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中考数学专题3动态几何问题

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中考数学专题3 动态几何问题 第一部分 真题精讲 【例1】如图，在梯形ABCD中，ADBC∥，3AD，5DC，10BC，梯形的高为4．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t（秒）．

DNCMBA

（1）当MNAB∥时，求t的值； （2）试探究：t为何值时，MNC△为等腰三角形．

【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。 【解析】 解：（1）由题意知，当M、N运动到t秒时，如图①，过D作DEAB∥交BC于E点，则

四边形ABED是平行四边形． ABMCNED

∵ABDE∥，ABMN∥． ∴DEMN∥． （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） ∴MCNCECCD． （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键）

∴ 1021035tt．解得5017t．

【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解 【解析】 （2）分三种情况讨论： ① 当MNNC时，如图②作NFBC交BC于F，则有2MCFC即．（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质） ∵4sin5DFCCD，

∴3cos5C，

∴310225tt，

解得258t．

ABMCNFD

② 当MNMC时，如图③，过M作MHCD于H． 则2CNCH，

∴321025tt．

∴6017t．

ABMCNHD

③ 当MCCN时， 则102tt． 103t．

综上所述，当258t、6017或103时，MNC△为等腰三角形．

【例2】在△ABC中，∠ACB=45º．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． （1）如果AB=AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论． （2）如果AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？

（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝42，3BC，CD=x，求线段CP的长．（用含x的式子表示） 【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。 【解析】： （1）结论：CF与BD位置关系是垂直； 证明如下：AB=AC ，∠ACB=45º，∴∠ABC=45º． 由正方形ADEF得 AD=AF ，∵∠DAF=∠BAC =90º， ∴∠DAB=∠FAC，∴△DAB≌△FAC ， ∴∠ACF=∠ABD． ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF⊥BD． 【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。 （2）CF⊥BD．(1)中结论成立． 理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG 可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º ∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º． 即CF⊥BD 【思路分析3】这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP. （3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q， ①点D在线段BC上运动时， ∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．∴ DQ=4-x，

易证△AQD∽△DCP，∴CPCDDQAQ ， ∴44CPxx， 24x

CPx．

②点D在线段BC延长线上运动时， ∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4，∴ DQ=4+x． 过A作ACAG交CB延长线于点G，则ACFAGD． CF⊥BD，

△AQD∽△DCP，∴CPCDDQAQ ， ∴44CPxx，

24x

CPx．

【例3】已知如图，在梯形ABCD中，24ADBCADBC∥，，，点M是AD的中点，MBC△是等边三角形．

GABCDE

F（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形； （2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且60MPQ∠保持不变．设PCxMQy，，求y与x的函数关系式；

（3）在（2）中，当y取最小值时，判断PQC△的形状，并说明理由．

【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定∠MPQ=60°，这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢? 当然是利用角度咯.于是就有了思路. 【解析】 （1）证明：∵MBC△是等边三角形 ∴60MBMCMBCMCB，∠∠ ∵M是AD中点 ∴AMMD ∵ADBC∥ ∴60AMBMBC∠∠， 60DMCMCB∠∠ ∴AMBDMC△≌△ ∴ABDC ∴梯形ABCD是等腰梯形． （2）解：在等边MBC△中，4MBMCBC，60MBCMCB∠∠，

60MPQ∠

∴120BMPBPMBPMQPC∠∠∠∠ (这个角度传递非常重要,大家要仔细揣

摩) ∴BMPQPC∠∠

∴BMPCQP△∽△

∴PCCQBMBP ∵PCxMQy， ∴44BPxQCy， ∴444xyx ∴2144yxx

(设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子)

【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很

A D

C B P

M Q 60 轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=2，求△PQC形状”的问题了。由已知的BC=4，自然看出P是中点，于是问题轻松求解。 （3）解： PQC△为直角三角形

∵21234yx ∴当y取最小值时，2xPC ∴P是BC的中点，MPBC，而60MPQ∠， ∴30CPQ∠， ∴90PQC∠

以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢?接下来我们看另外两道题.

【例4】已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EGCG，． （1）直接写出线段EG与CG的数量关系； （2）将图1中BEF绕B点逆时针旋转45，如图2所示，取DF中点G，连接EGCG，，． 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． （3）将图1中BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的

结论是否仍然成立？（不要求证明）

图3图2 图1

FE

ABCDABCDEFGGFEDCBA

【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45°到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边

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中考数学专题复习之动态问题

中考数学专题复习之动态问题

中考数学专题复习之动态问题1动态问题的类型及例题动态几何题已成为中考试题的一大热点题型。

在近几年各地的中考试卷中，以动点问题、平面图形的平移、翻折、旋转、剪拼问题等为代表的动态几何题频频出现在填空、选择、解答等各种题型中，考查同学们对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力。

解决动态几何题的策略是：把握运动规律，寻求运动中的特殊位置；在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”的一般规律。

通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动过程中是否保留或具有某种性质。

下面就动点型、动线型、动面型等几何题作一简要分析。

一. 动点型 1. 单动点型例1. 如图1，在矩形ABCD 中，AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E ，F 分别是垂足，求PE+PF 的长。

分析与略解：P 是AD 边上任意一点，不妨考虑特殊点的情况，即在“动”中求“静”。

当P 点在D （或A ）处时，过D 作DG ⊥AC ，垂足为G ，则PE=0，PF=DG ， 故PE+PF=DG ， 在Rt △ADC 中，13512DC AD AC 2222=+=+= 由面积公式有：1360AC DC AD DG =⋅=， 再有“静”寻求“动”的一般规律，得到PE+PF=DG=1360。

图12. 双动点型例2. （2003年吉林省）如图2，在矩形ABCD 中，AB=10cm ，BC=8cm ，点P 从A 出发，沿A →B →C →D 路线运动，到D 点停止；点Q 从D 点出发，沿D →C →B →A 路线运动，到A 停止。

若点P 、Q 同时出发，点P 的速度为每秒1cm ，点Q 的速度为每秒2cm ，a 秒时点P 、点Q 同时改变速度，点P 的速度变为每秒bcm ，点Q 的速度为每秒dcm 。

图3是点P 出发x 秒后△APD 的面积)cm (S 21与x （秒）的函数关系图象，图4是点Q 出发x 秒后△AQD 的面积)cm (S 22与x （秒）的函数关系图象。

中考数学专题复习：动态几何综合题.docx

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中考数学专题复习：动态几何综合题【简要分析】函数是中学数学的一个重要概念.加强对函数概念、图象和性质，以及函数思想方法的考 查是近年中考试题的一个显著特点.大址涌现的动态儿何问题，即建立儿何中元素的函数关系 式问题是这一特点的体现.这类题H 的三乱扣帽子解法是抓住变化中的“不变”・以“不变” 应“万变”.同时，要善于利用相似三角形的性质定理、勾股定理、圆幕定理、面积关系，借 助议程为个桥梁，从而得到函数关系式，问题且有一定的实际意义，因此，对函数解析式屮自 变量的取值范围必须认真考虑，一般需要有约束条件.【典型考题例析】例1：如图2-4-37,在直角坐标系中,0是原点,A 、B 、C 三点的 坐标分别为 A (18, 0) s B (18, 6)、C (8, 6),四边形 OABC 是梯形•点P 、Q 同时从原点出发，分別作匀速运动，英屮点P 沿 OA 向终点A 运动，速度为每秒1个单位，点Q 沿OC 、CB 向终点 B 运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动.(1) 求出直线OC 的解析式.(2) 设从出发起运动了『秒，如果点Q 的速度为每秒2个单位， 写出此时/的取值范围.(3) 设从出发起运动了/秒，当P 、Q 两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC 的周长 的一半时，直线PQ 能否把梯形的面积也分成相等的两部分？如有可能，请求出r 的值；如不 可能，请说明理由.分析与解答(1)设OC 的解析式为y = kx.将C (8, 6)代入，得• 3 …y = —x• ・ 4(2)当Q 在0C 上运动时,设, 4 依题意有 m 2 + (― m)2 =⑵尸,ni = —t. 45fe2(-r,-r)(0<r<5). 当Q 在CB 上运动时，Q 点所走过的路程为2,.TCO 二 10, A CQ = 2t-\0. ・・・Q 点的横坐标为2r-10+8 = lr-2 .・•・()(2r-2,6)(5<r<10).(3)易得梯形的周长为44.①如图2-4-38,当Q 点在0C 上时，P 运动的路程为/,则*yo P —— A x 图2437 试写出点Q 的坐标，并 y图2438Q 运动的路程为(22-/).过 Q 作 QM 丄0A 于 \1,则 0W =(22-r)x-・51 3 1 S QQ =才(22-r)x&, S 四边形=—(18 + 10)x6 = 84 ・假设存在/值，使得P 、Q 两点同时平分梯形的周长和面积，1 Q 1则 <-/(22 = r)x- = 84x-,即尸 _ 22f +140 = 0. 2 5 2V A = 222-4X 140<0,二这样的/不存在.②如图2-4-39,当Q 点在BC 上时,Q 走过的路程为(22-r), 故 CQ 的长为：227 — 10 = 127. • • S 梯形理“ =—(CQ + OP). AB = —x(12 — z + /)x6 — 36 工84x —, 2 2 2・・・这样的/也不存在.综上所述，不存在这样的7值，使得P 、Q 两点同吋平分梯形的周长和面积.例 2：如图 2-5-40,在 RtAPMN 中，ZP=90°, PM=PN, MN 二8 cm,矩形 ABCD 的长和宽分 别为8 cm 和2 cm, C 点和M 点重合，BC 和跟在一条直线上.令RtAPMN 不动，矩形ABCD 沿 MN 所在直线向右以每秒1 cm 的速度移动(图2-4-41),直到C 点与7点重合为止.设移动x 秒 后，矩形ABCD 与△PMN 重卷部分的面积为ycml 求y 与兀Z 间的函数关系式.图 2440 图2441分析与解答在 RtAPMN 中，・.・PM 二PN, ZP 二90°, A ZPMN=ZPNM=45°. 延长AD 分别交PM 、PN 于点G 、H.过G 作GF 丄跟于F,过H 作HT 丄MN 于T （图2-4-42）・VDC=2 cm. AMF=GF=2 cm,VMT=6 cm.因此矩形ABCD 以每秒1 cm 的速度由开始向右移动到停止，和RtAPMN 重叠部分的形状可 分为下列三种情况：(1) 当C 点由M 点运动到F 点的过程中(0W/W2) 交于点E,则重叠部分图形是RtAMCE,且MC=EC=x.1 1 . ・•. y = -MCJEC = -x 2(0<x<2). -2 2(2) 当C 点由F 点运动到T 点的过程中(2< x<6), 如图2-4-43所示，重壳部分图形是直角梯形MCDG.如图2-4-42所示，设CD 与PM 图2・T MC = x,MF = 2 , .I FC 二DG 二 x 一2，且 DC 二2 •图2-4-43图2-4-44(3) 当C 点由T 点运动到N 点的过程中(6<x<8), 如图2444所示，设CD 与PN 交于点Q,则重叠部分图形是五边形MCQHG ・V MC = x, :. CN=CQ=8- x ,且 DC 二2.・・.y = L (MN + GHy^DC 一+CN9Q = -^(x-8)2 + 12(6<x<8).说明：此题是一个图形运动问题，解答方法是将各个吋刻的图形分别画山，将图形则“动” 这“静”，再设法分别求解.这种分类画图的方法在解动态儿何题中非常有效，它可帮我们理 清思路，各个击破.【提高训练】ZDAB=60°, AB=5, BC=3,鼎足之势P 从起点D 出发,设点P 所走过的路程为兀，点P 所以过的线段与绝无仅有反映y 与兀的函数关系的是( )2. 如图2-4-47,四边形AOBC 为直角梯形，OC=V5 , OB=%AC, 0C 所在直线方程为y = 2兀，平行于OC 的直线/为:y = 2x + /,I 是由A 点平移到B 点时，/与直角梯形AOBC 两边所转成的 三角形的面积记为S. (1)求点C 的坐标.(2)求r 的取值 范围.(3)求出S 与/之间的函数关系式.1.如图 2-4-45,在口 ABCD 中, 沿DC 、CB 向终点B 匀速运动.AD 、AP 所围成图形的面积为y,y 随x 的函数关系的变化而变化. 在图2-4-46中，能正确二丄(MC + GD))DC = 2x 一 2(() <x<6) 23. 如图2-4-48,在厶ABC 屮，ZB 二90°,点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1 cm/秒的速度移动， 点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/秒的速度移动.(1)如果P 、Q 分别从A 、B 同时出 发，儿秒后△PBQ 的而积等于8 cm 2? (2)如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，点P 到达点B 后又继续沿BC 边向点C 移动，点Q 到达点C 后又继续沿CA 边向点A 移动，在这一整个移动 过程中，是否存在点P 、Q ，使APBa 的面积等于9 cm 2?若存在，试确定P 、Q 的位置；若 不存在，请说明理由.4. 如图 2-4-49,在梯形 ABCD 中,AB=BC=10cm, CD=6 cm, ZC=ZD=90°.(1) 如图2-4-50,动点P 、Q 同时以每秒lcm 的速度从点B 出发，点P 沿BA 、AD 、DC 运动 到点C 停止.设P 、Q 同时从点B 出发f 秒时，APBO 的面积为牙(cm 2),求x (cm 2)关于/(秒)的函数关系式.(2) 如图2-4-51,动点P 以每秒lcm 的速度从点B 出发沿BA 运动，点E 在线段CD 上随之 运动，且POPE.设点P 从点B 出发f 秒时，四边形PADE 的而积为儿(cm 2).求(cm 2) 关于/ (秒)的函数关系式，并写出自变量f 的取值范围.【答案】1. A2. (1) C (1, 2)(2) —10WfW2(3) S 与f 的函数关系式为S 二丄尸+『+ 5(-10" 5 0)或S=b2_f + i (o 「s2) 20 43. (1) 2秒或4秒(2)存在点P 、Q,使得APBO 的而积等于9 cm 2,有两种情况：① 点P 在AB 边上距离八为3 cm,点Q 在BC 边上距离点B 为6 cm;② 点P 在BC 边上，距B 点3 cm 时，此时Q 点就是A 点SI 2-4-51图2-4-4802-4-494.(1)当点P在BA上运动时，y}=—t2;1 10当点P在AD上运动时，必=30；当点P在DC上运动时，y, =-/+90(2) y2 = S梯形ABCD 一S MPC一S、PEC ——~-9『+ 90 >自变量/ 的取值氾围是0W Z W5.。

中考数学总复习课件(专题3：动点型问题)

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MN 1 x2 S 16 2( 1 x2
8. 8)
1
x2
8.
2
2
根据二次函数的图形和性质，这个函数的图形是开口向下，
对称轴是y轴，顶点是（0，8），自变量的取值范围是0＜x
＜4．
故答案选C.
(三)面动问题 【例题 4】(2014·玉林市)如图，边长分别为1和2的两个等边 三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把 小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止.设小三角形 移动的距离为x，两个三角形重叠的面积为y，则y关于x的函 数图象是( )
解:(1)①当△BPQ∽△BAC时，
∵ BP BQ , BP=5t，QC=4t，
BA BC
AB=10 cm，BC=8 cm，
∴ 5t 8 4t ,∴t=1.
10 8
②当△BPQ∽△BCA时，
∵
BP BC
BQ , BA
∴
5t 8 4t , 8 10
∴
t 32 . 41
∴t=1或 t 32 时，△BPQ与△ABC类似.
41
(2)如图a，过点P作PM⊥BC于点M，AQ，CP相交于点N.
则有PB=5t，PM=3t，CM=8-4t，
∵∠NAC+∠NCA=90°，
∠PCM+∠NCA=90°，
∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°.
∴△ACQ∽△CMP.
∴ AC QC .
CM PM
∴ 6 4t , 解得 t 7 ,
题型一 建立动点问题的函数关系式(或函数图象)
【例题 1】(2014·黑龙江省)如图，在平面直角坐标系中，边 长为1的正方形ABCD中，AD边的中点处有一动点P，动点P 沿P→D→C→B→A→P运动一周，则P点的纵坐标y与点P走
中考数学动态几何(精选文档)

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中考数学动态几何（精选文档）(文档可以直接使用，也可根据实际需要修改使用,可编辑欢迎下载）中考数学动态几何、类比探究专项训练(一做题时间:_______至_______ 家长签字:_____________ 共__________分钟日期:_____月_____日三、解答题22. (10分如图所示,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD P 为正方形AD 边上的一点(不与点A ,点D 重合片折叠,使点B 落在P 处,点C 落在G 处,PG 交DC 于H 痕为EF ,连接BP ,BH . (1求证:∠APB =∠BPH .(2当点P 在边AD 上移动时,△PDH 证明你的结论.(3设AP 为x ,四边形EFGP 的面积为S ,求出S 与x 系式,试问S 存在,请说明理由.(备用图A EBPDH FCCFGH DPBEA 备用图中考数学动态几何、类比探究中考数学动态几何、类比探究中考数学动态几何、类比探究专项训练(四做题时间:_______至_______ 家长签字:_____________ 共__________分钟日期:_____月_____日三、解答题22.(10分如图,在矩形ABCD中,点M是AD的中点,AD= CD=直角∠PME绕点M进行旋转,其两边分别和BC,交于点P和点E,连接PE交MC于点Q.(1判断线段MP,ME的数量关系,并进行证明;(2当动点P,E分别在线段BC和CD上运动时,设PC=x, MQ=y,求y与x的函数关系式;(3在(2中,当y取最小值时,判断PE与BM并说明理由.PQEM DCBA中考数学动态几何、类比探究以下为非选择题答题区,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在指定的区域内作答,否则答案无效。

专项训练(七做题时间:_______至_______ 家长签字:_____________ 共__________分钟日期:_____月_____日三、解答题22. (10分如图1,在等腰Rt △ABC 和等腰Rt △CDE (CD >BC中,点C ,B ,D 在同一直线上,点M 是AE 的中点. (1探究线段MD ,MB 的位置及数量关系,并证明.(2将图1中的△CDE 绕点C 顺时针旋转45°,使△CDE 线CE 恰好与△ABC 的边BC 垂直,如图2不变,则(1并加以证明.(3若将图2中的△ABC 绕点C 逆时针旋转大于0°且小于45°角,如图3,原问题中的其他条件不变,则(1论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.EMDC BA图1M DBA图2ABCDM图3中考数学动态几何、类比探究专项训练(八做题时间:_______至_______ 家长签字:_____________ 共__________分钟日期:_____月_____日22.(10分以下为非选择题答题区,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在指定的区域内作答,否则答案无效。