立体几何中的平行与垂直(教学案)

【热身训练】1．设l，m表示直线，m是平面α内的任意一条直线，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的__________条件(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个)．解析：因为m是平面α内的任意一条直线，若l⊥m，则l⊥α，所以充分性成立；反过来，若l⊥α，则l⊥m，所以必要性成立，故“l⊥m”是“l⊥α”成立的充要条件．2．(2017· 盐城二模)α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是__________(填上所有正确命题的序号)．①若α∥β，m⊂α，则m∥β；②若m∥α，n⊂α，则m∥n；③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β；④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β. 解析：①④3．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，连结AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面有__________对．4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点M，N分别在AB1，BC1上(M，N不与B1，C1重合)，且AM＝BN，那么①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1异面．以上4个结论中，正确结论的序号是__________．解析：过M作MP∥AB交BB1于P，连接NP，则平面MNP∥平面A1C1，所以MN∥平面A1B1C1D1，又AA1⊥平面A1B1C1D1，所以AA1⊥MN.当M与B1重合，N与C1重合时，则A1C1与MN相交，所以①③正确．【热点追踪】在立体几何中，点、线、面之间的位置关系，特别是线面、面面的平行和垂直关系，是高中立体几何的理论基础，是高考命题的热点与重点之一，一般考查形式为小题(位置关系基本定理判定)或解答题(平行、垂直位置关系的证明)，难度不大．柱、锥、台、球及其简单组合体和平面及其基本性质虽然没有单独考查，但作为立体几何最基本的要素是融入在解答题中考查的.（一）利用平行、垂直的判定定理与性质定理解决位置关系例1. (2017·南通一模)如图，在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP＝OC，PA⊥PD.求证：(1)直线PA∥平面BDE；(2)平面BDE⊥平面PCD.(2)因为OE∥PA，PA⊥PD，所以OE⊥PD.因为OP＝OC，E为PC的中点，所以OE⊥PC.又因为PD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，PC∩PD＝P，所以OE⊥平面PCD.又因为OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD.变式1 (2017·南通三模)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AP＝AD，M，N分别为棱PD，PC的中点．求证：(1)MN∥平面PAB；(2)AM⊥平面PCD.解析： (1)因为M，N分别为棱PD，PC的中点，所以MN∥DC，又因为底面ABCD是矩形，所以AB∥DC，所以MN∥AB.又AB⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.变式2 如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD.(1)求证：BC⊥平面PAB；(2)过CD作一平面交平面PAB于EF，求证：CD∥EF.解析：(1)因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC.在矩形ABCD中，BC⊥AB.因为PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.(2)因为CD∥AB，CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以CD∥平面PAB.又因为CD ⊂平面CDEF ，平面CDEF ∩平面PAB＝EF ，所以CD∥EF .（二）借助边、角量的计算解决位置关系例2. 如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC＝60°，A1A＝AC＝BC＝1，A1B＝ 2.(1)求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1；(2)如果D为AB的中点，求证：BC1∥平面A1CD.(2)如图，连结AC1交A1C于点O，连结OD.因为四边形ACC1A1为平行四边形，所以O为AC1的中点．又因为D为AB的中点，所以OD∥BC1 .因为OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.变式1 如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AB＝AC＝2AA1，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，点D，E分别为AB，A1C的中点．求证：(1)DE∥平面BB1C1C；(2)BB1⊥平面A1BC.解析：(1)如图，取AC的中点M，连结DM，EM.因为D为AB的中点，所以DM∥BC.因为DM⊄平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，所以DM∥平面BB1C1C. 同理可证EM∥平面BB1C1C.又DM∩EM＝M，所以平面DEM∥平面BB1C1C.因为DE⊂平面DEM，所以DE∥平面BB1C1C.变式2如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，E分别在边BC，B1C1上，CD＝B1E＝12 AC，∠ACD＝60°.求证：(1)BE∥平面AC1D；(2)平面ADC1⊥平面BCC1B1 .解析：(1)由三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，得BC∥B1C1且BC＝B1C1.因为点D，E分别在边BC，B1C1上，CD＝B1E，所以BD＝C1E且BD∥C1E. 所以四边形BDC1E是平行四边形，所以BE∥C1D.因为C1D⊂平面AC1D，BE⊄平面AC1D，所以BE∥平面AC1D.（三）立体几何中关于动点位置常见问题的处理例3. 如图，在三棱锥P­ABC中，BC⊥平面PAB.已知PA＝AB，D，E分别为PB，BC的中点．(1)求证：AD⊥平面PBC；(2)若点F在线段AC上，且满足AD∥平面PEF，求AFFC的值．解析：(1)因为BC⊥平面PAB，AD⊂平面PAB，所以BC⊥AD.因为PA＝AB，D为PB的中点，所以AD⊥PB.因为PB∩BC＝B，所以AD⊥平面PBC.(2)连结DC，交PE于点G，连结F G.因为AD∥平面PEF ，AD⊂平面ADC，平面ADC∩平面PEF ＝F G，所以AD∥F G. 因为D为PB的中点，E为BC的中点，连结DE，则DE为△BPC的中位线，△DEG∽△CPG.所以DGGC＝DEPC＝12.所以AFFC＝DGGC＝12.变式1如图，等边三角形ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE，BD＝2AE，AE⊥AB，M为AB的中点．(1)证明：CM⊥DE；(2)在边AC上找一点N，使CD∥平面BEN.解析：(1)因为BC＝AC，M为AB中点，所以CM⊥AB.又平面ABC⊥平面ABDE，平面ABC∩平面ABDE＝AB，CM⊂平面ABC，所以CM⊥平面ABDE.又DE⊂平面ABDE，所以CM⊥DE.(2)当ANAC＝13时，CD∥平面BEN.如图，连结AD交BE于点K，连结KN.因为在梯形ABDE中，BD∥AE，BD＝2AE，所以AKKD＝AEBD＝12，则AKAD＝13.又ANAC＝13，所以KN∥CD.因为KN⊂平面BEN，CD⊄平面BEN，所以CD∥平面BEN. 变式2如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点． (1)若PA ＝PD ，求证：平面PQB ⊥平面PAD ；(2) 点M 在线段PC 上，PM ＝tPC ，试确定实数t 的值，使得PA ∥平面MQB .(2)当且仅当t ＝13时，PA ∥平面MQB .证明如下：连结AC ，设AC ∩BQ ＝O ，连结OM .在△AOQ 与△COB 中，因为AD ∥BC ，所以∠OQA ＝∠OBC ，∠OAQ ＝∠OCB . 所以△AOQ ∽△COB .所以AO OC ＝AQ CB ＝12，所以AO AC ＝13.在△CAP 与△COM 中，当t ＝13时，因为CO CA ＝CM CP ＝23，∠ACP ＝∠OCM ，所以△CAP ∽△COM .所以∠CPA＝∠CMO，所以AP∥OM.因为OM⊂平面MQB，PA⊄平面MQB，所以PA∥平面MQB.以上每步可逆．故当PA∥平面MQB时可得t＝13 .【乘热打铁】1．在空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列四个命题：(1)若a∥b，b∥c，则a∥c；(2)若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；(3)若a∥γ，b∥γ，则a∥b；(4)若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.上述命题中，真命题的序号是__________(写出所有命题的序号)．2．(2009· 江苏卷)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；(3)设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；(4)直线l与α垂直的充要条件是l与α内的两条直线垂直．上述命题中，真命题的序号是__________(写出所有命题的序号)．3．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O 所在的平面，点M是线段PB的中点．有以下四个命题：(1)MO∥平面PAC；(2)OC⊥平面PAC；(3)平面PAC⊥平面PBC.其中正确的是__________(填序号)．解析：(1)因为MO∥PA，MO⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以MO∥平面PAC；(2)因为PA垂直于圆O所在的平面，所以PA⊥BC.又BC⊥AC，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC.因为空间内过一点作已知平面的垂线有且只有一条，所以OC⊥平面PAC不成立，(2)错误；(3)由(2)知BC⊥平面PAC，且BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC.正确命题的序号是(1)(3)．4.如图，在正三棱ABC­A1B1C1中，已知D，E分别为BC，B1C1的中点，点F在棱CC1上，且EF⊥C1D.求证：(1)直线A1E∥平面ADC1；(2)直线EF⊥平面ADC1.解析： (1)连结ED，因为D，E分别为BC，B1C1的中点，所以B1E∥BD且B1E＝BD，所以四边形B1BDE是平行四边形，所以BB1∥DE且BB1＝DE，又BB1∥AA1且BB1＝AA1，所以AA1∥DE且AA1＝DE，所以四边形AA1ED是平行四边形，所以A1E∥AD，又因为A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，所以直线A1E∥平面ADC1.。