高一数学竞赛培训讲座之函数的基本性质
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1 函数的基本性质
基础知识：
函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.
关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材及竞赛教材：陕西师范大学出版社 刘诗雄《高中数学竞赛辅导》、刘诗雄、罗增儒《高中数学竞赛解题指导》.
例题：
1. 已知f(x)＝8＋2x－x2，如果g(x)＝f(2－x2)，那么g(x)( )
A.在区间(－2，0)上单调递增 B.在(0，2)上单调递增
C.在(－1，0)上单调递增 D.在(0，1)上单调递增
提示：可用图像，但是用特殊值较好一些.选C
2. 设f(x)是R上的奇函数，且f(x＋3)＝－f(x)，当0≤x≤23时，f(x)＝x，则f(2003)＝( )
A.－1 B.0 C.1 D.2003
解：f(x＋6)＝f(x＋3＋3)＝－f(x＋3)＝f(x)
∴ f(x)的周期为6
f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1
选A
3. 定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x都有f(x＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( )
A.150 B.2303 C.152 D.2305
提示：由已知，函数f(x)的图象有对称轴x＝23
于是这101个根的分布也关于该对称轴对称.
2 即有一个根就是23，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x＝23对称
利用中点坐标公式，这100个根的和等于23×100＝150
所有101个根的和为23×101＝2303.选B
4. 实数x，y满足x2＝2xsin(xy)－1，则x1998＋6sin5y＝______________.
解：如果x、y不是某些特殊值，则本题无法(快速)求解
注意到其形式类似于一元二次方程，可以采用配方法
(x－sin(xy))2＋cos2(xy)＝0
∴ x＝sin(xy) 且 cos(xy)＝0
∴ x＝sin(xy)＝±1
∴ siny＝1 xsin(xy)＝1
原式＝7
5. 已知x＝9919是方程x4＋bx2＋c＝0的根，b，c为整数，则b＋c＝__________.
解：(逆向思考：什么样的方程有这样的根？)
由已知变形得x－9919
∴ x2－219x＋19＝99
即 x2－80＝219x
再平方得x4－160x2＋6400＝76x2
即 x4－236x2＋6400＝0
∴ b＝－236，c＝6400
b＋c＝6164
6. 已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有两个实数根，求证：a＞4.
证法一：由已知条件可得
△＝b2－4ac≥0 ①
f⑴＝a＋b＋c＞1 ②
3 f(0)＝c＞1 ③
0＜－a2b＜1 ④
b2≥4ac
b＞1－a－c
c＞1
b＜0(∵ a＞0)
于是－b≥2ac
所以a＋c－1＞－b≥2ac
∴ (ca)2＞1
∴ ca＞1
于是ca＋1＞2
∴ a＞4
证法二：设f(x)的两个根为x1，x2，
则f(x)＝a(x－x1)(x－x2)
f⑴＝a(1－x1)(1－x2)＞1
f(0)＝ax1x2＞1
由基本不等式
x1(1－x1)x2(1－x2)≤[41(x1＋(1－x1)＋x2＋(1－x2))]4＝(41)2
∴ 16a2≥a2x1(1－x1)x2(1－x2)＞1
∴ a2＞16
∴ a＞4
7. 已知f(x)＝x2＋ax＋b(－1≤x≤1)，若|f(x)|的最大值为M，求证：M≥21.
解：M＝|f(x)|max＝max{|f⑴|，|f(－1)|，|f(－2a)|}
4 ⑴若|－2a|≥1 (对称轴不在定义域内部)
则M＝max{|f⑴|，|f(－1)|}
而f⑴＝1＋a＋b
f(－1)＝1－a＋b
|f⑴|＋|f(－1)|≥|f⑴＋f(－1)|＝2|a|≥4
则|f⑴|和|f(－1)|中至少有一个不小于2
∴ M≥2＞21
⑵|－2a|＜1
M＝max{|f⑴|，|f(－1)|，|f(－2a)|}
＝max{|1＋a＋b|，|1－a＋b|，|－4a2＋b|}
＝max{|1＋a＋b|，|1－a＋b|，|－4a2＋b|，|－4a2＋b|}
≥41(|1＋a＋b|＋|1－a＋b|＋|－4a2＋b|＋|－4a2＋b|)
≥41[(1＋a＋b)＋(1－a＋b)－(－4a2＋b)－(－4a2＋b)]
＝)2a2(412
≥21
综上所述，原命题正确.
8. ⑴解方程:(x＋8)2001＋x2001＋2x＋8＝0
5 ⑵解方程：2)1x(222221)1x(1x1x4x2
⑴解：原方程化为(x＋8)2001＋(x＋8)＋x2001＋x＝0
即(x＋8)2001＋(x＋8)＝(－x)2001＋(－x)
构造函数f(x)＝x2001＋x
原方程等价于f(x＋8)＝f(－x)
而由函数的单调性可知f(x)是R上的单调递增函数
于是有x＋8＝－x
x＝－4为原方程的解
⑵两边取以2为底的对数得
x)1xx(log)x(f)1x()1)1x(1x(logx2)1x4x2(log1x2x)1)1x(1x(log)1x4x2(log)1x(1)1x(1x1x4x2log2222222222222222222222构造函数即即
于是f(2x)＝f(x2＋1)
易证：f(x)世纪函数，且是R上的增函数，
所以：2x＝x2＋1
解得：x＝1
9. 设f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋cx＋d，f⑴＝1，f⑵＝2，f⑶＝3，求41[f⑷＋f(0)]的值.
解：由已知，方程f(x)＝x已知有三个解，设第四个解为m，
记 F(x)＝f(x)－x＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－m)
∴ f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－m)＋x
f⑷＝6(4－m)＋4
f(0)＝6m
6 ∴ 41[f⑷＋f(0)]＝7
10. 设f(x)＝x4－4x3＋213x2－5x＋2，当x∈R时，求证：|f(x)|≥21
证明：配方得：
f(x)＝x2(x－2)2＋25(x－1)2－21
＝x2(x－2)2＋25(x－1)2－1＋21
＝(x2－2x)2＋25(x－1)2－1＋21
＝[(x－1)2－1]2＋25(x－1)2－1＋21
＝(x－1)4－2(x－1)2＋1＋25(x－1)2－1＋21
＝(x－1)4＋21(x－1)2＋21
≥21
练习：
1. 已知f(x)＝ax5＋bsin5x＋1，且f⑴＝5，则f(－1)＝( )
A.3 B.－3 C.5 D.－5
解：∵ f⑴＝a＋bsin51＋1＝5
设f(－1)＝－a＋bsin5(－1)＋1＝k
相加：f⑴＋f(－1)＝2＝5＋k
∴ f(－1)＝k＝2－5＝－3
选B
2. 已知(3x＋y)2001＋x2001＋4x＋y＝0，求4x＋y的值.
7 解：构造函数f(x)＝x2001＋x，则f(3x＋y)＋f(x)＝0
逐一到f(x)的奇函数且为R上的增函数，
所以3x＋y＝－x
4x＋y＝0
3. 解方程：ln(1x2＋x)＋ln(1x42＋2x)＋3x＝0
解：构造函数f(x)＝ln(1x2＋x)＋x
则由已知得：f(x)＋f(2x)＝0
不难知，f(x)为奇函数，且在R上是增函数(证明略)
所以f(x)＝－f(2x)＝f(－2x)
由函数的单调性，得x＝－2x
所以原方程的解为x＝0
4. 若函数y＝log3(x2＋ax－a)的值域为R，则实数a的取值范围是______________.
解：函数值域为R，表示函数值能取遍所有实数，
则其真数函数g(x)＝x2＋ax－a的函数值应该能够取遍所有正数
所以函数y＝g(x)的图象应该与x轴相交
即△≥0 ∴ a2＋4a≥0
a≤－4或a≥0
解法二：将原函数变形为x2＋ax－a－3y＝0
△＝a2＋4a＋4·3y≥0对一切y∈R恒成立
则必须a2＋4a≥0成立
∴ a≤－4或a≥0
5. 函数y＝8x4x5x4x22的最小值是______________.
提示：利用两点间距离公式处理
y＝2222)20()2x()10()2x(
表示动点P(x，0)到两定点A(－2，－1)和B(2，2)的距离之和
当且仅当P、A、B三点共线时取的最小值，为|AB|＝5
6. 已知f(x)＝ax2＋bx＋c，f(x)＝x的两根为x1，x2，a＞0，x1－x2＞a1，若0＜t＜x1，试比
8 较f(t)与x1的大小.
解法一：设F(x)＝f(x)－x＝ax2＋(b－1)x＋c，
＝a(x－x1)(x－x2)
∴ f(x)＝a(x－x1)(x－x2)＋x
作差：f(t)－x1＝a(t－x1)(t－x2)＋t－x1
＝(t－x1)[a(t－x2)＋1]
＝a(t－x1)(t－x2＋a1)
又t－x2＋a1＜t－(x2－x1)－x1＝t－x1＜0
∴ f(t)－x1＞0
∴ f(t)＞x1
解法二：同解法一得f(x)＝a(x－x1)(x－x2)＋x
令g(x)＝a(x－x2)
∵ a＞0，g(x)是增函数，且t＜x1
g(t)＜g(x1)＝a(x1－x2)＜－1
另一方面：f(t)＝g(t)(t－x1)＋t
∴
1xtt)t(f＝a(t－x2)＝g(t)＜－1
∴ f(t)－t＞x1－t
∴ f(t)＞x1
7. f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，当0≤x≤1，0≤y≤1时.
求证：存在实数x，y，使得
|xy－f(x)－g(y)|≥41
证明：(正面下手不容易，可用反证法)
若对任意的实数x，y，都有|xy－f(x)－g(y)|＜41
