求二次函数最值的几种形式

2
2
2
t 2 5t 1(t
5) ， 2
综上可知 h(t ) =
－ 49 (
5 t
22
3) ， 2
3(t 1) 5 t 2 5t 1;
3 f( )
2
29 。
4
t 2 3t 5 t
3。 2
注：注意分类讨论思想（不重不漏）在解题中的应用。 3 轴动区间定 这种形式的二次函数对称轴是变动的， 面区间是固定的， 要求其最值， 需要 讨论对称轴在区间端点之间、端点之外时的各种情况才能确定。 例 3 若 f ( x) 1 2a 2a cos x 2s i n2 x 的最小值为 g( a )。
求二次函数最值的几种形式
永州市第五中学 何 杰
二次函数模型是重要的函数模型， 在人教版高中 《数学》 必修②中占了大量 的篇幡，详尽介绍了二次函数的性质及应用， 特别是二次函数的最值问题是近年 来高考命题的一个热点问题， 而求二次函数的最值归纳起来主要有三种形式： （1） 轴定区间定 ; （2）轴定区间动，（3）轴动区间定，一般来说，讨论二次函数在 区间上的最值， 主要看区间是落在二次函数的哪一个单调区间上， 从而用相应的 单调性来求最值。 下面就新教材， 通过例子具体谈一谈二次函数最值的几种形式 的探求方法。
（1）求 g( a )的表达式； （2）求能使 g( a )= 1 的 a 值，并求出当 a 取此值时， f ( x) 的最大值。
2 分析：这是一个定区间， 动对称轴的最值问题， 要求它的最值要由定区间看
动轴的不同变化，再由函数单调性求出最值。
解：（1） f ( x)
2 cosx
2
a
a2
2a 1 ，令 t
（1）求 g( a )的表达方式；
（2）判断函数 g( a )的单调性，并求出 g( a )的最小值。
2
解：（1） f ( x) ax 2 2x 1 a x 1
1
1 ,由已知条件可知 1
1
3。
a
a
a
当 1 ≤ 1 ≤ 2 ， 即 1 ≤ a ≤ 1 时 ， M （ a ） =f(1)=9 a － 5,N （ a ）
a
2
3
=[ f ( x)] min
1 f
1 1，
a
cos x [ 1,1] ，所以对称轴
22
2
a t cos x 是变动的，而 t [ 1,1] 是定区间，于是有
2
当 a ＜－ 1，即 a ＜－ 2 时， f (x)在cos x 1时取得最小值，即 g( a)＝1； 2
当－ 1 ≤ a ≤ 1 ，即－ 2 ≤ a ≤ 2 时， f ( x)在 cosx a 时取得最小值，即
1
由于这种形式的对称轴是固定的， 而区间是变动的， 因而求它的最值必须要 进行分类讨论才能得出结果。
例 2 已知函数 f (x) x2 3x 5, x [t ,t 1], 若f ( x) 的最小值为 h(t ) ,写出
h(t) 的表达式。
分析：所求二次函数解析式固定， 区间变动， 可考虑区间在变动过程中二次 函数的单调性，从而利用二次函数的单调性求出此函数在区间上的最值。
1时[ f ( x)] max
5。
注：求此类问题的最值时要注意分类讨论思想的应用， 同时要注意区间的隐
含范围。 例 4 已知 1 ≤ a ≤1，若函数 f ( x) ax 2 2x 1在区间 [1,3]上的最大值为 M 3
（ a ），最小值为 N（ a ），令 g( a )=M （ a ）－ N（ a ）。
a ≥ 5 时， f ( x) 在区间 [-5,5] 上单调递增。 综上可知， 当 a ≤-5 时， f (x) 在区间 [-5,5] 上单调递减； 当 a ≥5 时， f ( x) 在
区间 [-5,5] 上单调递增。 注：这种类型的最值的求解一般比较简单， 只要注意在区间上的单调性即可。 2 轴定区间动
1 轴定区间定 由于这种类型的二次函数的对称轴是固定的， 区间也是固定的， 因而求它的 最值，只要直接应用单调性求出最值即可。 例 1 （2002 年高考数学上海卷） f (x) x2 2ax 2, x [ 5,5] 。 （1）当 a 1时，求函数 f (x) 的最大值和最小值； （2）求实数 a 的取值范围，使 y f (x)在区间 [ －5，5] 上是单调函数。 解：（1）当 a 1时， f ( x) x 2 2x 2 (x 1) 2 1, x [ 5,5] ，由于对称轴 为 x 1，区间为 [ － 5，5] ，而当 1≤ x ≤5 时， f ( x) 是单调递增的；当 -5≤ x ≤1 时， f ( x) 是单调递增的，所以 [ f ( x)] nin ] ＝ f (1) 1,[ f ( x)] max f ( 5) 37。 （2） f ( x) x 2 2ax 2 ( x a) 2 2 a2 ，所以对称轴为 x a ，由数形 结合易知，当 - a ≥5，即 a ≤-5 时， f ( x) 在区间 [-5,5] 上单调递减；当 - a ≤-5，即
解： f (x)
(x 3)2
29 ，所以对称轴为 x
2
4
3 固定，而区间 [t,t+1] 是变 2
动的，因此有
（1）当 t+1≤－ 3 ，即 t≤－ 5 时，h(t)=f(t+1)= (t 1)2
2
2
（2）当 t ＞－ 3 时， h(t ) f (t) t 2 3t 5; 2
（3）当 t≤－ 3 ＜ t+1，即－ 5 ＜ t ≤－ 3 时， h(t)
2
2
g( a)
a2 2a 1； 2
当 a ＞1，即 a ＞ 2 时1 4a 。 2 1－ 4 a （ a ＞2），
综上所述， g( a )=
a 2 2a 1( 2 a 2) 2
1( a ＜－ 2）
（ 2）当 g( a )= 1 ，即 1－4 a = 1 或－ a 2 － 2 a － 1= 1 时，由于 1－ 4 a = 1 得
2
2
2
2
2
2
a = 1 ，显然不合题意，故只有 a －2 a －1= 1 ，即 a =－3（舍去）或 a =－1，因
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2
2
为 — 2 ≤ a ≤ 2 才 符 合 题 意 ， 所 以 当 g( a )= 1 时 ， a = － 1 ， 所 以 2
2
11
f ( x) 22 cosx 2
，因此，当 cosx 2