复数
.基本知识
【1】复数的基本概念
(1) 形如a + bi 的数叫做复数(其中a ，b R )；复数的单位为i ，它的平 方等于一
1，即i 2
1.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部
纯虚数：当a = 0且b
(2) 两个复数相等的定义：
0时的复数a+ b i 为纯虚数
a bi c di a c 且
b d (其中，a ， b ，
c ,
d , R )特别地 a bi 0 a b 0
(3) 共轭复数：z a bi 的共轭记作z a bi ; (4)
复平面：建立直
角坐标系来表示复数的平面叫复平面；
z a bi ，对应
点坐标为p a,b ;(象限的复习)
实数：当b = 0时复数 a + bi 为实数 虚数：当b 0时的复数
a + bi 为虚数;
设z 1 a 1
bj ，Z 2
a 2
b 2i
(1) 加法： Z 1 Z 2 a 1 a 2 b 1
b 2 i ;
(2) 减法： Z 1 Z 2 a 1 a 2
th b 2 i ;
(3) 乘法： Z 1 : Z 2 a i
a
2
t 1b 2
a2^ a 1b 2
i
特别 z z a 2 b 2。
(4) 幕运算:
・1
i i i 2
3
1 i
4
i i
1 i
.5 6
i i
1
【3
】 复数的化简
c z
a
di
( a
bi ,b 是均不为 0的实数) ;的化简就是通过分母实数化的方法将分母 化为实数：z
c di c di a bi
ac bd
ad bc i a bi a bi a bi
2 a
b 2
对于:
c di z a bi
-a b 0， 当
c
a
b 时z :为实数; 当z 为纯虚数是z 可设为
复数的基本运算
【2】
(5)复数的模：对于复数z bi ，
\ a 2 b 2 叫做复数z 的模;
二. 例题分析
【例11已知z a 1 b 4 i ，求
(1) 当a,b 为何值时z 为实数 (2) 当a,b 为何值时z 为纯虚数 (3) 当a,b 为何值时z 为虚数
(4)
当a,b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限
A. 1 B . 0 C 1 D
2 2
【变式21求实数m 的值，使复数
(m 2m 3) (m 3m 4)i 分
别是：
(1)实数。 (2)纯虚数。
(3)零
c di
z --------- a bi
xi 进一步建立方程求解
【变式1】若复数z (x 2
1) (x 1)为纯虚数，则实数x 的值为
【例2】已知召3 4i ；z2 a 3 b 4 i，求当a,b为何值时z1=z2【变式1】(i)设x,y R,(x 1) 2xi 3y 2(y 1)求x, y 的值。
⑵(2x 2i) (y 4)i 0求X, y 的值【变式2】设a R，且(a i)2i为正实数，则a =(
A. 2
B. 1
C. 0
［例3】已知z 1 i，求z , z z ;
【变式1】复数z满足z空，则求z的共轭z
【变式2】已知复数z 晅」2，则z?Z = (i 43
i i
D.2
A. -
B.-
C.1
4 2
【变式3】若复数z满足z(1 i) 1 i，则其共轭复数
［例4】已知z- 2 i , Z2 3 2i
(1) 求z- Z2的值;
(2) 求乙Z2的值；
(3) 求z z2 .
【变式1】已知复数z满足z 2 i 1 i，求z的模.
【变式2】若复数1 ai 2是纯虚数，求复数1 ai的模.
p : z 2 P 2: z 2 2i P 3： z 的共轭复数为1 i
P 4：z 的虚部为1
(A) P 2, P 3
(B) P 1, P 2
(C) P , P (D) P ,P
【例6】若复数z — a R ( i 为虚数单位)，
1 2i
(1) 若z 为实数，求a 的值
(2) 当z 为纯虚，求a 的值.
【变式3】已知-
1
A . 1 3i
2 i ,则复数z (
)
B . 1 3i
C . 3 i
D . 3 i
【例5】下面是关于复数z
的四个命题: 其中的真命题为(
【变式1】
设a 是实数, 是实数，求a 的值..
【变式2】若z
y 3i
R 是实数，则实数xy 的值是
【例7】复数z cos3 isin3对应的点位于第几象限?
【变式"i是虚数单位，(挣等于()
A. i
B. -i C . 1 D. -1
【变式2】已知Z=2+i,则复数z= () 1+ i
(A) -1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i
【变式3】
1 7i
i是虚数单位，若1 7i
2 i
a bi(a,
b R)，则乘积ab的值是
(A)—15 (B)—3 (C) 3 ( D) 15 ［例8】复数z •=( )
3 i
(A) 2 i (B) 2 i (c) 2 i (D) 2
【变式
1】已知i是虚数单位，
2i3(
1 i
)
A1 i B 1 i c 1 i D. 1 i
【变式
2】.已知i是虚数单位，复数□二( )
1 i
A2 i B2 i C 1 2i D 1 2i
【变式3】已知i是虚数单位，复数丄卫 ( )
1 2i
(A)1 + i (B)5 + 5i (C)-5-5i (D)-1 —i
