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基本不等式各种题型归纳 附加练习题与答案

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基本不等式

方法:

1． 凑系数

当40x时，求的最大值)28(xxy。 [练一练]若,20x求)36(xxy的最大值。

2． 凑项。

当,45x求54124)(xxxf的最大值 [练一练]求)3(,31xxxy的最小值。

3． 拆项。

求)1(,11072xxxxy的值域。 [练一练]求函数)1(,182xxxy的最小值。

4． 整体代换（遇到1了）

a>0, b>0, batba11,12求的最小值。 [练一练]yxyxyx求且,911,0,0最小值。

5． 换元法 求函数522xxy的最大值 [练一练]求函数)1(,182xxxy的最小值。

6． 试着取平方看看：

求函数)2521(,2512xxxy的最大值。

【练习】

1．若a、bR，1)(baab，则ba的最小值是（ ）

A.222 B.25 C.222 D.22

2．函数2249cossinyxx的最小值是（ ）

3. 下列函数中，最小值为4的是 （ ）

A．4yxx B．4sinsinyxx (0)x

C．e4exxy D．3log4log3xyx

4．已知f(x)＝x＋1x－2(x＜0)，则f(x)有( )

A．最大值为0 B．最小值为0 C．最大值为－4 D．最小值为－4

5．下列不等式一定成立的是( )

A．lgx2＋14＞lg x(x＞0) B．sin x＋1sin x≥2(x≠kπ，k∈Z)

C．x2＋1≥2|x|(x∈R) ＞1(x∈R)

6．设OA→＝(1，－2)， OB→＝(a，－1)，OC→＝(－b,0)，a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则1a＋2b的最小值是( ) A．4 B．6 C．8 D．10

7．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A．60件 B．80件 C．100件 D．120件

8．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则( )

A．a＜v＜ab B．v＝ab ＜v＜a＋b2 D．v＝a＋b2

9．已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________．

10．已知a＞0，b＞0，且ln(a＋b)＝0，则1a＋1b的最小值是________．

11．已知a，b∈R，且ab＝50，则|a＋2b|的最小值是________．

12．当x2－2x＜8时，函数y＝x2－x－5x＋2的最小值是________．

13.若不等式x2+ax+4≥0对一切x∈（0，1］恒成立，则a的取值范围是 .

,y,z∈R+，x-2y+3z=0,xzy2的最小值为 .

15.若直线2ax+by-2=0 （a,b∈R+）平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则a2+b1的最小值是 .

16.函数y=log2x+logx(2x)的值域是 .

17.若实数a,b满足ab-4a-b+1=0 (a＞1),则(a+1)(b+2)的最小值为 .

18.已知x、yR，则使yxtyx恒成立的实数t的取值范围是____________.

19.已知关于x的方程043)4(9xxa有实数根，则实数a的取值范围是____________.

20.已知0,0ba且2213ba，求21ab的最大值________.

21．已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则a＋1c＋c＋1a的最小值为__________．

22. 已知正数a, b满足a+b=1（1）求ab的取值范围;（2）求1abab的最小值.

23．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．

(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元

(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入16(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和并求出此时商品的每件定价．

基本不等式训练题答案：

1. A 2. C 3. C 4．C 5．C 6．C

7．B 若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是800x，存储费用是x8，总的费用是800x＋x8≥2800x·x8＝20，当且仅当800x＝x8时取等号，即x＝80.

8．A 设甲乙两地相距为s，则v＝2ssa＋sb＝21a＋1b. 由于a＜b，∴1a＋1b＜2a，∴v＞a，又1a＋1b＞21ab，∴v＜ab.故a＜v＜ab，故选A. 9．3. 10． 4.

11．解析： 依题意得，a，b同号，于是有|a＋2b|＝|a|＋|2b|≥2|a|×|2b|＝22|ab|＝2100＝20(当且仅当|a|＝|2b|时取等号)，因此|a＋2b|的最小值是20.

12．解析： 由x2－2x＜8得x2－2x－8＜0，即(x－4)(x＋2)＜0，得－2＜x＜4，∴x＋2＞0，

而y＝x2－x－5x＋2＝x＋22－5x＋2＋1x＋2＝(x＋2)＋1x＋2－5≥2－5＝－3.等号当且仅当x＝－1时取得．

13. a≥-5 14. 3

15.

3+22 16.

（-∞，-1］∪［3，+∞） 17. 27

18.2t 19.（-∞，-8］ 20.233 21．解析： ∵f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，

∴a＞0且Δ＝4－4ac＝0，∴c＝1a，∴a＋1c＋c＋1a＝a＋11a＋1a＋1a＝a2＋1a2＋a＋1a≥4(当且仅当a＝1时取等号)，∴a＋1c＋c＋1a的最小值为4. 22. (1)10,4 (2)174

23．解析： (1)设每件定价为t元，依题意，有错误!t≥25×8，

整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．

(2)依题意，x＞25时，不等式ax≥25×8＋50＋16(x2－600)＋15x有解，等价于x＞25时，

a≥150x＋16x＋15有解，∵150x＋16x≥2150x·16x＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，∴a≥

∴当该商品明年的销售量a至少应达到万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．

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基本不等式习题及答案

基本不等式习题及答案

基本不等式习题及答案

基本不等式习题及答案

不等式是数学中重要的概念之一，它描述了数值之间的大小关系。在初等数学中，我们学习了许多基本的不等式，它们在解决实际问题和推导其他数学知识时起着重要的作用。在本文中，我们将探讨一些基本的不等式习题，并给出相应的答案。

1. 习题一：证明对于任意的正实数a和b，有(a+b)² ≥ 4ab。

解答：我们可以使用平方差公式来证明这个不等式。根据平方差公式，我们有(a+b)² = a² + 2ab + b²。由于a和b都是正实数，所以a²和b²都大于等于0。因此，我们只需要证明2ab大于等于0即可。

由于a和b都是正实数，所以它们的乘积ab也是正实数。根据乘法的性质，正实数的乘积仍然是正实数，因此2ab大于等于0。所以，我们证明了(a+b)²

≥ 4ab。

2. 习题二：证明对于任意的正实数a，b和c，有(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc。

解答：我们可以使用AM-GM不等式来证明这个不等式。根据AM-GM不等式，对于任意的正实数x和y，有(x+y)/2 ≥ √(xy)。

将x替换为a+b，y替换为b+c，我们有(a+b+b+c)/2 ≥ √((a+b)(b+c))。进一步简化得到(a+2b+c)/2 ≥ √((a+b)(b+c))。

同样地，将x替换为b+c，y替换为c+a，我们有(b+c+c+a)/2 ≥ √((b+c)(c+a))。进一步简化得到(2b+2c+a)/2 ≥ √((b+c)(c+a))。

将x替换为c+a，y替换为a+b，我们有(c+a+a+b)/2 ≥ √((c+a)(a+b))。进一步简化得到(2c+2a+b)/2 ≥ √((c+a)(a+b))。 将上述三个不等式相乘，我们得到((a+2b+c)/2)((2b+2c+a)/2)((2c+2a+b)/2) ≥

(√((a+b)(b+c)))(√((b+c)(c+a)))(√((c+a)(a+b)))。

基本不等式其应用知识梳理典型练习题(答案)

基本不等式其应用知识梳理典型练习题(答案)

资料 基本不等式及其应用

1．基本不等式

若a>0,，b>0，则a＋b2≥ab，当且仅当 时取“＝”．

这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数．

注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点：

(1)各项或各因式均正；（一正）

(2)和或积为定值；（二定）

(3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等）

2．常用不等式

(1)a2＋b2≥ab2(a，b∈R)．

(2)2abab0,ba

注：不等式a2＋b2≥2ab和2ba≥ab它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.其等价变形：ab≤（2ba）2.

(3)ab≤22ba (a，b∈R)．

(4)ba＋ab≥2(a，b同号且不为0)．

(5)22baa2＋b22(a，b∈R).

（6）baabbaba11222220,ba

(7)abc≤a3＋b3＋c33;,,0abc 资料 (8)a＋b＋c3≥3abc；,,0abc

3．利用基本不等式求最大、最小值问题

(1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有 ，即a＋b≥ ，a2＋b2≥ .

(2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即 ；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即 .

设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是( )

A.6 B.42 C.22 D.26

解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42，当且仅当a＝b＝32时取等号，故选B.

若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( )

A.12 B.1 C.2 D.4

均值不等式(基本不等式+知识点+例题+习题)pdf版

均值不等式(基本不等式+知识点+例题+习题)pdf版

[不等式]

1 | 10

九、均值不等式

积为定值，和有最值．

0,02ababab

0,02ababab

口诀：一正（0ab

），二定（ab

是定值），三相等（当ab

时等号成立）．

题型一：利用不等式求最值（一）（凑项）

例1 已知2x

，求函数4

24

24yx

x

的最小值．

解析：由条件知240x

，则44

242(24)()4

2424yxx

xx

，

当且仅当4

24

24x

x

时等号成立，解得1x

（舍）或3x

．

答案：4

例2 已知2x

，求函数4

2

24yx

x

的最小值．

解析：240x

，原式变形为44

2442(24)()48

2424yxx

xx

，

当且仅当4

24

24x

x

时等号成立，解得1x

（舍）或3x

．

答案：8

例3 已知2x

，求函数4

2

24yx

x

的最大值．

解析：240x

，原式变形为44

2442(24)()40

2424yxx

xx

，

当且仅当4

24

24x

x

时等号成立，解得1x

或3x

（舍）．

答案：0

练习1 已知5

4x

，求函数1

42

45yx

x

的最小值．

练习2 已知5

4x

，求函数1

42

45yx

x

的最大值．

练习3 已知5

4x

，求函数1

2

45yx

x

的最大值．

练习4 若0,0ab

，求21

()()ab

ab

的最小值． [不等式]

2 | 10

练习答案：

1 2 3 4

5 1 7

4

322

均值不等式变形：

和为定值，积有最大值．

2

0,0()

2ab

abab



口诀：一正（0,0ab

），二定（ab

是定值），三相等（当ab

时等号成立）．

题型二：利用不等式求最值（二）（凑系数）

例1 08x

，求(8)yxx的最大值．

解析：由条件知080且xx，则28

(8)()16

2xx

yxx



基本不等式练习题(含答案)

基本不等式练习题(含答案)

基本不等式

1

1 .函数y=x+ -(x>0)的值域为( ).

X

A. 2] U [2,+x) B. (0,+x)

C. [2 ,+x) D . (2,+x)

a + b i

2. 下列不等式：①a2 + 1>2a；②- -<2；③/ +三 > 1,其中正确的个数是

pab x 十 3

().

A. 0 B . 1 C. 2 D . 3

3. 若a>0, b>0,且a

+ 2b — 2 = 0,则ab的最大值为( ).

1

B. 1 C. 2 D. 4

1

4. (2011重庆)若函数f(x) = x+ (x>2)在x= a处取最小值，则a=( ).

X — 2

A. 1+ 2 B. 1+ 3 C. 3 D. 4

t2 — 4t+ 1

5. 已知t>0,则函数y= t 的最小值为

利用基本不等式求最值

1 1

【例1】?(1)已知x>0, y>0,且2x+y= 1,则x + y的最小值为

X y

2x

2

(2)已知0v xv 5,贝U y= 2x— 5x2的最大值为 ________ .

⑶若x, y€ (0,+x)且2x+ 8y— xy= 0,贝U x+ y的最小值为 _________ .

利用基本不等式证明不等式

【例 2] ?已知 a>0, b>0, c>0,求证：bC+ 学+ ab>a+ b+ c.

a b c

3 1

（2010四川）设a>b>0,贝U a2+ + 的最小值是（ ）.

ab a a— b

C. 3 ⑵当x>0时，贝U f(x)= x2+ 1的最大值为

1

【训练1】(1)已知x> 1,则f(x) = x+一 的最小值为 _____________

x— I【训练2】 已知a>0, b>0, c>0,且a+ b+ c= 1.

1 1 1 求证：一+匚+ 9. a b c