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武汉市长虹中学 高二级数学导学案
编号：13-14-1—SX022 课时：1 课型：新课 上课时间： 主备人：陈涛 一审：刘丽 二审：朱孝玲 班级： 小组： 姓名：
知识的超市 - 1 - 生命的狂欢 教学内容所在教材位置 数学必修3第135页到136页
课题 第22课时 几何概型 课型 自学探究
流程 学习内容 个性笔记
明确
目标 学习目标：
（1）正确理解几何概型的概念，掌握几何概型的概率公式。
（2）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型
教学重点:几何概型的概念、公式及应用；
提出
问题
第一环节 感受新知
引入：对比下列问题，发现两种概率问题求法的区别
（1）取一根长度为6m的绳子，拉直后剪成三断，且长度均为整数，求这三条线段能组成三角形的概率？
（2）取一根长度为3m的绳子，如果拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？
问题1 通过上述问题梳理几何概型的计算公式？
问题2 对比古典概型和几何概型的区别与联系
重点
提升 第二环节 典例分析
例1 某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率（假定车到来后每人都能上）．
例2 取一个边长为2a的正方形及其内切圆（如图），随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率。
例3在1L高产小麦种子中混入了一粒带锈病的种子，从中随机取出10mL，含有麦锈病种子的概率是多少？
第三环节 难题解析
例4在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率。
２０１０年第１期 （总第ｌ１ ９期） 牡丹江教育学院学报 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＭＵＤＡＮＪＩＡＮＧ ＣＯＬＬＥＧＥ ０Ｆ ＥＤＵＣＡＴ１０Ｎ Ｎｏ．１，２Ｏ１０ Ｓｅｒｉａｌ Ｎｏ．１１９ 几何概型的求解技巧 陈英霞 罗 娟 （平顶山学院，河南平顶山４６７００２） ［摘 要］ 几何概型是概率论中一种重要的概型。 巧，以及如何灵活利用求解技巧解决问题。 ［关键词］几何概型；几何测度；等可能性 ［中图分类号］Ｏ１８ ［文献标识码］Ａ 一、准备知识 几何概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的 数学模型，在概率论中有相当重要的地位。几何概型具有 以下两个特征： （１）每次实验的结果有无限多个，且全体结果可用一个 有度量的几何区域来表示。 （２）每次实验的各种结果是等可能的。 设几何概型的样本空间可以表示成有度量的区域，仍 记为ｎ，事件Ａ所对应区域仍以Ａ表示，则定义事件的概率 为 ｐｒ ｄ、一Ａ的度量 … 力的度量 对于一个具体问题能否应用几何概率计算公式计算的 关键在于将问题几何化，也即可根据问题的情况，选取合适 的参数，建立适应的坐标系，构建出随机事件所对应的几何 图形，并对几何图形进行相应的几何度量。下面通过几个 典型例子来探究几何概型的求解技巧。 二、技巧探索 例１某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想 听电台报时，求他等待时间不多于１２分钟的概率（假设电 台每隔１小时报时一次）。 分析：他等待的时间取决于他打开收音机的时间，他在 ０到６Ｏ分钟之间任一时刻打开收音机是等可能的，而０到 ６０之间有无穷多个时刻，这是一个几何概型的问题。 解：令Ａ一“等候时间不多于ｌ２分钟” 设ｚ为此人打开收音机的时刻，则力一｛ｚ ｌ ０＜ｚ≤ １ ０ １ ６０），Ａ＝｛ｚ『４８≤ｚ≤６０），根据公式有Ｐ（Ａ）一羔一÷． ＤＵ ０ 点评：此类型为几何概型中最为简单的，只要正确构设 变量，就能确定度量的测度。然而有些几何概型的问题，即 不容易分辨出属于几何概率模型，也难发现随机事件的构 成区域。但仔细研究此类问题，我们可以发现一些解题的 规律及技巧。 例２两人相约７点到８点在某地见面，先到者等候 另一个人２Ｏ分钟，过时离去，求两人能够见面的概率。 分析：两人能否会面取决于他们各自到达的时间，而根 据题意，他们在７点到８点之间的任一时刻到达是等可能 的。 解：令Ａ一“两个人能够见面” 记两人到达的时间分别为７点到８点之间的ｚ，Ｙ分钟， 用（ｚ，ｙ）表示每次实验的结果，则所有可能结果为：力一 本文通过对典型例题的研究，总结了几何概型的求解技 ［文章编号］１００９—２３２３（２０１０）０１—０１４６—０２ ｛（ｚ， ）１ ０≤ｚ≤６０，０≤Ｙ≤６０），欲使两人能够见面，必 须Ｊ Ｙ—ｚ Ｉ≤２Ｏ，所以Ａ一｛（．ｚ， ）ｌｌ ｙ—ｚ ｆ≤２Ｏ，（ｚ， ） ∈ｎ）． 如图１所示，构成的区域 为正方形ＯＡＢＣ，而事件Ａ所构 成的区域是正方形内两条直线 ｚ—Ｙ一２０，ｙ－－ｚ一２０所夹中间 的阴影部分。 根据公式： Ｐ（Ａ）＝ ６０ （６０—２０） ２ ６０ ×２ 所以，两人能够会面的概率为昔． 点评：此题的关键是分析得到相关的两个变量，然后把 这两个变量所满足的条件写成集合形式，并把所研究事件 Ａ的集合也写出。把两个集合用平面区域表示时，特别注 意不等式所表示的区域。要表示二元一次不等式的平面区 域ａｚｃ＋ｂｙ＋ｃ＞０，我们可以按两步解决：（１）作出直线凹 ＋ ＋ｃ一０；（２）取一特殊点（一般取原点）验证，直线的哪 侧符合不等式，则哪侧就是所表示区域。 例３在线段［Ｏ，１］上随机地投三个点，试求由点０至 三点的三个线段能构成一个三角形的概率。 分析：三条线段能否构成三角形取决于他们的长度。 解：令Ａ一“三线段能构成一个三角形” 设三线段长各为Ｘ，Ｙ，ｚ，每个实验结果可表示为（Ｘ，Ｙ， ｚ），则所有可能的结果为Ｑ一｛（Ｘ，Ｙ，ｚ）Ｉ Ｏ≤ｘ，Ｙ，ｚ≤１），因 为三个线段构成一个三角形的条件是：ｘ＋ｙ＞ｚ，ｘ＋ｚ＞ｙ，ｙ ＋ｚ＞ｘ，所以 Ａ一｛（Ｘ，Ｙ，ｚ）Ｊ ｘ＋ｙ＞ｚ，ｘ＋ｚ＞Ｙ，ｙ＋ｚ＞Ｘ，（ｘ，Ｙ，ｚ）∈０） 罔２ ［收稿日期］２００９—０９—０８ ［作者简介］陈英霞（１９８３～），女，河南南阳人，平顶山学院助教；罗娟（１９８ｏ－－），女，河南南阳人，平顶山学院助教。
ｖ０．６ Ｎｏ．２ 鲤私铷希 教育教学２ 浅谈几何概型的类型及其解法 王鹏 （贵州省正安县第一中学贵州 正安５６３４００） 摘 要：几何概型是一种特殊的概率模型，解决几何概型的求概率问题，关键是要构造出随机事件的几何图形。利用图形的几 何度量求随机事件的概率，通常包括与长度有关的几何概型、与角有关的几何概型，以及面积型几何概型、体积型几何概型等。 关键词：几何概型：类型；解法 【中图分类号】 【文献标识码】Ｂ 【文章编号】１６７１—８４３７（２０１４）０２一Ｏ０５２＿０２ 几何概型是一种特殊的概率模型，解决几何概型的求概率 间题，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的 几何度量来求随机事件的概率．下面结合例题谈谈它的类型及 其解题方法 一、与长度有关的几何概型 若一次试验中所有可能结果和某个事件Ａ包含的结果（基 本事件）都对应一个长度，如线段长、时间区间、距离、路程等， 那么需要求出各自相应的长度，然后运用几何概型的计算公式 即可求出事件Ａ发生的概率。 例１：公共汽车站每隔５ｍｉａ有一辆汽车通过．乘客到达汽 车站的任一时刻是等可能的 乘客候车不超过３ｍｉｎ的概率。 解：设Ａ＝“候车时间不超过３ｍｉｎ”。 Ｘ表示乘客来到车站的时刻，那么每一个试验结果可表示 为ｘ。假定乘客到达车站后来到的一辆公共汽车时刻为ｔ，根据 题意，乘客必然在（￡一５，ｔ１来到车站，故ｆ一５ ≤ｔ，欲乘客的候车 时间不超３ｍｉｎ．必有卜３≤ｘ≤ｔ，所以 Ｐ（Ａ）： 盛皇 垒 匿堡 堕一 全部结果构成的区域长度一 ：０．６ ） ｔ一５ ｘ ｔ 评注：解决此类问题的关键是确定他在哪个时间段候车的 概率只与这时间段的长度有关，把它转化为与“长度”有关的几 何概型。 二、与角有关的几何概型 若一次试验中所有可能结果和某个事件Ａ包含的结果（基 本事件）都对应一个角，那么需要求出各自相应的角度．然后运 用几何概型的计算公式即可求出事件Ａ发生的概率 例２：如图ｌ所示．在直角坐 标系内，射线ＯＴ落在６０。的终边 上，任作一条射线ＯＡ，求射线８月 １１日落在 ｘＯＴ内的概率。 分析：过Ｏ作射线ＯＡ是随机 的，射线ＯＡ落在任何位置都是等 可能的，落在 ｘＯＴ内的概率只与 ｘＯＴ的大小有关，符合几何概型 的条件 Ｊ －‘＼． Ｐ ０ ｒ ． 解：设事件Ａ＝｛射线ＯＡ落在ＬｘＯＴ内｝，事件Ａ的“几何度 量”是６０。，而坐标平面的“几何度量”为３６０。，所以由几何概率 公式，得Ｐ（Ａ）＝．３６６０ ＝ １＝。 内ｌ的“几何度量”是６０。，以及坐标平面的“几何度量”为３６０。。 三、面积型的几何概率模型 如果每个基本事件可以理解为从某个特定的几何区域内 随机地取一点，某个随机事件的发生理解为恰好取到上述区域 内的某个指定区域内的点，且该区域中每一个被取到的机会都 一样，这样的概率模型就可以用几何模型来解。并且，这里的区 域可以用面积表示，然后利用几何概型的公式求解。 例３：甲、乙两人约定在６时到７时之间在某处会面，并约 定先到者应等候另一个人１５分钟，过时即可离去。求两人能会 面的概率 分析：这是历史上有名的会面问题。由甲乙两人中每人到 达会面地点的时刻都６到７时之间的任一时刻，如果在平面直 角坐标系内用ｘ轴表示甲到达约会地点的时间，Ｙ轴表示乙到 达约会地点的时间，用０分到６０分表示６时到７时的时间段． 则横轴Ｏ到６０与纵轴０到６０的正方形中任一点的坐标（ｘ，Ｙ） 就表示甲、乙两人分别在６时到７时时间段内到达的时间。而 会面的时间由ｌ—ｙ ｌ≤１５所对应的图中阴影部分表示。由于每 人到达会面地点的时刻都是随机的．所正方形内每个点都是等 可能被取到的（即基本事件等可能发生）。所在两人能会面只与 阴影部分的面积有关，这就转化为面积型的几何概率问题。 解：以ｘ和Ｙ轴分别表示 甲、乙两人到约会地点的时间， 则两人能够会面的条件是 『ｘ＿ｙ ｌ≤１５。在平面上建立直 角坐标系如图所示：由（ｘ．ｙ）的 所有可能结果是边长为６０的 正方形．而可能会面的时间由 图中阴影部分所表示。这是一 个几何概型的问题。由等可能 性知所求概率为： ＩＬ Ｓ 一６０２＿４５ 一７ Ｓ正方形 ６０ １６ 评注：本题的难点是把两个时间分别用两坐标轴表示，构 成平面的点，从而把时间这个一维长度问题转化为平面图形的 二维面积问题，这样就把会面问题转化为成面积型的几何概率 问题。 四、体积型的几何概率模型 对于几何概型，如果图形与体积有关．只需把该试验的所 有结果对应体积求出，就可以利用几何概型概率公式进行计 算。 评注：解此题的关键是找到事件Ａ：ｆ射线ＯＡ落在 ＯＴ （下转６７页） 一
高中新课程增加了几何概型的学习内容，某些省区的高考已设计了以几何概型为背
景的题目，其意图是考查同学们理论与实际问题的转化能力和综合分析、解决问题的能 力。解几何概型问题的关键是构造随机事件所对应的几何图形，分析问题中存在的变量． 找准几何区域所对应的测度。一般地，在几何区域Ｄ中随机地取一点，记事件“该点落在其
内部一个区域ｄ内”为事件Ａ，则事件４发生的概率为Ｐ（４）： （Ｄ的测度不等于０）， 制 ９ ｌ芰 其中“测度”的意义以Ｄ而定，当Ｄ分别是线段、平面图形、立体图形等时，相应的“测度”分
别是长度、面积和体积等。有些几何概型题目或难以突破方向而无从下手，或盲目下手而 导致错误。笔者对如何寻找解几何概型题的突破口作了初步的探讨，供大家参考。
一、测度为长度的几何概型 例ｌ 等腰直角ＡＡＢＣ中，在斜边ＡＢ上任取一点 ，求使
ＡＭ小于／ｌＣ的概率 ～ Ｃ 解析如图１所示，以Ａ为圆心、ＡＣ为半径作圆，交ＡＢ于
Ｊ９。不妨设ＡＣ＝ａ，Ｉ￣ＪＡＢ
分布的。故所求的概率 Ｂ上是等可能
Ｉ４ 图１
点Ｃ作一条射
Ｃ 为半径作圆，
于射线Ｃ 在
／＿ＡＣＢ内的任一位置是等可能分布的，因此基本事件 的区域应是 Ａ∞，故所求的概率为Ｐ＝
１Ｔ １Ｔ一—— ４ Ａ ＣＤ的弧度数 ２ ３ Ｚ＿ＡＣＢ的弧度数 盯 ４ ２ 三、测度为时间的几何概型 例３ 某公共汽车站每隔。ｍｉｎ有一辆公共汽车
到站，乘客到达车站的时间是随意的，求一个乘客候 车时间不超过ｂ ｒａｉｎ的概率（ｎ≥ｂ）。 解析 记“乘客候车时间不超过ｂ ｍｉｎ”为事件 ．
设乘客到车站离上车时间为Ｘ ｍｉｎ，则样本空间为
Ｄ＝｛ｘｌＯ＜ｘ≤ ），事件Ａ的可能结果为Ａ＝｛ｘｌ０＜ｘ≤ｂ），
故Ｐ（Ａ）＝一ｂ。 ０ Ａ 图２
Ｊ ２叮Ｔ
订
Ａ Ｏ ＂ｉＴ ２＇ｒｒ
图３
四、测度为面积的几何概型
例４半径为ｌ的圆上随机地取三个点Ａ 、Ｃ构成ＡＡＢＣ，求△ＡＢＣ是锐角三角形的 概率。 解析 已知圆的半径为１，则圆的周长为２＂ｒｒ，设三点将圆周分成的三部分的弧长分别 ｆ０＜ ＜２竹 为 ，Ｙ，２叮丁一ｘ－ｙ，则｛０＜ ＜２ ，此不等式组所表示的平面区域（图３中ＲｔＡ ＯＡＢ的内部） 【０＜ｘ＋＿ｙ＜２耵
