三角函数讲义
知识要点:
一、角的概念与推广：任意角的概念；象限角（轴线角）二、弧度制：把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度；
弧长公式：r l α=
扇形面积：S=α22
121r r l =⋅
三角函数线：如右图，有向线段AT 与MP OM 分别叫做α 的的正切线、正弦线、余弦线。
三、三角函数的求值、化简、证明问题常用的方法技巧有：
1、 常数代换法：如：αααααα2222
tan sec cot tan cos sin 1-=⋅=+=
2、 配
角方
法：
β
βαα-+=)(
()βαβαα-++=)(2
2
2
βαβ
αβ--
+=
3、 降次与升次：2
2cos 1sin 2
αα-= 22cos 1cos 22
αα+= 以及这些公式的变
式应用。 4、 ()θααα++=+sin cos sin 22b a b a （其中a
b
=
θtan ）的应用，注意θ的符号与象限。
5、 常见三角不等式：
（1
）、若
x x x x tan sin .2,0<<⎪⎭
⎫
⎝⎛∈则π （2）、若
2cos sin 1.2,0≤+<⎪⎭
⎫
⎝⎛∈x x x 则π
（3）、1cos sin ≥+x x 6、 常用的三角形面积公式：
（
1
）
、
c b a ch bh ah S 2
1
2121===
（2）、
B ac A bc
C ab S sin 2
1
sin 21sin 21===
（3）、
S =
四、三角函图象和性质：
正弦函数图象的变换：
()()
αωαωω+=−−−→−+=−−−→−=−−−→−=x A y x y x y x y sin sin sin sin 振幅变换平移变换横伸缩变换
万能公式：
2tan 12tan
2tan ,2tan 12tan 1cos ,2
tan 12tan
2sin 2
2
2
2α
-α
=αα+α-=αα
+α
=
α 证：2tan 12tan
22cos 2sin 2cos 2sin 21
sin sin 2
22α+α=α+ααα=
α=α
2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 1
cos cos 2
2
2222α+α-=α+αα-α=
α=α
2
tan 12tan
22sin 2cos 2cos 2sin 2cos sin tan 2
22α-α=α-ααα=
α
α=α
例1 已知
5cos 3sin cos sin 2-=θ
-θθ
+θ，求3cos 2θ + 4sin 2θ 的值。 解：∵
5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ
+θ ∴cos θ ≠ 0 (否则 2 = - 5 ) ∴
53
tan 1
tan 2-=-θ+θ 解之得：tan θ = 2 ∴原式57
2122421)21(3tan 1tan 24tan 1)tan 1(32
22222=+⨯⨯++-=θ+θ⨯+θ+θ-=
2.已知sin x =
54，且x 是锐角，求2
cos 2sin x
x ±的值。)55,553(- 3．下列函数何时取得最值？最值是多少？
1︒x x y 2cos 2sin = )21,21(min max -==
y y 2︒x x y 2cos sin 2-= )2
1
,23(min max -==y y
3︒)7cos(2)722cos(π+-π+=x x y )2
3
,3(min max -==y y
4．若α、β、γ为锐角，求证：α + β + γ = 4π
5．求函数x x x f sin cos )(2+=在]4
,4[π
π-上的最小值。)221(- 关于三角函数的几种解题技巧
一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用：
1、由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道
)cos (sin αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如：
例1 已知θθθθ33cos sin ,3
3
cos sin -=
-求。 解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：3
1cos sin 31)33(
cos sin 212=⇒==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 39
43133]313)33[(332=⨯=⨯+=
例2 已知：tg α+ctg α=2，求αα44cos sin +
解：αα44cos sin +=αα44cos sin ++2 sin 2αcos 2α-2 sin 2αcos 2α =（sin 2α+cos 2α）- 2 sin 2αcos 2α =1-2 (sin αcos α)2
=1-2)21(2⨯ =211- =2
1
