2．C【解析】【分析】由在△ABC 中，AD=AC= BD ，∠B=25°，根据等腰三角形的性质，即可求得∠ADC 的度数，接着求得∠C 的度数，然后根据三角形内角和定理可得∠DAC 的度数．【详解】∵AD=BD ，∴∠BAD=∠B=25°，∴∠ADC=∠B+∠BAD=25°+25°=50°，∵AD=AC ，∴∠C=∠ADC=50°，∴∠DAC=180°-∠ADC -∠C=180°-50°-50°=80°，故选：C ．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．3．A【解析】【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．【详解】解：A、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，且∠A+∠B+∠C=180°，可求得∠C≠90°，故△ABC 不是直角三角形；B、由条件可得到a2+c2=b2，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；C、由条件∠A-∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，可求得∠A=90°，故△ABC是直角三角形；D、因为52+122=132符合勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；故选A.【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．4．B【解析】【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据高BC=6cm，PC=23BC，求出PC=23×6=4cm，在Rt△ACP中，根据勾股定理求出AP的长．【详解】侧面展开图如图所示，∵圆柱的底面周长为6cm，∴AC=3cm，∵PC=23BC ∴PC=23×6=4cm ， 在Rt △ACP 中，AP 2=AC 2+CP 2，∴AP=2234+=5．故选：B ．【点睛】此题主要考查了平面展开图，以及勾股定理的应用，做题的关键是画出圆柱的侧面展开图． 5．A【解析】【分析】连接AD ，由作图可知，AE 为BD 的垂直平分线，DG=CG ，AB=AD=AG ，设∠C=x ，进而得到22180ADB ADG CDG x x x ∠+∠+∠=++=︒，求出x 的值后再根据直角三角形的两锐角互余即可得解.【详解】解：如图，连接AD ，由作图可知，AE 为BD 的垂直平分线，DG=CG ，AB=AD=AG ，设∠C=x ，则∠CDG=x ，∠AGD=2x ，∴∠ADG=∠AGD=2x ，∵2B C ∠=∠，∴2B x ∠=，∴2ADB x ∠=，∴22180ADB ADG CDG x x x ∠+∠+∠=++=︒，∴36x =︒，∴903654FAC ∠=︒-︒=︒，故选A.【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，基本作图等知识，准确识别图形是解题的关键.6．B【解析】【分析】根据三边长判断三角形是否为直角三角形，只需满足勾股定理逆定理222+=a b c 即可.【详解】A 、222335+≠，故A 选项错误；B 、22268=10+，故B 选项正确；C 、22272025+≠，故C 选项错误；D 、22261213+≠，故D 选项错误；故答案为：B.【点睛】本题考查勾股定理逆定理的应用.若三角形的三边a 、b 、c 满足222+=a b c ，则这个三角形为直角三角形.7．D【解析】试题分析：根据反证法的步骤，直接得出即可．解：∵用反证法证明“若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b”，∴第一步应假设：若a ⊥c ，b ⊥c ，则a 、b 相交．故选：D ．点评：此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．8．C【解析】【分析】根据直角坐标系中点的对称原则，关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为它的相反数. 【详解】根据题意点A关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标变为相反数.所以可得A点关于x轴对称的点的坐标是（2,5）,故选C.【点睛】本题主要考查直角坐标系中点的对称问题，这是直角坐标中的重点知识，必须熟练掌握记忆. 9．C【解析】【分析】首先判断△BAE、△CAD是等腰三角形，从而得出BA=BE，CA=CD，由△ABC的周长为32，及BC=12，可得DE=8，利用中位线定理可求出PQ．【详解】∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，∴∠ABQ=∠EBQ，∵∠ABQ+∠BAQ=90°,∠EBQ+∠BEQ=90°，∴∠BAQ=∠BEQ，∴AB=BE,同理：CA=CD,∴点Q是AE中点,点P是AD中点(三线合一)，∴PQ是△ADE的中位线，∵BE+CD=AB+AC=32−12=20，∴DE=BE+CD−BC=8，∴PQ=12DE=4.故选：C. 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质和三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质和三角形中位线定理.10．C【解析】①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线，而非角平分线，①错误；②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴，等边三角形有三条对称轴，②正确；③关于某直线对称的两个三角形一定可以完全重合，所以这两个三角形一定全等，③正确；④两图形关于某直线对称，对应点的连线被对称轴垂直平分，④正确；综上有②③④说法正确．故选C ．11．()a b,b a +- ()a b,a b --- ()a b,b a ---【解析】【分析】分别利用关于x 轴，y 轴以及关于原点对称点的性质得出答案．【详解】∵点A 的坐标是（a+b ，a-b ），∴点A 关于x 轴对称的点的坐标为：（a+b ，b-a ），点A 关于y 轴对称的点的坐标为：（-a-b ，a-b ），点A 关于原点对称的点为：（-a-b ，b-a ）．故答案为：（a+b ，b-a ），（-a-b ，a-b ），（-a-b ，b-a ）．【点睛】此题主要考查了关于x 轴、y 轴以及关于原点对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．12．7【解析】∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE ，∵DE ∥BC ，∴∠DEB=∠CBE ，∴∠ABE=∠DEB ，∴BD=DE ，∵△ADE 的周长为10cm ，AE=3cm ，∴AD+DE=AD+BD=AB=10-3=7cm ，故答案是：7．【点睛】运用了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．13．100【解析】【分析】先根据图示得出AC 及BC 的长，再由勾股定理即可得出结论．【详解】∵由图可知，()1206060AC mm =-=，()1406080BC mm =-=，∴()100AB mm ===，∴两圆孔中心A 和B 的距离是100mm ．故答案为：100．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解答此题的关键．14．55°或70°．【解析】【分析】由等腰三角形的一个内角为70°，可分别从70°的角为底角与70°的角为顶角去分析求解，即可求得答案．【详解】∵等腰三角形的一个内角为70°，若这个角为顶角，则底角为：（180°﹣70°）÷2＝55°； 若这个角为底角，则另一个底角也为70°，∴它的底角为55°或70°． 故答案为55°或70°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，注意分类讨论思想的应用．15．120【解析】分析：可以设∠EDC=x，∠B=∠C=y，根据∠ADE=∠AED=x+y，∠ADC=∠B+∠BAD即可列出方程，从而求解．解答：解：设∠EDC=x，∠B=∠C=y，∠AED=∠EDC+∠C=x+y，又因为AD=AE，所以∠ADE=∠AED=x+y，则∠ADC=∠ADE+∠EDC=2x+y，又因为∠ADC=∠B+∠BAD，所以2x+y=y+24，解得x=12，所以∠EDC的度数是12°．故答案是：12°．点评：本题主要考查了等腰三角形的性质，等边对等角．正确确定相等关系列出方程是解题的关键．16．4.【解析】【分析】根据题意，画出图形，由等腰三角形的判定找出满足条件的Q点即可．【详解】解：如上图：满足条件的点Q共有（0，2）（0，2）（0，2）（0，4）共4个符条件的点．故答案为4．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；利用等腰三角形的判定来解决特殊的问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．17．4【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得∠B =60°，∠BAD =30°，BD =x ，根据30°角所对直角边等于斜边的一半，得到AB =2x ．在Rt △ABD 中，根据勾股定理即可求出x 的值，进而得出结论．【详解】如图，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B =60°，AB =BC =AC ．∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =90°，∴∠BAD =30°．设BD =x ，则AB =2x ，∴AD =2222(2)323AB BD x x x -=-==，∴x =2，∴AB =2x =4．故答案为：4．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理、含30°角的直角三角形的性质．掌握含30°角的直角三角形的性质是解答本题的关键．18．a+b【解析】【分析】根据等腰三角形的性质结合全等三角形的判定方法得出即可．【详解】由题意可得：∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，则∠DAC=∠BCE ，在△ACD 和△CBE 中，CDA CEB DAC BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），故DC=BE=a ，AD=CE=b ，则两条凳子的高度之和为：a+b ．故答案为a+b ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，得出△ACD ≌△CBE 是解题的关键．19．4．【解析】试题分析：∵所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，∴a+b=c ，e+f=d ，c+d=S 正方形ABCD ，∵a+b+c+d+e+f=32，即2（c+d ）=32，解得c+d=16，∴S 正方形ABCD =16，∴正方形ABCD 的边长为4．考点：勾股定理．20．45【解析】由勾股定理得2222534AC AB BC =-=- .4cos 5AC A AB == . 21．见解析.【解析】【分析】由条件可求得∠BAC ＝∠BCA ＝67.5°，且∠ECD ＝∠DEC ＝45°，求出∠AEC ＝135°，可得∠ACE ＝∠EAC ＝22.5°，可证得结论.【详解】证明：∵BA ＝BC ，∠ABC ＝45°，∴∠BCA ＝∠BAC ＝×135°＝67.5°，又∵AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°，∵ED ＝CD ，∴∠ECD ＝45°，∴∠ACE ＝67.5°−45°＝22.5°，∵∠AEC ＝∠EDC ＋∠ECD ＝135°，∴∠EAC ＝180°−22.5°−135°＝22.5°，∴∠ACE ＝∠EAC ，∴EA ＝EC ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，由条件分别计算出∠ACE 和∠EAC 的度数是解题的关键． 22．（1）见解析；（2）见解析；（3）BN=AE+GN ，见解析.【解析】【分析】（1）根据题意补全图1即可；（2）根据等腰三角形的性质得到AP=AQ ，求得∠APQ=∠Q ，求得∠MFN=∠Q ，同理，∠NMF=∠APQ ，等量代换得到∠MFN=∠FMN ，于是得到结论；（3）连接CE ，根据线段垂直平分线的性质得到AP=AQ ，求得∠PAC=∠QAC ，得到∠CAQ=∠QBD ，根据全等三角形的性质得到CP=CF ，求得AM=CF ，得到AE=BE ，推出直线CE垂直平分AB，得到∠ECB=∠ECA=45°，根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）依题意补全图1如图所示；（2）∵CQ=CP，∠ACB=90°，∴AP=AQ，∴∠APQ=∠Q，∵BD⊥AQ，∴∠QBD+∠Q=∠QBD+∠BFC=90°，∴∠Q=∠BFC，∵∠MFN=∠BFC，∴∠MFN=∠Q，同理，∠NMF=∠APQ，∴∠MFN=∠FMN，∴NM=NF；（3）连接CE，∵AC⊥PQ，PC=CQ，∴AP=AQ，∴∠PAC=∠QAC，∵BD⊥AQ，∴∠DBQ+∠Q=90°，∵∠Q+∠CAQ=90°，∴∠CAQ=∠QBD，∴∠PAC=∠FBC，∵AC=BC，∠ACP=∠BCF，∴△APC≌△BFC（AAS），∴CP=CF，∵AM=CP，∴AM=CF，∵∠CAB=∠CBA=45°，∴∠EAB=∠EBA，∴AE=BE，∵AC=BC，∴直线CE垂直平分AB，∴∠ECB=∠ECA=45°，∴∠GAM=∠ECF=45°，∵∠AMG=∠CFE，∴△AGM≌△CEF（ASA），∴GM=EF，∵BN=BE+EF+FN=AE+GM+MN，∴BN=AE+GN．【点睛】本题考查了三角形的综合题，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．23．（1）见解析；（2）60°；（3）3 2【解析】【分析】(1)利用等边三角形的性质可得AB=AC,又因为AD＝AC已知，所以AB=AD,进而得到本题答案；(2) 设∠3=∠D=x°，∠1=∠2=y°，利用等边三角形的性质以及三角形内角和定理得出∠3+∠D+∠BAD=180°，进而得出答案；(3)首先得出△ABE ≌△ADG ,进而得出∠4=∠AEB=60°,进而求出DE=BG=2GF, AG= BG=2GF, AF=AG+GF=3FG ，即可得出答案.【详解】解：（1）∵AB=AC ，AD=AC ，∴AB=AD ，∴∠3=∠D （即∠ABD=∠D ）（2）∵AE 平分∠CAD ，∴∠1=∠2，∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC=60°，设∠3=∠D=x°，∠1=∠2=y°，∵∠3+∠D+∠BAD=180°，∴x +x + 60° +2y =180°，∴x +y =60°，∴∠AEB=∠1+∠D = x +y = 60°；（3）∵BG=DE ，∴BE=DG ，在△ABE 和△ADG 中，3AB AD D BE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADG （SAS ）∴∠4=∠AEB=60°∵△ABC 是等边三角形，F 是BC 中点，∴∠AFB=90°，∠7=30°，∵∠6=90°﹣∠5=30°，∴DE=BG=2GF ，∵∠3=60°﹣∠6=30°=∠7， ∴AG=BG=2GF ，∴AF=AG+GF=3FG ，∴AF 3GF 3==DE 2GF 2. 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质,将AF ，DE 用FG 表示得出是解题关键.24．见解析【解析】试题分析：证明Rt △ACD ≌Rt △AED ，利用全等三角形的性质即可得.试题解析：∵DE ⊥AB ，∴∠AED=90°，在Rt △ACD 和Rt △AED 中，AD AD AC AE =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ），∴∠CAD=∠EAD ，即AD 平分∠BAC.25．表格见解析【解析】试题分析：两点关于x 轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数；两点关于y 轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变.试题解析： 已知点 A(2，4) B(-1,5) C(-3，-7) D(6,-8) E(9,0) F(0，-2)关于y轴的对称点(2,4)A'-()1,5B '(37)C'-，()6,8D'--()9,0E'-(02)F'-，关于x轴的对称点(2,4)A''-()1,5B''--(37)C-''，()6,8D()9,0E''(02)F''，点睛：两点关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数；两点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变.26．见解析【解析】【分析】用，证明根据全等三角形的性质即可得到.【详解】证明：∵，，∴，在和中，，∴，∴.【点睛】考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键. 27．（1）=；（2）3；（3）GE2+FH2=EF2.【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质定理证明；（2）证明△MPE≌△NPF，根据全等三角形的性质证明结论；（3）①根据等腰直角三角形的性质得到OP=PG=PH，证明△GPE≌△OPF（ASA），△EPO≌△FPH，△GPO≌△OPH，得到答案；②根据勾股定理，全等三角形的性质解答. 【详解】解：（1）∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE=PF，故答案为：=；（2）PE=PF，理由如下：∵∠MPN=90°，∠EPF=90°，∴∠MPE=∠NPF，由（1）得，PM=PN，在△MPE和△NPF中，∠MPE＝∠NPF, PM＝PN, ∠PME＝∠PNF ，∴△MPE≌△NPF（ASA），∴PE=PF；（3）①∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=45°，∵GH⊥OC，∴∠OGH=∠OHG=45°，∴OP=PG=PH，∵∠GPO=90°，∠EPF=90°，∴∠GPE=∠OPF，在△GPE和△OPF中，∠PGE＝∠POF, PG＝PO, ∠GPE＝∠OPF,∴△GPE≌△OPF（ASA），同理，△EPO≌△FPH，△GPO≌△OPH，故答案为：3；②GE2+FH2=EF2，理由如下：∵△GPE≌△OPF，∴GE=OF，∵△EPO≌△FPH，∴FH=OE，在Rt△EOF中，OF2+OE2=EF2，∴GE2+FH2=EF2.【点睛】本题主要考查的是角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．28．受影响，受影响的时间为秒．【解析】【分析】要判断是否会受影响，只需求得点A到ON的最小距离AD，和100比较，即可判断；如果受影响，则在AD的两侧一定存在两点B，C，使AB=AC=100；根据勾股定理即可求得受影响的路程，进一步求得受影响的时间．【详解】解：作AD⊥ON于D．根据30°所对的直角边是斜边的一半，得AD=OA=80＜100，所以受影响；设在点D的两侧各有一点B，C．且AB=AC=100，根据勾股定理得BD=CD=60，则BC=120．∵18千米/时=5米/秒，∴受影响的时间=120÷5=24（秒）．【点睛】本题要根据点到直线的最短距离，进行分析判断是否受噪音的影响；根据勾股定理求得受噪音影响的路程，然后根据时间=路程÷速度进行计算．注意：18千米/时=5米/秒．。

浙教版八年级上册数学第2章特殊三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，∠C＝∠D＝90°，若添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则以下给出的条件适合的是( )A.AC＝ADB.AB＝ABC.∠ABC＝∠ABDD.∠BAC＝∠BAD2、以下四家银行的行标图中，是轴对称图形的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个3、下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（）A.3、4、5B.6、8、10C. 、2、D.5、12、134、已知△ABC的三边分别长为、、，且满足＋+＝0，则△ABC是（）．A.以为斜边的直角三角形B.以为斜边的直角三角形C.以为斜边的直角三角形 D.不是直角三角形5、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝4，点D，E分别是AB，AC 的中点，CF平分Rt△ABC的一个外角∠ACM，交DE的延长线于点F，则DF的长为（）A.4B.5C.5.5D.66、如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CD＝CA，D在BC上，∠ADE＝45°，E在AB上，则∠BED的度数是（）A.60°B.75°C.80°D.85°7、设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为a，b及h，则下列关系正确的是( )A. B. C. D.8、如图：△ABC中，ACB=90°，AC=BC，AB=4，点E在BC上，且BE=2，点P 在ABC的平分线BD上运动，则PE+PC的长度最小值为（）A.1B.C.D.9、如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接A C、CE、E B、B D、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH．有下列3个结论：① AO⊥BE，② ∠CGD=∠COD+∠CAD，③ BM=MN=NE．其中正确的结论是（）A.① ②B.① ③C.② ③D.① ② ③10、如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，∠CAD＝30°，CD＝4，则线段BF的长度为（）A.6B.7C.8D.911、若下列选项中的图形均为正多边形，则哪一个图形恰有4条对称轴？（）A. B. C. D.12、如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下面的结论：①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE =S△COE，其中正确结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个13、等腰三角形的一个角是100°，则它的底角是（）A. B. C. D.14、用下列各组线段为边，能构成直角三角形的是（）A.1cm，2cm，3cmB. cm，cm，cmC.1cm，2cm，cm D.2cm，3cm，4cm15、等腰三角形周长是29，其中一边是7，则等腰三角形的底边长是( )A.15B.15或7C.7D.11二、填空题(共10题，共计30分)16、如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点A，然后过点A作AB与残片的内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD＝15cm，AB＝60cm，则这个摆件的外圆半径是________cm．17、如图，Rt△ABC的斜边AB的中垂线MN与AC交于点M，∠A=15°，BM=2，则△AMB的面积为________.18、在△ABC中，AD为高线，若AB+BD=CD，AC=4 ，BD=3，则线段BC的长度为________．19、菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，则菱形的边长为________.20、如图，长方体的长为15厘米，宽为10厘米，高为20厘米，点B到点C的距离是5厘米。

浙教版数学八上《特殊三角形》单元测试及答案一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）()1.等腰三角形两边长为3和6，则周长为 A. 12B. 15C. 12或15D. 无法确定△ABC AB=AC=5BC=62.如图，在中，，，AD是BC边上的中线，点E、F、M、N是AD上的四点，则()图中阴影部分的总面积是 A. 6B. 8C. 4D. 1236∘()3.有一个角是的等腰三角形，其它两个角的度数是 36∘108∘36∘72∘A. ，B. ，72∘72∘36∘108∘72∘72∘C. ，D. ，或，Rt△ABC∠C=90∘∠ABC4.如图，在中，，的平分线BD交ACD.BC=4cm BD=5cm()于点若，，则点D到AB的距离是 A. 5cmB. 4cmC. 3cmD. 2cm5.如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角.()形”下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是 233A. 1，2，3B. 1，1，C. 1，1，D. 1，2，△ABC6.如图，的顶点都在正方形网格的格点上，若小方格的△ABC()边长为1，则的形状是 A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形7.如图，已知：，点、、在射线ON 上，点、、在射∠MON =30∘A 1A 2A 3…B 1B 2B 3…线OM 上，、、均为等边三角形，若，则△A 1B 1A 2△A 2B 2A 3△A 3B 3A 4…OA 1=1的边长为 △A 6B 6A 7()A. 6B. 12C. 32D. 648.如图，和都是等腰直角三角形，△ABC △ADE ，连结CE 交AD 于点F ，连结BD∠BAC =∠DAE =90∘交CE 于点G ，连结下列结论中，正确的结论有 BE.()；①CE =BD 是等腰直角三角形；②△ADC ；③∠ADB =∠AEB ；④S 四边形BCDE =12BD ⋅CE ．⑤BC 2+DE 2=BE 2+CD 2A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）9.如图，在中，，，于D ，则△ABC AB =AC BC =6AD ⊥BC ______ ．BD =10.如图，在中，CD 是斜边AB 上的中线，若Rt △ABC ，则 ______ ．∠A =20∘∠BDC =11.如图，在等边中，，D 是BC 的中点，△ABC AB =6将绕点A 旋转后得到，那么线段DE△ABD △ACE 的长度为______．12.如图，中，于D ，E 是AC 的中点若，△ABC CD ⊥AB .AD =6，则CD 的长等于______．DE =513.如图，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边上的F点处，若，，则EC 长为______ ．AB =8cm BC =10cm14.如图，在中，，，AE△ABC ∠BAC =90∘AB =AC 是经过A 点的一条直线，且B 、C 在AE 的两侧，于D ，于E ，，，则BD ⊥AE CE ⊥AE CE =2BD =6DE 的长为______ ．15.如图，在中，，，将其Rt △ABC ∠C =90∘AC =BC 绕点A 逆时针旋转得到，交AB15∘Rt △AB'C'B'C'于E ，若图中阴影部分面积为，则的长为23B'E ______．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16.如图，在中，，分别以点A 、C为圆心，大于长为半径画Rt △ABC ∠B =90∘12AC 弧，两弧相交于点M 、N ，连接MN ，与AC 、BC 分别交于点D 、E ，连接AE ．求；直接写出结果(1)∠ADE ()当，时，求的周长．(2)AB =3AC =5△ABEDE//AB17.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且，过点EF⊥DEE作，交BC的延长线于点F．(1)∠F求的度数；(2)CD=2若，求DF的长．(1)(2)18.现在给出两个三角形，请你把图分割成两个等腰三角形，把图分割成三个.(1)(2)等腰三角形要求：在图、上分割：标出分割后的三角形的各内角的度数．19.如图，在中，D 是BC 边上一点，且，△ABC BA =BD ，求的度数．∠DAC =12∠B ∠C =50∘.∠BAC 20.已知：如图，在中，AD 是的高，作，交AD 的延长△ABC △ABC ∠DCE =∠ACD 线于点E ，点F 是点C 关于直线AE 的对称点，连接AF ．求证：；(1)CE =AF 若，，且，求的度数．(2)CD =1AD =3∠B =20∘∠BAF答案1. B2. A3. D4. C5. D6. B7. C8. C9. 310. 40∘11. 3312. 813. 3cm14. 415. 23‒2(1)∵16. 解：由题意可知MN是线段AC的垂直平分线，∴∠ADE=90∘；(2)∵Rt△ABC∠B=90∘AB=3AC=5在中，，，，∴BC=52‒32=4，∵MN是线段AC的垂直平分线，∴AE=CE，∴△ABE=AB+(AE+BE)=AB+BC=3+4=7的周长．(1)∵△ABC17. 解：是等边三角形，∴∠B=60∘，∵DE//AB，∴∠EDC=∠B=60∘，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90∘，∴∠F=90∘‒∠EDC=30∘；(2)∵∠ACB=60∘∠EDC=60∘，，∴△EDC是等边三角形．∴ED=DC=2，∵∠DEF=90∘∠F=30∘，，∴DF=2DE=4．18. 解：如图所示：19. 解：设，则，．∠DAC =x ∘∠B =2x ∘∠BDA =∠C +∠DAC =50∘+x ∘，∵BD =BA ，∴∠BAD =∠BDA =50∘+x ∘，∵∠B +∠BAD +∠BDA =180∘即，2x +50+x +50+x =180解得．x =20，∴∠BAD =∠BDA =50∘+20∘=70∘．∴∠BAC =∠BAD +∠DAC =70∘+20∘=90∘20. 证明：是的高，(1)∵AD △ABC ，，∴∠ADC =∠EDC =90∘∠DCE =∠ACD 为等腰三角形，∴△ACE ，∴AC =CE 又点F 是点C 关于AE 的对称点，∵，∴AF =AC ；∴CE =AF 解：在中，，，根据勾股定理得到：(2)Rt △ACD CD =1AD =3，AC =AD 2+CD 2=2，∴CD =12AC ．∴∠DAC =30∘同理可得，∠DAF =30∘在中，，Rt △ABD ∠B =20∘． ∴∠BAF =90∘‒∠B ‒∠DAF =40∘。

浙教版八年级数学上册第2章特殊三角形单元测试题第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)1．下列图案是轴对称图形的是( )2．若等腰三角形的顶角为70°，则它的底角度数为( )A．45°B．55°C．65°D．70°3．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，则图中与CD相等的线段有( )A．AD与BD B．BD与BCC．AD与BC D．AD，BD与BC4．把一个边长为1的正方形如图所示放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A对应的数是( )A．1 B. 2 C. 3 D．25．若等腰三角形中两条边的长度分别为3和1，则此等腰三角形的周长为( )A．5 B．7 C．5或7 D．66．如图所示，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是( )A．CB＝CDB．∠BAC＝∠DACC．∠BCA＝∠DCAD．∠B＝∠D＝90°7．如图所示，OD⊥AB于点D，OP⊥AC于点P，且OD＝OP，则△AOD与△AOP全等的理由是( )A．SSS B．ASA C．SSA D．HL8．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°，则∠BDC等于( )A．44°B．60°C．67°D．77°9.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝45°，P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( )A．3.5 B．3.7 C．4 D．4.510．如图所示，已知O是△ABC中∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于点D，OE∥AC交BC于点E.若BC＝10 cm，则△ODE的周长为( )A．10 cm B．8 cmC．12 cm D．20 cm请将选择题答案填入下表：二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)11．命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题是____________________．12．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD⊥AC于点D，则∠DBC＝________°.13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，判定△ABD≌△ACD最简单的方法是________．14．直角三角形的两条边长分别为3，4，则它另一边的长为________．15．如图所示，有两个长度相等的滑梯(即BC＝EF)，左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平方向的长度DF相等，已知左边滑梯与地面的夹角∠ABC＝27°，则右边滑梯与地面的夹角∠DFE＝________°.16．如图所示，△ABC是等边三角形，D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若BC＝2，则DE＋DF＝________.三、解答题(本题共8小题，共66分)17．(6分)如图所示，已知AB＝AC，D是AB上的一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA 的延长线于点F.试说明：△ADF是等腰三角形．18．(6分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF.19．(6分)如图所示，在四边形ABCD中，∠A为直角，AB＝16，BC＝25，CD＝15，AD＝12，求四边形ABCD的面积．20．(8分)如图所示，延长△ABC的各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，连结DE，EF，FD，得到△DEF为等边三角形．求证：(1)△AEF≌△CDE；(2)△ABC为等边三角形．21．(8分)如图所示，请将下列两个三角形分别分成两个等腰三角形．(要求标出每个等腰三角形的内角度数)22．(10分)在直角三角形中，两条直角边的长度分别为a和b，斜边长度为c，则a2＋b2＝c2，即两条直角边的平方和等于斜边的平方，此结论称为勾股定理．在一张纸上画两个同样大小的直角三角形ABC和A′B′C′，并把它们拼成如图所示的形状 (点C和A′重合，且两直角三角形的斜边互相垂直)．请利用拼得的图形证明勾股定理．23．(10分)如图所示，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC边上的一点，且AD⊥AB，E是BD 的中点，连结AE.求证：(1)∠AEC＝∠C；(2)BD＝2AC.24．(12分)如图所示，O是直线l上一点，在点O的正上方有一点A，满足OA＝3，点A，B位于直线l的同侧，且点B到直线l的距离为5，线段AB＝40，一动点C在直线l上移动．(1)当点C位于点O左侧时，且OC＝4，直线l上是否存在一点P，使得△ACP为等腰三角形？若存在，请求出OP的长；若不存在，请说明理由．(2)连结BC，在点C移动的过程中，是否存在一点C，使得AC＋BC的值最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．答案1．A2．B3．A4．B5．B6．C7．D 8．C 9．D 10．A11．两直线平行，内错角相等 12．20 13．HL 14．5或7 15．63 16． 317．解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C (等边对等角)． ∵DE ⊥BC 于点E ，∴∠DEB ＝∠FEC ＝90°， ∴∠B ＋∠EDB ＝∠C ＋∠F ＝90°， ∴∠EDB ＝∠F (等角的余角相等)． 又∵∠EDB ＝∠ADF (对顶角相等)， ∴∠F ＝∠ADF ，∴AD ＝AF ， ∴△ADF 是等腰三角形． 18．证明：如图，连结AD .∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点， ∴∠EAD ＝∠FAD .在△AED 和△AFD 中，∵⎩⎨⎧AE ＝AF ，∠EAD ＝∠FAD ，AD ＝AD ，∴△AED ≌△AFD (SAS )， ∴DE ＝DF .19．解：∵∠A 为直角，∴在Rt △ABD 中， 由勾股定理，得BD 2＝AD 2＋AB 2. ∵AD ＝12，AB ＝16，∴BD ＝20.∵BD 2＋CD 2＝202＋152＝252，且BC 2＝252， ∴BD 2＋CD 2＝BC 2， ∴∠CDB 为直角，∴△ABD 的面积为12×16×12＝96，△BDC 的面积为12×20×15＝150，∴四边形ABCD 的面积为96＋150＝246. 20．证明：(1)∵BF ＝AC ，AB ＝AE ， ∴BF ＋AB ＝AC ＋AE ，即FA ＝EC . ∵△DEF 是等边三角形，∴EF ＝DE . 又∵AE ＝CD ，∴△AEF ≌△CDE . (2)由△AEF ≌△CDE ，得∠FEA ＝∠EDC . ∵△DEF 是等边三角形，∴∠DEF ＝60°.∵∠BCA ＝∠EDC ＋∠DEC ＝∠FEA ＋∠DEC ＝∠DEF ， ∴∠BCA ＝60°.同理可得∠BAC ＝60°， ∴∠ABC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形． 21．解：如图所示．22．证明：如图所示，在Rt △ABC 中，∵∠1＋∠2＝90°，∠1＝∠3，∴∠2＋∠3＝90°. 又∵∠ACC ′＝90°，∴∠2＋∠3＋∠ACC ′＝180°， ∴B ，C (A ′)，B ′在同一条直线上． 又∵∠B ＝90°，∠B ′＝90°， ∴∠B ＋∠B ′＝180°，∴AB ∥C ′B ′.由面积相等得12(a ＋b )(a ＋b )＝12ab ＋12ab ＋12c 2，即a2＋b2＝c2.23．证明：(1)∵AD⊥AB，∴△ABD为直角三角形．∵E是BD的中点，∴AE＝BE＝DE，∴∠B＝∠BAE.∵∠AEC＝∠B＋∠BAE，∴∠AEC＝2∠B. 又∵∠C＝2∠B，∴∠AEC＝∠C.(2)由(1)的结论可得AE＝AC.∵AE＝12BD，∴AC＝12BD，即BD＝2AC.24．解：(1)存在．由勾股定理可求得AC＝5.当点P使得△ACP为等腰三角形时，如图①所示，OP1＝4，OP2＝5－4＝1，OP3＝CP3＋OC＝AC＋OC＝5＋4＝9.在Rt△AP4O中，AP42＝OP42＋OA2，设OP4＝x，则(4－x)2＝x2＋32，解得x＝78，∴OP4＝78.综上所述，OP的长为4或1或9或7 8 .(2)存在．如图②所示，作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B与直线l相交于点C，则A′B为AC＋BC的最小值．过点A′作A′E∥l，过点B作BE⊥A′E于点E，过点A作AD⊥BE于点D.在Rt△ABD中，AB＝40，BD＝5－3＝2，∴AD＝AB2－BD2＝6.在Rt△A′BE中，A′E＝AD＝6，BE＝5＋3＝8，∴A′B＝BE2＋A′E2＝82＋62＝10，∴AC＋BC的最小值为10.。

2022-2023学年浙教版八年级数学上册《第2章特殊三角形》单元综合测试题（附答案）一．选择题（共10小题，满分40分）1．下面说法错误的个数有（）（1）全等三角形对应边上的中线相等．（2）有两条边对应相等的等腰直角三角形全等．（3）一条斜边对应相等的两个直角三角形全等．（4）两边及其一边上的高也对应相等的两个三角形全等．A．1个B．2个C．3个D．4个2．观察下面A，B，C，D四幅图，其中与如图成轴对称的是（）A．B．C．D．3．如图，∠BAC＝110°，若A，B关于直线MP对称，A，C关于直线NQ对称，则∠P AQ 的大小是（）A．70°B．55°C．40°D．30°4．如图案分别表示“福”“禄”“寿”“喜”，其中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④EA＝ED；⑤BP＝EQ．其中正确的结论个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（）A．105°B．115°C．120°D．130°7．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC的长为半径画弧交AC于点C、E，再分别以点C与点E为圆心，大于CE长的一半为半径画弧，两弧交于点F，连接BF交AC于点D，若∠A＝50°，则∠CBD的大小是（）A．25°B．40°C．50°D．65°8．已知射线OC平分∠AOB，点P、M、N分别在射线OC、OA、OB上，且PM＝PN，PE ⊥OA于点E，若∠PNO＝110°，则∠EPM的度数为（）A．20°B．35°C．55°D．70°9．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD ＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（）A．1B．2C．3D．410．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC边中点，则下列结论不正确的是（）A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．∠BAD＝∠CAD D．AB＝2BC二．填空题（共6小题，满分24分）11．如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的直角三角形有对．12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，点D是BC上一动点（点D与点B不重合），连接AD，作B关于直线AD的对称点E，当点E在BC的下方时，连接BE、CE，则CE的取值范围是；△BEC面积的最大值为．13．如图，△APT与△CPT关于直线PT对称，∠A＝∠APT，延长AT交PC于点F，当∠A ＝°时，∠FTC＝∠C．14．如图，已知AB＝CB，要使四边形ABCD成为一个轴对称图形，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个，不添加辅助线）15．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的△ABC为格点三角形，在图中最多能画出个格点三角形与△ABC成轴对称．16．如图，∠A＝∠C＝90°，且AB＝AC＝4，D，E分别为射线AC和射线CF上两动点，且AD＝CE，当BD+BE有最小值时，则△BDE的面积为．三．解答题（共7小题，满分56分）17．如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．18．如图，直线l1∥l2，直线l3交直线l1于点B，交直线l2于点D，O是线段BD的中点．过点B作BA⊥l2于点A，过点D作DC⊥l1于点C，E是线段BD上一动点（不与点B，D 重合），点E关于直线AB，AD的对称点分别为P，Q，射线PO与射线QD相交于点N，连接PQ．（1）求证：点A是PQ的中点；（2）请判断线段QN与线段BD是否相等，并说明理由．19．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，点A关于直线BC的对称点为P，连接PB并延长．过点C作CD⊥AC，交射线PB于点D．（1）如图①，∠ACB为钝角时，补全图形，判断AC与CD的数量关系：；（2）如图②，∠ACB为锐角时，（1）中结论是否仍成立，并说明理由．20．如图，直线a⊥b，请你设计两个不同的轴对称图形，使a、b都是它的对称轴．21．如图，△ABC在正方形网格中，已知网格的单位长度为1，点A，B，C均在格点上，按要求回答下列问题：（1）分别写出点A，B，C的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）请在这个坐标系内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于y轴对称．22．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠BCE＝β．（1）如图（1），点D在线段BC上移动时，①角α与β之间的数量关系是；②若线段BC＝2，点A到直线BC的距离是3，则四边形ADCE周长的最小值是；（2）如图（2），点D在线段BC的延长线上移动时，①请问（1）中α与β之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明理由；②线段BC、DC、CE之间的数量是．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝2∠ABD，当△BDC是等腰三角形时，求：∠DBC 的度数．参考答案一．选择题（共10小题，满分40分）1．解：（1）全等三角形对应边上的中线相等．正确；（2）有两条边对应相等的等腰直角三角形一定全等．正确；（3）一条斜边对应相等的两个直角三角形不一定全等．错误；（4）两边及其一边上的高也对应相等的两个三角形一定全等．错误；故选：B．2．解：与已知图形成轴对称的图形是选项C：．故选：C．3．解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝70°，∵A，B关于直线MP对称，A，C关于直线NQ对称，又∵MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，∴∠BAP+∠CAQ＝70°，∴∠P AQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°＝40°故选：C．4．解：第一个图形不是轴对称图形，第二、三、四个图形是轴对称图形，故选：A．5．解：∵△ABD和△ACE是△ABC的轴对称图形，∴∠BAD＝∠CAE＝∠BAC，AB＝AE，AC＝AD，∴∠EAD＝3∠BAC﹣360°＝3×150°﹣360°＝90°，故①正确；∴∠BAE＝∠CAD＝（360°﹣90°﹣150°）＝60°，由翻折的性质得，∠AEC＝∠ABD＝∠ABC，又∵∠EPO＝∠BP A，∴∠BOE＝∠BAE＝60°，故②正确；∵△ACE≌△ADB，∴S△ACE＝S△ADB，BD＝CE，∴BD边上的高与CE边上的高相等，即点A到∠BOC两边的距离相等，∴OA平分∠BOC，故③正确；只有当AC＝AB时，∠ADE＝30°，才有EA＝ED，故④错误；在△ABP和△AEQ中，∠ABD＝∠AEC，AB＝AE，∠BAE＝60°，∠EAQ＝90°，∴BP＜EQ，故⑤错误；综上所述，结论正确的是①②③共3个．故选：B．6．解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，如图，此时BE+EF最小．∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，∴∠AE′F′＝65°，∵BB′⊥AD，∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，∵AG＝AG，∴△ABG≌△AB′G（ASA），∴BG＝B′G，∠ABG＝∠AB′G，∴AD垂直平分BB′，∴BE＝BE′，∴∠E′B′G＝∠E′BG，∵∠BAC＝50°，∴∠AB′F′＝40°，∴∠ABE＝40°，∴∠BE′F′＝50°，∴∠AE′B＝115°．故选：B．7．解：∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ACB＝（180°﹣50°）÷2＝65°，由题意可知，BC＝BE，∴∠BEC＝∠ACB＝65°，∴∠CBE＝180°﹣65°×2＝50°，∴∠CBD＝∠CBE＝25°．故选：A．8．解：连接MN，∵射线OC平分∠AOB，PM＝PN，∴OP⊥MN，∠MOP＝∠NOP，∴∠MPO＝∠NPO，在△MOP与△NOP中，，∴△MOP≌△NOP（ASA），∴∠OMP＝∠PNO＝110°，∴∠EPM＝∠OMP﹣∠OEP＝110°﹣90°＝20°．故选：A．9．解：①∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，∴∠BAD＝180°﹣40°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣40°﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE；故①正确；②∵D为BC中点，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CDE＝50°，∵∠C＝40°，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥AC，故②正确；③∵∠C＝40°，∴∠AED＞40°，∴∠ADE≠∠AED，∵△ADE为等腰三角形，∴AE＝DE，∴∠DAE＝∠ADE＝40°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝60°，或∵△ADE为等腰三角形，∴AD＝DE，∴∠DAE＝∠AED＝70°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝30°，故③错误，④∵∠BAD＝30°，∴∠CDE＝30°，∴∠ADC＝70°，∴∠CAD＝180°﹣70°﹣40°＝70°，∴∠DAC＝∠ADC，∴CD＝AC，∵AB＝AC，∴CD＝AB，∴△ABD≌△DCE（ASA），∴BD＝CE；故④正确；故选：C．10．解：A．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，故A不符合题意；B．∵AB＝AC，点D是BC边中点，∴AD⊥BC，故B不符合题意；C．∵AB＝AC，点D是BC边中点，∴∠BAD＝∠CAD，故C不符合题意；所以排除A，B，C，故选：D．二．填空题（共6小题，满分24分）11．解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∵AC＝AB，∵∠CAE＝∠BAD，∴△AEC≌△ADB（AAS）；∴CE＝BD，∵AC＝AB，∴∠CBE＝∠BCD，∵∠BEC＝∠CDB＝90°，∴△BCE≌△CBD（AAS）；∴BE＝CD，∴AD＝AE，∵AO＝AO，∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL）；∵∠DOC＝∠EOB，∴△COD≌△BOE（AAS）；∴OB＝OC，∵AB＝AC，∴CF＝BF，AF⊥BC，∴△ACF≌△ABF（SSS），△COF≌△BOF（SSS），综上所述，共有6对全等的直角三角形．故答案是：6．12．解：∵B、E关于AD对称，∴AE＝AB＝4，则可知E点在以A点为圆心、AE为半径的圆上，如图，在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，则BC＝5，当E点与B点重合时，有CE最长，即为5；又∵B、E不重合，∴CE＜5，当E点移动到F点时，使得A、C、F三点共线，此时CF最短，且为CF＝AF﹣AC＝4﹣3＝l，即CE最短为l，即CE的取值范围为：1≤CE＜5；当点E移动到使得AE⊥BC时，A点到BC的距离最短，则E点到BC的距离最大，则此时△BCE的面积最大，设AE交BC于点G点，利用面积可知AB×AC＝BC×AG，∴AG＝2.4，∵AE＝AB＝4，∴EG＝4﹣2.4＝1.6，∴△BCE的面积最大值为：1.6×5×＝4，∴△BCE的面积的最大值为4；故答案为：1≤CE＜5；4．13．解：∵△APT与△CPT关于直线PT对称，∴∠A＝∠C，TA＝TC，∠APT＝∠CPT，∵∠A＝∠APT，∴∠A＝∠C＝∠APT＝∠CPT，∵∠FTC＝∠C，∴∠AFP＝∠C+∠FTC＝2∠C＝2∠A，∵∠A+∠APF+∠AFP＝180°，∴5∠A＝180°，∴∠A＝36°，故答案为：36°．14．解：AD＝CD，理由：在△ABD与△CBD中，，∴△ABD≌△CBD，∴四边形ABCD是一个轴对称图形，故答案为：AD＝CD．15．解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．故答案为：6．16．解：过点B作BE⊥CF于点N，∵∠A＝∠C＝90°，且AB＝AC＝4，∴四边形ACNB是正方形，∴AC＝CN，∵AD＝CE，∴CD＝NE△BEN≌△NDC，∴BE＝DN，延长BA到M．使得AM＝AB，则B，M关于AC对称，∴BD＝MD，∴BD+BE＝MD+DN，最小时，M，N，D三点共线，此时D为AC的中点，△BDE的面积为：0.5×（2+4）×4﹣0.5×4×2﹣0.5×2×2＝6．故答案为：6．三．解答题（共7小题，满分56分）17．证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°AC＝BD，BC为公共边，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；（2）△OBC是等腰三角形，∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴∠ACB＝∠DBC，∴OB＝OC，∴△OBC是等腰三角形．18．（1）证明：连接AE．∵点E关于直线AB，AD的对称点分别为P，Q，∴AP＝AE，AQ＝AE，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴AP＝AQ，∵AB⊥l2，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∴P，A，Q三点在同一条直线上，∴点A是PQ的中点．（2）解：结论QN＝BD，理由如下：连接PB．∵点E关于直线AB，AD的对称点分别为P，Q，∴BP＝BE，DQ＝DE，∠5＝∠6，∠7＝∠8，∵l1∥l2，DC⊥l1，∴DC⊥l2，∴∠7+∠9＝90°，∴∠8+∠10＝90°，∴∠9＝∠10，又∵AB⊥l2，DC⊥l2，∴AB∥CD，∴∠6＝∠9，∴∠5+∠6＝∠9+∠10，即∠OBP＝∠ODN，∵O是线段BD的中点，∴OB＝OD，又∠BOP＝∠DON，在△BOP和△DON中，∴△BOP≌△DON（AAS），∴BP＝DN，∴BE＝DN，∴QN＝DQ+DN＝DE+BE＝BD．19．解：（1）结论：AC＝CD．理由：如图①中，设AB交CD于O，∵A，P关于BC对称，CA＝CP，∴∠A＝∠P，∠ABC＝∠CBP＝45°，∴∠ABP＝∠ABD＝90°，∵AC⊥CD，∴∠ACO＝∠DBO＝90°，∵∠AOC＝∠DOB，∴∠D＝∠A，∴∠D＝∠P，∴CD＝CP，∴AC＝CD．故答案为：AC＝CD．（2）（1）中结论不变．理由：如图②中，∵A，P关于BC对称，CA＝CP，∴∠A＝∠P，∠ABC＝∠CBP＝45°，∴∠ABP＝∠ABD＝90°，∵AC⊥CD，∴∠ACD＝∠DBA＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝180°，∴∠A+∠BDC＝180°，∵∠CDP+∠BDC＝180°，∴∠A＝∠CDP∴∠CDP＝∠P，∴CD＝CP，∴AC＝CD．20．解：如下图所示：（答案不唯一）．21．解：（1）由图知，A（0，3）、B（﹣4，4）、C（﹣2，1）；（2）△ABC的面积为3×4﹣×2×2﹣×1×4﹣×2×3＝5，答：△ABC的面积为5；（3）如图所示，△A1B1C1即为所求．22．解：（1）①α+β＝180°；理由如下：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC∴∠CAE＝∠BAD，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC+∠ABD+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠BCE＝180°，即α+β＝180°，故答案为：α+β＝180°；②由①知，△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，AD＝AE，∴CD+CE＝BD+CD＝BC＝2，当AD⊥BC时，AD最短，即四边形ADCE周长的值最小，∵点A到直线BC的距离是3，∴AD＝AE＝3，∴四边形ADCE周长的最小值是2+3+3＝8，故答案为：8；（2）①成立，理由如下：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ACD＝∠ABD+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∴∠BAC+∠BCE＝∠DCE+∠BCE＝180°，即α+β＝180°；②∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，∵BD＝BC+CD，∴CE＝BC+CD，故答案为：CE＝BC+CD．23．解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C．①当BD＝CD时，∠C＝∠CBD＜∠ABC，故不成立；②当BD＝BC时，∠C＝∠BDC＝∠A+∠ABD，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠A+∠A+∠ABD+∠A+∠ABD＝180°，∴3∠A+2∠ABD＝180°，4∠A＝180°，∴∠A＝45°，∴∠ABD＝22.5°，∴∠ABC＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ACD＝45°；③当CB＝CD时，∠CBD＝∠CDB＝∠A+∠ABD，设∠ABD＝x，∴∠A＝2x，∴∠CBD＝∠CDB＝3x，∴∠ABC＝∠C＝4x，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴2x+4x+4x＝180°，∴x＝18°，∴∠DBC＝54°；综上所述：∠DBC的度数为54°或45°．。

八年级上册数学单元测试卷-第2章特殊三角形-浙教版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、下列的平面几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A.等边三角形B.五角星C.线段D.平行四边形2、一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB 长100m，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD为（）A.50 mB.100 mC.150 mD.200 m3、如图，直角三角形ABC的周长为24，且AB：BC=5：3，则AC=（）.A.6B.8C.10D.124、如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE.下列结论：①∠ACD＝30°；②S▱ABCD＝AC·BC；③OE∶AC＝∶6；④S△OCF＝2S△OEF.成立的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个5、下列标志中，不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.6、以下列各组数作为三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是（）A.1，1，B.12，16，20C.1，，D.1，2，27、如图，在平行四边形中，，，，点是折线上的一个动点(不与、重合)．则的面积的最大值是( )A. B.1 C. D.8、甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，反映了我国悠久的历史文化，体现了我国古代劳动人民的智慧，下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.9、如图，等腰△ ABC 的周长为 21，底边 BC=5，AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D，交AC于点 E，则△BEC 的周长为( )A.13B.14C.15D.1610、剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，轴对称图形是（）A. B. C. D.11、如图，在三角形ABC和三角形ABD中，∠ABC=∠ADB=90°，则边AC，AB，CB，AD中最长的是（）A. B. C. D.12、如图，正方形ABCD中，点E在BC上，且CE= BC，点F是CD的中点，延长AF与BC 的延长线交于点M．以下论：①AB=CM；②AE=AB+CE；③S△AEF= S四边形ABCF；④∠AFE=90°．其中正确结论的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个13、如图，在中，.以为直径作半圆，交于点，交于点，若，则的度数是（）A. B. C. D.14、如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（）A.6B.6C.8D.815、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE是BC的垂直平分线，点E是垂足．已知DC=5，AD=2，则图中长为的线段有（）A.4条B.3条C.2条D.1条二、填空题(共10题，共计30分)16、三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,点B在ED上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,则CD的长度是________.17、木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r，用角尺的较短边紧靠⊙O，并使较长边与⊙O相切于点C，假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点为B，较短边AB=8cm，若读得BC长为acm，则用含a的代数式表示r为________．18、已知，如图，四边形ABCD是正方形，BE=AC，则∠BED=________度．19、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，则△ABC的外角∠BCD=________度．20、等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是________．21、如图是一正方体的表面展开图，若AB＝5，则该正方体上A、B两点间的距离为________.22、如图，在边长为4的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为________．23、一个等腰三角形的周长为，且一腰长是，则它的底边是________.24、下列命题中逆命题是真命题的是________.（写序号）（ 1 ）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；（ 2 ）等腰三角形两腰上的高线相等；（ 3 ）若三条线段是三角形的三边，则这三条线段满足；（ 4 ）角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.（ 5 ）全等三角形的面积相等.25、如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1， P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠AEB的度数．27、如图，在等腰三角形. ，点D为边上的中点，于点E，于点F，则与相等吗?请说明理由．28、已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：PA平分∠MAN．29、如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是BC边上任意一点,求证：BD2+CD2=2AD2 .30、如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量.小明测得，，，，又已知，求这块土地的面积.参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、B3、B4、D5、D6、D7、D8、D9、A10、D11、A12、C13、A14、B15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)28、。

第二章特殊三角形单元检测一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A．30° B．36° C．40° D．45°3．（3分）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（）A．36° B．60° C．72° D．108°4．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A．5个B．4个C．3个D．2个5．（3分）（2016•贵阳模拟）如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．90°6．（3分）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO=AC；③△ABD≌△CBD，其中正确的结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个7．（3分）如图，在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE（∠ACE＜120°），点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则△CPM是（）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．非等腰三角形8．（3分）等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（）A．30° B．30°或150°C．120°或150°D．30°或120°或150°9．（3分）（2016春•龙岗区期末）如图△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP 绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度是（）A．3 B．C．D．410．（3分）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A．a2B．a2C．a2D．a2二、填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）如图，已知△ABC中，AB=5，AC=7，AD⊥BC于点D，点M为AD上任意一点，则MC2﹣MB2等于______．12．（4分）（2016•厦门校级模拟）在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为______．13．（4分）（2016春•高安市期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5，P是BC边上除点B、C外的任意一点，则AP2+PB•PC=______．14．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，将△ABC沿DE折叠，使底角顶点C落在三角形三边的垂直平分线的交点O处，若BE=BO，则∠ABC=______度．15．（4分）（2016•迁安市一模）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm．点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD 外部的点A1、D1处，则整个阴影部分图形的周长为______．16．（4分）（2016•湖州一模）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若AB=6，BC=4，则FD的长为______．17．（3分）（2016春•乌拉特前旗期末）如图，以直角△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3且S1=4，S2=8，则S3=______．18．（4分）（2016•萧山区模拟）如图，将正方形ABCD的边AD和边BC折叠，使点C与点D重合于正方形内部一点O，已知点O到边CD的距离为a，则点O到边AB 的距离为______．（用a的代数式表示）三．选择题（共12小题，满分90分）19．（6分）（2016•长春二模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是∠ABC 的平分线，求∠BDC的度数．20．（6分）（2016春•罗湖区期末）上午8时，一条船从A处出发以30海里/时的速度向正北航行，12时到达B处．测得∠NAC=32°，∠ABC=116°．求从B处到灯塔C 的距离？21．（6分）（2016春•芦溪县期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，且交∠BAC的平分线于点D，求证：MD=MA．22．（6分）（2016春•临清市期中）如图：四边形ABCD中，AB=CB=，CD=，DA=1，且AB⊥CB于B．试求：（1）∠BAD的度数；（2）四边形ABCD的面积．23．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．24．（8分）如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．25．（8分）（2016春•十堰期末）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10．26．（8分）（2016春•太仓市期末）如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．27．（8分）（2016•丹东模拟）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．求证：AD=BE．28.（12分）（2016•徐州模拟）一、阅读理解：在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c；（1）若∠C为直角，则a2+b2=c2；（2）若∠C为锐角，则a2+b2与c2的关系为：a2+b2＞c2；（3）若∠C为钝角，试推导a2+b2与c2的关系．二、探究问题：在△ABC中，BC=a=3，CA=b=4，AB=c，若△ABC是钝角三角形，求第三边c的取值范围．29．（14分）如图所示，∠BAC=∠DAE=90°，M是BE的中点，AB=AC，AD=AE，求证：AM⊥CD．第二章特殊三角形单元检测参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意；B、不是轴对称图形，故B不符合题意；C、不是轴对称图形，故C不符合题意；D、不是轴对称图形，故D不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A．30° B．36° C．40° D．45°【分析】求出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C的关系，利用三角形的内角和是180°，求∠B，【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AB=BD，∴∠BAD=∠BDA，∵CD=AD，∴∠C=∠CAD，∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°故选：B．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是运用等腰三角形的性质得出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C关系．3．（3分）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（）A．36° B．60° C．72° D．108°【分析】根据∠A=36°，AB=AC求出∠ABC的度数，根据角平分线的定义求出∠ABD 的度数，根据三角形的外角的性质计算得到答案．【解答】解：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=36°，∴∠1=∠A+∠ABD=72°，故选：C．【点评】本题考查的是三角形的外角的性质和等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两个底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．4．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行分析，即可得出答案．【解答】解：共有5个．（1）∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形；（2）∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠BCD，∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC=∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；（3）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣36°）=72°，又BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形．故选：A．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题．5．（3分）（2016•贵阳模拟）如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可．【解答】解：连接AC，设每个小正方形的边长都是a，根据勾股定理可以得到：AC=BC=a，AB=a，∵（a）2+（a）2=（a）2，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，故选B．【点评】本题主要考查了勾股定理，利用勾股定理判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．6．（3分）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO=AC；③△ABD≌△CBD，其中正确的结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】先证明△ABD与△CBD全等，再证明△AOD与△COD全等即可判断．【解答】解：在△ABD与△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），故③正确；∴∠ADB=∠CDB，在△AOD与△COD中，，∴△AOD≌△COD（SAS），∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC，∴AC⊥DB，故①②正确；故选D【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SSS证明△ABD与△CBD全等和利用SAS证明△AOD与△COD全等．7．（3分）如图，在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE（∠ACE＜120°），点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则△CPM是（）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．非等腰三角形【分析】首先根据等边三角形的性质，得出AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，则∠BCE=∠ACD，从而根据SAS证明△BCE≌△ACD，得∠CBE=∠CAD，BE=AD；再由点P与点M分别是线段BE和AD的中点，得BP=AM，根据SAS证明△BCP≌△ACM，得PC=MC，∠BCP=∠ACM，则∠PCM=∠ACB=60°，从而证明该三角形是等边三角形．【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°．∴∠BCE=∠ACD．∴△BCE≌△ACD．∴∠CBE=∠CAD，BE=AD．又点P与点M分别是线段BE和AD的中点，∴BP=AM．∴△BCP≌△ACM．∴PC=MC，∠BCP=∠ACM．∴∠PCM=∠ACB=60°．∴△CPM是等边三角形．故选：C．【点评】三角形中位线性质应用比较广泛，尤其是在三角形、四边形方面起着非常重要作用，本题结合三角形全等的知识，考查了等边三角形的性质．8．（3分）等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（）A．30° B．30°或150°C．120°或150°D．30°或120°或150°【分析】题中没有指明等腰三角形一腰上的高是哪边长的一半，故应该分三种情况进行分析，从而不难求解．【解答】解：①如图，∵∠ADB=90°，AD=AB，∴∠B=30°，∵AC=BC，∴∠CAB=30°，∴∠ACB=180°﹣30°﹣30°=120°．②如图，∵∠ADB=90°，AD=AC，∴∠ACD=30°，∵AC=BC，∴∠CAB=∠B=15°，∠ACB=180°﹣30°=150°．③如图，∵∠ADB=90°，AD=BC，∴∠B=30°，∵AB=BC，∴∠CAB=∠C=75°，∴∠B=30°．故选D．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角性质的综合运用．9．（3分）（2016春•龙岗区期末）如图△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP 绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度是（）A．3 B．C．D．4【分析】根据旋转前后的图形全等，即可得出△APP'等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质，进行计算即可．【解答】解：∵△ACP′是由△ABP绕点A逆时针旋转后得到的，∴△ACP′≌△ABP，∴AP=AP′，∠BAP=∠CAP′．∵∠BAC=90°，∴∠PAP′=90°，故可得出△APP'是等腰直角三角形，又∵AP=3，∴PP′=3．故选B．【点评】此题考查了旋转的性质，解答本题的关键是掌握旋转前后对应边相等、对应角相等，另外要掌握等腰三角形的性质，难度一般．10．（3分）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG 的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A．a2B．a2C．a2D．a2【分析】过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，△EPM≌△EQN，利用四边形EMCN 的面积等于正方形PCQE的面积求解．【解答】解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，又∵∠EPM=∠EQN=90°，∴∠PEQ=90°，∴∠PEM+∠MEQ=90°，∵三角形FEG是直角三角形，∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，∴∠PEM=∠NEQ，∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°，∴EP=EQ，四边形PCQE是正方形，在△EPM和△EQN中，，∴△EPM≌△EQN（ASA）∴S△EQN=S△EPM，∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，∵正方形ABCD的边长为a，∴AC=a，∵EC=2AE，∴EC=a，∴EP=PC=a，∴正方形PCQE的面积=a×a=a2，∴四边形EMCN的面积=a2，故选：D．【点评】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出△EPM≌△EQN．二．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）如图，已知△ABC中，AB=5，AC=7，AD⊥BC于点D，点M为AD上任意一点，则MC2﹣MB2等于24 ．【分析】在Rt△ABD及RtADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及RtCDM 中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2=AB2﹣AD2，CD2=AC2﹣AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2=BD2+MD2=AB2﹣AD2+MD2，MC2=CD2+MD2=AC2﹣AD2+MD2，∴MC2﹣MB2=（AC2﹣AD2+MD2）﹣（AB2﹣AD2+MD2）=AC2﹣AB2=72﹣52=24．故答案为：24．【点评】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握．12．（4分）（2016•厦门校级模拟）在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为16或8 ．【分析】本题由题意可知有两种情况，AB+AD=15或AB+AD=21．从而根据等腰三角形的性质及三角形三边关系可求出底边为8或16．【解答】解：∵BD是等腰△ABC的中线，可设AD=CD=x，则AB=AC=2x，又知BD将三角形周长分为15和21两部分，∴可知分为两种情况①AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此时BC=21﹣x=21﹣5=16；②AB+AD=21，即3x=21，解得x=7；此时等腰△ABC的三边分别为14，14，8．经验证，这两种情况都是成立的．∴这个三角形的底边长为8或16．故答案为：16或8．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；注意：求出的结果一定要检验时符合三角形三边性质．分类讨论是正确解答本题的关键．13．（4分）（2016春•高安市期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5，P是BC边上除点B、C外的任意一点，则AP2+PB•PC= 25 ．【分析】首先过点A作AD⊥BC于D，可得∠ADP=∠ADB=90°，又由AB=AC，根据三线合一的性质，可得BD=CD，由勾股定理可得PA2=PD2+AD2，AD2+BD2=AB2，然后由AP2+PB•PC=AP2+（BD+PD）（CD﹣PD），即可求得答案．【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，∵AB=AC=5，∠ADP=∠ADB=90°，∴BD=CD，PA2=PD2+AD2，AD2+BD2=AB2，∴AP2+PB•PC=AP2+（BD+PD）（CD﹣PD）=AP2+（BD+PD）（BD﹣PD）=AP2+BD2﹣PD2=AP2﹣PD2+BD2=AD2+BD2=AB2=25．故答案为25．【点评】本题考查了勾股定理与等腰三角形的性质的正确及灵活运用．注意得到AP2+PB•PC=AP2+（BD+PD）（CD﹣PD）是解此题的关键．14．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，将△ABC沿DE折叠，使底角顶点C落在三角形三边的垂直平分线的交点O处，若BE=BO，则∠ABC= 63 度．【分析】首先连接OC，设∠OCE=x°，由折叠的性质易得：∠COE=∠OCE=x°，又由三角形三边的垂直平分线的交于点O，可得OB=OC，且O是△ABC外接圆的圆心，然后利用等边对等角与三角形外角的性质，可用x表示出∠OBC、∠BOE，∠OEB的度数，又由三角形内角和定理，可得方程x+2x+2x=180，解此方程求得∠OCE的度数，继而求得∠ABC的度数．【解答】解：连接OC，设∠OCE=x°，由折叠的性质可得：OE=CE，∴∠COE=∠OCE=x°，∵三角形三边的垂直平分线的交于点O，∴OB=OC，且O是△ABC外接圆的圆心，∴∠OBC=∠OCE=x°，∠BOC=2∠A，∵∠OEB=∠OCE+∠COE=2x°，BE=BO，∴∠BOE=∠OEB=2x°，∵△OBE中，∠OBC+∠BOE+∠OEB=180°，∴x+2x+2x=180，解得：x=36，∴∠OBC=∠OCE=36°，∴∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCE=108°，∴∠A=∠BOC=54°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB==63°，故答案为：63．【点评】此题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质以及三角形外接圆的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．15．（4分）（2016•迁安市一模）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm．点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD 外部的点A1、D1处，则整个阴影部分图形的周长为36cm ．【分析】根据折叠的性质，得A1E=AE，A1D1=AD，D1F=DF，则阴影部分的周长即为矩形的周长．【解答】解：根据折叠的性质，得A1E=AE，A1D1=AD，D1F=DF．则阴影部分的周长=矩形的周长=2（12+6）=36（cm）．【点评】此题要能够根据折叠的性质得到对应的线段相等，从而求得阴影部分的周长．16．（4分）（2016•湖州一模）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若AB=6，BC=4，则FD的长为4 ．【分析】根据点E是AD的中点以及翻折的性质可以求出AE=DE=EG，然后利用“HL”证明△EDF和△EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF=GF；设FD=x，表示出FC、BF，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理列式进行计算即可．【解答】解：∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，∴AE=EG，AB=BG，∴ED=EG，∵在矩形ABCD中，∴∠A=∠D=90°，∴∠EGF=90°，在Rt△EDF和Rt△EGF中，，∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），∴DF=FG，设DF=x，则BF=6+x，CF=6﹣x，在Rt△BCF中，（4）2+（6﹣x）2=（6+x）2，解得x=4．故答案为：4．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质，熟记性质，找出三角形全等的条件ED=EG是解题的关键．17．（3分）（2016春•乌拉特前旗期末）如图，以直角△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3且S1=4，S2=8，则S3= 12 ．【分析】根据勾股定理的几何意义解答．【解答】解：∵△ABC直角三角形，∴BC2+AC2=AB2，∵S1=BC2，S2=AC2，S3=AB2，S1=4，S2=8，∴S3=S1+S2=12．【点评】解决本题的关键是根据勾股定理得到三个面积之间的关系．18．（4分）（2016•萧山区模拟）如图，将正方形ABCD的边AD和边BC折叠，使点C与点D重合于正方形内部一点O，已知点O到边CD的距离为a，则点O到边AB 的距离为（3+2）a ．（用a的代数式表示）【分析】作OG⊥CD于G，交AB于H，根据翻转变换的性质得到OA=AD，OB=BC，∠EOA=∠D=90°，∠FOB=∠C=90°，根据直角三角形的性质和勾股定理求出DE、EF、FC，得到正方形的边长，计算即可．【解答】解：作OG⊥CD于G，交AB于H，∵CD∥AB，∴OH⊥AB于H，由翻转变换的性质可知，OA=AD，OB=BC，∠EOA=∠D=90°，∠FOB=∠C=90°，∴△OAB是等边三角形，∠EOF=120°，∴∠OEF=30°，∴EO=2a，EG=a，∴DE=OE=2a，OF=FC=2a，EF=2EG=2a，∴DC=4a+2a，∴点O到边AB的距离为4a+2a﹣a=3a+2a=（3+2）a．故答案为：（3+2）a．【点评】本题考查的是翻转变换的性质和等边三角形的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三．解答题（共12小题，满分88分）19．（6分）（2016•长春二模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是∠ABC 的平分线，求∠BDC的度数．【分析】首先由AB=AC，利用等边对等角和∠A的度数求出∠ABC和∠C的度数，然后由BD是∠ABC的平分线，利用角平分线的定义求出∠DBC的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BDC的度数．【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C==70°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC=∠ABC=35°，∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=75°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解答本题的关键是正确识图，利用等腰三角形的性质：等边对等角求出∠ABC与∠C的度数．20．（6分）（2016春•罗湖区期末）上午8时，一条船从A处出发以30海里/时的速度向正北航行，12时到达B处．测得∠NAC=32°，∠ABC=116°．求从B处到灯塔C 的距离？【分析】根据已知条件“上午8时，一条船从A处出发以30海里/时的速度向正北航行，12时到达B处”可以求得AB=120海里，然后根据三角形的内角和定理求得∠C=32°，所以△ABC是等腰三角形；最后由等腰三角形的两腰相等的性质来求从B处到灯塔C的距离．【解答】解：根据题意，得AB=30×4=120（海里）；在△ABC中，∠NAC=32°，∠ABC=116°，∴∠C=180°﹣∠NAC﹣∠ABC=32°，∴∠C=∠NAC，∴BC=AB=120（海里），即从B处到灯塔C的距离是120海里．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、方向角．解答该题时充分利用了三角形的内角和定理．21．（6分）（2016春•芦溪县期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，且交∠BAC的平分线于点D，求证：MD=MA．【分析】由MD⊥BC，且∠B=90°得AB∥MD，∠BAD=∠D，再利用AD为∠BAC的平分线得∠BAD=∠MAD，利用等量代换即可证明．【解答】证明：∵MD⊥BC，且∠B=90°，∴AB∥MD，∴∠BAD=∠D又∵AD为∠BAC的平分线∴∠BAD=∠MAD，∴∠D=∠MAD，∴MA=MD【点评】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线段的判定与性质的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．22．（6分）（2016春•临清市期中）如图：四边形ABCD中，AB=CB=，CD=，DA=1，且AB⊥CB于B．试求：（1）∠BAD的度数；（2）四边形ABCD的面积．【分析】连接AC，则在直角△ABC中，已知AB，BC可以求AC，根据AC，AD，CD 的长可以判定△ACD为直角三角形，（1）根据∠BAD=∠CAD+∠BAC，可以求解；（2）根据四边形ABCD的面积为△ABC和△ACD的面积之和可以解题．【解答】解：（1）连接AC，∵AB⊥CB于B，∴∠B=90°，在△ABC中，∵∠B=90°，∴AB2+BC2=AC2，又∵AB=CB=，∴AC=2，∠BAC=∠BCA=45°，∵CD=，DA=1，∴CD2=5，DA2=1，AC2=4．∴AC2+DA2=CD2，由勾股定理的逆定理得：∠DAC=90°，∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=45°+90°=135°；（2）∵∠DAC=90°，AB⊥CB于B，∴S△ABC=，S△DAC=，∵AB=CB=，DA=1，AC=2，∴S△ABC=1，S△DAC=1而S四边形ABCD=S△ABC+S△DAC，∴S四边形ABCD=2．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了根据勾股定理逆定理判定直角三角形，考查了直角三角形面积的计算，本题中求证△ACD是直角三角形是解题的关键．23．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．【分析】根据三角形三线合一的性质可得∠CAD=∠BAD，根据同角的余角相等可得：∠CBE=∠CAD，再根据等量关系得到∠CBE=∠BAD．【解答】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∠CAD=∠BAD，∴∠CBE=∠BAD．【点评】考查了余角的性质，等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．24．（8分）如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．【分析】首先根据AB=AC=AD，可得∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∠ABC=∠CBD+∠D；然后根据AD∥BC，可得∠CBD=∠D，据此判断出∠ABC=2∠D，再根据∠C=∠ABC，即可判断出∠C=2∠D．【解答】证明：∵AB=AC=AD，∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∴∠ABC=∠CBD+∠D，∵AD∥BC，∴∠CBD=∠D，∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D，又∵∠C=∠ABC，∴∠C=2∠D．【点评】（1）此题主要考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．（2）此题还考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．②定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．25．（8分）（2016春•十堰期末）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10．【分析】（1）利用勾股定理，找长为有理数的线段，画三角形即可．（2）画一个边长，2，的三角形即可；（3）画一个边长为的正方形即可．【解答】解：（1）三边分别为：3、4、5 （如图1）；（2）三边分别为：、2、（如图2）；（3）画一个边长为的正方形（如图3）．【点评】考查了格点三角形的画法．本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理和正方形的性质即可解决问题．26．（8分）（2016春•太仓市期末）如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．【分析】由于AB=BD=DC，所以△ABD和△BDC都是等腰三角形，可设∠C=∠CDB=x，则∠BDA=∠A=2x，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理的推论，可以求出∠A，∠C度数．【解答】解：∵AB=BD，∴∠BDA=∠A，∵BD=DC，∴∠C=∠CBD，设∠C=∠CBD=x，则∠BDA=∠A=2x，∴∠ABD=180°﹣4x，∴∠ABC=∠ABD+∠CDB=180°﹣4x+x=105°，解得：x=25°，所以2x=50°，即∠A=50°，∠C=25°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解题中运用了等腰三角形“等边对等角”的性质，并联系三角形的内角定理求解有关角的度数问题．27．（8分）（2016•丹东模拟）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．求证：AD=BE．【分析】此题根据直角梯形的性质和CE⊥BD可以得到全等条件，证明△ABD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质证明题目的结论．【解答】证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．∵CE⊥BD，∴∠BEC=90°．∵∠A=90°，∴∠A=∠BEC．∵BD=BC，∴△ABD≌△BCE．∴AD=BE．【点评】本题考查了直角三角形全等的判定及性质；此题把全等三角形放在梯形的背景之下，利用全等三角形的性质与判定解决题目问题．28．（12分）（2016•徐州模拟）一、阅读理解：在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c；（1）若∠C为直角，则a2+b2=c2；（2）若∠C为锐角，则a2+b2与c2的关系为：a2+b2＞c2；（3）若∠C为钝角，试推导a2+b2与c2的关系．二、探究问题：在△ABC中，BC=a=3，CA=b=4，AB=c，若△ABC是钝角三角形，求第三边c的取值范围．【分析】一、（1）由勾股定理即可得出结论；（2）作AD⊥BC于D，则BD=BC﹣CD=a﹣CD，由勾股定理得出AB2﹣BD2=AD2，AC2﹣CD2=AD2，得出AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，整理得出a2+b2=c2+2a•CD，即可得出结论；（3）作AD⊥BC于D，则BD=BC+CD=a+CD，由勾股定理得出AD2=AB2=BD2，AD2=AC2﹣CD2，得出AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，整理即可得出结论；二、分两种情况：①当∠C为钝角时，由以上（3）得：＜c＜a+b，即可得出结果；②当∠B为钝角时，得：b﹣a＜c＜，即可得出结果．【解答】一、解：（1）∵∠C为直角，BC=a，CA=b，AB=c，∴a2+b2=c2；（2）作AD⊥BC于D，如图1所示：则BD=BC﹣CD=a﹣CD，在△ABD中，AB2﹣BD2=AD2，在△ACD中，AC2﹣CD2=AD2，∴AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，∴c2﹣（a﹣CD）2=b2﹣CD2，整理得：a2+b2=c2+2a•CD，∵a＞0，CD＞0，∴a2+b2＞c2；（3）作AD⊥BC于D，如图2所示：则BD=BC+CD=a+CD，在△ABD中，AD2=AB2=BD2，在△ACD中，AD2=AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，∴c2﹣（a+CD）2=b2﹣CD2，整理得：a2+b2=c2﹣2a•CD，∵a＞0，CD＞0，∴a2+b2＜c2；二、解：当∠C为钝角时，由以上（3）得：＜c＜a+b，即5＜c＜7；当∠B为钝角时，得：b﹣a＜c＜，即1＜c＜；综上所述：第三边c的取值范围为5＜c＜7或1＜c＜．【点评】本题考查了勾股定理的综合运用、完全平方公式；熟练掌握勾股定理，通过作辅助线运用勾股定理是解决问题的关键．29．（14分）如图所示，∠BAC=∠DAE=90°，M是BE的中点，AB=AC，AD=AE，求证：AM⊥CD．【分析】延长AM到F，使MF=AM，交CD于点N，构造平行四边形，利用条件证明△ABF≌△CAD，可得出∠BAF=∠ACD，再结合条件可得到∠ANC=90°，可证得结论．【解答】证明：延长AM到F，使MF=AM，交CD于点N，∵BM=EM，∴四边形ABFE是平行四边形，∴BF=AE，∠ABF+∠BAE=180°，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠CAD+∠BAE=180°，∴∠ABF=∠CAD，∵BF=AE，AD=AE，∴BF=AD，在△ABF和△CAD中，，∴△ABF≌△CAD（SAS），∴∠BAF=∠ACD，∵∠BAC=90°，∴∠BAF+∠CAN=90°，∴∠ACD+∠CAN=90°，∴∠ANC=90°，∴AM⊥CD．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，通过辅助线构造平行四边形证明三角形全等得到∠BAF=∠ACD是解题的关键．。