北京市西城区2018年九年级统一测试
数学试卷答案及评分标准 2018.4
一、 选择题（本题共16分，每小题2分）
二、 填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 1． 10. 8a -． 11. 2.
12.5(35) 4.5x x
-=． 13.40．
14.答案不唯一，只需0k >即可，例如1y x =-．
．
16.BPQ ．…………………………………………………………………………………… 1分
等腰三角形顶角的角平分线与底边上的高重合． ……………………………………2分 三、解答题（本题共68分，第17~19题每小题5分，第20题6分，第21、22
题每小题5
分，第23题6
分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7
分）
17.解： 11
()4sin3015
-+︒
1
541)2
=+⨯- ……………………………………………………… 4分
521=+
2=．…………………………………………………………………………… 5分
18.解：原不等式组为 3(+2)+4,
1 1.2
x x x ≥⎧⎪
-⎨<⎪⎩
解不等式①，得x ≥1-．…………………………………………………………… 1分 解不等式②，得3x <． …………………………………………………………… 2分 ∴ 该不等式组的解集为1-≤x <3．…………………………………………………3分 ∴ 该不等式组的非负整数解为0
，1，2．………………………………………… 5分
19. （1）证明：如图1．
∵ AD 平分∠BAC ，
∴ ∠1= ∠2．………………………………………1分
∵ BD ⊥AD 于点D ， ∴ 90ADB ∠=︒．
∴ △ABD 为直角三角形． ∵ AB 的中点为E ，
∴ 12
AE AB =，12DE AB =．
∴ DE AE =． …………………………… 2分
① ② 图1
∴ ∠1= ∠3． ∴ ∠2= ∠3．……………………………………………………………… 3分 ∴ DE ∥AC ．……………………………………………………………… 4分
（2）△ADE ．…………………………………………………………………………… 5分20.（1）证明：∵ m ≠0，
∴ 方程 2(3)30mx m x +--= 为一元二次方程. …………………… 1分 依题意，得2(3)12m m ∆=-+
2(+3)m =.…………………………………………………… 2分
∵ 无论m 取何实数，总有2(+3)m ≥0，
∴ 此方程总有两个实数根. …………………………………………… 3分
（2）解：由求根公式，得(3)(3)
2m m x m
--±+=
.
∴ 11x =，23
x m
=-
（m ≠0）. …………………………………………… 5分 ∵ 此方程的两个实数根都为正整数，
∴ 整数m 的值为1-或3-． ………………………………………………… 6分
21.（1）补全的图形如图2所示．……………………………………………………………1分
∠AOB=90︒．
证明：由题意可知BC=AB ，DC= AB ．
∵ 在△ABD 中，=ABD ADB ∠∠， ∴ AB=AD ．
∴ BC= DC= AD= AB ．
∴ 四边形ABCD 为菱形．…………………… 2分 ∴ AC ⊥BD ．
∴ ∠AOB=90︒． …………………………… 3分 （2）解：∵ 四边形ABCD 为菱形，
∴ OB= OD ．…………………………………………………………………… 4分
在Rt △ABO 中，90AOB ∠=︒，AB =5，3
cos 5
ABD ∠=
， ∴ cos 3OB AB ABD =⋅∠=．
∴ 2=6BD OB =．…………………………………………………………… 5分
22.解：（1）如图3.
∵ 直线y x m =+与x 轴的交点为(4,0)A -，
∴ 4m =．…………………………………… 1分 ∵ 直线y x m =+与y 轴的交点为B ， ∴ 点B 的坐标为(0,4)B ． ∵ 线段AB 的中点为M ，
可得点M 的坐标为(2,2)M -． ∵ 点M 在函数k
y x
=
（k ≠0）的图象上， 图
2
∴ 4k =-．…………………………………………………………………… 3分 （2）①由题意得点D 的坐标为(,4)D n -．
∵ 点D 落在函数4
y x
=-
（<0x ）的图象上， ∴ 44n -=-． 解得 1n =．………………………………………………………………… 4分 ②n 的取值范围是n ≥2．……………………………………………………… 5分
23.解：B 项有10人，D 项有4人，划记略．……………………………………………… 2分
选择各志愿服务项目的人数比例统计图中，B 占25%，D 占10%．………………4分 分析数据、推断结论
a. 抽样的40个样本数据（志愿服务项目的编号）的众数是 C ．………………5分
b. 根据学生选择情况答案分别如下（写出任意两个即可）．
A ：50020%=100⨯（人）．
B ：50025%=125⨯（人）．
C ：50030%=150⨯（人）．
D ：50010%=50⨯（人）．
E ：50015%=75⨯（人）．……………………………………………………… 6分
24. 解：（1）如图4，作BE ⊥OC 于点E ．
∵ 在⊙O 的内接△ABC 中，∠BAC=15︒，
∴ =230BOC BAC ∠∠=︒．
在Rt △BOE 中，∠OEB=90︒，∠BOE=30︒，OB=r ，
∴ 22
OB r
BE =
=． ∴ 点B 到半径OC 的距离为
2
r
．……………………………………………2分 （2）如图4，连接OA ．
由BE ⊥OC ，DH ⊥OC ，可得BE ∥DH ． ∵ AD 与⊙ O 相切，切点为A ，
∴ AD ⊥OA ．………………………………3分 ∴ 90OAD ∠=︒． ∵ DH ⊥OC 于点H ， ∴ 90OHD ∠=︒．
∵ 在△OBC 中，OB=OC ，∠BOC=30︒，
∴ 180752
BOC
OCB ︒-∠∠=
=︒．
∵ ∠ACB=30︒，
∴ 45OCA OCB ACB ∠=∠-∠=︒． ∵ OA=OC ，
∴ 45OAC OCA ∠=∠=︒．
∴ 180290AOC OCA ∠=︒-∠=︒．
∴ 四边形AOHD 为矩形，∠ADH=90︒．…………………………………… 4分 ∴ DH =AO=r ．
∵ 2
r
BE =，
图4
