《近世代数》模拟试题1与答案

近世代数试题及答案

一、选择题（每题4分，共20分）

1. 下列哪个选项不是群的性质？

A. 封闭性

B. 存在单位元

C. 存在逆元

D. 交换律

答案：D

2. 有限群的阶数为n，那么它的子群的个数至少为：

A. n

B. 1

C. n-1

D. n+1

答案：B

3. 以下哪个命题是正确的？

A. 任意两个子群的交集仍然是子群

B. 任意两个子群的并集仍然是子群

C. 子群的子群仍然是子群

D. 子群的补集仍然是子群

答案：A

4. 群G的阶数为n，那么它的元素的阶数不可能是：

A. 1 B. n

C. 2

D. n+1

答案：D

5. 以下哪个不是环的性质？

A. 封闭性

B. 交换律

C. 分配律

D. 结合律

答案：B

二、填空题（每题4分，共20分）

1. 如果集合S上的二元运算*满足结合律，那么称S为________。

答案：半群

2. 一个群G的所有子群的集合构成一个________。

答案：格

3. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有a+b=b+a，则称R为________。

答案：交换环

4. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有ab=ba，则称R为________。

答案：交换环

5. 一个群G中，如果存在一个元素a，使得对于任意的g∈G，都有ag=ga=e，则称a为G的________。 答案：单位元

三、简答题（每题10分，共30分）

1. 请简述子群和正规子群的区别。

答案：子群是群G的非空子集H，满足H中的任意两个元素的乘积仍然在H中，并且H对于G的运算是封闭的。正规子群是子群N，满足对于任意的g∈G和n∈N，都有gng^-1∈N。

2. 请解释什么是群的同态和同构。

答案：群的同态是两个群G和H之间的函数f，满足对于任意的g1，g2∈G，都有f(g1g2)=f(g1)f(g2)。群的同构是同态，并且是双射，即存在逆映射。

3. 请解释什么是环的零因子和非零因子。

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技术资料 专业整理 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（ ）是子群。A、 B、 C、 D、aea,3,ae3,,aae2、下面的代数系统（G，*）中，（ ）不是群 A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b|4、设、、是三个置换，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），12312=（1324），则=（ ）33A、 B、 C、 D、121222215、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。A、不可能是群 B、不一定是群　C、一定是群 D、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于------。Ga4a4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-------同构。5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B=-----。6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。7、叫做域的一个代数元，如果存在的-----使得FFnaaa,,,10。010nnaaa WORD完美格式

技术资料 专业整理 8、是代数系统的元素，对任何均成立，则称为-------a)0,(AAxxaxa--。9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、---------。G10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是----------。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(1 2)}，写出H的所有陪集。2、设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E中的运算，（E，）是一个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、若是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a〜b当且仅当m︱a–b。 WORD完美格式

长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。 住在富人区的她

全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！ 福建师范大学智慧树知到“数学与应用数学”《近世代数》网课测试题答案

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第1卷

一.综合考核(共10题)

1.设f：A→B和g：B→C是映射，如果gf是单射，则f是单射。()

A、错误

B、正确

2.模n剩余类构成的交换群是整数加群Z关于不变子群nZ的商群。()

A、错误

B、正确

3.A={1，2，3，4，5}，在2A中定义~：S~T⇔|S|=|T|，则~是等价关系。()

A、错误

B、正确

4.对模n剩余类环Zn，其中n>1，则(1)Zn是整环；(2)n是素数；(3)Zn是域等价。()

A、错误

B、正确

5.一般情况下，如果f：R→R′是环同态，则有f(1)=1′。()

A、错误

B、正确

6.按数的通常运算，是一个域。()

A、错误

B、正确

7.主理想环和欧氏环都是唯一分解环。()

A、错误

B、正确

8.A={1，2，3}有7个子集。()

A、错误

B、正确

9.设α=(2 3 1 4)∈S₄，则α⁻¹=(1 2 3 4)，α²=(1 2)(3 4)。()

A、错误

B、正确

10.图中所示的命题是否正确。()

A、错误

B、正确

第1卷参考答案

一.综合考核

1.参考答案：B

2.参考答案：A

3.参考答案：B

4.参考答案：B

5.参考答案：A

6.参考答案：A

7.参考答案：A

8.参考答案：A

9.参考答案：A

10.参考答案：A

《近世代数》练习题及参考答案

1．设A={a，b，c，d} 试写出集合A的所有不同的等价关系。

2．证明：:实数域R上全体n阶方阵的集合Mn(R)，关于矩阵的加法构成一个交换群。

3．证明:实数域R上全体n阶正交矩阵的集合On(R)关于矩阵的乘法构成群.这个群称为n阶正交群.

4．设G=。

0,aRaaaaa证明：G关于矩阵的乘法构成群。

5．证明：所有形如nm32的有理数（m，nZ）的集合关于数的乘法构成群。

参考答案

1． 设A= 试写出集合A的所有不同的等价关系。 解

2．证明：:实数域R上全体n阶方阵的集合Mn(R)，关于矩阵的加法构成一个交换群。

证：（1）显然，Mn(R)为一个具有“+”的代数系统。

（2）∵矩阵的加法满足结合律，那么有结合律成立。

（3）∵矩阵的加法满足交换律，那么有交换律成立。

（4）零元是零矩阵。A∈Mn(R),A+0=0+A=A。

（5）A∈Mn(R),负元是-A。A+(-A)=(-A)+A=0。

∴（Mn(R),+）构成一个Abel群。

3．证明:实数域R上全体n阶正交矩阵的集合On(R)关于矩阵的乘法构成群.这个群称为n阶正交群.

证：（1）由于E∈On (R),∵On (R)非空。

(2 ) 任意A,B∈On (R)，有（AB）T=BTAT=B-1A-1=(AB) -1,

∴AB∈On(R),于是矩阵的乘法在On(R)上构成代数运算。

(3) ∵矩阵的乘法满足结合律，那么有结合律成立。

（4）对任意A∈On (R)，有AE=EA=A．

∴E为On (R)的单位元。

（5）对任意A∈On (R)，存在AT∈On (R)，

满足AAT=E=AA-1, ATA=E=A-1A．

∴AT为A在On (R)中的逆元。

∴On (R)关于矩阵的乘法构成一个群。 dcba,,,4．设G=。

0,aRaaaaa证明：G关于矩阵的乘法构成群。