高中数学 课下能力提升(十四)向量的加法 北师大版必修4
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课下能力提升(十四) 向量的加法
一、选择题
1．如图，在▱ABCD中，下列结论错误的是(
)
.
4．下列命题
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a、b之一的方向相同；
②在△ABC中，必有＝0；
③若＝0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点；
④若a、b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．
其中真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
二、填空题
5．若正方形ABCD的边长为1，AB＝a，BC＝b，则|a＋b|＝________.
6．如图，已知△ABC是直角三角形，且∠A＝90°，
给出下列结论：
其中结论正确的是________(填所有正确结论的序号)．
7．在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h，渡船要垂直渡过长江，则航向为________．
8．已知a、b、c是非零向量，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的个数为________个．
三、解答题
9．如图所示，O是四边形ABCD内任意一点，试根据图中给出的向量，确定a，b，c，d的方向(用箭头表示)，使a＋b＝AB，c＋d＝DC，并画出b＋c和a＋d.
10．在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°、60°(如图)，当重物平衡时，求两根绳子拉力的大小．
答案
1．
2.
.
3.
4．解析：选B 对于①②③④，若a与b方向相反，且|a|＝|b|，则a＋b＝0，零向量的方向是任意的，所以①不正确；②正确；对于③，若＝0，则A、B、C可能共线，所以③不正确；对于④，当a，b不共线或反向时，|a＋b|<|a|＋|b|，④不正确．
5．解析：|a＋b|＝|AB＋BC|＝|AC|＝2.
答案：2
6．
＝|BC|，
所以③正确；显然，④正确．
答案：①②③④
7．解析：如图，渡船速度为OB，水流速度为OA，船实际垂直过江的速度为OA＋OB＝OD，依题意，|OA|＝12.5，|OB|＝25，△BDO为直角三角形，所以sin∠BOD＝＝＝12.
∴∠BOD＝30°，
∴航向为北偏西30°.
答案：北偏西30°
8．解析：根据向量加法的运算律，题中5个式子与a＋b＋c均相等．
答案：5
9．解：(1)∵，
∴a，b，c，d的方向如图所示．
(2)根据平行四边形法则，以OB、OC为邻边作平行四边形OBEC，以OA、OD为邻边作平行四边形OAFD，连接OE、OF，则OE＝b＋c，FO＝a＋d，如图所示．
10．解：如图所示，作平行四边形OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，
在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°，
∴|OA|＝|OC|cos 30°＝32×300＝1503(N)．
|AC|＝|OC|sin 30°＝12×300＝150(N)．
∴|OB|＝|AC|＝150(N)，
即与铅垂线的夹角为30°的绳子的拉力是1503 N，与铅垂线的夹角为60°的绳子的拉力是150 N.
