第六章 方差分析

A1 饲 料 A2
(A) A3
A1B1 A2B1 A3B1
A1B2 A2B2 A3B2
A1B3 A2B3 A3B3
只考虑一个因素的资料为单向分类资料。单向分类 资料又可以分为组内样本容量相等与组内样本容 量不等两种情况
一、组内样本容量相等的单向分类资料
（一）数据结构和数学模型
➢ 方差分析是建立在一定的线性数学模型基础上的，所谓线性 模型就是指每一个观测值都可以分割成若干个线性部分，这 是方差分析中平方和、自由度剖分的理论依据
（二）试验误差是独立的随机变量，且呈正态分布：
ij □ N 0, 2
（三）所有处理的误差方差均为同质：
12
2 2
...
2 k
即：数据的可加性、正态性、同质性
二、 数据的转换
➢ 从试验中所得到的各种数据全部满足上述基本假定往往是不容易 的。相对而言，效应的可加性容易满足，各处理内个体彼此间的 独立性可以通过合理的试验设计来保证，而正态性和方差的同质 性则往往取决于观测值（即试验指标值）本身的性质。因而对于 已经获得的数据资料，我们主要考察它们是否满足正态性和方差 同质性的要求，如果相差太远，就要考虑采取适当的处理措施。
2
xij xi
dfe df1 df2 ... dfi ... dfk k n1
样本间（或称处理间、组间）的变异就是这 k个平
均值 xi 的变异，其平方和、自由度就是：
SSb n xi x 2
dfb k 1
这样，我们就有三个均方：总的、组间、组内
MST
sT2
ssT dfT
2
x1j x1 2
x1j x1 x1 x x1 x 2
2
x1 j x1

一、方差分析的基本原理
（一）方差分析的原理与计算公式
t 检验是主要针对两组均值差异的检验，但在实际中也存在3组或3组以上样 本均值的比较。例如，研究者想了解大学4个年级学生在人际交往困扰上的差异， 或者检验同一组被试在一个学期4次追踪测试中的变化情况。如果采用独立样本t 检验或配对样本t检验，则可能需要进行6次t检验。假设每次t检验的置信区间为 95%，则6次t检验的总体置信区间会降为0.956=0.735。
【系数】编辑框：指定各组均值的系数，一般是自变量有几个水平就指定几个系 数，不参与比较的组的系数可以指定为0，各组指定系数之和应为0。例如，研究 者打算比较第一组和第三组，第二种不参与比较，此时可以在【系数】编辑框中 依次输入-1，0，1，每输入一个系数后，要单击下方的【添加】按钮，直至3个 系数均输入完毕。如果输入错误，则可以先单击错误的系数，然后在编辑框中输 入正确值，再单击【更改】按钮即可修改。
二、操作方法
（2）此时弹出【单因素方差分析】 对话框，从左侧列表框中选定所要分析 的变量，单击中间上方的 按钮，将 其移到【因变量列表】列表框中；再从 左侧列表框中选定所要分析的类别变量， 并单击中间下方的 按钮，将其移到 【因子】列表框中，如图6-3所示。
9
图6-3 【单因素方差分析】对话框
——
第 一 节
检 验 单多 因组 素独 方立 差样 分本 析均 值 的 差 异
10
二、操作方法
（3）依次单击【单因素方差分析】对话框中 的【对比】、【两两比较】、【选项】、 【Bootstrap】按钮，并分别进行设置。
① 【对比】按钮：单击该按钮，将打开【单 因素ANOVA：对比】对话框，如图6-4所示， 主要用于事先比较分析，是指研究者根据理论推 理或个人需求事先进行特定的两两均值的检验， 而不去理会所有均值的整体性比较。事实上，事 先比较分析就是应用t检验对特定的实验处理进 行均值差异检验。

43.477
21190.858 18
上表是几种饲料方差分析的结果，组间（Between Groups）平方和 （Sum of Squares）为20538.698，自由度（df）为3，均方为6846.233； 组内（Within Groups）平方和为652.159，自由度为15，均方为43.477； F统计量为157.467。由于组间比较的相伴概率Sig.（p值）=0.000<0.05， 故应拒绝H0假设（四种饲料喂猪效果无显著差异），说明四种饲料对养猪 的效果有显著性差异。
-78.1628
-59.3072
.000
47.4713
65.2487
.000
28.7913
46.5687
.000
-40.4828
-21.6272
.000
77.9872
96.8428
.000
59.3072
78.1628
.000
21.6272
40.4828
从整个表反映出来四种饲料相互之间均存在显著性差异，从效果来看是第4 种最好，其次是第3种，第1种最差。
组别 2 2 2 1 1 1 1 1 1
性别 m f m f m f m f m
6.3 多因素方差分析
➢ 第4步 给出显著性水平α，作出决策：如果相伴概率p值小 于显著性水平 ，则拒绝零假设；反之，认为控制变量不同水平 下各总体均值没有显著差异。
6.2 单因素方差分析
6.2.2 SPSS实例分析
【例6.1】用四种饲料喂猪，共19头分为四组，每一组用一种 饲料。一段时间后称重，猪体重增加数据如下表所示，比较 四种饲料对猪体重增加的作用有无不同。
-18.68000* -56.36000* -87.41500* 18.68000*

k
n
2 ( x x ..) ij i 1 j 1 k n
k
n
平方和与自由度的分解
( xij xi. xi x..)2
i 1 j 1
k n
[(xij xi. ) 2 2( xij xi. )(xi x..) ( xi x..)2 ]
2 i 1 j 1 k
k
n
2
( xij xi. ) n ( xi. x..)
2 i 1 j 1 i 1
2
SSe
SSt
其中
n ( xi. x..)2
i 1
k
称为处理间平方和，记为SSt，即
而
( x
i 1 j 1
k
n
SSt n ( xi. x..)
表6-1 每组具n个观测值的k组样本数据资料
处理
A1 x11 x12
A2 x21 x22
… … …
Ai xi1 xi2
… … …
Ak xk1 xk2
重 复
… x1j
… x1n
… x2j
… x2n
T2.
… …
… … … …
…
… …
… … … …
… xkj
… xkn
Tk.
T=∑∑ xij
xij
… xin
(二)总自由度的分解 在计算总平方和时，资料中的各个观察值要 受 ( x x ) 0 这一条件约束，总自由度等于 资料中观察值的总个数减一，即nk-1。
k n i 1 j 1 ij i.

k
总自由度记为dfT，则 dfT =nk-1 。
在计算处理间平方和时，各处理均数要受