指数函数与对数函数及其不等式

指数函数与对数函数的方程与不等式练习题指数函数与对数函数是高中数学中的重要概念，它们在数学建模、统计学、金融等领域中有着广泛的应用。

掌握指数函数与对数函数的方程与不等式的求解方法，对于解决实际问题具有重要意义。

本文将对指数函数与对数函数的方程与不等式进行练习与探讨。

一、指数函数的方程与不等式练习题1. 求解方程 $2^x = 8$。

首先，我们可以观察到 $8$ 可以表示为 $2$ 的多少次幂，即 $8 = 2^3$。

因此，原方程可以重写为 $2^x = 2^3$。

根据指数函数的性质，当底数相同时，指数相等。

因此，我们可以得出 $x = 3$。

2. 求解不等式 $2^x > 16$。

同样地，我们可以将 $16$ 表示为 $2$ 的多少次幂，即 $16 = 2^4$。

因此，原不等式可以重写为 $2^x > 2^4$。

根据指数函数的性质，当底数相同时，指数的大小决定底数函数的大小关系。

因此，我们可以得出 $x > 4$。

二、对数函数的方程与不等式练习题1. 求解方程 $\log_2(x) = 3$。

对数函数与指数函数是互为反函数的关系，因此可以通过将指数形式的方程转化为对数形式的方程来求解。

根据对数函数的性质，$\log_a(a^x) = x$。

因此，我们可以将原方程转化为 $x = 2^3$。

解得 $x = 8$。

2. 求解不等式 $\log_3(x) < 2$。

对于对数函数的不等式，首先需要找到不等式的底数。

在本例中，底数为 $3$。

根据对数函数的性质，当底数相同时，对数的大小决定真数的大小关系。

因此，我们可以得出 $x < 3^2$。

解得 $x < 9$。

三、综合练习题1. 求解方程 $3^x - 2 \cdot 3^{x-1} = 9$。

首先，我们可以对方程进行整理，得到 $3^x - 2 \cdot 3^x \cdot 3^{-1} = 9$。

继续化简得 $3^x - 2 \cdot \frac{3^x}{3} = 9$。

幂函数、指数函数与对数函数知识方法扫描一、指数函数及其性质形如y =a x (a >0,a ≠1)的函数叫作指数函数，其定义域为R ，值域为(0,+∞)．当0<a <1时，y =a x 是减函数，当a >1时，y =a x 为增函数，它的图像恒过定点(0,1)．二、分数指数幂a 1n=na ,a m n=n a m ,a -n=1an ,a -mn =1na m三、对数函数及其性质对数函数y =log a x (a >0,a ≠1)的定义域为(0,+∞)，值域为R ，图像过定点(1,0)．它是指数函数y =a x (a >0,a ≠1)的反函数，所有性质均可由指数函数的性质导出．当0<a <1时，y =log a x 为减函数，当a >1时，y =log a x 为增函数．四、对数的运算性质(M >0,N >0)(1)a log M a =M (这是定义)；(2)log a (MN )=log M a +log a N ；(3)log a MN=log a M -log a N ；(4)log a M n =n log a M ；(5)log a b =log c blog c a (a ,b ,c >0,a ,c ≠1)(换底公式)．由以上性质(4)、(5)容易得到以下两条推论：1)log a mb n =n m log a b ；2)log a b =1log b a．典型例题剖析1已知x 1是方程x +lg x =10的根，x 2是方程x +10x =10的根，求x 1+x 2的值．【解法1】由题意得lg x 1=10-x 110x 2=10-x 2，表明x 1是函数y =lg x 与y =10-x 的交点的横坐标，x 2是函数y =10x 与y =10-x 的交点的横坐标．因为y =lg x 与y =10x 互为反函数，其图像关于y =x 对称，由y =10-x y =x 得，x =5y =5 ，所以x 1+x 22=5，所以x 1+x 2=10．【解法2】构造函数f (x )=x +lg x ，由x 1+lg x 1=10知f x 1 =10，x 2+10x 2=10即10x 2+lg10x 2=10，则f 10x 2 =10，于是f x 1 =f 10x 2 ，又f (x )为(0,+∞)上的增函数，故x 1=10x 2，x 1+x 2=10x 2+x 2=10．【解法3】由题意得x 1=1010-x 110-x 2=10x 2，两式相减有x 1+x 2-10=1010-x 1-10x 2．若x 1+x 2-10>0，则1010-x 1-10x 2>0，得10-x 1>x 2，矛盾；若x 1+x 2-10<0，则1010-x 1-10x 2<0，得10-x 1<x 2，矛盾；而当x 1+x 2=10时，满足题意．【评注】解法1巧妙地利用了数形结合的方法，解法2巧妙地利用了函数的单调性，解法3巧妙地利用了反证法的技巧．2已知a >0，b >0，log9a =log 12b =log 16(a +b )，求ba的值．【解法1】设log 9a =log 12b =log 16(a +b )=k ，则a =9k ，b =12k ，a +b =16k ．由于9k ×16k =12k 2故(a +b )a =b 2，解得：b a =1+52(负根舍去)．【解法2】设log 9a =log 12b =log 16(a +b )=k ，则a =9k ，b =12k ，a +b =16k ．b a =12k 9k =43 k ，而9k +12k =16k，故1+12k 9k =16k 9k ，即43 k 2-43 k -1=0，故b a =43 k =1+52(负根舍去)．【评注】对数运算和指数运算互为逆运算，有关对数的运算和处理，往往可以转化为指数的运算和处理．3已知函数f (x )=1x +1+log 13x 2-x，试解不等式f x x -12 >12．【分析】本题为分式不等式与对数不等式混合．初看不易解决，但可以发现该函数在其定义域内单调递减，这是本题的解题关键．【解】易证函数y =f (x )在其定义域(0,2)内是单调减函数．并且f (1)=12，所以原不等式即为f x x -12 >f (1)等价于x x -12 <10<x x -12 <2⇒ x 12<x <1+174或1-174<x <0 ．【评注】利用函数单调性解决不易入手的不等式是一种常用方法．4设方程lg (kx )=2lg (x +1)仅有一个实根，求k 的取值范围．【分析】本题要注意函数的定义域．【解法1】当且仅当kx >0①x +1>0②x 2+(2-k )x +1=0③时原方程仅有一个实根，对方程③使用求根公式，得x 1,x 2=12k -2±k 2-4k ④Δ=k 2-4k ≥0⇒k <0或k ≥4．当k <0时，由方程③，得x 1+x 2=k -2<0,x 1x 2=1>0,所以x 1，x 2同为负根．又由方程程④知x 1+1>0,x 2+1<0,所以原方程有一个解x 1．当k =4时，原方程有一个解x =k2-1=1．当k >4时，由方程③，得x 1+x 2=k -2>0,x 1x 2=1>0. 所以x 1，x 2同为正根，且x 1≠x 2，不合题意，舍去．综上所述可得k <0或k =4为所求．【解法2】由题意，方程kx =(x +1)2，也即方程k =x +1x+2在满足关于x 的不等式kx >0x +1>0 的范围内有唯一实数根，以下分两种情况讨论：(1)当k >0时，k =x +1x +2在x >0范围内有唯一实数根，则有k =4；(2)当k <0时，k =x +1x+2在-1<x <0范围内有唯一实数根，则有k <0．综上可得k <0或k =4为所求．【评注】本题实质上是一道一元二次方程问题．5解不等式：log 12(x +3x )>log 64x ．【分析】若考虑到去根号，可设x =y 6(y >0)，原不等式变为log 12y 3+ y 2 >log 6446=log 2y ，即2log 12y +log 2(y +1)>log 2y ，陷入困境．原不等式即6log 12(x +3x )>log 2x ⇒2log 12x +log 121+x166>log 2x ，设t =log 2x ，则log 12x =1log x12=12log x 2+log x 3，同样陷入困境．下面用整体代换y =log 64x ．【解】设y =log 64x ，则x =64y，代人原不等式，有log 128y +4y >y ，8y +4y >12y，23 y +13 y >1，由指数函数的单调性知y =log 64x <1，则0<x <64．故原不等式的解集为(0,64)．6已知1<a ≤b ≤c 证明：log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c ．【证法1】注意到log a b +log b c +log c a -log b a +log c b +log a c=ln b ln a +ln c ln b +ln a ln c -ln a ln b+ln b ln c +ln c ln a =ln 2b ln c +ln 2c ln a +ln 2a ln b -ln 2b ln a +ln 2c ln b +ln 2a ln c ln a lnb ln c=-(ln a -ln b )(ln b -ln c )(ln c -ln a )ln a ln b ln c．【证法2】设log b a =x ，log c b =y ，则log a c =1xy ，于是原不等式等价于x +y +1xy ≤1x +1y+xy ，即x 2y +xy 2+1≤y +x +x 2y 2，即xy (x +y )-(x +y )+1-x 2y 2 ≤0，也即(x +y -1-xy )(xy -1)≤0也即(x -1)(y -1)(xy -1)≥0，由1<a ≤b ≤c 知x ≥1,y ≥1，所以(x -1)(y -1)(xy -1)≥0，得证．因为1<a ≤b ≤c ，所以ln a ln b ln c >0，(ln a -ln b )(ln b -ln c )(ln c -ln a )≥0所以log a b +log b c +log c a -log b a +log c b +log a c ≤0即log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c °【评注】若令x =ln a ，y =ln b ，z =ln c 则原不等式等价于：设0<x ≤y ≤z ，求证：x 2y +y 2z +z 2x ≤xy 2+yz 2+zx 2．7设函数f (x )=|lg (x +1)|，实数a ，b (a <b )满足f (a )=f -b +1b +2，f (10a +6b +21)=4lg2，求a 、b 的值．【分析】利用已知条件构建关于a 、b 的二元方程组进行求解．【解】因为f (a )=f -b +1b +2 ，所以|lg (a +1)|=lg -b +1b +2+1 =lg 1b +2=|lg (b +2)|所以，a +1=b +2或(a +1)(b +2)=1，又因为a <b ，所以a +1≠b +2，所以(a +1)(b +2)=1又由于0<a +1<b +1<b +2，于是0<a +1<1<b +2，所以(10a +6b +21)+1=10(a +1)+6(b +2)=6(b +2)+10b +2>1，从而f (10a +6b +21)=lg 6(b +2)+10b +2=lg 6(b +2)+10b +2，又f (10a +6b +21)=4lg2，所以lg 6(b +2)+10b +2 =4lg2，故6(b +2)+10b +2=16．解得b =-13或b =-1(舍去)．把b =-13代故(a +1)(b +2)=1，解得a =-25．所以，a =-25,b =-13．同步训练一、选择题1已知a 、b 是方程log 3x 3+log 27(3x )=-43的两个根，则a +b =()．A.1027B.481C.1081D.2881【答案】C ．【解析】原方程变形为log 33log 3(3x )+log 3(3x )log 327=-43，即11+log 3x +1+log 3x 3=-43．令1+log 3x =t ，则1t +t 3=-43，解得t 1=-1,t 2=-3．所以1+log 3x =-1或1+log 3x =-3，方程的两根分别为19和181，所以a +b =1081．故选C ．2已知函数f (x )=1a x -1+12x 2+bx +6(a ,b 为常数，a >1)，且f lglog 81000 =8，则f (lglg2)的值是()．A.8 B.4 C.-4 D.-8【答案】B ．【解析】由已知可得f lglog 81000 =f lg33lg2=f (-lglg2)=8，又1a -x -1+12=a x 1-a x +12=-1+11-a x +12=-1a x -1-12，令F (x )=f (x )-6，则有F (-x )=-F (x )．从而有f (-lglg2)=F (-lglg2)+6=-F (lglg2)+6=8，即知F (lglg2)=-2，f (lglg2)=F (lglg2)+6=4．3如果f (x )=1-log x 2+log x 29-log x 364，则使f (x )<0的x 的取值范围为()．A.0<x <1 B.1<x <83C.x >1D.x >83【答案】B ．【解析】显然x >0，且x ≠1．f (x )=1-log x 2+log x 29-log x 364=1-log x 2+log x 3-log x 4=log x 38x ．要使f (x )<0．当x >1时，38x <1，即1<x <83；当0<x <1时，38x >1，此时无解．由此可得，使得f (x )<0的x 的取值范围为1<x <83．应选B ．4若f (x )=lg x 2-2ax +a 的值域为R ，则a 的取值范围是()．A.0<a <1 B.0≤a ≤1 C.a <0或a >1 D.a ≤0或a ≥1【答案】D ．【解析】由题目条件可知，(0,+∞)⊆y |y =x 2-2ax +a ，故Δ=(-2a )2-4a ≥0，解得a ≤0或a ≥1．选D ．二、填空题5设f (x )=log 3x -4-x ，则满足f (x )≥0的x 的取值范围是．【答案】[3,4]．【解析】定义域(0,4]．在定义域内f (x )单调递增，且f (3)=0．故f (x )≥0的x 的取值范围为[3,4]．6设0<a <1，0<θ<π4，x =(sin θ)log asin θ，y =(cos θ)log atan θ，则x 与y 的大小关系为．【答案】x <y ．【解析】根据条件知，0<sin θ<cos θ<1，0<sin θ<tan θ<1，因为0<a <1，所以f (x )=log a x 为减函数，所以log a sin θ>log a tan θ>0，于是x =(sin θ)log a sin θ<(sin θ)log a tan θ<(cos θ)log a tan θ=y .7设f (x )=12x +5+lg 1-x 1+x ，则不等式f x x -12<15的解集为．【答案】1-174,0 ∪12,1+174．【解析】原不等式即为f x x -12<f (0)．因为f (x )的定义域为(-1,1)，且f (x )为减函数．所以-1<x x -12 <1x x -12 >0.解得x ∈1-174,0∪12,1+174．8设f (x )=11+2lg x +11+4lg x +11+8lg x ，则f (x )+f 1x =．【答案】3．【解析】f (x )+f 1x =11+2lg x +11+4lg x +11+8lg x +11+2-lg x +11+4-lg x +11+8-lg x =3．三、解答题9已知函数f (x )=a x +3a (a >0,a ≠1)的反函数是y =f -1(x )，而且函数y =g (x )的图像与函数y =f -1(x )的图像关于点(a ,0)对称．(1)求函数y =g (x )的解析式；(2)若函数F (x )=f -1(x )-g (-x )在x ∈[a +2,a +3]上有意义，求a 的取值范围．【解析】(1)由f (x )=a x +3a (a >0,a ≠1)，得f -1(x )=log a (x -3a )．又函数y =g (x )的图像与函数y =f -1(x )的图像关于点(a ,0)对称，则g (a +x )=-f -1(a -x )，于是，g (x )=-f -1(2a -x )=-log a (-x -a )，(x <-a )．(2)由(1)的结论，有F (x )=f -1(x )-g (-x )=log a (x -3a )+log a (x -a )．要使F (x )有意义，必须满足x -3a >0,x -a >0. 又a >0，故x >3a ．由题设F (x )在x ∈[a +2,a +3]上有意义，所以a +2>3a ，即a <1．于是，0<a <1．10设f (x )=log a (x -2a )+log a (x -3a )，其中a >0且a ≠1．若在区间[a +3,a +4]上f (x )≤1恒成立，求a 的取值范围．【解析】f (x )=log a x 2-5ax +6a 2=log a x -5a 2 2-a 24．由x -2a >0x -3a >0, 得x >3a ，由题意知a +3>3a ，故a <32，从而(a +3)-5a 2=-32(2-a )>0，故函数g (x )=x -5a 2 2-a 24在区间[a +3,a +4]上单调递增．若0<a <1，则f (x )在区间[a +3,a +4]上单调递减，所以f (x )在区间[a +3，a +4]上的最大值为f (a +3)=log a 2a 2-9a +9 ．在区间[a +3,a +4]上不等式f (x )≤1恒成立，等价于不等式loglog a 2a 2-9a +9 ≤1恒成立，从而2a 2-9a +9≥a ，解得a ≥5+72或a ≤5-72．结合0<a <1，得0<a <1．若1<a <32，则f (x )在区间[a +3,a +4]上单调递增，所以f (x )在区间[a +3,a +4]，上的最大值为f (a +4)=log a 2a 2-12a +16 ．在区间[a +3,a +4]上不等式f (x )≤1恒成立，等价于不等式log a 2a 2-12a +16 ≤1恒成立，从而2a 2-12a +16≤a ，即2a 2-13a +16≤0，解得13-414≤a ≤13+414．易知13-414>32，所以不符合．综上所述，a 的取值范围为(0,1)．11解方程组x x +y=y 12y x +y =x 3，(其中x ,y ∈R * ．【解析】两边取对数，则原方程组可化为(x +y )lg x =12lg y ①(x +y )lg y =3lg x ②把式①代入式②，得(x +y )2lg x =36lg x ，所以(x +y )2-36 lg x =0．由lg x =0，得x =1；代入式①，得y =1．由(x +y )2-36=0x ,y ∈R * 得x +y =6．代入式①得lg x =2lg y ，即x =y 2，所以y 2+y -6=0．又y >0，所以y =2,x =4．所以方程组的解为x 1=1y 1=1 ，x 2=4y 2=2 ．12已知f (x )=lg (x +1)-12log 3x ．(1)解方程f (x )=0；(2)求集合M =n f n 2-214n -1998 ≥0,n ∈Z 的子集个数．【解析】(1)任取0<x 1<x 2，则f x 1 -f x 2 =lg x 1+1 -lg x 2+1 -12log 3x 1-log 3x 2=lgx 1+1x 2+1-12log 3x 1x 2=lg x 1+1x 2+1-log 9x 1x 2，因为x 1+1x 2+1>x 1x 2，所以lg x 1+1x 2+1>lg x 1x 2．故f x 1 -f x 2 =lg x 1+1x 2+1-log 9x 1x 2>lg x 1x 2-lg x1x 2lg9，因为0<lg9<1，lg x 1x 2<0，所以f x 1 -f x 2 >lg x 1x 2-lg x1x 2=0，f (x )为(0,+∞)上的减函数，注意到f (9)=0，当x >9时，f (x )<f (9)=0；当<x <9时，f (x )>f (9)=0，所以f (x )=0有且仅有一个根x =9．(2)由f n 2-214n -1998 ≥0⇒f n 2-214n -1998 ≥f (9)所以n 2-214n -1998≤9n 2-214n -1998>0 ⇔n 2-214n -2007≤0n 2-214n -1998>0⇔(n -223)(n +9)≤0(n -107)2>1998+1072=13447>1152⇔-9≤n ≤223n >222或n <-8 ⇔⇔-9≤n ≤223n ≥223或n ≤-9 ，所以n =223或n =-9,M ={-9,223},M 的子集的个数是4．13已知a >0，a ≠1，试求使得方程log a (x -ak )=log a x 2-a 2 有解的k 的取值范围．【解析】由对数性质知，原方程的解x 应满足(x -ak )2=x 2-a 2x -ak >0x 2-a 2>0(1)(2)(3)若式(1)、式(2)同时成立，则式(3)必成立，故只需要解(x -ak )2=x 2-a 2x -ak >0.由式(1)可得2kx =a 1+k 2(4)当k =0时，式(4)无解；当k ≠0时，式(4)的解是x =a 1+k 2 2k ，代人式(2)，得1+k 22k>k ．若k <0，则k 2>1，所以k <-1；若k >0，则k 2<1，所以0<k <1．综上所述，当k ∈(-∞,-1)∪(0,1)时，原方程有解．14已知0.301029<lg2<0.301030，0.477120<lg3<0.477121，求20001979的首位数字．【解析】lg20001979=1979lg2000=1979(3+lg2)．所以6532.736391<lg20001979<6532.73837．故20001979为6533位数，由lg5=1-lg2,lg6=lg2+lg3，得0.698970<lg5<0.6989710.778149<lg6<0.778151⇒lg5<0.736391<0.73837<lg6,说明20001979的首位数字是5．15已知3a +13b =17a ，5a +7b =11b ，试判断实数a 与b 的大小关系，并证明之．【解析】令a =1，则13b =14,5+7b =11b ，可见b >1．猜想a <b ．下面用反证法证明：若a ≥b ，则13a ≥13b ,5a ≥5b ，所以17a =3a +13b ≤3a +13a ,11b =5a +7b ≥5b +7b ，即317 a +1317 a ≥1,511 b +711 b ≤1，而函数f (x )=317 x +1317 x和g (x )=511 x +711 x在R 上均为减函数，且f (1)=317+1317=1617<1≤f (a ),g (1)=511+711=1211>1≥g (b )．所以a <1,b >1．这与a ≥b 矛盾，故a <b ．16解不等式log 2x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1 <1+log 2x 4+1 ．【解析】原不等式等价于log 2x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1 <log 22x 4+2 ．由于y =log 2x 为单调递增函数，于是x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1<2x 4+2，两端同时除以x 6，并整理得2x2+1x 6>x 6+3x 4+3x 2+1+2x 4+2=x 2+1 3+2x 2+1 构造函数g (t )=t 3+2t ，则上述不等式转化为g1x2>g x 2+1 .显然g (t )=t 3+2t 在R 上为增函数．于是以上不等式等价于1x2>x 2+1，即x 2 2+x 2-1<0，解得x 2<5-12．故原不等式的解集为-5-12,5-12．。

高中数学公式大全指数对数函数的方程与不等式应用一、指数方程与不等式的应用指数方程和不等式是数学中常见的问题类型，它们在实际生活中有着广泛的应用。

本文将介绍指数方程和不等式在各个领域中的应用，涉及到经济学、生物学、物理学等多个领域。

1. 经济学中的应用指数方程和不等式在经济学中有着广泛的应用。

例如，在经济增长模型中，经济增长率可以用指数函数来表示，通过解指数方程可以计算经济增长的速率和时间。

此外，不等式方程可以描述供需关系，从而帮助经济学家做出合理的决策。

2. 生物学中的应用指数方程和不等式在生物学中也有着重要的应用。

在生物种群的增长模型中，指数方程可以用来描述种群数量随时间的变化。

通过解指数方程，我们可以计算出种群的增长速率和繁殖周期。

此外，在生物学研究中，不等式方程可以用来描述物种之间的竞争关系和资源分配问题。

3. 物理学中的应用指数方程和不等式在物理学中也有着广泛的应用。

例如，在放射性衰变中，物质的衰变速率可以用指数函数来描述。

通过解指数方程，我们可以计算出物质的衰变速率，从而了解物质的特性。

此外，在能量传递和振动系统中，指数方程和不等式可以帮助我们理解能量的转换和系统的稳定性。

4. 社会科学中的应用指数方程和不等式在社会科学中也有着一定的应用。

例如，在人口增长模型中，指数方程可以用来描述人口数量的变化规律。

通过解指数方程，我们可以计算出人口的增长速率和预测未来的人口数量。

此外，在社会科学研究中，不等式方程可以用来描述社会不平等和资源分配问题。

二、指数对数函数的应用指数和对数函数是数学中的重要概念，它们在各个领域中的应用十分广泛。

下面将介绍指数对数函数的应用于科学、工程、金融等领域。

1. 科学中的应用指数和对数函数在科学研究中有着广泛的应用。

例如，在物理学中，指数函数可以用来描述物体的增长速度、衰减速度等特性。

而对数函数则可以用来描述复杂系统的变化趋势和规律。

在化学研究中，指数函数可以用来描述化学反应的速率、反应物的浓度等特性。

指数与对数函数的方程与不等式指数与对数函数是高中数学中的重要内容，它们在数学和实际问题中有着广泛的应用。

本文将介绍指数与对数函数的方程与不等式的求解方法和应用。

一、指数函数方程的求解指数函数方程是形如y=a^x的方程，其中a为常数，x和y为变量。

求解指数函数方程的一般步骤如下：1. 将指数函数方程转化为对数函数方程。

对于y=a^x，我们可以将其转化为对数形式：x=loga(y)。

2. 根据对数函数的性质，将对数函数方程进行化简。

例如，利用对数函数的指数与对数互为反函数的性质，可以将方程简化为x=logay。

3. 求解化简后的对数函数方程。

利用对数函数的性质和求对数的方法，我们可以得到方程的解。

例如，求解指数函数方程2^x=8，我们可以将其转化为对数函数方程x=log2(8)，再利用对数函数的性质将其化简为x=3。

因此，方程2^x=8的解为x=3。

二、对数函数方程的求解对数函数方程是形如y=loga(x)的方程，其中a为常数，x和y为变量。

求解对数函数方程的一般步骤如下：1. 利用对数函数的性质将对数函数方程进行化简。

例如，利用对数函数的底数和真数的换底公式将方程化简为一个常用底数（如10或e）的对数函数方程。

2. 求解化简后的对数函数方程。

利用求对数的方法和对数函数的性质，我们可以得到方程的解。

例如，求解对数函数方程log2(x)=3，我们可以利用对数函数的性质将其化简为log(x)/log(2)=3，再通过计算得到log(x)=3log(2)，最后解得x=2^3=8。

因此，方程log2(x)=3的解为x=8。

三、指数函数不等式的求解指数函数不等式是形如y>a^x或y<a^x的不等式，其中a为常数，x 和y为变量。

求解指数函数不等式的一般步骤如下：1. 将指数函数不等式转化为对数函数不等式。

例如，将y>a^x转化为x<loga(y)。

2. 根据对数函数的性质，将对数函数不等式进行化简。

（一）基础知识回顾：1．二次函数：当¹a 0时，y =ax 2+bx +c 或f (x )=ax 2+bx +c 称为关于x 的二次函数，其对称轴为直线x =-a b 2，另外配方可得f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)，其中x 0=-ab 2，下同。

，下同。

2．二次函数的性质：当a >0时，f (x )的图象开口向上，在区间（-∞，x 0]上随自变量x 增大函数值减小（简称递减），在[x 0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。

当a <0时，情况相反。

情况相反。

3．当a >0时，方程f (x )=0即ax 2+bx +c =0…①和不等式ax 2+bx +c >0…②及ax 2+bx +c <0…③与函数f (x )的关系如下（记△=b 2-4ac ）。

1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x 1,x 2(x 1<x 2)，不等式②和不等式③的解集分别是{x |x <x 1或x >x 2}和{x |x 1<x <x 2}，二次函数f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，f (x )还可写成f (x )=a (x -x 1)(x -x 2). 2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x 1=x 2=x 0=ab2-,不等式②和不等式③的解集分别是{x |x ab2-¹}和空集Æ，f (x )的图象与x 轴有唯一公共点。

轴有唯一公共点。

3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R 和Æ.f (x )图象与x 轴无公共点。

共点。

当a <0时，请读者自己分析。

时，请读者自己分析。

4．二次函数的最值：若a >0，当x =x 0时，f (x )取最小值f (x 0)=ab ac 442-,若a <0，则当x =x 0=a b 2-时，f (x )取最大值f (x 0)=ab ac 442-.对于给定区间[m,n ]上的二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)，当x 0∈[m, n ]时，f (x )在[m, n ]上的最小值为f (x 0); 当x 0<m 时。

高中数学公式大全指数对数函数的方程与不等式求解指数对数函数在高中数学中是一个重要的章节，其中方程与不等式的求解是其核心内容之一。

本文将为您详细介绍指数对数函数的基本概念以及方程与不等式的求解方法。

一、指数函数的性质与方程求解1. 指数函数的定义与性质：指数函数的定义形式为y=a^x，其中a为底数，x为指数，a＞0且a≠1。

指数函数的性质包括：（1）当a＞1时，指数函数是递增函数，即随着指数x的增加，函数值y也增加；（2）当0＜a＜1时，指数函数是递减函数，即随着指数x的增加，函数值y减小；（3）当x是整数时，指数函数的函数值相应为a的x次方；（4）当x是负数时，指数函数的函数值可以通过求倒数或取对数求得。

2. 指数函数的方程求解：当我们需要解决指数函数的方程时，我们可以使用对数的性质来将指数方程转化为对数方程，并进而求解。

例如，对于指数方程2^x=8，我们可以应用对数性质loga（a^x）=x，将方程转为对数方程log2（8）=x，求得x=3。

二、对数函数的性质与方程求解1. 对数函数的定义与性质：对数函数的定义形式为y=loga x，其中a为底数，x为实数，a＞0且a≠1。

对数函数的性质包括：（1）对数函数与指数函数互为反函数，即y=loga x等价于a^y=x；（2）当0＜a＜1时，对数函数是递增函数，当a＞1时，对数函数是递减函数；（3）对数函数的定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)；（4）特殊地，若以e为底数，表示的对数函数为自然对数函数，记作y=lnx。

2. 对数函数的方程求解：对数函数的方程求解方法主要依赖于对数的性质和变换。

常见的求解方法包括：（1）利用对数的定义，将对数方程转化为指数方程，并置换求解；（2）应用对数性质loga（xy）=loga（x）+loga（y），将复杂的对数方程化简为多个简单的对数方程；（3）通过变换或代换，将对数方程转化为一次方程或二次方程，然后求解。

初中数学知识点指数函数与对数函数的方程与不等式初中数学知识点：指数函数与对数函数的方程与不等式指数函数和对数函数是数学中重要的函数类型。

在初中数学中，我们学习了如何解指数函数和对数函数的方程与不等式。

本文将对指数函数和对数函数的基本性质以及解方程和不等式的方法进行详细介绍。

一、指数函数的性质及方程解法指数函数具有以下基本性质：1. 指数函数的定义：指数函数是形如 y=a^x 的函数，其中 a 是底数，x 是指数。

2. 指数函数的图像特点：当底数 a 大于 1 时，函数呈现增长趋势；当底数 a 在 0 和 1 之间时，函数呈现递减趋势。

3. 指数函数的性质：指数函数有唯一性、零点、单调性和奇偶性等性质。

4. 指数函数的方程解法：解指数函数的方程一般可以通过对数函数进行解答。

通过取对数，将指数函数转化为对数函数，再用对数函数的性质解方程。

以解以下方程为例：1. 方程a^x=b，其中 a 和 b 是已知的实数，求解 x。

解法：取对数得到 x = log (b) / log (a)。

2. 方程a^x+b^x=c，其中 a、b 和 c 是已知的实数，求解 x。

解法：将方程转化为对数函数形式 log (a^x+b^x)=log (c)，再利用对数函数的性质解方程。

二、对数函数的性质及方程解法对数函数具有以下基本性质：1. 对数函数的定义：对数函数是形如 y=loga(x)（a>0且a≠1）的函数，其中 a 是底数，x 是真数。

2. 对数函数的图像特点：对数函数的图像呈现递增趋势，且有一个特殊点 (1, 0)。

3. 对数函数的性质：对数函数有唯一性、单调性和奇偶性等性质。

4. 对数函数的方程解法：对数函数的方程解法一般是通过对数函数性质和指数函数的倒数关系进行运算。

以解以下方程为例：1. 方程loga(x)=b，其中 a 和 b 是已知的实数，求解 x。

解法：对数定义得到 x = a^b。

2. 方程loga(x)+loga(y)=c，其中 a 和 c 是已知的实数，求解 x 和 y。

高中数学备课教案指数函数与对数函数的方程与不等式高中数学备课教案指数函数与对数函数的方程与不等式一、引言指数函数与对数函数是高中数学中的重要内容之一，掌握其方程与不等式的解法对于学生的数学素养提升具有重要意义。

本教案将重点介绍指数函数与对数函数的方程与不等式的基本概念、求解方法和相关应用。

二、指数函数的方程1. 指数函数方程的基本性质指数函数方程是以指数函数为未知数的方程，一般形式为\[a^x = b\]其中\(a\)为底数，\(b\)为常数。

指数函数方程的解即为\(x\)的取值，使得指数函数表达式等于常数\(b\)。

2. 指数函数方程的解法（1）对数法：将指数形式转化为对数形式，通过对数的性质求解。

（2）换底公式：当底数不同但为正实数时，可通过换底公式将方程化简为相同底数的形式，然后求解。

3. 指数函数方程的应用指数函数方程常见于各种科学问题中，如物质的自然衰变、人口增长问题等。

通过对指数函数方程的求解，能够帮助学生分析解决这些实际问题。

三、对数函数的方程1. 对数函数方程的基本性质对数函数方程是以对数函数为未知数的方程，一般形式为\(\log_a{x} = b\)其中\(a\)为底数，\(b\)为常数。

对数函数方程的解即为\(x\)的取值，使得对数函数表达式等于常数\(b\)。

2. 对数函数方程的解法（1）指数与对数互逆性质：将对数形式转化为指数形式，通过指数函数的性质求解。

（2）换底公式：当底数不同但为正实数时，可通过换底公式将方程化简为相同底数的形式，然后求解。

3. 对数函数方程的应用对数函数方程常见于财务管理、生物科学等领域中，如利润的计算、酶的催化作用等。

通过对对数函数方程的求解，能够帮助学生应用数学解决实际问题。

四、指数函数的不等式1. 指数函数不等式的基本性质指数函数不等式是以指数函数为未知数的不等式，一般形式为\[a^x > b\]或\[a^x < b\]其中\(a\)为底数，\(b\)为常数。

解决指数和对数不等式的常用方法指数和对数不等式是数学中常见的问题，解决这类不等式需要一些方法和技巧。

本文将介绍解决指数和对数不等式的常用方法，帮助读者更好地理解和应用。

一、指数不等式的解法指数不等式是指数函数中含有不等式关系的不等式。

解决指数不等式需要根据指数的性质，采用一些特定的步骤。

1. 步骤一：将不等式中的底数进行换底操作，将其转化为等价的对数不等式，便于求解。

特别是当指数底数不同且不容易进行直接比较时，换底操作是可行的方法。

2. 步骤二：将不等式中的底数进行变形操作，将其转化为多项式形式或者相同底数的指数形式，简化计算。

3. 步骤三：利用指数函数的单调性进行分析，确定变量的取值范围。

对于单调递增的指数函数，可以通过比较底数大小来确定解集；对于单调递减的指数函数，则需要进行一些额外的推导与探究。

4. 步骤四：根据指数函数的图像和性质，进一步确定不等式的解集。

注意排除不可能的解和边界情况，确保解的准确性。

二、对数不等式的解法对数不等式是对数函数中含有不等式关系的不等式。

解决对数不等式需要对对数函数的性质有一定的了解，同时运用一些常用的技巧。

1. 步骤一：对不等式的两边同时取对数，将其转化为指数形式，便于求解。

但要注意，对数函数的定义域和对数的底数不能为负数，需排除这些不能满足的情况。

2. 步骤二：利用对数函数的性质进行变形和简化。

对于对数函数，可以运用对数的基本性质、对数函数的单调性以及对数函数的图像等性质进行变换与运算。

3. 步骤三：通过观察和推导，确定变量的取值范围。

比较对数底数的大小、对数函数的增减性与单调性等都有助于更精确地判断解集。

4. 步骤四：根据对数函数的图像和性质，进一步确定不等式的解集。

同样需要排除不可能的解和边界情况，避免遗漏或者重复。

三、指数和对数不等式的综合应用在实际问题中，指数和对数函数常常是同时出现的，需要综合运用相关的解法。

1. 步骤一：根据题目中的不等式关系，把指数和对数进行分析和提取。

高中数学必修一第四章指数函数与对数函数知识点总结归纳完整版单选题1、已知函数y=a x、y=b x、y=c x、y=d x的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是（）A．b+d>a+c B．b+d<a+c C．a+d>b+c D．a+d<b+c答案：B分析：如图，作出直线x=1,得到c>d>1>a>b，即得解.如图，作出直线x=1,得到c>d>1>a>b，所以b+d<a+c.故选：B2、如图所示，函数y=|2x−2|的图像是（）A ．B ．C ．D ．答案：B分析：将原函数变形为分段函数，根据x =1及x ≠1时的函数值即可得解. ∵y =|2x−2|={2x −2,x ≥12−2x ,x <1，∴x =1时，y =0,x ≠1时，y >0. 故选：B.3、在同一平面直角坐标系中，一次函数y =x +a 与对数函数y =log a x （a >0且a ≠1）的图象关系可能是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C分析：根据对数函数的图象以及直线方程与图象关系分别进行讨论即可． A ．由对数图象知0<a <1，此时直线的纵截距a >1，矛盾， B ．由对数图象知a >1，此时直线的纵截距0<a <1，矛盾， C ．由对数图象知0<a <1，此时直线的纵截距0<a <1，保持一致， D ．由对数图象知a >1，此时直线的纵截距a <0，矛盾， 故选：C ．4、函数f(x)=2x −1x 的零点所在的区间可能是（ ）A ．(1,+∞)B ．(12，1)C ．(13，12)D ．(14，13)答案：B分析：结合函数的单调性，利用零点存在定理求解.因为f(1)=2−11=1>0,f(12)=√2−2<0,f(13)=√23−3<0f(14)=√24−4<0，所以f(12)⋅f(1)<0，又函数f(x)图象连续且在(0,+∞)单调递增，所以函数f(x)的零点所在的区间是(12，1)，故选：B ．小提示：本题主要考查函数的零点即零点存在定理的应用，属于基础题. 5、已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A ．a <b <c B ．b <a <c C ．b <c <a D ．c <a <b 答案：A分析：由题意可得a 、b 、c ∈(0,1)，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由b =log 85，得8b =5，结合55<84可得出b <45，由c =log 138，得13c =8，结合134<85，可得出c >45，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.由题意可知a 、b 、c ∈(0,1)，a b =log 53log 85=lg3lg5⋅lg8lg5<1(lg5)2⋅(lg3+lg82)2=(lg3+lg82lg5)2=(lg24lg25)2<1，∴a <b ；由b =log 85，得8b =5，由55<84，得85b <84，∴5b <4，可得b <45； 由c =log 138，得13c =8，由134<85，得134<135c ，∴5c >4，可得c >45.综上所述，a <b <c . 故选：A.小提示：本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.6、若y =log 3a 2−1x 在(0,+∞)内为增函数，且y =a −x 也为增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．(√33,1)B ．(0,12)C ．(√33,√63)D ．(√63,1) 答案：D分析：根据函数单调性，列出不等式组{3a 2−1>10<a <1求解，即可得出结果.若y =log 3a 2−1x 在(0,+∞)内为增函数，则3a 2−1>1，由y =a −x 为增函数得0<a <1．解不等式组{3a 2−1>10<a <1，得a 的取值范围是(√63,1)．故选：D.小提示：本题主要考查由对数函数与指数函数的单调性求参数，涉及不等式的解法，属于基础题型. 7、已知a =lg2，10b =3，则log 56=（ ） A ．a+b 1+a B ．a+b 1−a C ．a−b 1+a D ．a−b1−a 答案：B分析：指数式化为对数式求b ，再利用换底公式及对数运算性质变形. ∵a =lg2, 10b =3， ∴b =lg3， ∴log 56=lg6lg5=lg2×3lg 102=lg2+lg31−lg2=a+b1−a ．故选：B ．8、定义在R 上的奇函数f(x)在(−∞,0]上单调递增，且f(−2)=−2，则不等式f(lgx)−f (lg 1x )>4的解集为（ ）A ．(0,1100)B ．(1100,+∞)C ．(0,100)D ．(100,+∞) 答案：D分析：利用函数为奇函数，将不等式转化为f(lgx)>f (2)，再利用函数的单调性求解. 因为函数f(x)为奇函数，所以f(−x)=−f (x )，又f(−2)=−2，f(2)=2，所以不等式f(lgx)−f (lg 1x )>4，可化为2f(lgx)>4=2f (2)，即f(lgx)>f (2)，又因为f(x)在(−∞,0]上单调递增， 所以f(x)在R 上单调递增， 所以lgx >2， 解得x >100. 故选：D. 多选题9、下列化简结果中正确的有（m 、n 均为正数）（ ） A ．(1a m)n=a −mn B ．√a n n=a C ．a m n=a m a nD ．(π−3.14)0=1答案：AD分析：A.由指数幂的运算判断； B.由根式的性质判断；C.由分数指数幂和根式的转化判断；D.由规定判断. A. (1a m )n=(a −m )n =a −mn ，故正确； B. √a n n={a,n 为奇数|a |，n 为偶数 ，故错误；C. a m n=√a m n，故错误； D. (π−3.14)0=1，故正确. 故选：AD10、设函数f (x )={|x 2+3x |,x ≤1log 2x,x >1，若函数f (x )+m =0有五个零点，则实数m 可取（ ）A ．−3B ．1C ．−12D ．−2答案：CD分析：函数f (x )+m =0有五个零点等价于y =f(x)与y =−m 有五个不同的交点，作出f(x)图像，利用图像求解即可函数f (x )+m =0有五个零点等价于y =f(x)与y =−m 有五个不同的交点，作出f(x)图像可知，当x =−32时，f (−32)=|(−32)2+3×(−32)|=94若y =f(x)与y =−m 有五个不同的交点， 则−m ∈(0,94)， ∴m ∈(−94,0)， 故选：CD ．11、下列运算（化简）中正确的有（ ）． A ．(a 16)−1⋅(a −2)−13=a 12B ．(x a −1y)a⋅(4y −a )=4x C ．[(1−√2)2]12−(1+√2)−1+(1+√2)0=3−2√2D ．2a 3b 23⋅(−5a 23b 13)÷(4√a 4b 53)=−52a 73b −23答案：ABD分析：根据指数幂的运算法则逐一验证即可 对于A ：(a 16)−1⋅(a−2)−13=a−16+23=a12，故A 正确；对于B ：(xa −1y)a⋅(4y−a )=4x1a×a y a−a =4xy 0=4x ，故B 正确； 对于C ：[(1−√2)2]12−(1+√2)−1+(1+√2)0=[(√2−1)2]12−1+√2+1=√2−1−(√2−1)+1=1，故C 错误；对于D ：2a 3b 23⋅(−5a 23b 13)÷(4√a 4b 53)=[2×(−5)÷4]a3+23−43b23+13−53=−52a 73b −23，故D 正确；故选：ABD 填空题12、不等式2022x ≤1的解集为______． 答案：(−∞,0]分析：根据给定不等式利用指数函数单调性求解即可作答.依题意，不等式2022x ≤1化为：2022x ≤20220，而函数y =2022x 在R 上单调递增，解得x ≤0， 所以不等式2022x ≤1的解集为(−∞,0]. 所以答案是：(−∞,0]13、√a ⋅√a ⋅√a 3的分数指数幂表示为____________答案：a 34分析：本题可通过根式与分数指数幂的互化得出结果.√a ⋅√a ⋅√a 3=√a ⋅√a ⋅a 123=√a ⋅√a 323=√a ⋅a 12=√a 32=a 34， 所以答案是：a 34.14、函数f(x)=lg(kx)−2lg(x +1)仅有一个零点，则k 的取值范围为________． 答案：(−∞,0)∪{4}分析：由题意f(x)仅有一个零点，令y 1=kx 、y 2=(x +1)2，即y 1、y 2在f(x)定义域内只有一个交点，讨论k >0、k <0并结合函数图象，求k 的范围.由题意，f(x)=lg(kx)−2lg(x +1)=0，即lg(kx)=lg(x +1)2， ∴在f(x)定义域内，y 1=kx 、y 2=(x +1)2只有一个交点，当k>0时，即(0,+∞)上y1、y2只有一个交点；∴仅当y1、y2相切，即x2+(2−k)x+1=0中Δ=(2−k)2−4=0，得k=4或k=0(舍)，∴当k=4时，(0,+∞)上y1、y2只有一个交点；当k<0时，即(−1,0)上y1、y2只有一个交点，显然恒成立.∴k∈(−∞,0)∪{4}.所以答案是：(−∞,0)∪{4}解答题(a>0，a≠1)．15、已知函数f(x)=1−2a|x|+1（1）判断f(x)的奇偶性并证明；，求a的值．（2）若f(x)在[−1,1]上的最大值为13答案：（1）偶函数；证明见解析；（2）a=2．解析：（1）利用奇偶函数的定义证明；（2）讨论去绝对值，并分a>1和0<a<1两种情况讨论函数的单调性，求函数的最大值，建立方程，求a的值. 解：（1）f(x)的定义域为R，又f(−x)=1−2a|−x|+1=1−2a|x|+1=f(x)⇒f(−x)=f(x)，所以f(x)为偶函数；（2）因为f(x)为偶函数，当0≤x≤1时，f(x)=1−2a|x|+1=1−2a x+1，若a∈(0,1)，f(x)=1−2a x+1，函数单调递减，f(x)max=f(0)=0，若a∈(1,+∞)，f(x)=1−2a x+1，函数单调递增，f(x)max=f(1)=1−2a+1=13⇒a=2，当−1≤x<0，f(x)=1−2a|x|+1=1−2a−x+1，若a∈(0,1)，f(x)=1−2a−x+1，函数单调递增，f(x)max=f(0)=0，若a∈(1,+∞)，f(x)=1−2a−x+1，函数单调递减，f(x)max=f(−1)=1−2a+1=13⇒a=2，综上，a=2．小提示：关键点点睛：本题考查指数型复合函数证明奇偶性以及根据函数的最值，求参数的取值范围，本题的关键是求函数的单调性，关键是利用函数是偶函数，先去绝对值，再利用复合函数的单调性求函数的单调性，从而确定函数的最值.。

人教版高一数学必修一第4单元指数函数与对数函数（讲解和习题）基础知识讲解一．指数函数的定义、解析式、定义域和值域【基础知识】1、指数函数的定义：一般地，函数y＝a x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．2、指数函数的解析式：y＝a x（a＞0，且a≠1）【技巧方法】①因为a＞0，x是任意一个实数时，a x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．①规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，当x＞0时，a x恒等于0；当x≤0时，a x无意义；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x＝，x＝在实数范围内函数值不存在．如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．二．指数函数的图象与性质【基础知识】1、指数函数y＝a x（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y ＝a x a ＞1 0＜a ＜1图象定义域 R 值域 （0，+∞） 性质过定点（0，1）当x ＞0时，y ＞1； x ＜0时，0＜y ＜1当x ＞0时，0＜y ＜1；x ＜0时，y ＞1在R 上是增函数在R 上是减函数2、底数与指数函数关系①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a ＞l 时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y 轴；同样地，当0＜a ＜l 时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x 轴． ①底数对函数值的影响如图．①当a ＞0，且a ≠l 时，函数y ＝a x 与函数y ＝的图象关于y 轴对称．3、利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较： 若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．三．二次函数的性质与图象【二次函数】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【二次函数的性质】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．这里面略谈一下他的一些性质．①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝﹣；最值为：f（﹣）；判别式①＝b2﹣4ac，当①＝0时，函数与x轴只有一个交点；①＞0时，与x轴有两个交点；当①＜0时无交点．①根与系数的关系．若①≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝；①二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．①平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；四．指数型复合函数的性质及应用【基础知识】指数型复合函数性质及应用：指数型复合函数的两个基本类型：y＝f（a x）与y＝a f（x）复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理U＝g（x）y＝a u y＝a g（x）增增增减减增增减减减增减．五．指数函数的单调性与特殊点【基础知识】1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a 的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．2、同增同减的规律：（1）y＝a x如果a＞1，则函数单调递增；（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．六．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．七．指数式与对数式的互化【基础知识】a b＝N①log aN＝b；指数方程和对数方程主要有以下几种类型：（1）a f（x）＝b①f（x）＝log a b；log a f（x）＝b①f（x）＝a b（定义法）（2）a f（x）＝a g（x）①f（x）＝g（x）；log a f（x）＝log a g（x）①f（x）＝g（x）＞0（同底法）（3）a f（x）＝b g（x）①f（x）log m a＝g（x）log m b；（两边取对数法）（4）log a f（x）＝log b g（x）①log a f（x）＝；（换底法）（5）A log x+B log a x+C＝0（A（a x）2+Ba x+C＝0）（设t＝log a x或t＝a x）（换元法）八．对数的运算性质【基础知识】对数的性质：①＝N；①log a a N＝N（a＞0且a≠1）．log a（MN）＝log a M+log a N；log a＝log a M﹣log a N；log a M n＝n log a M；log a＝log a M．九．换底公式的应用【基础知识】换底公式及换底性质：（1）log a N＝（a＞0，a≠1，m＞0，m≠1，N＞0）．（2）log a b＝，（3）log a b•log b c＝log a c，十．对数函数的定义域【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．十一．对数函数的值域与最值【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．定点：函数图象恒过定点（1，0）十二．对数值大小的比较【基础知识】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）十三．对数函数的单调性与特殊点【基础知识】对数函数的单调性和特殊点：1、对数函数的单调性当a＞1时，y＝log a x在（0，+∞）上为增函数当0＜a ＜1时，y ＝log a x 在（0，+∞）上为减函数 2、特殊点对数函数恒过点（1，0）十四．对数函数图象与性质的综合应用 【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a ＞10＜a ＜1图象定义域 （0，+∞）值域 R 定点 过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1，y ＜0当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【技巧方法】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十五．指数函数与对数函数的关系【基础知识】指数函数和对数函数的关系：（1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x对称．（2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l时，它们是增函数；当O＜a＜l时，它们是减函数．（3）指数函数与对数函数的联系与区别：十六．反函数【基础知识】【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x①A）的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y①C）叫做函数y＝f（x）（x①A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f （﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．【性质】反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且f（x）＝C（其中C 是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．十七．对数函数图象与性质的综合应用【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a＞10＜a＜1图象定义域（0，+∞）值域R定点过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【解题方法点拨】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十八．函数的零点【基础知识】一般地，对于函数y＝f（x）（x①R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f （x）（x①D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．十九．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．【技巧方法】（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．二十．函数的零点与方程根的关系【基础知识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．二十一. 二分法【基础知识】二分法即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1＝时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念．习题演练一．选择题（共12小题）1．已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是( ) A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-+∞C ．()0,1D ．()(),01,-∞⋃+∞2．下列式子计算正确的是（ ） A ．m 3•m 2＝m 6 B ．（﹣m ）2＝21m - C ．m 2+m 2＝2m 2D ．（m +n ）2＝m 2+n 23．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．4．设2,8()(8),8x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(17)f =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．165．函数13x y a +=-（0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（ ） A ．()0,2-B ．()1,3--C ．()0,3-D ．()1,2--6．设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（ ） A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+7．已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．8．已知2log a e =，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>9．函数()2xf 的定义域为[1,1]-，则()2log y f x =的定义域为（ ）A ．[1,1]-B．C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[1,4]10．设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减11．已知函数()ln 1,01,0xx x f x e x ⎧+>=⎨+≤⎩，()22g x x x =--，若方程()()0f g x a -=有4个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞B ．(]0,1C ．(]1,2D ．[)2,+∞12．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭二．填空题（共6小题）13．计算：13021lg8lg 25327e -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭__________．14．不等式2log 5x a -<对任意[]4,16x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为____________. 15．已知当(]1,2x ∈时，不等式()21log a x x -≤恒成立，则实数a 的取值范围为________.16．若关于x 的方程11224a x x =-++-的解集为空集，求实数a 的取值范围______. 17．已知函数223,3()818,3x x f x x x x -⎧<=⎨-+≥⎩，则函数()()2g x f x =-的零点个数为_________．18．已知定义在R 上的函数()f x 满1(2)()f x f x +=，当[0,2)x ∈时，()x f x x e =+，则(2019)f =_______.三．解析题（共6小题）19．已知函数()log (1)log (3)(01)a a f x x x a =-++<<.（1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 的零点；（3）若函数()f x 的最小值为－4，求a 的值.20．已知定义域为R 的函数，12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.21．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)=2f . (1)求a 的值；(2)求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.22．已知实数0a >，定义域为R 的函数()x x e af x a e=+是偶函数，其中e 为自然对数的底数．（①）求实数a 值；（①）判断该函数()f x 在(0,)+∞上的单调性并用定义证明；（①）是否存在实数m ，使得对任意的t R ∈，不等式(2)(2)f t f t m -<-恒成立．若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．23．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >． （1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数．（3）若()11f =，解不等式()422x xf -<．24．甲商店某种商品4月份（30天，4月1日为第一天）的销售价格P （元）与时间t （天）的函数关系如图所示（1），该商品日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系如图(2)所示.（1）（2）（1）写出图（1）表示的销售价格与时间的函数关系式()P f t =，写出图（2）表示的日销售量与时间的函数关系式()Q g t =及日销售金额M （元）与时间的函数关系式()M h t =. （2）乙商店销售同一种商品，在4月份采用另一种销售策略，日销售金额N （元）与时间t （天）之间的函数关系式为22102750N t t =--+，试比较4月份每天两商店销售金额的大小关系。

高中数学中的指数对数不等式在高中数学中，指数和对数是重要的概念，而指数对数不等式则是指数和对数的应用之一。

本文将对高中数学中的指数对数不等式进行探讨和解析。

一、指数不等式指数不等式是指在指数运算中，不等号相连的不等式。

考虑以下两种情况：1. 指数大于1的情况当指数大于1时，指数函数随着底数的增大而增大。

因此，不等式中底数的大小关系会影响不等式的解。

对于形如a^x>b^x的不等式，其中a、b为正实数，且a>b。

我们可以将该不等式转化成x>logb(a)的形式。

因为指数函数和对数函数互为反函数，所以a^x>b^x等价于x>logb(a)。

举例说明，考虑不等式2^x>3^x。

由于2<3，所以log3(2)>1。

因此，该不等式可以转化为x>1。

2. 指数小于1的情况当指数小于1时，指数函数随着底数的增大而减小。

同样地，不等式中底数的大小关系也会对不等式的解产生影响。

对于形如a^x<b^x的不等式，其中a、b为正实数，且0<a<b。

我们可以将该不等式转化成x<logb(a)的形式。

同样地，这是由于指数函数和对数函数互为反函数所导致的。

举例说明，考虑不等式2^x<3^x。

由于2<3，所以log3(2)>1。

因此，该不等式可以转化为x<1。

二、对数不等式对数不等式是以对数形式表达的不等式。

对于形如loga(x)>loga(y)的不等式，其中a为正实数且a≠1，我们可以将该不等式转化为x>y。

同样地，对于形如loga(x)<loga(y)的不等式，我们可以将其转化为x<y。

举例说明，考虑不等式log2(x)>log2(y)。

根据对数的定义，该不等式可以转化为x>y。

三、指数对数不等式的综合应用除了单独研究指数和对数不等式，我们还可以将二者结合进行综合运用。

以下是一个例子：考虑不等式2^x<10log2(x)。

研究指数函数与对数函数的方程与不等式指数函数和对数函数是数学中常见的函数类型，在许多数学问题中，我们经常需要研究它们的方程和不等式。

本文将探讨指数函数和对数函数的方程与不等式及其解法。

一、指数函数的方程和不等式指数函数的一般形式为y = a^x，其中a为常数且a>0且a≠1，x为未知数。

我们来研究指数函数的方程。

1. 指数函数方程当我们需要求解指数函数的方程时，常使用对数函数来解决。

对数函数的一般形式为y = loga(x)，其中a为底数，x为未知数。

对于指数函数y = a^x，等式a^x = b可以转化为对数方程loga(b) = x，求解该方程能够得到指数函数的解。

2. 指数函数不等式对于指数函数的不等式，我们可以利用指数函数的性质来求解。

（1）a^x > b，解集为x > loga(b)；（2）a^x < b，解集为x < loga(b)。

二、对数函数的方程和不等式对数函数的一般形式为y = loga(x)，其中a为底数且a>0且a≠1，x为未知数。

我们来研究对数函数的方程和不等式。

1. 对数函数方程对于对数函数的方程y = loga(x)，我们可以通过指数函数来求解。

（1）loga(x) = b，等式x = a^b，求解该方程能够得到对数函数的解。

2. 对数函数不等式对于对数函数的不等式，我们可以利用对数函数的性质来求解。

（1）loga(x) > b，解集为x > a^b；（2）loga(x) < b，解集为x < a^b。

三、指数函数与对数函数综合运用在实际问题中，指数函数和对数函数常常综合运用。

我们来看一个例子。

例子：求解方程2^(x+1) + 3^(2x) = 31。

解：首先将方程转化为对数方程。

2^(x+1) + 9^x = 31取对数，得到log2(2^(x+1) + 9^x) = log2(31)因为指数函数的底数为2，我们利用对数函数的性质将方程转化为指数函数方程。

数学运算综合技巧巧妙解决指数对数函数不等式的运算数学中，指数和对数函数是非常重要的概念和工具。

它们在不等式解题中经常出现，对于解决这类问题，掌握一些巧妙的数学运算综合技巧是非常重要的。

本文将介绍一些解决指数对数函数不等式的运算技巧。

一、指数和对数函数回顾在开始介绍运算技巧之前，我们先回顾一下指数和对数函数的基本性质。

指数函数的一般形式为$f(x) = a^x$，其中$a > 0$且$a \neq 1$。

对数函数的一般形式为$f(x) = log_a(x)$，其中$a > 0$且$a \neq 1$。

指数和对数函数是互逆的，即$f^{-1}(x) = log_a(x)$，$a^{log_a(x)} = x$。

二、基本技巧1. 指数函数中的指数运算当指数函数中出现指数相乘或指数相除的情况时，我们可以利用指数运算的性质将其进行简化。

例如，对于指数函数$f(x) = 2^{3x} \cdot2^{2x}$，我们可以将其简化为$f(x) = 2^{3x+2x} = 2^{5x}$。

同样地，对于指数函数中的指数相除，也可以进行类似的运算。

2. 对数函数中的对数运算对于对数函数中的对数运算，我们可以利用对数运算的性质进行简化。

例如，对于对数函数$f(x) = log_a(x) + log_a(y)$，根据对数运算的性质，我们可以将其简化为$f(x) = log_a(xy)$。

同样地，对于对数函数中的对数相减，也可以进行类似的运算。

三、应用技巧1. 利用指数和对数函数性质重写不等式在解决指数对数函数不等式时，我们可以通过重写不等式的形式来简化计算。

例如，对于不等式$2^{3x} > 8$，我们可以将其重写为$2^{3x} > 2^3$，进而得到不等式$3x > 3$。

通过这种方式，我们可以将原始的指数不等式转化为更简单的形式，更容易求解。

2. 利用指数和对数函数的图像特点解不等式指数和对数函数的图像具有一些特点，我们可以利用这些特点来解决不等式。

数学函数不等式知识点总结一、常见的函数不等式类型在数学中，函数不等式涉及到各种类型的函数，常见的函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

这些函数类型在不等式中都有着各自的特点和解法方法。

接下来我们将针对这些常见的函数类型分别进行介绍。

1.1 线性函数不等式线性函数的一般形式为：f(x) = ax + b，其中a和b为常数，且a≠0。

线性函数不等式的形式为：ax + b > 0或者ax + b < 0。

解线性函数不等式最常用的方法就是通过解一元一次不等式，首先将不等式化为一元一次不等式，然后通过移项、乘除以常数等基本操作进行解答。

1.2 二次函数不等式二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。

二次函数不等式的形式为：ax^2 + bx + c > 0或者ax^2 + bx + c < 0。

解二次函数不等式的方法通常有两种，一种是通过画出二次函数的图像，找出函数的取值范围；另一种是通过配方法或者公式法解出二次函数的解析式。

1.3 指数函数不等式指数函数的一般形式为：f(x) = a^x，其中a为正实数且a≠1。

指数函数不等式的形式为：a^x > b或者a^x < b。

解指数函数不等式的方法通常是通过取对数进行化简，然后再求解对数不等式的解。

1.4 对数函数不等式对数函数的一般形式为：f(x) = loga(x)，其中a为正实数且a≠1。

对数函数不等式的形式为：loga(x) > b或者loga(x) < b。

解对数函数不等式的方法通常也是通过取对数进行化简，然后再求解对数不等式的解。

需要注意的是，对数函数的定义域为正实数，所以在解对数函数不等式时需要考虑函数的定义域。

二、函数不等式的解法方法解函数不等式的方法通常有几种常见的技巧和步骤，下面我们将对这些解法方法进行介绍。

2.1 移项法移项法是解一元一次不等式的常用方法，通过将不等式中的项移到一边，使得不等式变为一个不含未知数的式子，然后再求解不等式。

高中数学-指数函数对数函数知识点指数函数、对数函数知识点知识点内容：1.整数和有理指数幂的运算：当a≠0时，aⁿ×aᵐ=aⁿ⁺ᵐ；aⁿ÷aᵐ=aⁿ⁻ᵐ；(aⁿ)ᵐ=aⁿᵐ2.指数函数y=aᵐ⁄ⁿ(a＞0.m，n∈N*,且n＞1)的性质：①解析式：y=aᵐ⁄ⁿ(a＞0.且a≠1)②图象：过点(0,1)，在a＞1时，在R上是增函数，在0＜a＜1时，在R上是减函数③单调性：在定义域R上当a＞1时，在R上是增函数当0＜a＜1时，在R上是减函数④极值：在R上无极值(最大、最小值)⑤奇偶性：非奇非偶函数典型题：1.把0.9017x=0.5化为对数式为log0.9017(0.5)=x2.把lgx=0.35化为指数式为x=10⁰.³⁵3.计算：2×6⁴³=6⁴⁴⁹4.求解：(2+1)⁻¹+(2-1)⁻²sin45°=0.5915.指数函数y=aᵐ⁄ⁿ(a＞0.m，n∈N*,且n＞1)的图象过点(3,π)，求f(0)、f(1)、f(-3)的值f(0)=a⁰⁄ⁿ=1f(1)=aᵐ⁄ⁿ=a³⁄ⁿf(-3)=a⁻⁹⁄ⁿ6.求下列函数的定义域：① y=2-x²，定义域为R② y=1⁄(4x-5)-2，定义域为R-{5⁄4}7.比较下列各组数的大小：① 1.2<2.5<1.2+0.5，0.4-0.1<0.4-0.2② 0.3=0.4=0.4=0.3，<2112③ (2³)²<(3²)³<(2²)³8.求函数y=(x²-6x+17)⁄2的最大值，最大值为159.函数y=(a-2)x在(-∞,+∞)上是减函数，则a的取值范围为a＞310.函数y=(a²-1)x在(-∞,+∞)上是减函数，则a的取值范围为|a|＞1x其中a为底数，x为真数，y为对数。

指数函数与对数函数总结指数函数与对数函数总结一、 [知识要点]：1. 指数函数y ＝ax 与对数函数y ＝a log x 的比较：的比较：定义定义 图象图象 定义域 值域值域 性质性质奇偶性 单调性 过定点值的分布值的分布最值最值y ＝a x （a>0且a ≠1） 叫指数函数a>1 （－∞，＋∞）∞）（0，＋∞） 非奇 非偶 增函数（0，1）即a 0＝1 x>0时y>1；0<x<1时 0<y<1 无最值无最值0<a<1 减函数x>0时0<y<1； 0<x<1时 y>1 y ＝a log （a>0且a ≠1） 叫对数函数a>1Oy x（0，＋∞） （－∞，＋∞）∞） 非奇非偶 增函数 （1，0） 即log a 1＝0 x>1时y>0；0<x<1时 y<0 无最值无最值 0<a<1Oy x减函数x>1时y<0；0<x<1时 y>0 对称性函数y ＝ax 与y ＝a －x （a>0且a ≠1）关于y 轴对称；函数y ＝a x 与y ＝log a x 关于y ＝x 对称对称 函数y ＝log a x 与y ＝1log a x （a>0且a ≠1）关于x 轴对称轴对称 2. 记住常见指数函数的图形及相互关系以及常见对数函数的图形及相互关系及相互关系①②3. 几个注意点几个注意点（1）函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x （a>0，a ≠1）互为反函数，从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系；（2）比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型。

数的大小是对数函数性质应用的常见题型。

在具体比较时，可以首在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常可再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较；（3）在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用。

指数与对数函数的方程与不等式指数与对数函数是数学中重要的函数类型，对于解方程与不等式而言也起到了至关重要的作用。

本文将围绕指数与对数函数的方程与不等式展开讨论，介绍相关概念及解题方法，并通过具体例子加以说明。

一、指数函数的方程与不等式指数函数是以底数为常数、指数为变量的函数类型。

解指数函数的方程与不等式，一般需要借助对数函数来进行求解。

1.1 指数函数的方程指数函数的方程包括形如 a^x = b 的式子，其中 a 为底数，x 为未知数，b 为给定的常数。

解这类方程时，常用的方法是将其转化为对数方程。

具体步骤如下：步骤一：将指数函数转化为对数函数，即x = logₐ(b)。

这里的logₐ表示以底数 a 进行求对数的函数。

步骤二：根据底数和对数的对应关系，求出方程的解。

例如，对于方程 2^x = 8，可以通过对数函数转化为求解 log₂(8) = x，进而得到 x = 3。

因此，方程的解为 x = 3。

1.2 指数函数的不等式指数函数的不等式包括形如 a^x < b 或a^x ≥ b 的式子。

解这类不等式时，可以利用指数函数的单调性来确定不等号的方向，并通过求对数将不等式转化为对数函数的不等式。

例如，对于不等式 3^x < 27，可以通过求对数转化为 log₃(3^x) <log₃(27)，进而得到 x < 3。

因此，不等式的解为 x < 3。

二、对数函数的方程与不等式对数函数是以底数为常数、真数为变量的函数类型。

解对数函数的方程与不等式，可以利用对数函数的性质和相关的数学运算进行求解。

2.1 对数函数的方程对数函数的方程包括形如logₐ(x) = b 的式子，其中 a 为底数，x 为未知数，b 为给定的常数。

解这类方程时，可以根据底数和对数的对应关系进行求解。

例如，对于方程 log₂(x) = 3，可以推出 x = 2³ = 8。

因此，方程的解为 x = 8。

第7讲 指数函数与对数函数一．基础知识回顾1．指数函数的定义：函数 叫作指数函数，自变量x 在指数位置上，底数a ( )的常量．2．指数函数的图象与性质y ＝a x a >1 0<a <1图象定义域值域性质 过定点( )当x >0时， ； 当x <0时， 当x >0时， 当x <0时， ；在R 上是 函数 在R 上是 函数3. 当0<a <1时，指数函数的底数越小函数图像越接近坐标轴，当a >1，指数函数的底数越大函数图像越接近坐标轴4．对数函数的定义：一般地，我们把函数 (a>0，a≠1)叫作对数函数，a 叫作对数函数的 ，x 是 5．对数函数的图象与性质a >1 0<a <1图象性 质 定义域：值域：过点 ，即x ＝1时，y ＝0当x >1时， 当0<x <1时， 当x >1时，当0<x <1时，是(0，＋∞)上的 函数 是(0，＋∞)上的 函数6．当0<a 大函数图像越接近坐标轴7．反函数：指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线 对称．二．典例精析题型一：指数函数的性质及应用例1：(1)已知a ＝32)21(，b ＝234-，c ＝31)21(，则下列关系式中正确的是( ) A ．c <a <b B ．b <a <c C ．a <c <b D ．a <b <c(2)设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( )A ．{x |x <－2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2}(3)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋2x ＋1的单调减区间为______.变式训练1：(1)已知a ＝2，b ，c ，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．b >c >a(2)已知函数y ＝2－x 2 ＋ax ＋1在区间(－∞，3)内递增，则a 的取值范围为 ．（3）函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x ＋1在x ∈[－3，2]上的值域是________题型二：指数型函数的综合问题例2：已知f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(a >0且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性；(2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．变式迁移2：已知函数f (x )＝(12x －1＋12)x 3. (1) 求f (x )的定义域；(2)证明：f (－x )＝f (x )； (3)证明：f (x )>0.题型三：对数函数的性质及应用 例3：已知a ＝231-，b ＝log 312，c ＝log 3121，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．c >b >a(2)定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上递增，f (13)＝0，则满足)(log 81x f >0的x 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(0，12)∪(2，＋∞)C ．(0，18)∪(12，2)D ．(0，12) (3)已知函数f (x )＝lg ax ＋a －2x在区间[1,2]上是增函数，则实数a 的取值范围是______ 变式训练3：(1)设函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2) 的大小关系是( A )A ．f (a ＋1)>f (2)B ．f (a ＋1)<f (2)C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定(2)已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0，a ≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( C )A.12B.14C ．2D ．4 (3)已知函数f (x )＝ln(1－a 2x )的定义域是(1，＋∞)，则实数a 的值为________． 题型四：对数型函数的综合问题例4：已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)若a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．变式训练4：已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及y 取最大值时x 的值．三．方法规律总结2．比较两个指数幂大小时，尽量化同底数或同指数，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．3．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c <d <1<a <b .在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小；即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．4．求解与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤：(1)确定定义域；(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数y ＝f (u )，u ＝g (x )；(3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增或同减，则y ＝f (g (x ))为增函数，若一增一减，则y ＝f (g (x ))为减函数，即“同增异减”．5．用对数函数的性质比较大小：(1)同底数的两个对数值的大小比较例如，比较log a f (x )与log a g (x )的大小，其中a >0且a ≠1.①若a >1，则log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )>g (x )>0.②若0<a <1，则log a f (x )>log a g (x )⇔0<f (x )<g (x )．(2)同真数的对数值大小关系如图：图象在x 轴上方的部分自左向右底逐渐增大，即0<c <d <1<a <b .6．常见对数方程式或对数不等式的解法：(1)形如log a f (x )＝log a g (x )(a >0且a ≠1)等价于f (x )＝g (x )，但要注意验根．对于log a f (x )>log a g (x )等价于0<a <1时，⎪⎩⎪⎨⎧<>>);()(,0)(,0)(x g x f x g x f a >1时，⎪⎩⎪⎨⎧>>>).()(,0)(,0)(x g x f x g x f (2)形如F (log a x )＝0、F (log a x )>0或F (log a x )<0，一般采用换元法求解．四．课后练习作业一．选择题1．函数f (x )＝ln （x ＋3）1－2x的定义域是( ) A ．(－3，0) B ．(－3，0] C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞) D ．(－∞，－3)∪(－3，0)2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( )A ．log 31x B.12x C ． log 2x D ．2x －23．在同一坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象之间的关系是( ) A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称 D ．关于直线y ＝x 对称4．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f (x )的值域为( )A ．[9，81]B ．[3，9]C ．[1，9]D ．[1，＋∞)5．函数f (x )＝a |x ＋1|(a ＞0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( )A 不确定．B ．f (－4)＝f (1)C ．f (－4)＜f (1)D f (－4)＞f (1)6．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )7．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x<0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2，1)B ．(－4，3)C ．(－1，2)D ．(－3，4)8．已知函数f (x )＝ln e x －e －x2，则f (x )是( ) A ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增B ．奇函数，且在R 上单调递增C ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减D ．偶函数，且在R 上单调递减9．设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A.q ＝r ＜pB.p ＝r <qC.q ＝r >pD.p ＝r ＞q10．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( B )A. ⎣⎡⎭⎫13，1B. ⎝⎛⎭⎫13，1C.⎝⎛⎭⎫23，1D.⎣⎡⎭⎫23，1 11．偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，则关于x 的方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫110x在x ∈[0，4]上解的个数是( B )A ．0B ．4C ．6D ．812．已知函数f (x )＝e x ＋m e x ＋1，若对于任意a ，b ，c ∈R ，都有f (a )＋f (b )>f (c )成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，2B.[0,1] C .[1,2] D.⎣⎡⎦⎤12，1 二．填空题13．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )＞f (n )，则m 、n 的大小关系为________．14．已知函数f (x )＝a 2x －4＋n (a >0且a ≠1)的图象恒过定点P (m ，2)，则m ＋n ＝________．15．函数y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是________．16．已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则n ＋m ＝________．三．解答题17．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．18．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值；(3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．19．已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)．(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．20．已知函数f (x )＝lg(a x －b x )(a >1>b >0)．(1)求y ＝f (x )的定义域；(2)在函数y ＝f (x )的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x 轴；(3)当a ，b 满足什么条件时，f (x )在(1，＋∞)上恒取正值．。