2019年高考数学(理)命题热点全覆盖专题08+含参数的导数问题解题规律

专题06 导数的几何意义灵活应用

【学习目标】

1．了解导数概念的实际背景．

2．理解导数的意义及几何意义．

3．能根据导数定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数．

4．能利用基本初等函数的导数公式及导数运算法则进行某些函数的求导．

【知识要点】

1．平均变化率及瞬时变化率

(1)函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率用________表示，且ΔyΔx＝f（x2）－f（x1）x2－x1.

(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是：

0limx ΔyΔx＝0limx f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.

2．导数的概念

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝0limx f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.

(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是一个确定的数，当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称f′(x)为f(x)的导函数(简称导数)，即f′(x)＝ 0limxf（x＋Δx）－f（x）Δx.

3．导数的几何意义和物理意义

几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)上_____________________的斜率k，即k＝_______；切线方程为______________________．

物理意义：若物体位移随时间变化的关系为s＝f(t)，则f′(t0)是物体运动在t＝t0时刻的___________

4．基本初等函数的导数公式

(1)常用函数的导数

①(C)′＝________(C为常数); ②(x)′＝________；

③(x2)′＝________； ④1x′＝________；

⑤(x)′＝________．

(2)初等函数的导数公式

①(xn)′＝________； ②(sin x)′＝__________； ③(cos x)′＝________； ④(ex)′＝________；

【考纲要求】

（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.

（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.

【命题规律】

利用导数探求参数的范围问题每年必考，有时出现在大题，有时出现在小题中，变化比较多.

不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．这也是2019年考试的热点问题.

（一）利用单调性求参数的范围

例1.【2016全国1卷（文）】若函数1()sin2sin3fxxxax在,上单调递增，则a的取值范围是（ ）．

A．1,1 B．11,3 C．11,33 D．11,3

【变式1】【改编例题中条件，给定函数在给定区间上单调（并未告知单增还是单减），求参数范围】【2018湖北咸宁11月联考】若函数4sin2sinfxxxax在,上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）

A． ,11, B． ,22, C． 1,1 D． 2,2

【变式2】【改编例题中条件，给定函数不单调，求参数取值范围】【2018安徽“五校”联考】若函数2ln2fxxxx在其定义域的一个子区间21,2kk内不是单调函数，则实数k的取值范围是（ ）

A． 33,24 B． 1,32 C． 3,32 D． 13,24

参数法

一、内容概述

参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。

辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比较普遍。

参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。

二、例题示范

【例1】（2017全国卷1理科10）已知F为抛物线2:4Cyx的焦点，过F作两条互相垂直的直线1l 、2l ，直线1l与C交于AB、 两点，直线2l与C交于DE、两点，则ABDE 的最小值为（ ）

A.16 B.14 C.12 D.10

解法一、设直线1:(1)lykx代入24yx 得22222(2)0kxkxk

设1122(,),(,)AxyBxy 则2121222(2),1kxxxxk

42244(44)14kkABkk =224(1)kk214(1)k

（或利用12244ABxxpk ）

将上式中的“k”替换成“1k”得24(1)DEk

22184()16ABDEkk当且仅当21k 时取“=”故选A

解法二、设直线1:1lxmy代入24yx 得2440ymy

设1122(,),(,)AxyBxy 则12124,4yymyy

2121ABmyy =22116(1)mm

=24(1)m

【方法综述】

导数中的参数问题主要指的是形如“已知不等式恒成立、存在性、方程的根、零点等条件，求解参数的取值或取值范围”.这类问题在近几年的高考中，或多或少都有在压轴选填题或解答题中出现，属于压轴常见题型。而要解决这类型的题目的关键，突破口在于如何处理参数，本专题主要介绍分离参数法、分类讨论法及变换主元法等，从而解决常见的导数中的参数问题。

【解答策略】

一．分离参数法

分离参数法是处理参数问题中最常见的一种手段，是把参数和自变量进行分离，分离到等式或不等式的两边（当然部分题目半分离也是可以的），从而消除参数的影响，把含参问题转化为不含参数的最值、单调性、零点等问题，当然使用这种方法的前提是可以进行自变量和参数的分离.

1．形如afxgx或afxgx(其中fx符号确定)

该类题型，我们可以把参数和自变量进行完全分离，从而把含参数问题转化为不含参数的最值、单调性或图像问题.

例1．已知函数432121()ln432efxxxaxxxx在(0,)上单调递增，则实数a的取值范围是

A．21[,)ee B．(0,]e C．21[2,)ee D．[21,)e

【来源】广东省茂名市五校2020-2021学年高三上学期第一次（10月）联考数学（理）试题

【举一反三】

1.（2020·宣威市第五中学高三（理））若函数fx与gx满足：存在实数t，使得ftgt，则称函数gx为fx的“友导”函数.已知函数21()32gxkxx为函数2lnfxxxx的“友导”函数，则k的最小值为（ ）

A．12 B．1 C．2 D．52

2．（2020·广东中山纪念中学高三月考）若函数2ln2010axxxfxxaxx的最大值为1f，则实数a的取值范围为（ ） 导数中的参数问题 A．20,2e B．30,2e C．20,2e D．30,2e