指数函数与对数函数专题(含详细解析)

第 讲 指数函数与对数函数

时间： 年 月 日 刘老师 学生签名：

一、 兴趣导入 二、 学前测试 三、方法培养

☆专题1：指数运算与对数运算

[例1] 已知,27log 12a =试用a 表示.16log 6

变式练习：1已知,ln .log log 3,12x x x x a +==/求证：.)

2(2log 3

e

e e =

2若a ＞1,b ＞1且lg(a +b )=lg a +lg b ，则lg(a -1)+lg(b -1)的值

(A) 等于lg2 (B)等于1 (C)等于0 (D)不是与a ,b 无关的常数

☆专题2：指数函数与对数函数

[例2] 求下列函数的定义域：

（1）);1,0(log log log ≠>=a a x y a a a （2）.1

223log )31(91.03

+-+-=

x x y x

[解]（1）据题意有log a log a x>0.

①a>1时，上式等价于log a x>1,即x>a.

②0x>a . 所以，当a>1时，函数定义域为（a,+∞）；而当0

（2）据题意有⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧≤-+->+-≤⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≤+-<≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥+-≥--.011223,01223,)31()31(.1122309)31(.01223log ,0)3

1(932

31

1.03x x x x x x x x x x x 即即 解得].3,3

2

(.321

.332

,

213232所以函数定义域为即或⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧≤<-≤<-<>-≥x x x x x

例3设函数y=f(x)，且lg(lgy)=lg3x+lg （3-x ）．

(1) 求函数y=f(x)的表达式及其定义域； (2) 求f(x)的值域．

变式练习3设x ∈R ，f(x)为奇函数，且,144)2(2

+-⋅=-x x a a x f 函数,1log

)(2

k

x

x g += 若x ∈]3

2

,21[时，有)()(1x g x f ≤-恒成立，求实数a 的取值范围，

例4已知),1(log )(++=x x x f a 其中.1>a (1)求函数f(x)的反函数);(1x f - (2)若实数m 满足,0)1()1(21

1

<-+---m f

m f

求m 的取值范围，

已知函数).,(1

23log )(2

22

R n m mx n x x x f ∈+++=

(1)若R x N m ∈∈,*且f(x)的最大值为2，最小值为1，求m ，n 的值． (2)若,1-=n 且 f(x)的值域为R ，求m 的取值范围．

四、强化练习

1．函数5

422

4+--=x x y 的值域是 ．

2．已知函数]4

1)1([l o g 2

2+-+=x a ax y 的定义域是一切实数，则实数a 的取值范围

是 ．

3．若13

2

log

4．若,)3(log )3(log )3(log )3(log 5252y y x x ---≥-则y x +与0的关系为 ．

5．设,1,0=/>a a 函数||log )(2

x x x f a -=在[-3，4]上是增函数，则a 的取值范围是 ．

五、训练辅导

例5已知函数x x

f x f 2lo

g )1

(1)(∙+=。

（1）求函数)(x f 的解析式；（2）求)2(f 的值；（3）解方程)2()(f x f =。

[分析]通过代换，联立对应的方程组，通过消元达到求解函数解析式的目的，从而求得对应的函数值及方程。 [解析] （1）由于x x

f x f 2lo

g )1(1)(∙+=， 上式中，以

x 1代x 可得：x x f x f 1log )(1)1(2∙+=，则有x x f x

f 2lo

g )(1)1

(∙-=，

把x x f x f 2log )(1)1(∙-=代入x x

f x f 2lo

g )1(1)(∙+=可得：

x x x f x f 22log ]log )(1[1)(∙∙-+=，解得x

x x f 2

22log 1log 1)(++=

；

（2）由（1）得x x x f 2

22log 1log 1)(++=

，则12

log 12log 1)2(2

22=++=

f ；

（3）由（1）得x

x x f 222log 1log 1)(++=，则（2）得1)2(=f ，

则有1)2(log 1log 1)(2

22==++=

f x

x x f ，即x x 2

22log 1log 1+=+，

解得0log 2=x 或1log 2=x ，所以原方程的解为：1=x 或2=x 。

六、家庭作业布置：

家长签字：_________________

（请您先检查确认孩子的作业完成后再签字）

附件：堂堂清落地训练

（坚持堂堂清，学习很爽心）

1. 函数()⎩

⎨

⎧>+-≤-=1,341

,442

x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 B ；[解析] 函数()⎩⎨

⎧>+-≤-=1

,341

,442

x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象如下： 根据以上图形，可以判断两函数的图象之间有三个交点。

[考点透析] 作出分段函数与对数函数的相应图象，根据对应的交点情况加以判断。指数函数与对数函数的图象既是函数性质的一个重要方面，又能直观地反映函数的性质，在解题过程中，充分发挥图象的工具作用。特别注意指数函数与对数函数的图象关于直线x y =对称。在求解过程中注意数形结合可以使解题过程更加简捷易懂。

2．函数)(x f =x 2log 1+与)(x g =1

2

+-x 在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）

C ；[解析] 函数)(x f =x 2log 1+的图象是由函数x y 2log =的图象向上平移1个单位而得来的；又由于

)(x g =12+-x =)1(2--x ，则函数)(x g =12+-x 的图象是由函数x y -=2的图象向右平移1个单位而得来的；故两函

数在同一直角坐标系下的图象大致是：C 。

[考点透析] 根据函数表达式与基本初等函数之间的关系，结合函数图象的平移法则，得出相应的正确判断。

3．设1>a ，函数)(x f =x a log 在区间]2,[a a 上的最大值与最小值之差为

2

1

，则a =（ ）